等速旋轉傾斜Timoshenko梁的穩態變形與自由振動分析

國

立

交

通

大

學

機械工程學系

博 士 論 文

等速旋轉傾斜 Timoshenko 梁的穩態變形與自由

振動分析

The steady state deformation and free vibration analysis of a

rotating inclined Timoshenko beam under constant angular velocity

研 究 生：黃智麟

指導教授：蕭國模 博士

等速旋轉傾斜

Timoshenko 梁的穩態變形與自由振動分析

The steady state deformation and free vibration analysis of a rotating

inclined Timoshenko beam under constant angular velocity

研 究 生： 黃智麟 Student： Chih-Ling Huang

指導教授： 蕭國模 博士 Advisor： Dr. Kuo-Mo Hsiao

國 立 交 通 大 學 機 械 工 程 學 系

博 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Doctor of Philosophy

in

Mechanical Engineering July 2010

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

I

等速旋轉傾斜

Timoshenko 梁的穩態變形與自由振動分析

研究生：黃智麟 指導教授：蕭國模博士

國立交通大學機械工程學系博士班

摘 要

本研究之主要目的在探討設定角(setting angle)為0 及° 90 時具不同傾°

斜角(inclination angle)之等速旋轉傾斜 Timoshenko 梁的穩態變形及自由振

動。本研究考慮的 Timoshenko 梁係以一傾斜角剛接在以等角速度旋轉的 圓柱上，並將旋轉梁的運動方程式建立在一個以等角速度旋轉的總體座標 上。本研究以 Timoshenko 梁正確的變形機制，利用虛功原理、d′Alembert 原理與幾何非線性梁理論之一致性線性化推導旋轉傾斜 Timoshenko 梁之 運動方程式。 當設定角為90o時，旋轉傾斜 Timoshenko 梁的穩態變形僅有軸向位移 且 其 軸 向 振 動 與 側 向 振 動 不 互 相 耦 合 ， 其 側 向 振 動 僅 考 慮 撲 翼 振 動 (flapping vibration)，本研究將以級數解求得旋轉傾斜梁的撲翼振動頻率及 振態。當設定角為0o時，旋轉傾斜 Timoshenko 梁的穩態變形含軸向和側 向變形且其軸向振動與側向振動因科氏力而相互耦合，側向穩態變形不為 零，本研究將以級數解求其側向穩態變形。 本研究將梁結構分割成數段，每一段稱為一個元素，然後在每一個元 素當前的變形位置上建立一以等角速度旋轉的元素座標，每一個元素的變 形、節點內力與運動方程式都是建立在該元素座標上。當設定角為90o

II

時，本研究將每一個元素之統御方程式的解表示成含二個獨立係數的級數 矩陣，再由旋轉傾斜梁兩端的邊界條件及相鄰元素在共同節點的連續條件 求得一組齊次方程式，該組齊次方程式為一個特徵值問題，其係數形成之 矩陣的行列式值為零時的根，即為振動的自然頻率。本研究以二分法

(bisection method)求旋轉傾斜 Timoshenko 梁振動的自然頻率，並以逆冪法

(inverse power method)求得其振動模態。當設定角為0o時，本研究用類似

的方法求得一組非齊次方程式，以求得其側向穩態變形。 本研究最後將以無因次化的數值例題探討旋轉傾斜 Timoshenko 梁之 自然頻率的收斂性、準確性，並探討傾斜角、無因次轉速、無因次轉軸半 徑及細長比對旋轉傾斜梁無因次自然頻率的影響，本研究還探討旋轉梁的 軸向振態與側向振態對應的自然頻率接近時，其振動模態的耦合及特徵值 曲線轉向與特徵值曲線轉向交叉的現象。 關鍵詞：Timoshenko 梁，旋轉梁，傾斜角，d′Alembert 原理，虛功原理， 幾何非線性梁理論，級數解，撲翼振動(flapping vibration)，自然 頻率

III

The Steady State Deformation and Free Vibration Analysis of a

Rotating Inclined Timoshenko Beam under Constant Angular Velocity

Student：Chih-Ling Huang Advisor：Dr. Kuo-Mo Hsiao

Department of Mechanical Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

The steady state deformation and free vibration analysis of a rotating inclined Timoshenko beam with constant angular velocity is studied in this paper. Two different setting angles _{β =0}o _{and 90}o _{are considered. The governing}

equations for linear vibration of a rotating Timoshenko beam are derived by the d'Alembert principle, the virtual work principle and the consistent linearization of the fully geometrically nonlinear beam theory in a rotating rectangular Cartesian coordinate system which is rigidly tied to the hub.

For _{β =90}o _{of the rotating inclined Timoshenko beam, the steady state} deformation is only axial deformation. A method based on the power series solution is employed to solve the natural frequency and vibration modes of the axial vibration and flapping vibration. For _{β =0}o_{, a similar method based on the} power series solution is proposed to solve the steady lateral deformation and free vibration.

Here the rotating inclined beam is divided into several segments. The governing equations for linear vibration of each segment are solved by a power series. Substituting the power series solution of each segment into the corresponding boundary conditions at two end nodes of the rotating beam and the continuity conditions at common node between two adjacent segments, a set of homogeneous equations can be obtained. The natural frequencies may be

IV

determined by solving the homogeneous equations using the bisection method. Then the inverse power method is used to find the corresponding vibration modes.

Dimensionless numerical examples are studied to verify the accuracy of the proposed method and to investigate the dimensionless natural frequency of rotating inclined beams with different inclined angles, dimensionless angular velocities, dimensionless radius of the hub, and slenderness ratios. The phenomenon of eigenvalue curve crossing and eigenvalue curve veering are also investigated for rotating inclined beams that has two modes with closely spaced natural frequencies.

V

誌 謝

衷心感謝指導教授 蕭國模博士在博士班研讀期間的指導與鼓勵，使本 論文終得以順利的完成。蕭教授在研究上嚴謹的態度及對理論深入解析的精 神，使我受益良多，在此致上最崇高的謝意與敬意。 感謝論文公開演講時金大仁教授、呂宗熙教授、蔡佳霖教授、尹慶中博 士、陳宗麟博士、鄭泗東博士、李安謙教授對本論文提出的指導與建言。感 謝林世章教授、蔡佳霖教授、尹慶中博士及林文一博士擔任論文口試委員並 對本論文提出指正與建議，使本論文能夠更臻完善。 感謝計算力學研究室裡所有和善的碩、博研究生，總在適時的時候伸出 援手幫忙。感謝同時期讀書的同仁及超級好朋友在作研究的期間互相切磋討 論，並在忙碌與沮喪的時候互相協助與打氣。 感謝女兒新蓉一路的陪伴與配合，感謝父母親、家人們以及所有給我支 持與鼓勵的至親友人。僅以此成果與榮耀，獻給所有關心我的人！

VI

目 錄

中文摘要 ... I 英文摘要 ... III 誌謝 ... V 目錄 ... VI 表目錄 ... VIII 圖目錄 ... XI 符號說明 ... XIII 第一章 導論 ... 1 第二章 理論推導 ... 6 2.1 問題描述 ... 6 2.2 座標系統 ... 6 2.3 Timoshenko 梁的變形描述 ... 7 2.4 旋轉傾斜梁的統御方程式 ... 14 第三章 旋轉傾斜梁的穩態與振動 ... 20 3.1 β = 90°時旋轉傾斜梁的穩態 ... 20 3.2 β = 90°時旋轉傾斜梁的振動方程式及其解 ... 22 3.3 β = 90°時旋轉傾斜梁結構的節點位移、節點力及邊界條件 ... 28 3.4 β = 90°時旋轉傾斜梁的自然頻率及振動模態 ... 31 3.5 β = 0°時旋轉傾斜梁的穩態 ... 32 3.6 β = 0°時旋轉傾斜梁的振動方程式 ... 39 第四章 數值計算方法與程序 ... 44 第五章 數值例題 ... 46 5.1 收斂性分析 ... 46

VII 5.2 準確性分析 ... 48 5.3 無因次轉速k =0時的個案分析 ... 49 5.4 設定角β = 0°時的個案分析 ... 50 5.5 設定角β = 0°時的個案分析 ... 51 5.6 特徵值曲線轉向與特徵值曲線交叉 ... 52 第六章 結論與展望 ... 54 6.1 結論 ... 55 6.2 未來展望 ... 56 參考文獻 ... 58 附表 ... 60 附圖 ... 97

VIII

表目錄

表一 旋轉傾斜Timoshenko 梁在不同元素數目之自然頻率的收斂分析 (r =0, α =0°,

β

= 0°,

η

=750, k =0.1) ... 60 表二 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同元素數目之自然頻率的收斂分析 (r =0, α = 0°,

β

= 90°,

η

=750, k =0.1) ... 61 表三 不同設定角的旋轉傾斜 Timoshenko 梁之自然頻率的收斂分析 (r =1, α = 0°,

η

=1000, k =0.06) ... 62 表四 不同傾斜角的旋轉傾斜 Timoshenko 梁之自然頻率的收斂分析 (r =1.5,

β

= 09 °,

η

=1000, k = 0.06, α =0°,15°) ... 63 表五 不同傾斜角的旋轉傾斜 Timoshenko 梁之自然頻率的收斂分析 (r =1.5,

β

= 09 °,

η

=1000, k =0.06, α =30°,45°) ... 64 表六 不同傾斜角的旋轉傾斜 Timoshenko 梁之自然頻率的收斂分析 (r =1.5,

β

= 09 °,

η

=1000, k = 0.06, α =60°,90°) ... 65 表七 旋轉傾斜 Timoshenko 梁與 Euler 梁在不同細長比的自然頻率 (k =0, α = 0°,

β

= 09 °, r =1) ... 66 表八 旋轉傾斜 Timoshenko 梁與 Euler 梁在不同細長比的自然頻率 (k =0.06, α= 0°,

β

= 09 °, r =1) ... 67 表九 旋轉傾斜 Timoshenko 梁與 Euler 梁在不同細長比的自然頻率 (k =0.06, α= 30°,

β

= 09 °, r =1) ... 68 表十 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同細長比的自然頻率(k =0)... 69 表十一 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同細長比的自然頻率 (r =0, α= 0°,

β

= 0°, k =0 .,001) ... 70 表十二 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同細長比的自然頻率 (r =0, α= 0°,

β

= 0°, k =0.03,0.06) ... 71

IX 表十三 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同細長比的自然頻率 (r =0.5, α= 0°,

β

= 0°, k =0 .,001) ... 72 表十四 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同細長比的自然頻率 (r =0.5, α= 0°,

β

= 0°, k =0.03,0.06) ... 73 表十五 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同細長比的自然頻率 (r =1, α = 0°,

β

= 0°, k =0 .,001) ... 74 表十六 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同細長比的自然頻率 (r =1, α = 0°,

β

= 0°, k =0.03,0.06) ... 75 表十七 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =0.5,

β

= 09 °,

η

=10) ... 76 表十八 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =0.5,

β

= 09 °,

η

=20) ... 77 表十九 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =0.5,

β

= 09 °,

η

=50) ... 78 表二十 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =0.5,

β

= 09 °,

η

=100) ... 79 表二十一 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =0.5,

β

= 09 °,

η

=1000) ... 80 表二十二 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1,

β

= 09 °,

η

=10) ... 81 表二十三 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1,

β

= 09 °,

η

=20)... 82 表二十四 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1,

β

= 09 °,

η

=50)... 83 表二十五 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1,

β

= 09 °,

η

=100) ... 84

X 表二十六 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1,

β

= 09 °,

η

=1000) ... 85 表二十七 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1.5,

β

= 09 °,

η

=10) ... 86 表二十八 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1.5,

β

= 09 °,

η

=20) ... 87 表二十九 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1.5,

β

= 09 °,

η

=50) ... 88 表三十 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1.5,

β

= 09 °,

η

=100) ... 89 表三十一 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同轉速與不同傾斜角的自然頻率 (r =1.5,

β

= 09 °,

η

=1000) ... 90 表三十二 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同細長比與不同轉速的自然頻率 (r =1,

α

= 0°,

β

= 0°,

η

=8.1,8.15) ... 91 表三十三 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同細長比與不同轉速的自然頻率 (r =1,

α

= 0°,

β

= 0°,

η

=8.2,8.3) ... 92 表三十四 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同細長比與不同轉速的自然頻率 (r =1,

α

= 0°,

β

= 0°,

η

=8.4,8.5) ... 93 表三十五 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同細長比與不同轉速的自然頻率 (r =1,

α

= 0°,

β

= 09 °,

η

=8.1,8.15) ... 94 表三十六 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同細長比與不同轉速的自然頻率 (r =1,

α

= 0°,

β

= 09 °,

η

=8.2,8.3) ... 95 表三十七 旋轉傾斜 Timoshenko 梁在不同細長比與不同轉速的自然頻率 (r =1,

α

= 0°,

β

= 09 °,

η

=8.4,8.5) ... 96

XI

圖目錄

圖一 無傾斜角的旋轉梁結構三視圖 ... 97

圖二 具傾斜角的旋轉梁架構 ... 98

圖三 (a)Lagwise bending vibration (b)撲翼振動(Flapping vibration) ... 99

圖四 旋轉傾斜梁的俯視圖 ... 100 圖五 旋轉傾斜梁的側視圖 ... 100 圖六 梁的變形圖 ... 101 圖七 作用於梁中任一小段的端點負荷 ... 102 圖八 梁的分段元素 ... 102 圖九 旋轉傾斜梁在不同細長比下側向振態對應的自然頻率之比值 (k =0, α= 0°,

β

= 09 °, r =1) ... 103 圖十 旋轉傾斜梁在不同細長比下側向振態對應的自然頻率之比值 (k =0.06, α = 0°,

β

= 09 °, r =1) ... 103 圖十一 旋轉傾斜梁在不同細長比下側向振態對應的自然頻率之比值 (k =0.06, α = 30°,

β

= 09 °, r =1) ... 104 圖十二 不同轉速下的第一至第六個振動模態 (r =1,

α

= 0°,

β

= 0°,

η

=10) ... 105 圖十三 不同轉速下的第一至第六個振動模態 (r =1,

α

= 0°,

β

= 0°,

η

=50) ... 108 圖十四 不同傾斜角的第一至第四個自然頻率 (r =1,

β

= 90°,

η

=100)... 111 圖十五 不同細長比下不同轉速的K₁ −

α

(r =1,

β

= 90°) ... 112 圖十六 不同轉軸半徑與不同轉速在不同傾斜角時側向振態的自然頻率 (

β

= 90°,

η

=10) ... 113

XII 圖十七 不同細長比的自然頻率與轉速之特徵值曲線 (r =1,

α

= 0°,

β

= 0°,

η

=8.1,8.15,8.2) ... 114 圖十八 不同細長比的自然頻率與轉速之特徵值曲線 (r =1,

α

= 0°,

β

= 0°,

η

=8.3,8.4,8.5) ... 115 圖十九 不同轉速下的第一至第六個振動模態 (r =1,

α

= 0°,

β

= 0°, η =8.1) ... 116 圖二十 不同轉速下的第一至第六個振動模態 (r =1,

α

= 0°,

β

= 0°, η =8.15) ... 119 圖二十一 不同細長比的自然頻率與轉速之特徵值曲線 (r =1,

α

= 0°,

β

= 09 °,

η

=8.1,8.15,8.2) ... 122 圖二十二 不同細長比的自然頻率與轉速之特徵值曲線 (r =1,

α

= 0°,

β

= 09 °,

η

=8.3,8.4,8.5) ... 123 圖二十三 轉速為零的第一至第六個振動模態 (r =1,

α

= 0°,

β

= 90°, η =8.2) ... 124 圖二十四 不同轉速下的第二與第三個振動模態 (r =1,

α

= 0°,

β

= 90°, η =8.2) ... 127

XIII

符號說明

i a _{：加速度分量} a ：加速度向量 O a _{：原點的絕對加速度} A ：梁的截面積 in C _{：每個元素的待定係數} n C _{：每個元素的待定係數向量} C_{G ：整體梁的待定係數向量} Cm ：第m個元素的待定係數向量 e_{i ：Xi軸的單位向量} E ：楊氏模數 1 F ：X₁方向的合力 2 F ：X₂方向的合力 F_{1j ：元素在第}j個節點的軸向力 j F₂ ：元素在第j個節點的側向力 m j F₂ ：第m個元素在第 j個節點的側向力 F_{j ：元素在第} j_{個節點的廣義節點力向量} Fm_j ：第m個元素在第 j個節點的廣義節點力向量 G ：剪力模數 I ：梁的截面慣性矩 k ：每個元素的無因次轉速 k ：整根梁的無因次轉速 K ：每個元素的無因次自然頻率 K ：整根梁的無因次自然頻率

XIV K_i ：第i 個無因次自然頻率 T i K ：旋轉傾斜Timoshenko 梁第 i 個側向振態的無因次自然頻率 E i K ：旋轉傾斜Euler 梁第 i 個側向振態的無因次自然頻率 l ：每個元素的長度 L ：整根梁的長度 M ：繞X₃軸的力矩 M_{j ：元素在第}j個節點的力矩 Mm_j ：第m個元素在第 j個節點的力矩 N ：整根梁分段元素的數目 Q ：振動的無因次位移向量 j Q ：元素在第 j_{個節點的廣義位移向量} m j Q ：第m個元素在第 j個節點的廣義節點位移向量 r ：Nr r ：無因次圓柱轉軸半徑 r ：梁變形後的位置向量 0 r ：梁變形前的位置向量 AO r ：圓柱中心點A 到原點 O 的位置向量 r& ：旋轉座標上的速度 r&& ：旋轉座標上的加速度 R ：旋轉圓柱的半徑 s ：形心軸的弧長 t ：時間 u ：軸向位移 d u _{：振動的軸向位移} s u _{：穩態的軸向位移}

XV R u _{：軸向振動的振態} j u δ _{：元素在第}j_{個節點的軸向虛位移} ) (ξ U _{：無因次的軸向位移} s U _{：穩態的無因次軸向位移} v ：側向位移 d v _{：振動的側向位移} i v _{：速度分量} s v _{：穩態的側向位移} j v δ _{：元素在第}j_{個節點的側向虛位移} v ：速度向量 O v _{：原點的線速度} V ：梁的體積 ) (ξ V _{：無因次的側向位移} j V _{：元素在第} j個節點的側向位移 s V _{：穩態的無因次側向位移} m j V ：第m個元素在第 j個節點的側向位移 ext W δ _{：外力所作的虛功} int W δ _{：內力所作的虛功} x ：X₁軸的座標 i X _{：旋轉座標系統第i} (i=1,2,3)軸 y _{：X2軸的座標} z ：X₃軸的座標 α ：傾斜角 α_{s ：剪力修正因子} β _：設定角

XVI γ _{：對應ε12之工程剪應變} ε ：對應ε₁₁之工程應變 ε_{0 ：形心軸的單位長度伸長量} 11 ε _{：Green Strain 應變} 12 ε _{：Green Strain 應變} s ε _{：穩態時軸向應變} ε_{max ：穩態時最大應變} η _：細長比 θ ：X₁軸與形心軸切線方向的夾角 κ ：梁中心軸的曲率 μ ： E G s α ξ _{：無因次軸向座標}⎛− ≤ ≤ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 1 2 1 2 ξ ρ _{：梁的密度} ϕ _：旋轉角 d ϕ ：梁斷面繞X₃軸的振動旋轉角 j ϕ ：元素在第 j個節點的旋轉角 s ϕ ：梁斷面繞X₃軸的穩態旋轉角 m j ϕ ：第m_{個元素在第} j_{個節點的旋轉角} j ϕ δ ：元素在第j個節點的虛位移 ω ：自然頻率 Ω ：等角速率 Ω ：旋轉圓柱的角速度向量 Ω& ：旋轉圓柱的加速度向量

1

第一章 導論

在許多實際的例子，像是渦輪真空幫浦的葉片、直升機的旋轉翼、衛 星的支翼、風扇的葉片、飛機的螺旋槳及長且具有撓性的空間旋轉吊桿等 都可以視為旋轉梁結構，而實際機構的應用上都受到振動之影響，因此振 動分析在旋轉梁結構的設計和分析上是很重要的，許多文獻在這方面已做 過研究[1-21]。實用上在機械領域裡面，依照不同的需求和特性，我們會需 要不同尺寸的旋轉梁。對一細長比較小的梁，其剪變形及旋轉慣量都不可 忽略，故將其視為Timoshenko 梁來分析；相對的，對一細長比較大的梁， 其剪變形的影響就可以忽略，故我們就把它視為Euler 梁來分析。因此研究 時常將 Timoshenko 梁與 Euler 梁分開探討。在作振動分析上影響旋轉梁振 動頻率的參數很多，包括旋轉柱的半徑、旋轉梁的長度、旋轉梁端點的附 加質量、旋轉的速度、剪變形、轉動慣量、設定角(setting angle)、傾斜角 (inclination angle)、預扭角(pre-twisted angle)與旋轉梁根部的彈性拘限等， 在研究時應探討這些參數的影響，正確解析旋轉梁之振動行為，使能設計 出更臻完善之旋轉梁結構。

關 於 旋 轉 梁 結 構 的 振 動 分 析 在 文 獻[1, 2]有 詳 細 的 回 顧 與 探 討 。

Schilhansl[3]在考慮離心力但忽略科氏力(coriolis force)的情況下，導出如圖

一所示具有設定角β 之等速旋轉梁振動的微分方程式。Lee and Kuo[4]探討

了等速旋轉Euler 梁之旋轉軸的中心半徑、設定角及轉速對旋轉梁彎矩振動

自然頻率的影響。Krupka and Banumanis[5]忽略彎矩及扭矩擾動間的耦合效

應，研究旋轉梁受彎矩及扭矩擾動後旋轉慣量及剪變形對自然頻率和模態 的影響。Yokoyama[6]將旋轉慣量及剪變形、旋轉軸的中心半徑和設定角合 併到有限元素的模式中，探討其對自然頻率的影響。Lee and Lin[7]用線性

2

慣性矩(mass moment of inertia)的耦合效應、設定角和旋轉速度對彎矩自然 頻率的影響。文獻[8-11]則探討不同細長比之旋轉梁受軸向壓應力時之臨界 轉速。

文獻[3-11]均用線性梁理論推導旋轉梁的運動方程式，且在其振動分析 時都不考慮科氏力，即不考慮軸向與側向振動間的耦合作用，僅考慮側向

振動。然Simo and Vu-Quac[22]提到在分析旋轉結構時需要用完整的幾何非

線性梁理論之一致性二階線性化，才能考慮到各種變形間與速度間的耦合 作用，適當的計算離心力對彎矩剛度的影響，若用線性梁理論將會產生虛 假的彎矩剛度流失，無法得到正確的運動方程式。在文獻[3-11]中因採用線 性梁理論去推導旋轉梁的運動方程式，所以文獻[3-11]中推導的旋轉梁之運 動方程式及所求得之振動的自然頻率，除了設定角為零度外，應是不正確 的，且文獻[3-11]中都假設沒有軸向變形，卻均無討論該假設之適用轉速範 圍和影響。 文獻[12, 13]考慮了軸向變形及科氏力，利用幾何非線性梁理論的一致 性線性化、虛功原理及 d′Alembert 原理，在旋轉座標上推導出如圖一所示 之等速旋轉Timoshenko 梁正確的線性運動方程式，並提出一套旋轉梁振動 的自然頻率的級數解法及計算其自然頻率的數值計算程序，再以例題探討 其振動的自然頻率及科氏力對自然頻率的影響。不過文獻[12, 13]的數值方 法對細長比很大的梁在高轉速時無法收斂。 文獻[14]是考慮如圖一所示之等速旋轉 Euler 梁，亦利用虛功原理與 d′Alembert 原理和非線性梁理論的一致性線性化在旋轉座標上，推導旋轉 Euler 梁的統御方程式，然後採級數解法來分析旋轉梁之自由振動。文獻[14] 將旋轉Euler 梁均分成多段，每段稱為一個元素，由每個元素的統御方程式 的級數解及旋轉梁兩端點的邊界條件及相鄰兩元素在共同節點上的連續條 件求得旋轉梁的自然頻率。文獻[14]發現當細長比很大時，在高轉速下僅用

3 一個元素無法求得正確的自然頻率，需將旋轉梁分成二個以上的元素，才 能求得精確的自然頻率。但文獻[14]並未考慮如圖二所示具有傾斜角α 的旋 轉梁。 所謂具傾斜角(inclination angle)之旋轉梁，即梁之形心軸的延長線不會 與旋轉中心軸相交。在實用上電腦之冷卻風扇目前已有採用具傾斜角的葉 片[18]，但除了文獻[15-21]的旋轉梁具傾斜角之探討外，其餘吾人所知的文 獻研究中旋轉梁都不具傾斜角。Lee[15]用假設模態法探討傾斜角不為零之 旋轉梁的自然頻率，但沒有考慮穩態變形。Al-Qaisia[16]探討傾斜角不為零 具端點質點之旋轉梁的非線性動態反應，但沒有探討旋轉梁的穩態變形及 自然頻率。在文獻[23]中提到，以等角速率旋轉的旋轉梁，由於慣性力的作 用，存在一個穩態變形，這個穩態變形為旋轉梁的角速率的函數，旋轉梁 的自由振動是指以其穩態變形為平衡點的微小振動，其自然振動頻率即指 該微小振動的自然頻率，故探討旋轉梁的自然振動頻率時，須先求出其穩 態變形。文獻[17-19]探討具有設定角與傾斜角的旋轉 Timoshenko 梁和 Euler 梁之自由振動，在旋轉梁的線性振動方程式中考慮了軸向穩態變形及科氏 力，但沒有考慮側向位移的穩態解。當傾斜角不為零時，由圖二可以發現 因離心力的作用，旋轉梁之軸向位移及側向位移的穩態解都應不為零，而 文獻[17-19]忽略了側向位移的穩態解，所求得旋轉梁之自然頻率可能不準 確。文獻[17-19]亦無探討細長梁在高轉速之自然振動頻率。 文獻[20]探討設定角為0 與° 90 時傾斜角不為零之 Euler 梁之自由振° 動，同文獻[14]利用 d′Alembert 原理、虛功原理、幾何非線性梁理論的一致 線性化在一旋轉座標系統中推導等速旋轉傾斜 Euler 梁的線性運動方程 式，然後採級數解法來分析旋轉梁之自由振動，並將旋轉梁均分成多段， 以處理細長梁在高轉速之情況。文獻[20]發現當梁的細長比及無因次的轉速 很大時，若計算時使用雙精度，則最少需將旋轉梁分成兩段，才能得到可

4 靠的自然振動頻率。當設定角為90°時，不管傾斜角是多少，旋轉傾斜梁僅 有軸向穩態變形，無側向穩態變形，故其振動的統御方程式與文獻[14]的統 御方程式有相同的形式，文獻[20]先求出軸向位移的穩態解，再求出以穩態 解為平衡點的自然振動頻率及振態。當設定角為0°時，旋轉傾斜梁有軸向 及側向的穩態變形，但不易用級數解求解，文獻[20]僅探討旋轉傾斜 Euler 梁的側向穩態解及推導其自然振動的統御方程式。文獻[21]則利用共旋轉有 限元素法推導旋轉傾斜Euler 梁的運動方程式，探討具不同傾斜角之等速旋 轉傾斜Euler 梁的穩態變形及自然振動頻率。 因文獻上仍較缺乏傾斜角不為零之旋轉Timoshenko 梁的研究。故本研 究擬探討如圖二所示具傾斜角α 及設定角β 之雙對稱矩形截面之旋轉傾斜 Timoshenko 梁的穩態變形及自由振動，本研究擬採用文獻[14, 20]的方法推 導穩態變形及自由振動的統御方程式，並探討設定角為0°及90°之旋轉傾斜 Timoshenko 梁的穩態變形及自然振動頻率與振態。本研究第二章中先以旋 轉傾斜 Timoshenko 梁正確的變形機制，利用虛功原理、d′Alembert 原理與 幾何非線性梁理論之一致性線性化推導旋轉傾斜Timoshenko 梁之穩態變形 的統御方程式和以穩態變形為平衡點之軸向、側向及旋轉的線性微分振動 方程式，在運動方程式中保留了科氏力及轉動慣量對自然頻率的影響。另 外分別以設定角為0°及90°之情況求得旋轉傾斜 Timoshenko 梁之穩態及振 動的統御方程式。在第三章中先考慮設定角為90o時之情況，此時軸向變形 與側向變形間無耦合關係存在，本研究中僅考慮一個方向的側向振動，其 形式如圖三為撲翼振動(flapping vibration)，本研究將梁結構分割成數段，每 一段稱為一個元素，然後在每一個元素當前的變形位置上建立一以等角速 度旋轉的元素座標，每一個元素的變形、節點內力與運動方程式都是建立 在該元素座標上。本研究將每一個元素之側向振動與旋轉之統御方程式的 解表示成級數矩陣，再由旋轉傾斜梁兩端的邊界條件及相鄰元素在共同節

5 點的連續條件求得一組齊次方程式，使該組齊次方程式係數形成之矩陣的 行列式值為零時的根，即可以數值方法求得旋轉傾斜梁的振動自然頻率及 振態。接著再說明設定角為0o時，旋轉傾斜 Timoshenko 梁含軸向和側向耦 合之穩態變形的側向穩態解法，並利用振動的統御方程式說明振動解法。 在第四章中將說明本研究所採用的數值計算方法及求旋轉傾斜 Timoshenko 梁振動的自然頻率及其對應之振動模態的程序。第五章中以無因次化的數 值例題探討旋轉傾斜Timoshenko 梁之自然頻率的收斂性、準確性，並探討 設定角、傾斜角、無因次轉速、無因次轉軸半徑及細長比對旋轉傾斜梁無 因次自然頻率的影響，以及探討旋轉梁的軸向振態與側向振態對應的自然 頻率接近時，其振動模態的耦合及特徵值曲線轉向(Eigenvalue curve veering) 與特徵值曲線交叉(Eigenvalue curve crossing)的現象[24, 25]。第六章為本研 究之結論與展望。最後本文再列出參考文獻與本文所使用的附表及附圖。

6

第二章 理論推導

2.1 問題描述 本文考慮如圖二所示一均勻且雙軸對稱之矩形斷面Timoshenko 梁，以 設定角β 與傾斜角α 剛接在一剛性圓柱上，該圓柱以等角速率Ω繞其中心軸 旋轉。本文中所有梁的位移、變形和振動指的是在一個以等角速率Ω繞圓 柱中心軸旋轉的旋轉座標上描述的位移、變形和振動。本文中僅考慮梁的 軸向位移，單一個側向位移及旋轉。以等角速率旋轉的傾斜梁存在著一個 含軸向及側向變形但沒有振動的穩態(steady state) [23]。本文中所有的振動 都是指以該穩態解為平衡點的振動。本文中考慮的振動是線性振動，所以 由振動造成的位移、速度和加速度都視為是一微小量(infinitesimal quantity)。 2.2 座標系統 如前所述，本文是在一旋轉座標上描述旋轉傾斜梁的位移、變形及運 動狀態。本文中所用的旋轉座標系統X₁ X₂ X₃可以說明如下： 如圖四與圖五所示，旋轉座標的原點是取在旋轉梁斷面的形心軸與旋 轉圓柱的交點，其X₁軸和梁變形前的斷面形心軸一致，其X₂和X₃軸是取旋 轉梁變形前的斷面主軸方向。 該旋轉座標系統是以等角速率Ω繞圓柱中心軸旋轉，本文中僅考慮梁 在X₁和X₂軸方向的位移及繞X₃軸的斷面旋轉。本文中旋轉梁的位移、變 形、速度、加速度及運動方程式均在此座標系統中定義。 角速度向量Ω在旋轉座標上可表示如下

{

0 Ωsinβ Ωcosβ

}

= Ω _(2.2.1) 其中β 為梁的設定角(setting angle)。本文中以{ }代表行矩陣。

7 2.3 Timoshenko 梁的變形描述 本文是在旋轉座標X_i(i=1,2,3)上描述梁的變形。因本文僅考慮梁在 2 1-X X 平面上的變形，所以 Timoshenko 梁的變形可以由其形心軸在X₁-X₂ 平面的位移及其斷面繞X₃軸的旋轉來描述，因X_i(i=1,2,3)座標的原點速度及 加速度皆不為零，在推導梁元素的速度及加速度時須加以考慮。 圖六中的P 點為梁中的任意點，Q 點為 P 點在形心軸上的對應點，即 P 點與Q 點位於梁的同一斷面上，s為O 點到 Q 點間形心軸在變形後的弧長。 在旋轉座標上，P 點在梁變形前後的位置向量可分別表示如下

{

x y z

}

= 0 r (2.3.1)

{

r₁ r₂ r₃

} {

= u + x− ysin ϕ v+ ycosϕ z

}

= r _(2.3.2) ) , ( ) (x u x t u u= _s + _{d (2.3.3)} ) , ( ) (x v x t v v= _s + _{d (2.3.4)} ) , ( ) (x _d x t s ϕ ϕ ϕ = + _(2.3.5) 其中t代表時間，x、y與z分別為梁變形前 P 點在X_i(i=1,2,3)軸的座標， ) (x u_s 、v_s(x)與ϕ_s(x)分別為穩態的X₁軸方向之軸向位移、X₂軸方向之側向位 移與梁斷面繞X₃軸的旋轉角，u_d(x,t)、v_d(x,t)與ϕ_d(x,t)則分別是Q 點在X₁軸 方向及X₂軸方向的微小位移與梁斷面繞X₃軸的微小振動旋轉角。 本文中的應變採用工程應變。為了推導上的方便，本文中由Green strain

求得與其對應之工程應變[26]。Timoshenko 梁的 Green strain 中不為零的應

變有ε₁₁及ε₁₂，假如將(2.3.1)式中的x y z 座標視為拉格蘭日座標(Lagrange

8 ) 1 ( 2 1 , , 11= rtxrx− ε _(2.3.6) y t x , , 12 = ₂1r r ε _(2.3.7) 對應Green Strain ε₁₁之工程應變ε可以表示成 1 ) 2 1 ( + ₁₁ 1/2− = ε ε (2.3.8) 對應Green Strain ε₁₂之工程剪應變γ 可以表示成 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − ε ε γ 1 2 sin 1 12 _(2.3.9) 將(2.3.2)式分別對x

、

y微分可得

{

(1 ₀)(cos cos ) (1 ₀)(sin sin ) 0

}

,x = +ε θ −yκ ϕ +ε θ −yκ ϕ r _(2.3.10)

{

sin cos 0

}

,y = − ϕ ϕ r _(2.3.11) 1 )] 2 ( 1 [ _{, ,} 2 _, 2 12 0 =∂s_∂−_x∂x = + ux+ux +vx − ε _(2.3.12) 0 , 1 sin ε θ + = ∂ ∂ = vx s v (2.3.13) 0 , 1 1 ) ( cos ε θ + + = ∂ + ∂ = ux s u x (2.3.14) 0 , 1 1 ε ϕ ϕ ρ κ + = ∂ ∂ = = x s (2.3.15)

其中ε0為形心軸的單位長度伸長量(the unit extension of the centroid axis)，θ

為X₁軸與形心軸切線方向的夾角，κ為梁中心軸的曲率(the curvature about

9 將(2.3.10)式-(2.3.11)式代入(2.3.6)式與(2.3.7)式，可得

{

(1 ) [1 2 cos( ) ] 1

}

2 1 _{2 2 2} 0 11= +ε − κ θ −ϕ + κ − ε y y _(2.3.16) ) sin( ) 1 ( 2 1 0 12 ε θ ϕ ε = + − _(2.3.17) 將(2.3.16)式-(2.3.17)式代入(2.3.8)式與(2.3.9)式，可得 1 ] ) cos( 2 1 )[ 1 ( + ₀ − − + 2 21/2− = ε κ θ ϕ κ ε y y (2.3.18) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − − − = −1 _{2 21/2} ] ) cos( 2 1 [ ) sin( sin κ ϕ θ κ ϕ θ γ y y (2.3.19) 本文中假設變形為小變形，位移為小位移，由v_,x<<1及(2.3.13)式，可 知sinθ <<1，所以本文在以後的推導中將採用近似式如下 θ θ ≈

sin , cosθ ≈1, sinϕ ≈ϕ_, cosϕ≈1_, 1+ε₀≈1_, 1+u_,x ≈1 _(2.3.20) 1 ) cos(θ−ϕ ≈ , sin(θ− )ϕ ≈θ−ϕ (2.3.21) 將(2.3.20)式代入(2.3.13)式及(2.3.15)式，可得近似值為 x v_, ≈ θ _(2.3.22) x , ϕ κ ≈ _(2.3.23) 本文中假設ε₀ <<1，但因在穩態的軸向及側向變形為一有限量(finite quantity)，所以該軸向應變與側向變形間的耦合作用必需考慮，故(2.3.12)

10

式中ε₀在推導的過程中保留到變形參數的二次項(the second order terms)，因

此(2.3.12)式可表示成如下的近似式 2 , , 0=_∂∂_xs −1=ux+₂1vx ε _(2.3.24) 將(2.3.21)式-(2.3.24)式代入(2.3.18)式及(2.3.19)式，可得工程應變ε及工程剪 應變γ 為 x x x v y u y _{, ,} 2 _, ) 0 0 (1 ε κ 1₂ ϕ ε ε= − + = + − (2.3.25) ϕ ϕ θ κ ϕ θ γ _⎟⎟= − = − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − v_x y , 1 1 sin _(2.3.26) 因本文用虛功原理及d′Alembert原理推導運動方程式，所以需要應變的 變分、位置向量的變分及速度、加速度。為了方便稱呼，本文由振動造成 的位移、應變、速度及加速度都將稱為擾動量。在最後本文推導的結果將 保留至擾動量的一次項，但推導的過程中，太早做線性化會造成一些擾動 量之一次項的漏失，太慢做線性化又會使推導過程變的很繁雜，所以本文 在推導時將視實際推導過程在適當的時間引入線性化。其推導說明如下 應變的變分 將(2.3.25)式變分並保留到擾動量的一次項可得 x x x x v v y u_{, ,} δ _, δϕ_, δ δε= + − _(2.3.27) 將(2.3.26)式變分並保留到擾動量的零次項可得 ϕ δ δ δγ = v_,x− _(2.3.28)

11 位置向量的變分 將(2.3.2)式變分並保留到擾動量的一次項後，將(2.3.20)式代入可得

{

δ δϕ δ ϕδϕ 0

}

δr= u−y v−y (2.3.29) 速度 因X₁X₂X₃座標之原點的速度不為零，所以旋轉梁P 點的絕對速度可表示成

{

}

v r Ω r v= v1 v2 v3 = O +&+ × (2.3.30) AO O Ω r v = × _(2.3.31)

{

Rcosα Rsinα 0

}

AO = − r _(2.3.32) 其中R為圓柱的半徑，α 為梁的傾斜角，r_AO為圓柱中心點A到X₁X₂X₃座標 原點O的位置向量，Ω為(2.2.1)式中旋轉圓柱的角速度向量，v_O為原點O因 圓柱以等角速度旋轉而產生的速度，r為(2.3.2)式中P點變形後的位置向量， r&為P點在旋轉座標上的速度。 將(2.2.1)式與(2.3.32)式代入(2.3.31)式可得

{

Ωsinαcosβ Ωcosαcosβ − Ωcosαsinβ

}

= R R R

O

v (2.3.33)

r&可由(2.3.2)式對時間微分求得

{

& ϕ&cosϕ & ϕ&sinϕ 0

}

& u y v y t = − − ∂ ∂ = r r (2.3.34)

12 由(2.2.1)式及(2.3.2)式可得 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω + − − Ω + − Ω + − Ω = × β ϕ β ϕ β ϕ β sin ) sin ( cos ) sin ( cos ) cos ( sin u y x u y x v y z r Ω (2.3.35) 將(2.3.34)式-(2.3.35)式代入(2.3.30)式可得 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω + − − Ω − Ω + − + − + Ω Ω + − Ω + − + Ω = β ϕ β α β ϕ ϕ ϕ β α β ϕ β ϕ ϕ β α sin ) sin ( sin cos cos ) sin ( sin cos cos cos ) cos ( sin cos cos sin u y x R u y x y v R v y z y u R & & & & v (2.3.36) 加速度 旋轉梁P 點的絕對加速度可以表示成

{

_{1 2 3}

}

a r 2Ω r Ω r Ω (Ω r)

a= a a a = _O+ _&&+ ×_&+ & × + × × (2.3.37) )

( _AO

O Ω Ω r

a = × × (2.3.38)

其中aO為原點O的絕對加速度，r&&為P點在旋轉座標上的加速度，2Ω &×r為科

氏加速度，Ω& 為旋轉圓柱的加速度向量，Ω為旋轉圓柱的角速度向量，r為

P點變形後的位置向量。因本研究僅考慮等角速度的旋轉，所以Ω& 與Ω& ×r_均

為零。

將(2.2.1)式、(2.3.31)式與(2.3.33)式代入(2.3.38)式可得

{

_{− Ω}2cosα _Ω2sinαcos2β _{− Ω}2sinαsinβcosβ

}

= R R R

O

13

r&&可由(2.3.34)式對時間微分求得

{

2sin cos 2cos cos 0

}

2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ_{& && && & &&}

&& && u y y v y y t = + − − − ∂ ∂ = r r (2.3.40) 由(2.2.1)式及(2.3.34)式可得

{

(− + ϕsinϕ)Ωcosβ ( − ϕcosϕ)Ωcosβ (− + ϕcosϕ)Ωsinβ

}

=

×r_& v_& y_& u_& y_& u_& y_&

Ω _(2.3.41) 由(2.2.1)式與(2.3.2)式可得 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ Ω + + Ω − Ω + − Ω Ω + − − = × × β β ϕ β β ϕ β β ϕ cos sin ) cos ( sin cos ) cos ( cos sin ) sin ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 v y z v y z u y x r Ω Ω (2.3.42) 將(2.3.20)式及(2.3.39)式-(2.3.42)式代入(2.3.37)式，並保留到擾動量的一次 項可得 ) cos ( cos 2 2 2 1 u y v y R x u

a = &&− ϕ&&− &Ω β+Ω ϕ+Ω − α− − (2.3.43)

β β β β α β β ϕ

ϕ 2( ) cos 2cos2 ( sin cos cos sin ) 2cos

2 =v−y + u−y Ω −vΩ + R −y +z Ω

a && && & &

(2.3.44) β β β β α β β β

ϕ) sin sin cos ( sin cos cos sin ) sin

(

2 2 2

3 =− u−y Ω +vΩ − R −y +z Ω

14 2.4 旋轉傾斜梁的統御方程式 本文利用虛功原理及d′Alembert原理在旋轉座標上推導旋轉傾斜梁的 運動方程式。圖七所示為梁中的一小段，點1、2為其端點，s 為形心軸的弧 長。本文中採用在X₁和X₂軸方向的位移u、v及繞X₃軸的旋轉角ϕ為廣義位 移。在梁斷面上與該廣義位移對應的廣義合力為X₁及X₂軸方向的力F₁及 2 F ，以及繞X₃軸的力矩M。圖七中F_1j、F_2j及M_j 分別代表合力F₁、F₂及M 在端點 j

(

j=1, 2

)

之值。 若給端點 j

(

j=1 ,2

)

一個虛位移δu_j、δv_j及δϕ_j，其中

( )

_j表示在端點 j之 值，則由虛功原理可知對應於該端點的虛位移，外力所作的虛功等於內力 所作的虛功。 int ext W W δ δ = (2.4.1) 本文中假設材料為彈性材料，應力與應變的關係式符合虎克定律。而 內力所作的虛功又分為虛應變所造成的虛功及將加速度視為慣性力併入 body force中所作的虛功，故內力所作的總虛功可表示成 dV dV G dV E W_int =

∫

t + _s

∫

t +

∫

2 t 1 2 1 2 1δε ε α δγ γ ρ δra δ (2.4.2) dAdx dV = (2.4.3)

其中E為楊氏模數(Young’s modulus)，G為剪力模數(shear modulus)，α 為_s

剪力修正因子(shear correction factor)，ρ 為梁的密度，V 為梁之端點1、2 在

15

將(2.3.25)式、(2.3.27)式及(2.4.3)式代入(2.4.2)式中右邊的第一項。由於

本文中所考慮的為雙對稱矩形斷面梁，故

∫

=0

AydA 、

∫

AzdA=0、

∫

AxydA=0、

0 =

∫

_AyzdA ，且使用梁的截面慣性矩(the moment of inertia of the cross-section)

為 =

∫

Ay dA I 2 ，並將推導式保留到擾動量的二次項可得 dx I u Av v v Au u Au E dV E

∫

t

∫

_{x x x x x x x x x}⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} = 2 1 , , , 2 , , , , , , 2 1 ₂ 1 _{δ ϕ δϕ} δ δ ε δε (2.4.4) 將(2.3.26)式、(2.3.28)式及(2.4.3)式代入(2.4.2)式中右邊的第二項可得

[

]

∫

∫

= 2 − − − 1 , , , 2 1 dV GA (v ) v (v ) dx G t _{s x x x} s δγ γ α ϕ δ ϕ δϕ α (2.4.5) 將(2.3.29)式、(2.3.43)式-(2.3.45)式及(2.4.3)式代入(2.4.2)式中右邊的第 三項，並利用

∫

=0

AydA 、

∫

AzdA=0、

∫

AxydA=0、

∫

AyzdA=0及梁的截面慣性

矩 =

∫

Ay dA I 2 ，並保留到擾動量的一次項可得

[

]

vdx R v u v A dx I udx u x R v u A dV t δ β α β β ρ δϕ β ϕ ϕ ρ δ α β ρ δ ρ

∫

∫

∫

∫

Ω + Ω − Ω + + Ω − + − − − Ω + Ω − = 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 ) cos sin cos cos 2 ( ) sin ( ) cos ( cos 2 & && && & && a r (2.4.6) 將(2.4.4)式-(2.4.6)式代入(2.4.2)式，則內力所作的虛功可得

[

]

[

]

[

I GA v

]

dx EI dx dx v v GA v EAu vdx R v u v A dx u v u EA udx u x R v u A W x x x s x x s x x x x x int

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ − − Ω − + − + + Ω + Ω − Ω + + + + + + Ω − Ω − = 2 1 , , 2 1 , 2 2 2 1 , , , , 2 1 2 2 2 2 2 1 , 2 , , 2 1 2 ) ( ) sin ( ) ( ) cos sin cos cos 2 ( ) 2 1 ( ) cos ( cos 2 δϕ ϕ δϕ ϕ α β ϕ ϕ ρ δ ϕ α δ β α β β ρ δ δ α β ρ δ && & && & && (2.4.7)

16 因本文假設梁沒有外加負荷，所以δW_ext即為梁斷面外力之合力所作的 虛功，可表示如下 2 1 2 1 ) ( δ δ δϕ δW_ext = F u+F v+M (2.4.8) 其中F₁與F₂分別為作用在軸向X₁軸與側向X₂軸的力，M 為繞X₃軸的力矩， ，

( )

₁2表示

( )

在端點2 之值減掉

( )在端點

1 之值。 (2.4.8)式之δW_ext可以改寫成

∫

∫

+ + + + + = + + = + + = 2 1 1, 1 , 2, 2 , , , 2 1 1 2 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( dx M M v F v F u F u F dx M v F u F dx d M v F u F W x x x x x x ext δϕ δϕ δ δ δ δ δϕ δ δ δϕ δ δ δ (2.4.9) 將(2.4.7)式及(2.4.9)式代回(2.4.1)式可得

∫

2 + + + + + 1(F1,xδu F1δu,x F2,xδv F2δv,x M,xδϕ Mδϕ,x)dx (2.4.10)

[

]

[

]

[

I GA v

]

dx EI dx dx v v GA v EAu vdx R v u v A dx u v u EA udx u x R v u A x x x s x x s x x x x x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ − − Ω − + − + + Ω + Ω − Ω + + + + + + Ω − Ω − = 2 1 , , 2 1 , 2 2 2 1 , , , , 2 1 2 2 2 2 2 1 , 2 , , 2 1 2 ) ( ) sin ( ) ( ) cos sin cos cos 2 ( ) 2 1 ( ) cos ( cos 2 δϕ ϕ δϕ ϕ α β ϕ ϕ ρ δ ϕ α δ β α β β ρ δ δ α β ρ && & && & && 將(2.4.10)式左右兩邊對應於相同虛位移的項相等，可以得到以下六個 方程式。 )] cos ( cos 2 [ 2 , 1 Au v R x u F _x =ρ &&− &Ω β −Ω α+ + (2.4.11)

17 ) cos sin cos cos 2 ( 2 2 2 2 , 2 =ρA v+ uΩ β −vΩ β+RΩ α β F _x && & (2.4.12) ) ( ) sin ( 2 2 _, ,x =ρI ϕ−ϕΩ β −αsGA vx−ϕ M && (2.4.13) ) 2 1 ( _{, ,} 2 1 EA ux vx F = + (2.4.14) ) ( _, , , 2 =EAuxvx+αsGA vx−ϕ F (2.4.15) x EI M = ϕ_, (2.4.16) 其中(2.4.11)式-(2.4.13)式是旋轉傾斜梁的運動方程式(equations of motion)， (2.4.14)式-(2.4.16)式是旋轉傾斜梁的本構方程式(constitutive equations)。 將(2.4.14)-(2.4.16)式代入(2.4.11)-(2.4.13)式，旋轉傾斜梁的統御方程式 可表示如下 )] cos ( cos 2 [ ) (u_, v_, v_, Au v 2 R x u EA _xx + _{x xx} =ρ &&− &Ω β −Ω α + + (2.4.17) ) cos sin cos cos 2 ( ) ( ) (u_, v_{, ,} +α GA v_, −ϕ_, =ρA v+ uΩ β−vΩ2 2β +RΩ2 α 2β EA _{x x x s xx x} && & (2.4.18) ) ( ) sin ( 2 2 _, , ρ ϕ ϕ β α ϕ ϕ_xx = I − Ω − _sGAv_x− EI && (2.4.19) 上述(2.4.17)式與(2.4.18)式中加底線的項為科氏力(Coriolis force)項，本文將 此項保留以探討科氏力對自然頻率之影響。 旋轉傾斜梁在穩態時，(2.3.3)式的u_d(x,t)=0、(2.3.4)式的v_d(x,t)=0及 (2.3.5)式的ϕ_d(x,t)=0，即u=u_s(x)，v=v_s(x)，ϕ =ϕ_s(x)將其代入(2.4.17)式 -(2.4.19)式，可得穩態的統御方程式如下

18 ) cos ( ) (u_s,xx v_s,xv_s,xx A 2 R x u_s EA + =−ρ Ω α + + (2.4.20) ) cos sin cos ( ) ( ) (u _, v _{, ,} α GA v _, ϕ _, ρA 2 v 2β R α 2β EA _{sx s x x}+ _{s sxx} − _{s x} = Ω − _s + (2.4.21) ) ( sin2 _, 2 ,xx s s sx s s I GA v EIϕ =−ρ ϕ Ω β−α −ϕ (2.4.22) 將(2.3.3)式-(2.3.5)式代入(2.4.17)式-(2.4.19)式，再將其分別與對應的 (2.4.20)式-(2.4.22)式相減，保留到擾動量的一次項，即可得振動的統御方程 式如下 ) cos 2 ( ) (u_d,xx +v_s,xv_d,xx +v_s,xxv_d,x = A u_d − v_dΩ −u_dΩ2 EA ρ _{&& &} β (2.4.23) ) cos cos 2 ( ) ( ) (u_d,xv_s,x+u_s,xv_{d,x ,x}+α_sGAv_d,xx −ϕ_d,x =ρA v_d + u_dΩ β−v_dΩ2 2β EA && & (2.4.24) ) ( ) sin ( 2 2 _, ,xx d d s d x d d I GAv EIϕ =ρ ϕ_&& −ϕ Ω β −α −ϕ (2.4.25) 因設定角β 不為0°或90°時，其振動應是三維的，本文中假設振動是二 維的，所以本文中僅考慮設定角β = 0°及β = 90°兩種情況。 當β = 0°時，因cosβ =1、sinβ =0，代入(2.4.20)式-(2.4.22)式，β = 0°之 穩態的統御方程式可表示如下 ) cos ( ) (u_s,xx v_s,xv_s,xx A 2 R x u_s EA + =−ρ Ω α + + (2.4.26) ) sin ( ) ( ) (u _, v _{, ,} α GA v _, ϕ _, ρA 2 v R α EA _{sx sx x}+ _{s sxx} − _{s x} = Ω − _s + (2.4.27) ) ( _, ,xx s sx s s GA v EIϕ =−α −ϕ (2.4.28)

19 由(2.4.23)式-(2.4.25)式，β = 0°之振動的統御方程式可表示如下 ) 2 ( ) (u_d,xx +v_s,xv_d,xx +v_d,xv_s,xx = A u_d − v_dΩ−u_dΩ2 EA ρ _{&& &} (2.4.29) ) 2 ( ) ( ) (u_d,xv_s,x+u_s,xv_{d,x ,x}+ _sGAv_d,xx − _d,x = A v_d + u_dΩ−v_dΩ2 EA α ϕ ρ && & (2.4.30) ) ( _, ,xx d s d x d d I GAv EIϕ =ρ ϕ_&& −α −ϕ (2.4.31) 當β = 90°時，因cosβ =0、sinβ =1，代入(2.4.20)式-(2.4.22)式，β = 90° 之穩態的統御方程式可表示如下 ) cos ( ) (u_s,xx v_s,xv_s,xx A 2 R x u_s EA + =−ρ Ω α + + (2.4.32) 0 ) ( ) (u_s,xv_{s,x ,x}+ _sGA v_s,xx − _s,x = EA α ϕ (2.4.33) ) ( _, 2 ,xx s s sx s s I GA v EIϕ =−ρ Ω ϕ −α −ϕ (2.4.34) 由(2.4.23)式-(2.4.25)式，β = 90°之振動的統御方程式可表示如下 ) ( ) (u_d,xx +v_s,xv_d,xx +v_d,xv_s,xx = A u_d −u_dΩ2 EA ρ _&& (2.4.35) d x d xx d s x x d x s x s x d v u v GAv Av u EA( _{, ,} + _{, ,} )_, +α ( _, −ϕ _, )=ρ && (2.4.36) ) ( ) ( 2 _, ,xx d d s d x d d I GA v EIϕ =ρ ϕ_&& −ϕ Ω −α −ϕ (2.4.37) 由(2.4.20)式知u_s(x)的統御方程式與傾斜角α 及側向穩態解有關，但與 設定角β 無關，所以(2.4.26)式與(2.4.32)式之形式皆與(2.4.20)式相同。本文 將在第三章中由(2.4.32)式求出旋轉傾斜梁的穩態解，由(2.4.35)-(2.4.37)式求 出β = 90°時，不同傾斜角α 之旋轉傾斜梁的自然振動頻率，由(2.4.26)-(2.4.31) 式說明β = 0°時，不同傾斜角α 之旋轉傾斜梁的側向穩態與振動解。

20

第三章 旋轉傾斜梁的穩態與振動

如前所述，以等速旋轉的傾斜梁，由於慣性力的作用，存在一個僅含 變形但沒有振動的穩態(steady state)[23]，在本文中所謂的振動就是以該穩 態變形為平衡點的自然振動，其振動為微小振動。本文中考慮設定角 ° = 0 β 與β = 90°兩種情況。本章將先探討β = 90°時的穩態解及振動的級數解 和自然頻率，之後再接著探討β = 0°時旋轉傾斜梁的穩態與振動解。 3.1 β = 90°時旋轉傾斜梁的穩態 在第二章 2.4 節已推得設定角β = 90°時之統御方程式，故本節中將依 (2.4.32)式-(2.4.34)式之穩態方程式求其穩態解。 由(2.4.34)式將穩態的側向應變以旋轉角之函數表示如下 ) ( 1 , 2 , s s s sxx s x s _GA GA I EI v α ϕ ρ ϕ ϕ α − Ω − = (3.1.1) 將(3.1.1)式對x_微分可得 ) ( 1 , , 2 , , s sx s x s xxx s xx s _GA GA I EI v α ϕ ρ ϕ ϕ α − Ω − = (3.1.2) 將(3.1.1)式及(3.1.2)式代入(2.4.33)式可得 0 ) ( ] ) [( ) ( , 2 , 2 , 2 , , 2 , , 2 = Ω − − Ω − Ω − − + + s xx s s x s x s s xx s xx s s xxx s x s s u G I E EA I u G I E EA u G I E EI u G I E ϕ α ρ ϕ ρ α ρ ϕ α ϕ α (3.1.3)

21 因梁在固定端的位移為零，在自由端的應力為零，所以穩態的邊界條 件可以表示成 0 ) 0 ( = s u , u_s,x(L)=0 (3.1.4) 0 ) 0 ( = s v , v_s,x(0)=0 (3.1.5) 0 ) 0 ( = s ϕ , ϕ_s,x(0)=0 (3.1.6) 由(3.1.3)式可知旋轉角的穩態解ϕ_s =0，將其代入(3.1.1)式積分後以邊 界條件(3.1.5)式代入可得側向位移的穩態解v_s =0。本文中假設(2.4.32)式中 1 << L u_s ，其中L_{為梁的長度，故可以將us捨去，將(2.4.32)式以下列近似式} 代替 ) cos ( 2 , _E R x u_{s xx} =−ρΩ α + (3.1.7) 將(3.1.7)式對x_{積分兩次後，由(3.1.4)式代入邊界條件，可求得軸向位} 移的穩態解如下 ] ) 2 cos ( 2 cos 6 1 [ 3 2 2 2 x L RL x R x E u_s =−ρΩ + α − α + (3.1.8) 由(3.1.8)式對 x 微分可得軸向應變 ) 2 cos cos 2 ( 2 2 2 _L RL xR x E s =−ρΩ + α − α − ε (3.1.9) 由(3.1.9)式可知，當 x 為 0 時有最大應變 ) 2 1 cos ( 2 max = α+ ε k r (3.1.10)

22 E L k =Ω ρ (3.1.11) L R r = (3.1.12) 其中k 為無因次的轉速，r 為無因次的圓柱轉軸半徑 3.2 β = 90°時旋轉傾斜梁的振動方程式及其解 如 前 節 所 述 ， 側 向 位 移v_s(x) 的 穩 態 解 為 零 ， 將 其 代 入(2.4.35) 式 -(2.4.37)式中。由於振動所造成的位移，即(2.3.3)式之u_d 、(2.3.4)式中的v_d 及(2.3.5)式中的ϕ_d ，都是擾動量，所以在振動方程式的推導中僅保留u_d 、 d v 、ϕ_d 及其微分到一次項。在不致引起混淆的情況下，為了推導時的方 便，在本節中將(2.4.35)式-(2.4.37)式中的u_d 、v_d 及ϕ_d 的下標去掉，即以 u 、v及ϕ 代 表 振 動 所 造 成 的 位 移 ， 所 以 振 動 的 統 御 方 程 式(2.4.35) 式 -(2.4.37)式可改寫成 ) ( 2 , = u−uΩ Eu_xx ρ _&& (3.2.1) v v G v u E( _{s,x ,x})_,x+α_s ( _,xx−ϕ_,x)=ρ&& (3.2.2) ) ( ) ( 2 _, , ρ ϕ ϕ α ϕ ϕ_xx = I − Ω − _sGA v_x− EI && (3.2.3) 旋轉傾斜Timoshenko 梁在固定端x=0與自由端x=L的邊界條件可表示 成 0 ) , 0 ( t = u , u_,x(L,t)=0 (3.2.4) 0 ) , 0 ( t = v , v_,x(L,t)=0 (3.2.5) 0 ) , 0 ( t = ϕ , ϕ(L,t)=0, ϕ_,x(L,t)=0 (3.2.6)

23 由(3.2.1)式-(3.2.3)式可發現u_及v_{並不耦合，故}u_和v_{可分別求解。由} (3.2.1)式及(3.2.4)式可以解得旋轉梁軸向振動的振態uR及自然頻率如下 L ax u_R =sin (3.2.7) π 2 1 2 ) ( 2+ 2 12= + = K k n a (3.2.8) E L K =ω ρ (3.2.9) 其中K 為無因次的自然頻率，k 於(3.1.11)式中已定義，為無因次的轉速。 此解的型式與文獻[20]之旋轉傾斜 Euler 梁解得的結果相同，可知旋轉傾斜 Timoshenko 梁與 Euler 梁之軸向振動的自然頻率及振態是一致的。 文獻[14]中提到在高轉數時僅用一個級數來表示整根 Euler 梁的振動， 在有些情況無法求得振動頻率，文獻[20]中提到若計算時使用雙精度，則 最少需將旋轉 Euler 梁分成兩段，才能得到可靠的自然振動頻率。故本文 採用與文獻[14, 20]一樣的方式，在分析(3.2.2)式-(3.2.3)式時將 Timoshenko 梁均分成 N 段，為方便稱呼，每一段稱為一個元素，所以每個元素的長度 皆為 N L l= (3.2.10) 第m_{個元素的統御方程式與(3.2.2)式-(3.2.3)式相同，但其獨立變數}x的 範圍為xm≤x≤ xm+₁，其中xm =(m−1)l , m=1,2,....,N (見圖八)。本文中每個 元素都用一個級數來表示其統御方程式的解。

24 令 2 1 − − = l x x _m ξ , l v V(ξ)= , l u U_s(ξ)= s (3.2.11) E l N k k = =Ω ρ (3.2.12) l R r N r = = (3.2.13) I Al N 2 = =η η , I AL2 = η (3.2.14) E G s α μ = (3.2.15) 其中k 已在(3.1.11)式定義，為無因次的轉速；r 已在(3.1.12)式定義，為無 因次的圓柱轉軸半徑；η 稱為細長比。將(3.1.8)式無因次化與(3.2.11)式 -(3.2.15)式代入(3.2.2)式-(3.2.3)式中，則可將統御方程式無因次化成 V E l V V U_s && 2 , , , , , ) ( ) ( _{ξ ξ ξ} +μ _ξξ −ϕ_ξ = ρ _(3.2.16) ) ( ) ( 2 2 _, 2 , ρ ϕ ϕ μη ϕ ϕ_ξξ = − Ω − V_ξ − E l && (3.2.17) 其中 0 1 2 2 , B B B U_sξ = ξ + ξ + (3.2.18) 1 2 , 2B B U_sξξ = ξ+ 2 2 ₂1k B =− m r k r m k B₁=− 2( −0.5+ cosα)=− 2 ] [ 2 1 ] ) cos ( ) cos 5 . 0 [( 2 1 _{2 2 2 2 2 2} 0 k m r r N k rm rN B =− − + α − α + =− − α cos 5 . 0 r m r_m= − + α cos r N r_N = +

25 若振動方程式(3.2.16)式-(3.2.17)式有自然頻率存在，則其解的形式必 可表示如下[14] t i R e t ξ ω ξ, ) ( ) ( Q Q = (3.2.19) } { ) , (ξ t = V ϕ Q _, Q_R(ξ)={V_R ϕ_R} (3.2.20) 其中i= − 1，ω為自然頻率。 將(3.2.18)式及(3.2.19)式代入(3.2.16)式-(3.2.17)式可得 0 ) 2 ( ) (B₂ξ2+B₁ξ +B₀+μ V_R,ξξ + B₂ξ +B₁V_R,ξ −μϕ_R,ξ +K2V_R = (3.2.21) 0 ) ( 2 2 2 , 2 , + R + + − R = R μη V K k μη ϕ ϕ _{ξξ ξ} (3.2.22) E l N K K = =ω ρ _(3.2.23) 其中K 已在(3.2.9)式定義，為無因次自然頻率；K是每個元素的無因次自 然頻率。 將(3.2.21)式-(3.2.22)式用向量式表示如下 0 TQ SQ RQ_R,ξξ + _R,ξ + _R = (3.2.24) 0 1 2 2 0 1 2 2 1 0 0 _{R R R} R = + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ + +} = B ξ Bξ B μ ξ ξ (3.2.25) 1 2 2 1 2 0 2 S S S _⎥= + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ξ μη μ ξ B B ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + = 2 _{2 2 2} 0 0 μη k K K T