對流項(Convection term)

(3.3)式的對流項，是由高斯散度定理，將體積分轉換成面積分，我們再將以表示成

將經由高斯散度定理，從體積分轉換成面積分的擴散項離散之後，得到下式：

3.2.4 源項(Source term)

利用高斯散度定理，我們將源項中的壓力梯度表示如下：

P_b−P_P = ∇ ⋅P δur

四、PISO 法求解步驟

Vuur_f =wVuur_C + −(1 w V)uur_P

uur uur uur uur uur

&

_P^' _P^'

關係式表示如下： uur uur uur uuur

(4.18)

4.2.3 壓力修正方程式之整理

在兩次的壓力修正式中，S_P2為非正交的源項，因此如果是正交的網格的話，S_P2的 值為0。

而在求解的過程中，我們對每次的壓力修正式中，又將它再區分成兩部份來計算，

以得到較準確的值。第一部份中我們忽略S ，源項中只包含_P2 S ；而在第二部份中，源_P1 項只包含S_P2，將其整理如下。

z 正交修正(Orthogonal Corrector)部份：

_{P P}^'(1) _{C C}^'(1) _P1

f

A P =

∑

A P +S

z 非正交修正(Non-orthogonal Corrector)部份：

_{P P}^'(2) _{C C}^'(2) _P2( ^'(1))

f

A P =

∑

A P +S P

於正交修正式中得到壓力修正P^'(1)，以此計算S_P2中之梯度，再代入壓力修正求 P'(2)，此非正交修正步驟可重複執行，但通常只執行一次便足夠。

4.3 邊界條件的給定

4.3.1 出入口邊界條件的給定

因為在本研究中，出入口的邊界條件為一壓力邊界，因此我們必須在出入口處設定 壓力值，再藉由修正出入口壓力來修正出入口的質量流率。

其步驟表示如下：

第一步：將壓力邊界相鄰的網格點上的壓力設定成給定的值。

第二步：在求解壓力修正式時，我們必須設法讓壓力修正量的值為 0，也就 是要滿足P^'= (圖 3.3 )。 0

所以，壓力修正方程式的係數與源項我們做以下的調整：

_{P P}^' _{C C}^' _{P1 P2}

f

A P =

∑

A P +S +S 其中S_P1=S_P2 = ，0 A_C = 0

第三步：求解完壓力修正方程式後，邊界相鄰的網格需再讓其滿足質量守恆

定理，即 _f 0

n ^{S ix S jy S kz}

在求解代數方程式的係數矩陣上，為了減少求解矩陣所需的記憶體，我們採用疊代 的方式，避免用直接求解所需負荷的記憶體空間。在求解動量方程式上，因為其係數矩 陣不具對稱性質，所以採用BICG 法，壓力修正方程式中，其係數矩陣具有對稱性，故 採用ICCG 法來求解。

五、無閥式微幫浦之理論分析

在文獻 【22】 中，假設曲線為隨半徑變化的二項式：

5.2 微幫浦簡易理論分析(Lumped System Analysis)

在文獻 【17】 中，Ullmann 對無閥式的微幫浦提出一套簡易的數學模式，主要針 對單一腔體的無閥式微幫浦，能估算出進出口的流量與腔體的壓力值。而對於雙腔串聯 的無閥式微幫浦，也提出一套數學模式來去分析，其流量的計算方式，主要是根據腔體

內壓力的變化來求得。

₂ ²

(1) Model A(Steady Model)：首先，在 5.9~5.11 式中，流量與壓力差的關係式中壓力損 失係數 K 與流動的方向有關，向右為漸擴管方向而向左為漸縮管方向，所以利用流

利用 5.12~5.14 式中，流量的判斷便能夠適用所有的模式，並不需要再區分成不同的流 (2) Model B(Unsteady Model)：因為幫浦的流動為隨時間變化的模式，所以腔體內流體

的流動會受到之前時間的影響，故考慮流體的慣性，在Steady Model 中加入慣性項 時間的流量代入，壓力損失係數則如同Steady Model 採用(5.13)、(5.14)式，將前一時間

的流量帶入求得。

在求解 Steady Model 及 Unsteady Model 上，除了Q 、_in Q_out、P 以外皆為已知值，_c 因此可由聯立方程式組求出其解，另外在求解Unsteady Model 中的慣性項上，我們採用 全隱式差分(Fully implicit scheme)的方法來取代，

Steps 來計算，初始條件(Initial Condition)表示如下：

1 ₀ ^{9 3}

dt 分項將其改寫成有限差分的形式(Finite Difference Form)

Model A (Steady Model) Model B (Unsteady Model) Model C

Q 0

(1) Model A(Steady Model)：

2 1

) (2) Model B(Unsteady Model)：

( )

¹ 相位(In-Phase)的振動，φ = 。壓力損失係數我們也是採用文獻【15】中，Curve Fitting0 出流量與壓力損失係數的關係式，同(5.13)、(5.14)。而上述式中的微分項，也如同單腔 的理論中，採用全隱式差分(Fully implicit scheme)的方法來取代。

在求解過程中，假設第一個時間下的出入口流量分別為壓電振膜振動流量的 1/2，

而此時中間段漸縮/漸擴管元件的流量相較於出入口要小的多，故假設其流量為出入口流 量的1/10，因此我們定義初始條件(Initial Condition)如下：

9 3

02 sin(2 ) 4.32 10 / Qin = −∀ πf π f dt⋅ = − × ⁻ m s；

10 3

0.1 02 sin(2 ) 4.32 10 / Qc = ⋅∀ πf π f dt⋅ = × ⁻ m s；

9 3

02 sin(2 ) 4.32 10 / Qout = ∀ π f π f dt⋅ = × ⁻ m s；

1 0

P = Pa；

2 0

P = Pa

因此我們可以利用此三種不同型式的聯立方程式組求得Q 、_in Q 、_out Q 、_c P₁以及P₂， 比較再不同背壓下流量和壓力的變化，並且將求出的結果與模擬相驗證。

除了解出不同背壓下的流量和壓力，此雙腔的理論亦可運用於不同相位差下，

0 ~ 1

φ = ，故我們也求出Steady Model 與 Unsteady Model 在不同背壓以及不同相位下每 週期的流量及壓力變化，並計算出相位角與淨流量的關係與模擬的結果相比較。

六、結果與討論

在本章節中，6.1 節為模擬的結果分析，首先模擬單腔式幫浦，然後將雙腔式幫浦 區分為同相位與不同相位角的結果來分析其流量，在6.2 節中則是建立一套新的幫浦理 論，分析單腔及雙腔式幫浦在不同背壓下進出口流量對時間的變化，並且與模擬的結果 相比較。

6.1 三維模擬的結果分析 6.1.1 單腔三維模擬結果

首先我們對單腔的無閥式幫浦作模擬，其模型為文獻【6】中，Ollson 所實驗的微 幫浦(圖 1.11)，而在模擬上，則參照文獻【15】中，所模擬的網格數為 117232(圖 6.1)，

在邊界條件上的給定上，壓電薄膜也是採用梯形的曲線來近似，為週期性的振動邊界，

而進出口兩端則是壓力邊界。

而進出口的流量變化以及幫浦內部的壓力、流場情形，我們取背壓 0Pa 以及背壓為 5900Pa 時地結果來討論。

z 進出口的流量變化：

圖 6.2~6.3 為五個週期下，不同背壓時進出口的流量變化，為三角函數的週期

分布。在背壓為0Pa 時，其出口流量的最大值較背壓為 5900Pa 時大，在加入背壓 後，其流量會隨之縮減。

z 幫浦內的壓力及流場分布：

圖6.4~6.5 為背壓 0Pa 時在 1/4 週期與 3/4 週期，即分別為排水與吸水的情況下，

腔體1/2 厚度的截面上其流場與壓力的分佈，可以發現在 1/4 週期排水的情況下，

回流發生於進出口兩側，而在3/4 週期吸水的情況下，回流則發生於腔體的內部。

而在壓力場的變化中，1/4 週期排水的情況下，其流動方向往進出口兩端，故腔體 的壓力大於左右兩個進出口，而在3/4 週期吸水時，流動方向相反，為流進腔體內，

故進出口的壓力此時大於腔體內部。

在背壓 5900Pa 中，其流場與壓力的變化表示於圖 6.6~6.7，在 1/4 週期時，回

流也是在進出口兩側發生，而在3/4 週期時，回流也發生在腔體內，其結果與背壓 0Pa 時類似。而壓力的變化再不同的背壓下，其結果也是類似的。

對於幫浦在一週期下的淨流量，參照文獻【15】，我們對第五個週期中的出口流量 做積分，

0 T

net out

Q =

∫

Q dt (6.1) 並計算出不同背壓下的淨流量，其結果將於下一節中，與雙腔體微幫浦來做比較。

6.1.2 雙腔三維模擬結果

本研究所模擬的模型為雙腔體的無閥式微幫浦，其模擬模型採用 1997 年 Ollson et al.

【6】的實驗尺寸，在雙腔幫浦中串連兩個腔體，在腔體間總共連接三個張角為 7 度的 Nozzle/Diffuser 元件，其尺寸如圖 1.12 所示。壓電薄膜的振動則採用梯形曲線來近似，

以簡化模擬時設定振動邊界的複雜度，振膜為週期性的反覆振動，其振動頻率為 2200Hz，而兩端出入口則設定為壓力邊界。

6.1.2a 不同網格測試

所模擬的網格為非正交的網格，並且測試了四組不同格點數的網格，網格數分別為 53780、93933、189717、278577，在網格點為 53780、93933 中一週期將其分成 600 個 Time steps 來計算；在網格點為 189717(圖 6.8)、278577 中一週期內則分成 1200 個 Time steps 來計算，因此不同網格在模擬中的真實時間Δt如下：

網格數 53780、93933， 1 t 600 Δ = f 網格數 189717、278577， 1

t 1200 Δ = f

圖6.9 為兩組網格中，在 5 個週期下淨流量的變化，在模擬上，我們共模擬五個週期以 取得較穩定的結果。而考慮0Pa、1180Pa、2360Pa、2950Pa、4720Pa、5900Pa 等不同背 壓下的流量與壓力變化。不同網格下，其淨流量與不同背壓的關係表示於圖6.10，我們 發現，淨流量會隨網格的加密而降低，其中網格點189717 與 278577 所得到的淨流量已 相當的接近，故之後的模擬中，我們採用網格點為189717 的結果。

對於雙腔的模擬結果，我們將其分為同相位的振動以及加入相位後，不同相位差下 的結果來討論。

6.1.2b 壓電薄膜為同相位(In-Phase)振動

z 進出口與中間段 Nozzle/Diffuser 元件的流量變化：

對於出入口流量和中間段 Nozzle/Diffuser 元件的流量變化，圖 6.11a~6.11c 中 為背壓 0Pa、2950Pa、5900Pa 時，五個週期下的流量變化，我們可發現其中段 Nozzle/Diffuser 元件的流量遠低於進出口兩端。

z 幫浦內的壓力及流場分布：

首先考慮同相位的振動以及不同背壓下，微幫浦中的壓力分布，在一週期內，

我們在前半週期排水模式中與後半週期吸水模式中各取振膜振動流量最大的時 候，即1/4 週期和 3/4 週期，圖 6.12~6.14 為在背壓為 0Pa、2950Pa、5900Pa，1/4T 和 3/4T 時的壓力分布，並著重於三個 Nozzle/Diffuser 元件中的壓力變化，其中

1/

T = f 。由壓力場可得知，在1/4T 排水的情況下，腔體的壓力明顯大於進出口，

而在3/4T 吸水的情況下，兩端進出口的壓力則大於腔體內部，與物理的現象相符，

且在不同的背壓下壓力場的變化是相似的。

此外，對於 Nozzle/Diffuser 元件的設計，是改變幫浦流量中重要的因素，所以 對三個 Nozzle/Diffuser 元件內部流體的流動，我們也將其畫成流線來比較。圖 6.18a~6.18b 為背壓為 0Pa 時，每隔 1/5 週期中，三個 Nozzle/Diffuser 元件的流線圖，

由圖中可發現，前後兩部分的Nozzle/Diffuser 元件中，回流發生的位置隨時間而改 變，在前半段週期，排水的情況下，回流大多發生於出入口兩側；而在後半週期，

吸水的情況下，回流則發生於幫浦腔體內，而中段的Nozzle/Diffuser 元件的回流發 生於右側的腔體中，且流動的方向皆朝向 Diffuser 的方向。而圖 6.15~6.17 為在背 壓為0Pa、2950Pa、5900Pa，1/4T 和 3/4T 時，在腔體 1/2 厚度的截面上，三個不同 Nozzle/Diffuser 元件的流線圖，在 1/4 週期時，回流發生於進出口的位置，而在 3/4 週期的時候，回流則發生於腔體的內部，和圖 6.4~6.7 中單腔的的結果相近，而中

z 淨流量在不同背壓下之比較：

從出口端的流量變化，可以估算出一週期下幫浦的淨流量，我們對一週期的出口流 量做積分。我們積分第五個週期下，較為穩定後的結果，因此可求出在不同背壓下的淨 流量，故我們將雙腔微幫浦在不同背壓下的淨流量與前一節中的單腔體微幫浦來做比

從出口端的流量變化，可以估算出一週期下幫浦的淨流量，我們對一週期的出口流 量做積分。我們積分第五個週期下，較為穩定後的結果，因此可求出在不同背壓下的淨 流量，故我們將雙腔微幫浦在不同背壓下的淨流量與前一節中的單腔體微幫浦來做比

在文檔中 雙腔無閥式微幫浦流場理論分析 (頁 23-0)