小施羅德數之生成函數的推導

一開始同樣我們假設 𝐺(𝑥) 代表與小施羅德數列對應的生成函數，則

𝐺(𝑥) = s₁𝑥 + s₂𝑥²+ ⋯ s_n𝑥ⁿ+ ⋯ = ∑ s_n𝑥ⁿ

∞

n=1

。 (3.8)

根據小施羅德數的定義，其為描述對字母串加括弧的方法數，而各種可能 的加括弧方式的遞迴意義也給出 (根據[1]的定理 8.5.6)

𝐺(𝑥) = 𝑥 + 𝐺(𝑥)²+ 𝐺(𝑥)³ + ⋯ + 𝐺(𝑥)ⁿ+ ⋯

= 𝑥 + 𝐺(𝑥)² 1 − 𝐺(𝑥) 因此我們可以得到一個二元一次方程式

2𝐺(𝑥)²+ (−𝑥 − 1)𝐺(𝑥) + 𝑥 = 0 ， 而且可以知道 𝐺(𝑥) 為方程式

2𝑢(𝑥)²+ (−𝑥 − 1)𝑢(𝑥) + 𝑥 = 0 (3.9) 的一個解。而方程式(3.9)的解為

𝑢₁(𝑥) =(𝑥 + 1) + √𝑥² − 6𝑥 + 1 4

和

𝑢₂(𝑥) =(𝑥 + 1) − √𝑥²− 6𝑥 + 1 4

因為 𝐺(0) = 0，而 𝑢₁(0) = ¹₂ 不合。所以我們可以得到

𝐺(𝑥) = 𝑢₂(𝑥) =(𝑥 + 1) − √𝑥²− 6𝑥 + 1

4 。 (3.10)

然而，除了加括弧的方法之外，我們也可以於路徑走法中討論小施羅德數 的生成函數。在游博士與傅博士所著的〈A Simple Proof of the Aztec Diamond Theorem〉（[5]）一文中提到了小施羅德數在路徑中的定義：

定理3.1.2 當 n ≥ 2 時，透過小施羅德數列的生成函數，我們可以求得小施羅德 數的一般公式

s_n = (3 2)

n+1

∑(−1)^r(3^−1−2r) (2n − 2r − 2)!

r! (n − r − 1)! (n − 2r)!

⌊ n2 ⌋

r=0

， (3.13)

且 s₁ = 1。

第三節 結論

在第三章中，對大小施羅德數做了更深入的探討。第一節，先利用了大施 羅德數裡「從點 ( 0 , 0 ) 移動至 ( n , n ) 」的這項在路徑中的定義，從中發現了 它的遞迴關係，並且利用此關係找到了其生成函數所構成的方程式，以及求出方 程式的解；然後再透過一步步地推導，求得了大施羅德數的一般公式，也簡單地 利用求出來的公式，算出大施羅德數列前面幾項的值。

接著在第二節中，也效法第一節大施羅德數的方式，試著找出小施羅德數 的一般公式。就如同第一節，一樣於小施羅德數的定義找到了它的遞迴關係，並 利用第一節所得到的一些結果，進而推導出了小施羅德數的一般公式，更在研讀 文獻時找到了小施羅德數於路徑中的組合意義。此外，在研究施羅德數之生成函 數的過程中，也理解了大、小施羅德數之間的奇妙關係。儘管在本章中利用生成 函數所求得的公式與利用定義直接推導的公式不同，但是因為出發點相同，所以 依然能夠得到同樣的結果。

在這次論文的研究過程中，可以發現路徑在組合數學中的使用是如此的廣 泛，而且在透過各種條件的加以限制後，還能夠得到各式各樣的新問題。而且這 些問題或許也代表著其他不同題目的答案呢！而本論文所討論與整理的施羅德 數便是其中的一種。所以，讀者們不妨也可以思考看看，是否有其他相關的有趣 問題吧。

參考文獻

[1] 馮舜璽、羅平、裴偉東(譯) (2005)。組合數學(原書第 4 版) (原作者：Richard A. Brualdi )。中國北京：機械工業出版社。

[2] 盧開澄、盧華明（2006）。組合數學(第 4 版)。中國北京：清華大學出版社。

[3] 吳大中（2010）。卡特藍數列之應用。國立屏東教育大學，屏東縣。文獻參 考自：http://handle.ncl.edu.tw/11296/ndltd/25968183037436669245 [4] Eva Y.P. Deng & Wei-Jun Yan. (2007). Some identities on the Catalan, Motzkin

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[10] Schröder number in "Wolfram MathWorld : The Web's Most Extensive Mathematics Resource." Retrieved from

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