差分方程

差分方程

定义 形如

F(^,y,Δy,Δ²y,· · · ^,Δⁿy) = 0 的方程称为差分方程．

例 3 说明下面两个方程是等价的： Δ²y− 2y^ = 3^

y+2− 2y^+1− y^ = 3^

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差分方程

定义 形如

F(^,y,Δy,Δ²y,· · · ^,Δⁿy) = 0 的方程称为差分方程．

例 3 说明下面两个方程是等价的：

Δ²y − 2y^ = 3^

y+2− 2y^+1− y^ = 3^

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差分方程

定义 形如

F(^,y_,y_+1,y_+2,· · · ^,y_+n) = 0 的方程称为差分方程．

定义 差分方程中未知数列下标的最大值和最小值的 差，称为该差分方程的阶．

例 4 y+2− y^+1 =  为一阶差分方程． 例 5 y_+2 = y+1 + y 为二阶差分方程．

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差分方程

定义 形如

F(^,y_,y_+1,y_+2,· · · ^,y_+n) = 0 的方程称为差分方程．

定义 差分方程中未知数列下标的最大值和最小值的 差，称为该差分方程的阶．

例 4 y+2− y^+1 =  为一阶差分方程． 例 5 y_+2 = y+1 + y 为二阶差分方程．

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差分方程

定义 形如

F(^,y_,y_+1,y_+2,· · · ^,y_+n) = 0 的方程称为差分方程．

定义 差分方程中未知数列下标的最大值和最小值的 差，称为该差分方程的阶．

例 4 y+2− y^+1 =  为一阶差分方程．

例 5 y_+2 = y+1 + y 为二阶差分方程．

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差分方程

定义 形如

F(^,y_,y_+1,y_+2,· · · ^,y_+n) = 0 的方程称为差分方程．

定义 差分方程中未知数列下标的最大值和最小值的 差，称为该差分方程的阶．

例 4 y+2− y^+1 =  为一阶差分方程．

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定义 2 如果一个数列代入差分方程后，方程两边恒 等，则称此数列为该差分方程的解．

满足一定的初始条件的解称为特解．

含有 n 个相互独立的任意常数的解称为 n 阶差分 方程的通解．

例 6 一阶差分方程 y+1− y^ = 2, y⁰ = 1 有特解为 y_ = 2 + 1．

例 7 二阶差分方程 y+2 − 3y^+1+ 2y^ = 0 的通解 为 y = C¹+ C²2^．

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定义 2 如果一个数列代入差分方程后，方程两边恒 等，则称此数列为该差分方程的解．

满足一定的初始条件的解称为特解．

含有 n 个相互独立的任意常数的解称为 n 阶差分 方程的通解．

例 6 一阶差分方程 y+1− y^ = 2, y⁰ = 1 有特解为 y_ = 2 + 1．

例 7 二阶差分方程 y+2 − 3y^+1+ 2y^ = 0 的通解 为 y = C¹+ C²2^．

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定义 2 如果一个数列代入差分方程后，方程两边恒 等，则称此数列为该差分方程的解．

满足一定的初始条件的解称为特解．

含有 n 个相互独立的任意常数的解称为 n 阶差分 方程的通解．

例 6 一阶差分方程 y+1− y^ = 2, y⁰ = 1 有特解为 y_ = 2 + 1．

例 7 二阶差分方程 y+2 − 3y^+1+ 2y^ = 0 的通解 为 y = C¹+ C²2^．

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定义 2 如果一个数列代入差分方程后，方程两边恒 等，则称此数列为该差分方程的解．

满足一定的初始条件的解称为特解．

含有 n 个相互独立的任意常数的解称为 n 阶差分 方程的通解．

例 6 一阶差分方程 y+1− y^ = 2, y⁰ = 1 有特解为

y_ = 2 + 1．

例 7 二阶差分方程 y+2 − 3y^+1+ 2y^ = 0 的通解 为 y = C¹+ C²2^．

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定义 2 如果一个数列代入差分方程后，方程两边恒 等，则称此数列为该差分方程的解．

满足一定的初始条件的解称为特解．

含有 n 个相互独立的任意常数的解称为 n 阶差分 方程的通解．

例 6 一阶差分方程 y+1− y^ = 2, y⁰ = 1 有特解为 y_ = 2 + 1．

例 7 二阶差分方程 y+2 − 3y^+1+ 2y^ = 0 的通解 为 y = C¹+ C²2^．

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定义 2 如果一个数列代入差分方程后，方程两边恒 等，则称此数列为该差分方程的解．

满足一定的初始条件的解称为特解．

含有 n 个相互独立的任意常数的解称为 n 阶差分 方程的通解．

例 6 一阶差分方程 y+1− y^ = 2, y⁰ = 1 有特解为 y_ = 2 + 1．

例 7 二阶差分方程 y ₊₂ − 3y +1+ 2y = 0 的通解

y = C¹+ C²2^．

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定义 2 如果一个数列代入差分方程后，方程两边恒 等，则称此数列为该差分方程的解．

满足一定的初始条件的解称为特解．

含有 n 个相互独立的任意常数的解称为 n 阶差分 方程的通解．

例 6 一阶差分方程 y+1− y^ = 2, y⁰ = 1 有特解为 y_ = 2 + 1．

例 7 二阶差分方程 y ₊₂ − 3y +1+ 2y = 0 的通解

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研究一阶常系数线性差分方程 y+1− y^ = c．

若  = 1，解为 y^ = y⁰+ c． 若  ̸= 1，解为 y^ =



y0− c 1− 



^+ c 1− ．

例 1 求差分方程 y+1− 3y^ = −2 的通解．

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研究一阶常系数线性差分方程 y+1− y^ = c．

若  = 1，解为 y^ = y⁰+ c．

若  ̸= 1，解为 y^ =



y0− c 1− 



^+ c 1− ．

例 1 求差分方程 y+1− 3y^ = −2 的通解．

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研究一阶常系数线性差分方程 y+1− y^ = c．

若  = 1，解为 y^ = y⁰+ c．

若  ̸= 1，解为 y^ =



y0− c 1− 



^ + c 1− ．

例 1 求差分方程 y+1− 3y^ = −2 的通解．

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研究一阶常系数线性差分方程 y+1− y^ = c．

若  = 1，解为 y^ = y⁰+ c．

若  ̸= 1，解为 y^ =



y0− c 1− 



^ + c 1− ．

例 1 求差分方程 y+1− 3y^ = −2 的通解．

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例 2 广州公积金贷款年利率为 3.25%．现贷款 50 万元，贷款年限为 20 年．采用等额本息还款方式，每 月还款金额是多少？

解答 设贷款  个月后欠款余额是 y 元，月还款额 为 m 元，月利率为 r（即年利率除以 12）．则有

y_+1 = y(1 + r) − m^, y₀ = 500000.

该差分方程的解为

y = (y⁰− m/r) (1 + r)^+ m/r.

从而可以解出

r[y⁰(1 + r)^ − y^]

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研究二阶常系数线性齐次差分方程

y+2+ py^+1+ qy^ = 0.

· · · ·

设其特征方程 λ²+ pλ + q = 0 的两个根为 λ1 和 λ₂．

1 若 λ1 ̸= λ² 为相异实根，则方程的通解为 y = C¹λ^₁+ C²λ^₂

2 若 λ1 = λ² = λ 为相同实根，则方程的通解为 y = (C1+ C2)λ^

3 若 λ₁ = α + β = r(cos θ +  sin θ)，

λ₂ = α − β = r(cos θ −  sin θ) 为共轭复根，

在文檔中 微分方程与差分方程 (頁 153-181)