施羅德數

第一節 研究動機與目的

「路徑問題」其實從我們很小的時候就已經接觸到了，例如當你在玩跳棋 或象棋時，是否曾經想過，如果要從A 格到 B 格應該有哪幾種走法？又或者是 當你騎著腳踏車穿梭在你家附近縱橫交錯的巷子時，或許就曾想過，若從自己家 騎到某位住戶家，這兩家之間的路線到底會有多少條呢？

但是當時尚未正式接觸到關於路徑問題的我們，哪懂得什麼求路徑數的公 式，所以如果真的想要知道這些問題的答案，通常就是透過土法煉鋼的方式一條 一條的算出來了。

直到上了國中、高中之後，學習到了最基本的組合運算，也或多或少接觸 到了一些基礎的路徑相關問題，例如從A 地到 B 地的路徑數，開始可以透過一 些簡單的組合概念求得，慢慢地對這個問題有了初步的認識。

到了大學、研究所之後，只要是開始學習數學相關領域的課程或閱讀相關 的文章書籍，組合數學基本上也是會接觸到的其中一個領域。而通常在剛開始學 習組合數學時，學習者必定會接觸到的基本問題就包含了路徑問題，而路徑也常 常被拿來當作許多組合問題的等價意義。

然而談到了路徑問題，通常在給予不同的條件加以限制之後，便會產生一 些不一樣的新玩意兒，例如：旅行業務員問題、卡特蘭數⋯⋯等，令我頗感興趣。

於是就在指導教授的建議之下，閱讀了他推薦的一些與路徑相關的文獻，在文獻 中發現了「施羅德數」這個我第一次接觸到的新事物，引發了我想研究它的好奇 心，想試著了解它，想試著從它身上發現新大陸，獲得新知識，並且希望能夠為 一樣對施羅德數有興趣的人，提供更多的知識。

然而，關於「施羅德數」這個名詞對大部分的人而言是陌生的。所以，一 開始我們便在下一節簡單地對施羅德數做一個初步的介紹。

第二節 施羅德數的基本介紹

第二章 路徑與施羅德數的簡介

本章節共有四節，第一節介紹路徑，第二節介紹大、小施羅德數，第三節 描述小施羅德數的對應關係，第四節則為本章的結論。

第一節 路徑

在Richard A. Brualdi 所著的「組合數學」[1]中提到，我們考慮一個整數 座標平面中整數點的網格（integral lattice）。給定兩個整數點 ( r , s ) 和 ( p , q )，

其中 p ≥ r 及 q ≥ s ，然後透過平步（horizontal step）H = ( 1 , 0 ) 和垂步

（vertical step）V = ( 0 , 1 ) 兩種方式（在方位上，H 即代表向東移動一單位，V 即代表向北移動一單位），可以構成從 ( r , s ) 到 ( p , q ) 的矩陣網格路徑。在 圖2-1 中顯示了以上所述。

圖2-1. 點 ( r , s ) 到 ( p , q ) 的矩陣網格路徑

例題2.1

在一個平面座標上給定兩點 ( 0 , 0 ) 和 ( 6 , 5 )，如圖 2-2 所示。

圖2-2. 點 ( 0 , 0 ) 到 ( 6 , 5 ) 的矩陣網格路徑

圖中我們可以看見有一條以 ( 0 , 0 ) 為起點的路徑，此路徑的移動方式為：

第二節 施羅德數（Schröder Number）

本節主要是針對施羅德數的組合定義作介紹。事實上，施羅德數根據其組 合意義的不同被區分為大、小兩種。其中施羅德討論的「括號問題」所描述的是 小施羅德數，而大施羅德數則是以「矩陣網格路徑」來做出定義。所以接下來會 詳細介紹兩者。

1. 大施羅德數（Large Schröder Number）

一般來說，大施羅德數 R_n 的組合意義較常看見的是經過計算一個整數點到 另外一個整數點的所有可能路徑的方式求得。以下描述了兩種不同的定義方式。

第一種是在一個座標平面上整數點的網格中，給予兩點 ( 0 , 0 ) 和 ( n , n )，

其中n 為一整數且 n ≥ 0，然後透過「平步」、「垂步」和「斜步」的移動方式，

且移動的路徑不可穿過對角線 𝑦 = 𝑥 （即從 ( 0 , 0 ) 到 ( n , n ) 所拉出的直線）。

在此情況下從 ( 0 , 0 ) 到 ( n , n ) 的矩陣網格路徑被稱為「施羅德路徑」（名稱 得知於[1]中），如圖 2-3 所示，而此路徑的路徑數即為大施羅德數 R_n。（[10]）

圖 2-3. 點 ( 0 , 0 ) 到 ( n , n ) 的施羅德路徑

根據定義，我們可以舉一些簡單的例子，如下圖的 R₁ 和 R₂ ：

(1) R₁ = 2 ，表示從點 ( 0 , 0 ) 到 ( 1 , 1 ) 的施羅德路徑的路徑數。

圖2-4. 點 ( 0 , 0 ) 到 ( 1 , 1 ) 的所有施羅德路徑

(2) R₂ = 6 ，表示從 ( 0 , 0 ) 到 ( 2 , 2 ) 的施羅德路徑的路徑數。

圖2-5. 點 ( 0 , 0 ) 到 ( 2 , 2 ) 的所有施羅德路徑

另外一種定義方式則參考文獻[4]。在一個座標平面上整數點的網格中，給 定兩點 ( 0 , 0 ) 和 ( 2n , 0 )，其中 n 為一整數且 n ≥ 0，然後透過「兩倍的平步」

（移動 ( 2 , 0 )）、「斜步」（移動 ( 1 , 1 )）和「下斜步」（即移動( 1 ,–1 )）

三種移動方式，且只允許在 𝑥-軸的上方移動的情況下，從 ( 0 , 0 ) 到 ( 2n , 0 ) 的矩陣網格路徑的路徑數即為大施羅德數 R_n。在圖2-6，圖 2-7 也根據上述定義 分別圖示了 R₁ 和 R₂。

(1) R₁ = 2，表示從點 ( 0 , 0 ) 到 ( 2 , 0 ) 的路徑數。

圖2-6. 點 ( 0 , 0 ) 到 ( 2 , 0 ) 的所有路徑

(2) R₂ = 6 ，表示從點 ( 0 , 0 ) 到 ( 4 , 0 ) 的路徑數。

圖2-7. 點 ( 0 , 0 ) 到 ( 4 , 0 ) 的所有路徑

透過以上描述的兩種方式所求得的路徑數便是大施羅德數。那麼接下來，我們可 以透過第一種定義（施羅德路徑）來求得大施羅德數。

首先，我們在第二章第一節中已經討論過路徑數的求法，那麼接下來再對 路徑的移動方式加入一些限制。（以下敘述參考文獻[1]）

卡特蘭路徑（Catalan path）

一開始假設在一個座標平面上整數點的網格中，給定點 ( 0 , 0 ) 和 ( n , n )，

現在考慮從 ( 0 , 0 ) 移動至 ( n , n ) 的路徑，路徑的移動方式為「平步」或「垂 步」且要求不可穿過對角線 𝑦 = 𝑥 。

然而從 ( 0 , 0 ) 到 ( n , n ) 且要求不可穿過對角線 𝑦 = 𝑥 的路徑數，會等

移動到 ( n – r , n – r ) 的路徑」，這路徑的路徑數即為卡特蘭數 𝐶_n−r。

接下來，我們轉而介紹小施羅德數：

2. 小施羅德數（Small Schröder Number）

（以下引述至R. P. Stanley：Hipparchus, Plutarch, Schröder and Hough（1997）

([8])）

在R. P. Stanley 的一篇文章中介紹弗里德里希·威廉·卡爾·恩斯特·施羅德

（Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schröder）是一位於 1841 年出生在曼海姆的德 國邏輯學家，他的主要工作是在基礎數學上，特別是關於組合數學、實變函數理 論、數理邏輯等。

而關於施羅德在組合數學方面的研究，在他所提出的論文之中，最著名的 就是他討論了四種「加括弧的問題」。而R. P. Stanley 在文章中只針對前兩個問 題做一個討論，即描述關於加括弧於字母串（假設所有的字母皆為 𝑥）中之方法 數的問題。

在這個討論中，給定了對於一個括弧的正式定義，就是將括弧定義為一個 數列 {B₁, B₂, ⋯ , B_k}，其中 k ≥ 2（因為至少要兩組，括弧才有意義），且數列中 的 B_i 代表的是 𝑥 的一組加括弧的字母串，其中對於某些只包含一個字母 𝑥 的 B_i， 則其外圍括弧將會被隱藏。例如：

( 𝑥𝑥 ) ( ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ) 𝑥 ( 𝑥𝑥 ) ) ( 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ) )

在此字母串中可以看到 B₁ = 𝑥𝑥 ，B₂ = ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ) 𝑥 ( 𝑥𝑥 )，而 B₃ = 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 )，

就如同是一個 (B₁)(B₂)(B₃) 的三元之運算一般。

而R. P. Stanley 也在文中提到了一些等價方法來描述加括弧的字母串，分別 是平面樹（plane trees）、多邊形的切割（polygon dissections）和 Łukasiewicz 字元，且透過這三種對應關係，得到以下論點：

假設 s_m 代表一包含 m 個 𝑥 的字母串之加括號方法的總數，其中 m 為正整 數，則它也等價於

(1) 包含 m 個端點（endpoint）且無一階頂點的平面樹之個數，其中「端點 是指葉子（leaf），非端點的頂點則稱為內點（internal node），而「一 階頂點」是指只有一個子點的內點。然後因為 s₁ 及 s₂ 很容易可以得知，

所以圖2-8，圖 2-9 分別舉例 s₃ 及 s₄。

i. s₃ = 3：

圖2-8. 三個端點的平面樹個數

ii. s₄ = 11：

圖2-9. 四個端點的平面樹個數

(2) 一個凸(m＋1)邊形的切割數，其中切割的形狀不侷限為三角形，且切割 的對角線要求不相交。圖2-10，圖 2-11 也分別舉例 s₃ 及 s₄。

i. s₃ = 3：凸四邊形的切割數。

圖2-10. 四邊形的切割數

ii. s₄ = 11：凸五邊形的切割數。

圖2-11. 五邊形的切割數

(3) 包含 0 個 𝑥₁ 和 n 個 𝑥₀ 的 Łukasiewicz 字元之數量。（有興趣請參考[8] [11]）

然而R. P. Stanley 指出，施羅德所提出的第二個問題便是在求 s_m 的總數，

而這個 s_m 代表的就是「小施羅德數」。接下來我們便在這裡明確地對小施羅德 數做出定義：

給定一排由m 個字母所組成的字母串𝑎₁𝑎₂𝑎₃⋯ 𝑎_m，其中m 為正整數；現 在假設 𝑎_i 均為字母 𝑥，則字母串形式如下：

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ⋯ ⋯ 𝑥 𝑥 𝑥

⏟

m 個

再來，於這串字母串中插入數個括弧，要滿足下列三個條件：

(1) 將括弧加入字母串時具有先後順序，例如：( 𝑥𝑥 ) 𝑥 與 𝑥 ( 𝑥𝑥 ) 是兩種不 同的方法。

(2) 當一個括弧如果只包含一個字母 𝑥，或者包含全部 m 個 𝑥 時，則字母外圍 括弧可以隱藏。

(3) 在同一種方法中，此排內同一組的 j（ j ≤ m 且為正整數）個字母串只可 以使用一個括弧，例如：( (𝑥𝑥) ) 𝑥𝑥 使用了兩個括弧包含了 𝑥𝑥 是不允許 的。

則根據以上定義，對於包含m 個 𝑥 之字母串所能夠構成的所有可能的加括 弧的方法之總數，我們就定義為小施羅德數 s_m。

因此，當m 為非負整數時，構成小施羅德數數列 {s_m}_m≥1：([7])

1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049, ⋯⋯。