我們認知的M G/ /1是一個服務的櫃檯，擁有齊一性卜瓦松
的到達過程，和獨立且相同分配服務時間的分配。
這是一個被廣泛應用且有發展性的隨機模型，很多優美的數學方法也被應 用在此方面。在工程上，通訊信號的處理系統與電腦模型的建立；在工業 上，工廠製造的等候線，在運輸管理上，一個交通號誌的管制車流量等等，
感覺像是很多單位元件等候處理，這都是 (homogeneous Poisson)
/ /1
M G 應用方面的一部份。當一 個櫃檯拓展到 n 個櫃台，這變成一般情況的問題 (M G s ，很多的領域都/ / ) 應用到此方面。
1-1 研究動機
當我們在模擬排隊理論的資料時，首先定義尾端個數就是從任何時 間點切入看，當系統中有 個人稱為系統個數，若 很大時，稱為尾端個數，
我們知道非尾端個數容易模擬，但是由於因為樣本個數限定的關係，且尾 端部分發生的機率本來就比較少，使得尾端個數誤差較大，這樣我們得到 的結果失真。
n n
/ /
M G n 遇到相同的情況，目前M G n 的極限分佈還沒發展/ / 出來，做模擬時，非尾端個數的部份好模擬，而尾端個數也是很難模擬出 來。本文目的就是在找出極限分佈的尾端 (tail limiting probability) 行為，
因此我們可以估計極限分佈的尾端收歛狀況，使得模擬狀態更為完善。
文獻探討
排隊理論中，M/G/1 中極限機率已有相當的發展。排隊理論中極限機 率的近似解很多都有相當研究，譬如說 Boxma, Cohen, Huffels(1980),
Cosmetatos(1976)和 Nozaki, Ross(1978)都有文獻的發表。在 M/D/s 中，
Crommelin (1932)發表過在服務時間的分佈是常數的情況下，求得 M/D/s 中 極限機率的方法。在M E/ k /s 中，Heffer (1969)對M E/ k /s 做出極限機率精 確的分析。在 M/G/s 中，H. C. Tijms , M. H. Van Hoorn , A. Federgruen,(1981) 做出 M/G/s 中極限機率的近似解。但是目前沒有 M/G/s 中極限機率現在仍 是沒有精確解。
1-2 研究方法 / /1
M G 中，先進來服務的人，會先被服務(first ，
後面等待的人群中，以等待時間最長者優先服務。且我們假設每一個服務 過程，除非服務結束，不然服務狀況不會在中途停掉。在排隊理論中，若 我們以如下的觀點來看，把每一個離開的人回頭看系統中剩下的人數為觀
察值(不包含自己)，則我們得到嵌入馬可夫鏈 ( 。
這是因為進來的人服從卜瓦松分佈，當他服務結束，離開之後系統下一個 服務時間就像是從新開始，因此具有馬可夫鏈的性質。換個觀點來看，當
come , first served)
embedded Markov chain)
PASTA ，跟嵌入馬可夫鏈有異曲同工 之妙。可再進一步求得極限機率的尾端行為。
(Poisson Arrivals See Time Averages )
接著利用上述方法，知道相鄰兩個離開的人的間距為一區段
(period 。在平穩狀態時) (steady state ，此區段具有相同的分佈，但是不叫) 它週期 cycl ，是因為它不是獨立的 。因此下一步必須證明區段有收斂 性質，也就是說有大數法則的性質。緊接著利用收斂性質，可以求出極限 分布的起始部分
e ( . .)i d
0 1
(π π, )的近似值，πi定義為系統是i個人的極限機率，並用 遞迴的方式，一一求出各自的極限分布的值，因此可以得到極限分布的比
值( i 1)
i
π
π+ 。
根據[1]，我們先介紹嵌入馬可夫鏈 ( ，我們
可定義
embedded Markov chain)
X 為第 個人離開時系統中剩下的人數， 為第 (n 個人服務時間 進來的人數，則
n Yn n+ )1
1 -1 , 0
, 0
n n n n
n n
X X +Y if X Y if X
+ = >
= =
Idle
Arrival time
1 圖 1-1、嵌入馬可夫鏈之系統示意圖
Arrival time
n 0
X > Service time Xn+1
time
第二章 理論部份