第九章·微分方程与差分方程
微积分课程
2020 年 8 月 29 日
.
.
.
.
微分方程的一般概念
.
第一节
.
.
一阶微分方程
.
第二节
.
.
二阶微分方程
.
∗第三节
.
.
差分方程的一般概念
.
第四节
.
.
一阶常系数线性差分方程
.
第五节
.
.
定义 1 含有未知函数的导数或微分的方程 F(,y,y′,y′′,· · · ,y(n)) = 0 称为微分方程． 其中出现的导数的最高阶数 n，称为 微分方程的阶． 例子 判别下列微分方程的阶数： (1) dy d + y = (2) d− y2dy = 0 (3) y′′ + y′ = e.
.
定义 1 含有未知函数的导数或微分的方程 F(,y,y′,y′′,· · · ,y(n)) = 0 称为微分方程．其中出现的导数的最高阶数 n，称为 微分方程的阶． 例子 判别下列微分方程的阶数： (1) dy d + y = (2) d− y2dy = 0 (3) y′′ + y′ = e.
.
定义 1 含有未知函数的导数或微分的方程 F(,y,y′,y′′,· · · ,y(n)) = 0 称为微分方程．其中出现的导数的最高阶数 n，称为 微分方程的阶． 例子 判别下列微分方程的阶数： (1) dy d + y = (2) d− y2dy = 0.
.
例 1 求解一阶微分方程 dy d = 2 y =1 = 3 · · · · · 初始条件 解答 对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数） · · · · 通解 将 = 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此 y = 2+ 2 · · · · 特解.
.
例 1 求解一阶微分方程 dy d = 2 y =1 = 3 · · · · · 初始条件 解答 对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数） · · · · 通解 将 = 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此 y = 2+ 2 · · · · 特解.
.
例 1 求解一阶微分方程 dy d = 2 y =1 = 3 · · · · · 初始条件 解答 对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数） · · · · 通解 将 = 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2． 因此 y = 2+ 2 · · · · 特解.
.
例 1 求解一阶微分方程 dy d = 2 y =1 = 3 · · · · · 初始条件 解答 对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数） · · · · 通解 将 = 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此 y = 2+ 2 · · · · 特解.
.
例 1 求解一阶微分方程 dy d = 2 y =1 = 3 · · · · · 初始条件 解答 对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数）· · · · 通解 将 = 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此 y = 2+ 2 · · · · 特解.
.
例 1 求解一阶微分方程 dy d = 2 y =1 = 3 · · · · · 初始条件 解答 对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数）· · · · 通解 将 = 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此 y = 2+ 2 · · · · 特解.
.
例 1 求解一阶微分方程 dy d = 2 y =1 = 3 · · · · · 初始条件 解答 对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数）· · · · 通解 将 = 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此 y = 2+ 2 · · · · 特解.
.
例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y =0 = 0, y′ =0 = 1. 解答 对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数） 再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2+ C 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解 将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2+ · · · · 特解.
.
例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y =0 = 0, y′ =0 = 1. 解答 对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数） 再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2+ C 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解 将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2+ · · · · 特解.
.
例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y =0 = 0, y′ =0 = 1. 解答 对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数） 再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2+ C 1+ C2（C1,C2 为常数） · · · 通解 将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2+ · · · · 特解.
.
例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y =0 = 0, y′ =0 = 1. 解答 对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数） 再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2+ C 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解 将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2+ · · · · 特解.
.
例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y =0 = 0, y′ =0 = 1. 解答 对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数） 再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2+ C 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解 将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2+ · · · · 特解.
.
例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y =0 = 0, y′ =0 = 1. 解答 对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数） 再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2+ C 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解 将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0． 因此 y = −1 2 2+ · · · · 特解.
.
例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y =0 = 0, y′ =0 = 1. 解答 对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数） 再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2+ C 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解 将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2+ · · · · 特解.
.
例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y =0 = 0, y′ =0 = 1. 解答 对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数） 再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2+ C 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解 将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 · · · · 特解.
.
例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y =0 = 0, y′ =0 = 1. 解答 对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数） 再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2+ C 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解 将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此.
.
.
.
微分方程的一般概念
.
第一节
.
.
一阶微分方程
.
第二节
.
.
二阶微分方程
.
∗第三节
.
.
差分方程的一般概念
.
第四节
.
.
一阶常系数线性差分方程
.
第五节
.
.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F(,y,y′) = 0．对应的 初始条件为 y|=0 = y0. 在这一节中，我们将研究 3 种一阶微分方程： 1 可分离变量微分方程 2 齐次微分方程 3 一阶线性微分方程.
.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F(,y,y′) = 0．对应的 初始条件为 y|=0 = y0. 在这一节中，我们将研究 3 种一阶微分方程： 1 可分离变量微分方程 2 齐次微分方程 3 一阶线性微分方程.
.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F(,y,y′) = 0．对应的 初始条件为 y|=0 = y0. 在这一节中，我们将研究 3 种一阶微分方程： 1 可分离变量微分方程 2 齐次微分方程 3 一阶线性微分方程.
.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F(,y,y′) = 0．对应的 初始条件为 y|=0 = y0. 在这一节中，我们将研究 3 种一阶微分方程： 1 可分离变量微分方程 2 齐次微分方程 3 一阶线性微分方程.
.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F(,y,y′) = 0．对应的 初始条件为 y|=0 = y0. 在这一节中，我们将研究 3 种一阶微分方程： 1 可分离变量微分方程 2 齐次微分方程 3 一阶线性微分方程.
.
.
.
一阶微分方程
.
第二节
.
.
可分离变量微分方程
.
A
.
.
齐次微分方程
.
B
.
.
一阶线性微分方程
.
C
.
.
㈠ 可分离变量微分方程
形如 ƒ(y) dy = g() d 的方程称为可分离变量微分
方程．
.
.
㈠ 可分离变量微分方程
形如 ƒ(y) dy = g() d 的方程称为可分离变量微分
方程．
.
.
可分离变量微分方程
例 1 求微分方程 dy d = − y 的通解． 练习 1 求微分方程 (1 + y) d − (1 − ) dy = 0 的 通解．.
.
可分离变量微分方程
例 1 求微分方程 dy d = − y 的通解． 练习 1 求微分方程 (1 + y) d − (1 − ) dy = 0 的 通解．.
.
可分离变量微分方程
例 2 求微分方程 y′ = − y 在初始条件 y|=0 = 1 下 的特解． 练习 2 求微分方程 1+ y d− y 1+ dy = 0 满足初 始条件 y|=0 = 1 的特解．.
.
可分离变量微分方程
例 2 求微分方程 y′ = − y 在初始条件 y|=0 = 1 下 的特解． 练习 2 求微分方程 1+ y d− y 1+ dy = 0 满足初 始条件 y|=0 = 1 的特解．.
.
可分离变量微分方程
例 3 求微分方程 y′ = 2y2 的通解，以及在初始条 件 y =0 = −1 下的特解． 解答 通解为 y = − 1 2+ C． 注记 通解 ̸= 全部解．.
.
可分离变量微分方程
例 3 求微分方程 y′ = 2y2 的通解，以及在初始条 件 y =0 = −1 下的特解． 解答 通解为 y = − 1 2+ C． 注记 通解 ̸= 全部解．.
.
可分离变量微分方程
例 3 求微分方程 y′ = 2y2 的通解，以及在初始条 件 y =0 = −1 下的特解． 解答 通解为 y = − 1 2+ C． 注记 通解 ̸= 全部解．.
.
.
.
一阶微分方程
.
第二节
.
.
可分离变量微分方程
.
A
.
.
齐次微分方程
.
B
.
.
一阶线性微分方程
.
C
.
.
㈡ 齐次微分方程
形如 dy d = ƒ y 的微分方程称为齐次微分方程． 例如： dy d = − 2y + y dy d = y2 y− 2.
.
㈡ 齐次微分方程
形如 dy d = ƒ y 的微分方程称为齐次微分方程． 例如： dy d = − 2y + y dy y2.
.
齐次微分方程的解法
1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令 = y ， 则有 y = ，从而 dy d = d d + ．代入原方程得到 d d + = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() − = d 4 两边积分：得到通解，然后将 代回.
.
齐次微分方程的解法
1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令 = y ， 则有 y = ，从而 dy d = d d + ．代入原方程得到 d d + = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() − = d 4 两边积分：得到通解，然后将 代回.
.
齐次微分方程的解法
1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令 = y ，则有 y = ， 从而 dy d = d d + ．代入原方程得到 d d + = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() − = d 4 两边积分：得到通解，然后将 代回.
.
齐次微分方程的解法
1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令 = y ，则有 y = ，从而 dy d = d d + ． 代入原方程得到 d d + = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() − = d 4 两边积分：得到通解，然后将 代回.
.
齐次微分方程的解法
1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令 = y ，则有 y = ，从而 dy d = d d + ．代入原方程得到 d d + = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() − = d 4 两边积分：得到通解，然后将 代回.
.
齐次微分方程的解法
1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令 = y ，则有 y = ，从而 dy d = d d + ．代入原方程得到 d d + = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() − = d 4 两边积分：得到通解，然后将 代回.
.
齐次微分方程的解法
1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令 = y ，则有 y = ，从而 dy d = d d + ．代入原方程得到 d d + = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() − = d .
.
齐次微分方程
例 4 求 dy d = y2 y− 2 的通解． 练习 3 求微分方程 y′ = y+ 的通解．.
.
齐次微分方程
例 4 求 dy d = y2 y− 2 的通解． 练习 3 求微分方程 y′ = y+ 的通解．.
.
例 5 求微分方程 tny + y d = dy 在初始条 件 y|=2 = π 下的特解． 解答 方程即为 dy d = tn y + y ． 令 = y ，得到 d d + = tn + ． 分离变量，得到 cot d = d ． 两边积分，得到 ln| sin | = ln || + C0． 整理等式，得到 sin = C，即 sin y = C． 代入初始条件，得到 C = 1 2，故特解为 sin y = 1 2．.
.
例 5 求微分方程 tny + y d = dy 在初始条 件 y|=2 = π 下的特解． 解答 方程即为 dy d = tn y + y ． 令 = y ，得到 d d + = tn + ． 分离变量，得到 cot d = d ． 两边积分，得到 ln| sin | = ln || + C0． 整理等式，得到 sin = C，即 sin y = C． 代入初始条件，得到 C = 1 2，故特解为 sin y = 1 2．.
.
例 5 求微分方程 tny + y d = dy 在初始条 件 y|=2 = π 下的特解． 解答 方程即为 dy d = tn y + y ． 令 = y ，得到 d d + = tn + ． 分离变量，得到 cot d = d ． 两边积分，得到 ln| sin | = ln || + C0． 整理等式，得到 sin = C，即 sin y = C． 代入初始条件，得到 C= 1 2，故特解为 sin y = 1 2．.
.
例 5 求微分方程 tny + y d = dy 在初始条 件 y|=2 = π 下的特解． 解答 方程即为 dy d = tn y + y ． 令 = y ，得到 d d + = tn + ． 分离变量，得到 cot d = d ． 两边积分，得到 ln| sin | = ln || + C0． 整理等式，得到 sin = C，即 sin y = C． 代入初始条件，得到 C= 1 2，故特解为 sin y = 1 2．.
.
例 5 求微分方程 tny + y d = dy 在初始条 件 y|=2 = π 下的特解． 解答 方程即为 dy d = tn y + y ． 令 = y ，得到 d d + = tn + ． 分离变量，得到 cot d = d ． 两边积分，得到 ln| sin | = ln || + C0． 整理等式，得到 sin = C，即 sin y = C． 代入初始条件，得到 C= 1 2，故特解为 sin y = 1 2．.
.
例 5 求微分方程 tny + y d = dy 在初始条 件 y|=2 = π 下的特解． 解答 方程即为 dy d = tn y + y ． 令 = y ，得到 d d + = tn + ． 分离变量，得到 cot d = d ． 两边积分，得到 ln| sin | = ln || + C0． 整理等式，得到 sin = C，即 sin y = C． 代入初始条件，得到 C= 1 2，故特解为 sin y = 1 2．.
.
例 5 求微分方程 tny + y d = dy 在初始条 件 y|=2 = π 下的特解． 解答 方程即为 dy d = tn y + y ． 令 = y ，得到 d d + = tn + ． 分离变量，得到 cot d = d ． 两边积分，得到 ln| sin | = ln || + C0． 整理等式，得到 sin = C，即 sin y = C．.
.
练习 4 求微分方程 (2 + y2) d − y dy = 0 在初
.
.
.
.
一阶微分方程
.
第二节
.
.
可分离变量微分方程
.
A
.
.
齐次微分方程
.
B
.
.
一阶线性微分方程
.
C
.
.
㈢ 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q() ≡ 0，称为一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q() ̸≡ 0，称为一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′ + y = 2 3 (2) y′ + y2 = sin 7 (3) yy′+ y = 1 7.
.
㈢ 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q() ≡ 0，称为一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q() ̸≡ 0，称为一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′ + y = 2 3 (2) y′ + y2 = sin 7 (3) yy′+ y = 1 7.
.
㈢ 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q() ≡ 0，称为一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q() ̸≡ 0，称为一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′+ y = 2 3 (2) y′ + y2 = sin 7 (3) yy′+ y = 1 7.
.
㈢ 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q() ≡ 0，称为一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q() ̸≡ 0，称为一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′+ y = 2 3 (2) y′+ y2 = sin 7 (3) yy′+ y = 1 7.
.
㈢ 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q() ≡ 0，称为一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q() ̸≡ 0，称为一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′+ y = 2 3 (2) y′+ y2 = sin 7.
.
一阶线性齐次微分方程
先看一阶线性齐 · 次· 微分方程 y′+ p()y = 0． · · · · 分离变量得到 dy y = −p() d 两边同时积分，得到 ln|y| = − ∫ p() d + C0 消去对数，得到通解为（其中 C = ±eC0） y = Ce− ∫ p() d.
.
一阶线性齐次微分方程
先看一阶线性齐 · 次· 微分方程 y′+ p()y = 0． · · · · 分离变量得到 dy y = −p() d 两边同时积分，得到 ln|y| = − ∫ p() d + C0 消去对数，得到通解为（其中 C = ±eC0） y = Ce− ∫ p() d.
.
一阶线性齐次微分方程
先看一阶线性齐 · 次· 微分方程 y′+ p()y = 0． · · · · 分离变量得到 dy y = −p() d 两边同时积分，得到 ln|y| = − ∫ p() d + C0 消去对数，得到通解为（其中 C = ±eC0） y = Ce− ∫ p() d.
.
一阶线性齐次微分方程
先看一阶线性齐 · 次· 微分方程 y′+ p()y = 0． · · · · 分离变量得到 dy y = −p() d 两边同时积分，得到 ln|y| = − ∫ p() d + C0 消去对数，得到通解为（其中 C = ±eC ）.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 6 求微分方程 y′+ 1 y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′+ y = 2 合并左边：(y)′ = 3 两边积分：y = 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2+ C 1 .
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 6 求微分方程 y′+ 1 y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′+ y = 2 合并左边：(y)′ = 3 两边积分：y = 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2+ C 1 .
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 6 求微分方程 y′+ 1 y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′ + y = 2 合并左边：(y)′ = 3 两边积分：y = 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2+ C 1 .
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 6 求微分方程 y′+ 1 y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′ + y = 2 合并左边：(y)′ = 3 两边积分：y = 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2+ C 1 .
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 6 求微分方程 y′+ 1 y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′ + y = 2 合并左边：(y)′ = 3 两边积分：y = 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2+ C 1 .
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 6 求微分方程 y′+ 1 y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′ + y = 2 合并左边：(y)′ = 3 两边积分：y = 1 2 2+ C.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 7 求微分方程 y′− 1 y = 2 的通解． 1 恒等变形：1 y′− 1 2 y = 2 合并左边： 1 y ′ = 3 两边积分：1 y= 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2 3+ C.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 7 求微分方程 y′− 1 y = 2 的通解． 1 恒等变形：1 y′− 1 2 y = 2 合并左边： 1 y ′ = 3 两边积分：1 y= 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2 3+ C.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 7 求微分方程 y′− 1 y = 2 的通解． 1 恒等变形：1 y′− 1 2 y = 2 合并左边： 1 y ′ = 3 两边积分：1 y= 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2 3+ C.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 7 求微分方程 y′− 1 y = 2 的通解． 1 恒等变形：1 y′− 1 2 y = 2 合并左边： 1 y ′ = 3 两边积分：1 y= 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2 3+ C.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 7 求微分方程 y′− 1 y = 2 的通解． 1 恒等变形：1 y′− 1 2 y = 2 合并左边： 1 y ′ = 3 两边积分：1 y= 1 2 2+ C 4 得到通解：y = 1 2 3+ C.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 7 求微分方程 y′− 1 y = 2 的通解． 1 恒等变形：1 y′− 1 2 y = 2 合并左边： 1 y ′ = 3 两边积分：1 y= 1 2 2+ C.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 8 求微分方程 y′+ y = 1 的通解． 1 恒等变形：ey′+ ey = e 2 合并左边：(ey)′ = e 3 两边积分：ey = e + C 4 得到通解：y = 1 + Ce−.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 8 求微分方程 y′+ y = 1 的通解． 1 恒等变形：ey′+ ey = e 2 合并左边：(ey)′ = e 3 两边积分：ey = e + C 4 得到通解：y = 1 + Ce−.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 8 求微分方程 y′+ y = 1 的通解． 1 恒等变形：ey′+ ey = e 2 合并左边：(ey)′ = e 3 两边积分：ey = e + C 4 得到通解：y = 1 + Ce−.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 8 求微分方程 y′+ y = 1 的通解． 1 恒等变形：ey′+ ey = e 2 合并左边：(ey)′ = e 3 两边积分：ey = e + C 4 得到通解：y = 1 + Ce−.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 8 求微分方程 y′+ y = 1 的通解． 1 恒等变形：ey′+ ey = e 2 合并左边：(ey)′ = e 3 两边积分：ey = e + C 4 得到通解：y = 1 + Ce−.
.
一阶线性非齐次微分方程
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 8 求微分方程 y′+ y = 1 的通解． 1 恒等变形：ey′+ ey = e 2 合并左边：(ey)′ = e 3 两边积分：ey = e + C 得到通解：y = 1 + Ce−.
.
积分因子法
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 1 恒等变形：()y′+ p()()y= q()() 2 合并左边： () y′ = q()() 3 两边积分：() y = ∫ q()() d + C 4 得到通解：y = 1 () ∫ q()() d + C 问题 积分因子 () 是否一定存在？如何求出它？.
.
积分因子法
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 1 恒等变形：()y′+ p()()y= q()() 2 合并左边： () y′ = q()() 3 两边积分：() y = ∫ q()() d + C 4 得到通解：y = 1 () ∫ q()() d + C 问题 积分因子 () 是否一定存在？如何求出它？.
.
积分因子法
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 1 恒等变形：()y′+ p()()y= q()() 2 合并左边： () y′ = q()() 3 两边积分：() y = ∫ q()() d + C 4 得到通解：y = 1 () ∫ q()() d + C 问题 积分因子 () 是否一定存在？如何求出它？.
.
积分因子法
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 1 恒等变形：()y′+ p()()y= q()() 2 合并左边： () y′ = q()() 3 两边积分：() y = ∫ q()() d + C 4 得到通解：y = 1 () ∫ q()() d + C 问题 积分因子 () 是否一定存在？如何求出它？.
.
积分因子法
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 1 恒等变形：()y′+ p()()y= q()() 2 合并左边： () y′ = q()() 3 两边积分：() y = ∫ q()() d + C 4 得到通解：y = 1 () ∫ q()() d + C 问题 积分因子 () 是否一定存在？如何求出它？.
.
积分因子法
再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 1 恒等变形：()y′+ p()()y= q()() 2 合并左边： () y′ = q()() 3 两边积分：() y = ∫ q()() d + C 4 得到通解：y = 1 () ∫ q()() d + C.
.
积分因子法
问题 寻找 = () 使得 y′+ p() y = ( y)′． 解答 展开等式右边得 y′+ p() y = y′+ ′y． 化简条件：p() = ′，即 p() = d d 分离变量：d = p() 求解方程：ln = ∫ p() d，即 = e∫p() d.
.
积分因子法
问题 寻找 = () 使得 y′+ p() y = ( y)′． 解答 展开等式右边得 y′+ p() y = y′+ ′y． 化简条件：p() = ′，即 p() = d d 分离变量：d = p() 求解方程：ln = ∫ p() d，即 = e∫p() d.
.
积分因子法
问题 寻找 = () 使得 y′+ p() y = ( y)′． 解答 展开等式右边得 y′+ p() y = y′+ ′y． 化简条件：p() = ′， 即 p() = d d 分离变量：d = p() 求解方程：ln = ∫ p() d，即 = e∫p() d.
.
积分因子法
问题 寻找 = () 使得 y′+ p() y = ( y)′． 解答 展开等式右边得 y′+ p() y = y′+ ′y． 化简条件：p() = ′，即 p() = d d 分离变量：d = p() 求解方程：ln = ∫ p() d，即 = e∫p() d.
.
积分因子法
问题 寻找 = () 使得 y′+ p() y = ( y)′． 解答 展开等式右边得 y′+ p() y = y′+ ′y． 化简条件：p() = ′，即 p() = d d 分离变量：d = p() 求解方程：ln = ∫ p() d，即 = e∫p() d.
.
积分因子法
问题 寻找 = () 使得 y′+ p() y = ( y)′． 解答 展开等式右边得 y′+ p() y = y′+ ′y． 化简条件：p() = ′，即 p() = d d 分离变量：d = p() ∫ ∫.
.
一阶线性微分方程的通解
对一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q() 令积分因子为 () = e ∫ p() d 则方程的通解为 y = 1 () ∫ q()() d + C .
.
一阶线性微分方程的通解
对一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q() 令积分因子为 () = e ∫ p() d 则方程的通解为 y = 1 () ∫ q()() d + C .
.
一阶线性微分方程的通解
对一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q() 令积分因子为 () = e ∫ p() d 则方程的通解为 y = 1 () ∫ q()() d + C .
.
例 9 求 y′− 2
+ 1y = ( + 1)
3 的通解．
.
.
例 9 求 y′− 2
+ 1y = ( + 1)
3 的通解．
.
.
.
.
.
.
复习 3 求一阶微分方程 y′ + y = 32 在初始条件 y|=1 = 0 下的特解． 解答 通解 y= 1 3+ C，特解 y = 1 3− 1．.
.
复习 3 求一阶微分方程 y′ + y = 32 在初始条件 y|=1 = 0 下的特解． 解答 通解 y= 1 3+ C ，特解 y = 1 3− 1 ．.
.
一阶微分方程
例 10 求微分方程 dy d = 1 + y． 注记 d dy + p(y) = q(y) 也是一阶线性微分方程．.
.
一阶微分方程
例 10 求微分方程 dy d = 1 + y． 注记 d dy + p(y) = q(y) 也是一阶线性微分方程．.
.
.
.
微分方程的一般概念
.
第一节
.
.
一阶微分方程
.
第二节
.
.
二阶微分方程
.
∗第三节
.
.
差分方程的一般概念
.
第四节
.
.
一阶常系数线性差分方程
.
第五节
.
.
.
.
二阶微分方程
.
∗第三节
.
.
可降阶的二阶微分方程
.
A
.
.
二阶常系数线性微分方程
.
B
.
.
㈠ y
′′= ƒ () 型
.
.
㈡ y
′′= ƒ (
,
y
′) 型
例 2 求 y′′ = 1y′ 的通解．
.
.
㈡ y
′′= ƒ (
,
y
′) 型
例 2 求 y′′ = 1y′ 的通解．
.
.
㈢ y
′′= ƒ (y
,
y
′) 型
例 3 求 y′′ = 32y2 在初始条件 y|=3 = 1，y′|=3 = 1 下的特解． 练 习 2 求 y′′ = 3py 满足初始条件 y|=0 = 1， y′|=0 = 2 的特解．.
.
㈢ y
′′= ƒ (y
,
y
′) 型
例 3 求 y′′ = 32y2 在初始条件 y|=3 = 1，y′|=3 = 1 下的特解． 练 习 2 求 y′′ = 3py 满足初始条件 y|=0 = 1， y′|=0 = 2 的特解．.
.
.
.
二阶微分方程
.
∗第三节
.
.
可降阶的二阶微分方程
.
A
.
.
二阶常系数线性微分方程
.
B
.
.
二阶常系数齐次线性方程
研究二 · 阶· 常· 系· 数· 齐· 次· 线· 性· 方· 程· ：y′′+ py′+ qy = 0 · · · · 例 4 求微分方程 y′′+ 4y′ + 3y = 0 的通解． 1 恒等变形：得 (y′′ + y′) + 3(y′+ y) = 0 2 变量代换：令 z = y′+ y，则 z′ + 3z = 0 3 求解方程：得 z = Ce−3，即 y′+ y = Ce−3 4 求解方程：得 y = C1e− + C2e−3.
.
二阶常系数齐次线性方程
研究二 · 阶· 常· 系· 数· 齐· 次· 线· 性· 方· 程· ：y′′+ py′+ qy = 0 · · · · 例 4 求微分方程 y′′+ 4y′ + 3y = 0 的通解． 1 恒等变形：得 (y′′ + y′) + 3(y′+ y) = 0 2 变量代换：令 z = y′+ y，则 z′ + 3z = 0 3 求解方程：得 z = Ce−3，即 y′+ y = Ce−3 4 求解方程：得 y = C1e− + C2e−3.
.
二阶常系数齐次线性方程
研究二 · 阶· 常· 系· 数· 齐· 次· 线· 性· 方· 程· ：y′′+ py′+ qy = 0 · · · · 例 4 求微分方程 y′′+ 4y′ + 3y = 0 的通解． 1 恒等变形：得 (y′′+ y′) + 3(y′+ y) = 0 2 变量代换：令 z = y′+ y，则 z′ + 3z = 0 3 求解方程：得 z = Ce−3，即 y′+ y = Ce−3 4 求解方程：得 y = C1e− + C2e−3.
.
二阶常系数齐次线性方程
研究二 · 阶· 常· 系· 数· 齐· 次· 线· 性· 方· 程· ：y′′+ py′+ qy = 0 · · · · 例 4 求微分方程 y′′+ 4y′ + 3y = 0 的通解． 1 恒等变形：得 (y′′+ y′) + 3(y′+ y) = 0 2 变量代换：令 z = y′+ y，则 z′+ 3z = 0 3 求解方程：得 z = Ce−3，即 y′+ y = Ce−3 4 求解方程：得 y = C1e− + C2e−3.
.
二阶常系数齐次线性方程
研究二 · 阶· 常· 系· 数· 齐· 次· 线· 性· 方· 程· ：y′′+ py′+ qy = 0 · · · · 例 4 求微分方程 y′′+ 4y′ + 3y = 0 的通解． 1 恒等变形：得 (y′′+ y′) + 3(y′+ y) = 0 2 变量代换：令 z = y′+ y，则 z′+ 3z = 0 3 求解方程：得 z = Ce−3，即 y′+ y = Ce−3 4 求解方程：得 y = C1e− + C2e−3.
.
二阶常系数齐次线性方程
研究二 · 阶· 常· 系· 数· 齐· 次· 线· 性· 方· 程· ：y′′+ py′+ qy = 0 · · · · 例 4 求微分方程 y′′+ 4y′ + 3y = 0 的通解． 1 恒等变形：得 (y′′+ y′) + 3(y′+ y) = 0 2 变量代换：令 z = y′+ y，则 z′+ 3z = 0 3 求解方程：得 z = Ce−3，即 y′+ y = Ce−3 求解方程：得 = C − + C −3.
