第三章 定位系統
3.2 差分定位技術
3.2.1 虛擬距離(Pseudo-range)觀測量模型
虛擬距離觀測量是利用衛星和接收機分別產生的相同電碼，經過相關性分析，
得到電波傳遞所花費的時間差，乘上光速後可得到衛星和接收機之間的虛擬距 離。
訊號傳遞時，除了衛星和接收機所具有的時表誤差外，當載波訊號通過地球 大氣的電離層和對流層，亦會造成延遲誤差，再加上其他未模型化的隨機誤差，
因此利用此觀測量得到的距離並非衛星和接收機之間的真實距離，稱為虛擬距 離。
虛擬距離觀測量的模型為：
𝑃𝑃𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑟𝑟𝑢𝑢𝑘𝑘+ 𝑐𝑐[δ𝑡𝑡𝑢𝑢− 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑘𝑘] + 𝐼𝐼𝑢𝑢𝑘𝑘+ 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑘𝑘+ 𝜀𝜀𝑃𝑃,𝑢𝑢𝑘𝑘 (3.6) 其中：
𝑃𝑃𝑢𝑢𝑘𝑘：從衛星 k 到接收機 u 的虛擬距離(m) 𝑟𝑟𝑢𝑢𝑘𝑘：衛星 k 到接收機 u 的真實距離(m) c：光速(m/sec)
δ𝑡𝑡𝑢𝑢：接收機 u 之時表誤差(sec) 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑘𝑘：衛星 k 之時表誤差(sec) 𝐼𝐼𝑢𝑢𝑘𝑘：電離層之延遲誤差(m) 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑘𝑘：對流層之延遲誤差(m)
𝜀𝜀𝑃𝑃,𝑢𝑢𝑘𝑘 ：系統隨機誤差
3.2.2 載波相位(Carrier-phase)觀測量模型
載波相位觀測量是由接收機所接收的衛星訊號之載波相位，與接收機自行產 生的參考相位之差，其模型如下表示：
𝜙𝜙𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑠𝑠−1�𝑟𝑟𝑢𝑢𝑠𝑠− 𝐼𝐼𝜙𝜙+ 𝑇𝑇𝜙𝜙� +𝑐𝑐𝜆𝜆[𝛿𝛿𝑡𝑡𝑢𝑢− 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑠𝑠] + 𝑁𝑁𝑢𝑢𝑘𝑘+ 𝜀𝜀𝜙𝜙 (3.7) 亦可將左右同乘載波波長，使方程式的單位變成長度單位：
Φ𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑠𝑠 ⋅ 𝜙𝜙𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑟𝑟𝑢𝑢𝑘𝑘− 𝐼𝐼𝑢𝑢𝑘𝑘+ 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑘𝑘+ 𝑐𝑐[𝛿𝛿𝑡𝑡𝑢𝑢 − 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑘𝑘] + 𝑠𝑠𝑁𝑁𝑢𝑢𝑘𝑘+ 𝜀𝜀𝜙𝜙,𝑢𝑢𝑘𝑘 (3.8) 其中：
Φ𝑢𝑢𝑘𝑘：衛星 k 至接收機 u 的載波相位觀測量(m) 𝑁𝑁𝑢𝑢𝑘𝑘：整數周波未定值(Integer Ambiguity) 𝑠𝑠：L1 載波波長(≈ 0.1903m)
3.2.3 差分定位
虛擬距離和載波相位二種觀測量皆含有系統性誤差，因此可以採用相對定位 的方式增加定位精度。相對定位使用二部以上的 GPS 接收機，其中一部放置於已 知座標位置的點位上，稱為參考站，另一部放置於待測座標的點位上，稱為移動 站，若能測得參考站與移動站之間的基線向量，即可得知移動站之座標位置。
依不同的目的，可將基線向量組合成一次差分、二次差分和三次差分，本節 就 GPS 的虛擬距離和載波相位的觀測量分別介紹一次差分和二次差分。
地面一次差分( Single difference between receivers )
在同一時刻 t，參考站 r 和移動站 u 的接收機對同一顆衛星 k 的觀測量作相減 求得差值，即為地面一次差分，如圖(3-2)。
圖 3-2 地面一次差分示意圖
由於同一顆衛星對於此二接收機的觀測量而言，衛星的時表誤差項𝛿𝛿𝑡𝑡𝑘𝑘的效應 幾乎相同，故經過差分可將之消除，因此載波相位與虛擬距離的差分觀測值之方 程式可表示為：
Φ𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 = Φ𝑢𝑢𝑘𝑘− Φ𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑟𝑟𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 − 𝐼𝐼𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 + 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 + 𝑐𝑐 ⋅ 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢+ 𝑠𝑠𝑁𝑁𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 + 𝜀𝜀𝜙𝜙,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 (3.9) 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑘𝑘− P𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑟𝑟𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 + 𝐼𝐼𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 + 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 + 𝑐𝑐 ⋅ 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢+ 𝜀𝜀𝑃𝑃,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 (3.10)
空中一次差分( Single difference between satellites )
一接收機 u 在同一時刻 t 接收到不同衛星 k 和 l 的觀測量，將二組觀測量彼此 相減求差值，即可得到空中一次差分值，如圖(3-3)。
圖 3-3 空中一次差分示意圖
和地面一次差分相同，由於同一接收機對於二衛星之間的時表誤差效應δ𝑡𝑡𝑢𝑢 幾 乎相同，因此差分值可消除接收機的時表誤差項，方程式表示如下：
Φ𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝜙𝜙𝑢𝑢𝑘𝑘− 𝜙𝜙𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑟𝑟𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝐼𝐼𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑐𝑐 ⋅ 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑠𝑠𝑁𝑁𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜀𝜀𝜙𝜙,𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 (3.11) 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑘𝑘− 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑘𝑘= 𝑟𝑟𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝐼𝐼𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑐𝑐 ⋅ 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜀𝜀𝑃𝑃,𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 (3.12)
衛星 k
接收機 u 接收機 r
衛星 k 衛星 l
接收機 u
二次差分( Double difference )
可以結合上述的地面一次差分和空中一次差分觀測值，得到二次差分值，如 此便可同時消除衛星和接收機的時表誤差，如圖(3-4)。
圖 3-4 二次差分示意圖
除了時表誤差，如果假設參考站跟移動站之間的基線長度在 10 公里以下，對 流層和電離層的延遲誤差對於二接收機之間也可視為相似，在差分值中極小可以 忽略，因此組成二次差分值的量測方程式表示如下：
Φ𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑟𝑟𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑠𝑠𝑁𝑁𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜀𝜀𝜙𝜙,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 (3.13)
P𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑟𝑟𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝜀𝜀𝑃𝑃,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 (3.14)
利用相對定位的差分技術，可以有效地將模型中的各項誤差消除，唯有剩下 整數周波未定值 N，下一章即討論 RTK(real-time kinematic)演算法，以解算出此未 知項，達到利用載波相位精確定位的目的。