第一章 導論
在許多實際的例子，像是渦輪真空幫浦的葉片、直升機的旋轉翼、衛 星的支翼、風扇的葉片、飛機的螺旋槳及長且具有撓性的空間旋轉吊桿等 都可以視為旋轉梁結構，而實際機構的應用上都受到振動之影響，因此振 動分析在旋轉梁結構的設計和分析上是很重要的，許多文獻在這方面已做 過研究[1-21]。實用上在機械領域裡面，依照不同的需求和特性，我們會需 要不同尺寸的旋轉梁。對一細長比較小的梁，其剪變形及旋轉慣量都不可 忽略，故將其視為Timoshenko 梁來分析；相對的，對一細長比較大的梁，
其剪變形的影響就可以忽略，故我們就把它視為Euler 梁來分析。因此研究 時常將 Timoshenko 梁與 Euler 梁分開探討。在作振動分析上影響旋轉梁振 動頻率的參數很多，包括旋轉柱的半徑、旋轉梁的長度、旋轉梁端點的附 加質量、旋轉的速度、剪變形、轉動慣量、設定角(setting angle)、傾斜角 (inclination angle)、預扭角(pre-twisted angle)與旋轉梁根部的彈性拘限等，
在研究時應探討這些參數的影響，正確解析旋轉梁之振動行為，使能設計 出更臻完善之旋轉梁結構。
關 於 旋 轉 梁 結 構 的 振 動 分 析 在 文 獻[1, 2]有 詳 細 的 回 顧 與 探 討 。 Schilhansl[3]在考慮離心力但忽略科氏力(coriolis force)的情況下，導出如圖 一所示具有設定角β 之等速旋轉梁振動的微分方程式。Lee and Kuo[4]探討 了等速旋轉Euler 梁之旋轉軸的中心半徑、設定角及轉速對旋轉梁彎矩振動 自然頻率的影響。Krupka and Banumanis[5]忽略彎矩及扭矩擾動間的耦合效 應，研究旋轉梁受彎矩及扭矩擾動後旋轉慣量及剪變形對自然頻率和模態 的影響。Yokoyama[6]將旋轉慣量及剪變形、旋轉軸的中心半徑和設定角合 併到有限元素的模式中，探討其對自然頻率的影響。Lee and Lin[7]用線性 梁理論去推導旋轉Timoshenko 梁之運動方程式，並探討了旋轉速度和質量
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慣性矩(mass moment of inertia)的耦合效應、設定角和旋轉速度對彎矩自然 頻率的影響。文獻[8-11]則探討不同細長比之旋轉梁受軸向壓應力時之臨界 轉速。
文獻[3-11]均用線性梁理論推導旋轉梁的運動方程式，且在其振動分析 時都不考慮科氏力，即不考慮軸向與側向振動間的耦合作用，僅考慮側向 振動。然Simo and Vu-Quac[22]提到在分析旋轉結構時需要用完整的幾何非 線性梁理論之一致性二階線性化，才能考慮到各種變形間與速度間的耦合 作用，適當的計算離心力對彎矩剛度的影響，若用線性梁理論將會產生虛 假的彎矩剛度流失，無法得到正確的運動方程式。在文獻[3-11]中因採用線 性梁理論去推導旋轉梁的運動方程式，所以文獻[3-11]中推導的旋轉梁之運 動方程式及所求得之振動的自然頻率，除了設定角為零度外，應是不正確 的，且文獻[3-11]中都假設沒有軸向變形，卻均無討論該假設之適用轉速範 圍和影響。
文獻[12, 13]考慮了軸向變形及科氏力，利用幾何非線性梁理論的一致 性線性化、虛功原理及 d′Alembert 原理，在旋轉座標上推導出如圖一所示 之等速旋轉Timoshenko 梁正確的線性運動方程式，並提出一套旋轉梁振動 的自然頻率的級數解法及計算其自然頻率的數值計算程序，再以例題探討 其振動的自然頻率及科氏力對自然頻率的影響。不過文獻[12, 13]的數值方 法對細長比很大的梁在高轉速時無法收斂。
文獻[14]是考慮如圖一所示之等速旋轉 Euler 梁，亦利用虛功原理與 d′Alembert 原理和非線性梁理論的一致性線性化在旋轉座標上，推導旋轉 Euler 梁的統御方程式，然後採級數解法來分析旋轉梁之自由振動。文獻[14]
將旋轉Euler 梁均分成多段，每段稱為一個元素，由每個元素的統御方程式 的級數解及旋轉梁兩端點的邊界條件及相鄰兩元素在共同節點上的連續條 件求得旋轉梁的自然頻率。文獻[14]發現當細長比很大時，在高轉速下僅用
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一個元素無法求得正確的自然頻率，需將旋轉梁分成二個以上的元素，才 能求得精確的自然頻率。但文獻[14]並未考慮如圖二所示具有傾斜角α 的旋 轉梁。
所謂具傾斜角(inclination angle)之旋轉梁，即梁之形心軸的延長線不會 與旋轉中心軸相交。在實用上電腦之冷卻風扇目前已有採用具傾斜角的葉 片[18]，但除了文獻[15-21]的旋轉梁具傾斜角之探討外，其餘吾人所知的文 獻研究中旋轉梁都不具傾斜角。Lee[15]用假設模態法探討傾斜角不為零之 旋轉梁的自然頻率，但沒有考慮穩態變形。Al-Qaisia[16]探討傾斜角不為零 具端點質點之旋轉梁的非線性動態反應，但沒有探討旋轉梁的穩態變形及 自然頻率。在文獻[23]中提到，以等角速率旋轉的旋轉梁，由於慣性力的作 用，存在一個穩態變形，這個穩態變形為旋轉梁的角速率的函數，旋轉梁 的自由振動是指以其穩態變形為平衡點的微小振動，其自然振動頻率即指 該微小振動的自然頻率，故探討旋轉梁的自然振動頻率時，須先求出其穩 態變形。文獻[17-19]探討具有設定角與傾斜角的旋轉 Timoshenko 梁和 Euler 梁之自由振動，在旋轉梁的線性振動方程式中考慮了軸向穩態變形及科氏 力，但沒有考慮側向位移的穩態解。當傾斜角不為零時，由圖二可以發現 因離心力的作用，旋轉梁之軸向位移及側向位移的穩態解都應不為零，而 文獻[17-19]忽略了側向位移的穩態解，所求得旋轉梁之自然頻率可能不準 確。文獻[17-19]亦無探討細長梁在高轉速之自然振動頻率。
文獻[20]探討設定角為0 與° 90 時傾斜角不為零之 Euler 梁之自由振° 動，同文獻[14]利用 d′Alembert 原理、虛功原理、幾何非線性梁理論的一致 線性化在一旋轉座標系統中推導等速旋轉傾斜 Euler 梁的線性運動方程 式，然後採級數解法來分析旋轉梁之自由振動，並將旋轉梁均分成多段，
以處理細長梁在高轉速之情況。文獻[20]發現當梁的細長比及無因次的轉速 很大時，若計算時使用雙精度，則最少需將旋轉梁分成兩段，才能得到可
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靠的自然振動頻率。當設定角為90°時，不管傾斜角是多少，旋轉傾斜梁僅 有軸向穩態變形，無側向穩態變形，故其振動的統御方程式與文獻[14]的統 御方程式有相同的形式，文獻[20]先求出軸向位移的穩態解，再求出以穩態 解為平衡點的自然振動頻率及振態。當設定角為0°時，旋轉傾斜梁有軸向 及側向的穩態變形，但不易用級數解求解，文獻[20]僅探討旋轉傾斜 Euler 梁的側向穩態解及推導其自然振動的統御方程式。文獻[21]則利用共旋轉有 限元素法推導旋轉傾斜Euler 梁的運動方程式，探討具不同傾斜角之等速旋 轉傾斜Euler 梁的穩態變形及自然振動頻率。
因文獻上仍較缺乏傾斜角不為零之旋轉Timoshenko 梁的研究。故本研 究擬探討如圖二所示具傾斜角α 及設定角β 之雙對稱矩形截面之旋轉傾斜 Timoshenko 梁的穩態變形及自由振動，本研究擬採用文獻[14, 20]的方法推 導穩態變形及自由振動的統御方程式，並探討設定角為0°及90°之旋轉傾斜 Timoshenko 梁的穩態變形及自然振動頻率與振態。本研究第二章中先以旋 轉傾斜 Timoshenko 梁正確的變形機制，利用虛功原理、d′Alembert 原理與 幾何非線性梁理論之一致性線性化推導旋轉傾斜Timoshenko 梁之穩態變形 的統御方程式和以穩態變形為平衡點之軸向、側向及旋轉的線性微分振動 方程式，在運動方程式中保留了科氏力及轉動慣量對自然頻率的影響。另 外分別以設定角為0°及90°之情況求得旋轉傾斜 Timoshenko 梁之穩態及振 動的統御方程式。在第三章中先考慮設定角為90o時之情況，此時軸向變形 與側向變形間無耦合關係存在，本研究中僅考慮一個方向的側向振動，其 形式如圖三為撲翼振動(flapping vibration)，本研究將梁結構分割成數段，每 一段稱為一個元素，然後在每一個元素當前的變形位置上建立一以等角速 度旋轉的元素座標，每一個元素的變形、節點內力與運動方程式都是建立 在該元素座標上。本研究將每一個元素之側向振動與旋轉之統御方程式的 解表示成級數矩陣，再由旋轉傾斜梁兩端的邊界條件及相鄰元素在共同節
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點的連續條件求得一組齊次方程式，使該組齊次方程式係數形成之矩陣的 行列式值為零時的根，即可以數值方法求得旋轉傾斜梁的振動自然頻率及 振態。接著再說明設定角為0o時，旋轉傾斜 Timoshenko 梁含軸向和側向耦 合之穩態變形的側向穩態解法，並利用振動的統御方程式說明振動解法。
在第四章中將說明本研究所採用的數值計算方法及求旋轉傾斜 Timoshenko 梁振動的自然頻率及其對應之振動模態的程序。第五章中以無因次化的數 值例題探討旋轉傾斜Timoshenko 梁之自然頻率的收斂性、準確性，並探討 設定角、傾斜角、無因次轉速、無因次轉軸半徑及細長比對旋轉傾斜梁無 因次自然頻率的影響，以及探討旋轉梁的軸向振態與側向振態對應的自然 頻率接近時，其振動模態的耦合及特徵值曲線轉向(Eigenvalue curve veering) 與特徵值曲線交叉(Eigenvalue curve crossing)的現象[24, 25]。第六章為本研 究之結論與展望。最後本文再列出參考文獻與本文所使用的附表及附圖。
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