帶通濾波器使用耦合係數表示

3.1.1 低通原型濾波器

濾波器的標準原型，通常是從集總式元件所設計出的低通原型濾波 器，如圖 3.1-1(a)(b)。

g0

g1 g3

g2 g4 gn+1

gn

gn-1

gn-2

gn-3

圖 3.1-1(a) n 為奇數的低通原型濾波器

g₀

g₁ g₃

g₂ g₄ gn+1

g_n-1

g_n-2 g_n-3

g_n-4 gn

圖 3.1-1(b) n 為偶數的低通原型濾波器

3.1.2 插入J型轉換器

利用 J 型轉換器(Admittance Inverter ; J Inverter)去改變串聯電感到並聯 電容；利用 K 型轉換器(Impedance Inverter ; K Inverter)去改變並聯電容到串 聯電感。圖 3.1-2 為利用 J 型轉換器去改變串聯電感到並聯電容的例子。

gi

J=1 J=1

gi

gi j Y J gi

Y_in j

= × ω

1 Y

L

in = = ×

ω

2 1

圖 3.1-2 J 型轉換器

3.1.3 低通原型濾波器利用J型轉換器表示

將圖 3.1-2 中的等效電路代換掉圖 3.1-1(b)電路中的電感，則圖 3.1-1(b) 可變換成如圖 3.1-3。

3.1.4 低通原型

將圖 3.1-3 的低通原型濾波器轉換成圖 3.1-4 的帶通濾波器。

低通濾波器到帶通濾波器的頻率轉換：

濾波器轉換成帶通濾波器

⎟⎠

⎜⎝

Ω_c W ω₀ ω ⎟⎞

⎜⎛

−

Ω = ω ω₀

1

g1 g2 g3 g_n g_n+1

J=1 J=1 J=1

g0

J=1 J=1

圖 3.1-3 低通原型濾波器利用 J 型轉換器表示

J=1 J=1

g₀

J=1

C_1r L_1r C2r L2r Cnr Lnr g_n+1

J=1

圖 3.1-4 帶通濾波器

jr 比例 寬(Fractional Bandwid

Ω Ω =1_c )

jr

(Internal Coupling Coefficient)[4]來表示的帶通濾波器等效電路，如圖3.1-6。

3

(External Quality Factor)

W

3.2 內部耦合係數(Internal Coupling Coefficient)與外部品質因數 (External Quality Factor)之求法

這一節將會介紹如何利用電磁模擬軟體[5]模擬圖形，設計出與耦合係 數法中外部品質因數和內部耦合係數相對應的共振腔尺寸大小，再將每一 個諧振腔排列，即完成了帶通濾波器的設計。

將共振腔尺寸變化量分別對外部品質因數和內部耦合係數的關係做成 圖表，建立參數資料庫，如此就可以選擇不同的外部品質因數和內部耦合 係數值，簡單、快速設計出不同規格的帶通濾波器。

欲設計的規格，以下，是實際利用 二個

3.2.1 內部耦合係數(Internal Coupling Coefficient)之求法 3.1.6 節所提到Kij和Q 是說明濾波器_ext

鄰近的諧振腔求出耦合係數。

圖 3.2-1 耦合電路

(1) 利用微弱耦合方式來模擬二個相鄰諧振腔之間的耦合量，如圖 3.2-1。

(2) 經過模擬後可觀察到有二個分開的諧振頻率分別為f1及f₂，這二個諧振

頻率的位置與耦合強度有關，若耦合愈強則f₁及f₂間距離愈遠，耦合愈弱則 f1及f₂間距離愈近，如圖 3.2-2。

圖 3.2-2 f1及f2諧振頻率

耦合係數可表示為：

0 1

2 f

k f −

= 其中 為中心頻率。

3.2.2 外部品質因數(External Qua

f

lity Factor)之求法 (Ⅰ) 單輸入端饋入耦合(Singly Loaded)

f0

圖 3.2-3 單輸入端饋入耦合電路

f

₁

f

₂

將輸入端饋入，利用模擬軟體，觀察圖 .2-4 S3 先，找出中心頻率 所對應之相位，然後將此相位加 90^o以及減 90^o，找出這二組所新對應的頻

。

11相位，首

fo

率，最後利用這三個頻率點即可求出外部品質因數

f

_o

f

_-90^o

f

₊₉₀^o

圖3.2-4 S₁₁相位之單輸入端饋入耦合

外部品質因數可表示為：

e o

Q ω ω ω

ω =Δ −Δ =

Δ ±900 + −

o o

Q f

90 0 90

0

±

±

=

= ω

(Ⅱ) 雙輸入端饋入耦合(Doubly Loaded)

e Δω Δf

圖 3.2-5 雙輸入端饋入耦合電路

圖 3.2-6，f_o下降 3dB的頻率點分別對應到f₁和f₂，同樣地，利用這三個頻率 點即可求出外部品質因數。值得一提，當越強的輸入、輸出耦合結構，能 產生相對中心頻率越寬的頻率響應。

3dB

f

₁

f

₂

f

_o

入端饋入耦合

外部品質因數可表示為：

圖 3.2-6 S₂₁大小之雙輸

2 ) (

3

e o

dB Q

ω ω ω

ω =Δ −Δ =

Δ _{+ −} ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

× −

=

1 2

2 0

f f Qext f

以上詳細說明了內部耦合係數與外部品質因數之求法，但要特別注 意，輸入端插入點與接地點之間的距離[6-7]，會因為不同輸入端插入點與 接地點之距離會得到不同的 Q 值，而微帶線寬度與 Q 值的關係，在線愈寬 的情況之下，Q 值會愈大而阻值愈小；也就是說諧振腔的微帶線選擇越窄，

則頻寬會越寬，但損耗也會越大。

爾後所設計之柴比契夫或準橢圓函數之帶通濾波器之諧振腔中心頻率 均設為 1GHz，而柴比契夫或準橢圓函數之帶通濾波器其外部 Q 值，均以上 述單輸入端饋入耦合(Singly Loaded)[8]方法求得。

3.3 步階阻抗諧振腔(Stepped Impedance Resonator , SIR)

一般設計濾波器最常使四分之一波長短路和二分之一波長開路之均勻 阻抗諧振腔(Uniform Impedance Resonator , UIR)，在製作過程中，二分之一 波長開路諧振腔的面積，通常為四分之一波長短路諧振腔的兩倍。另外，

二分之一波長開路諧振腔的二次諧振頻大約在主諧振頻的二倍頻附近，而 四分之一波長短路諧振腔在三倍頻附近，相較之下，四分之一波長短路諧 振腔的面積小，上止帶(Upper Stopband)的抑制力較佳，因此之所設計的帶 通濾波器都以此結構為出發。

以下會介紹步階阻抗諧振腔

抗長度(θ )與低阻抗的長度(θ₂)，可以使諧振腔長度最短(微小化)，巧妙的 選擇高阻抗(Z₁)和低阻抗(Z2)的比值(R=Z2 / Z1)，可將二次諧振頻推至遠處，

綜合上述，面積尺寸微小化、二次諧振頻率推遠，將是本論文設計濾 波器精神所在。

步階阻抗諧振腔，圖中可看到有開路 端、

淺顯易懂的圖表設計出 重要的二個參數；長度與阻抗比。

[9]之特性，設計的過程中，適當選取高阻

1

使得上止帶有較好的止帶抑制能力。

3.3.1 步階阻抗諧振腔之分析

圖 3.3-1 即為四分之一波長短路

接地端和阻抗步階處，而我們在分析此諧振腔時，會忽略步諧不連續 的效應以及開路端邊緣之洩漏電容，這樣的假設可以減少分析複雜度，而 利用簡單的數學式表示諧振腔的特性，最後，利用

最

根據傳輸線原理輸入阻抗Z 和Z_{i in}為

1 1tanθ jZ

Z_i = (3.1)

2 1 1 1

2 2 1 1 2

1 1 1

2 2 1

1tanθ tanθ jZ tanθ jZ tanθ

jZ jZ Z jZ

Z +

+ =

= _{2 2} (3.2)

tan tan tan

) tan

(jZ θ θ Z Z θ θ

j

in Z

− +

Z

₁

電氣長度θ₁，此時θ₁會對應到一點正規化長度L_n，這表示說諧振腔長度為 Ln^․(π/2)。

Z₁ Z₂

Z₁ Z₂

Z₁ Z₂

圖 3.3-2 步階阻抗諧振腔之諧振條件

(1) R = Z1 / Z2 > 1 為圖 3.3-2 右邊上面的步階阻抗諧振腔，此時諧振腔長度 比四分之一波長長。

) R = Z1 / Z2 < 1 為圖 3.3-2 右邊下面的步階阻抗諧振腔，此時諧振腔長度 比四分之一波長短。

接下來我們將(3.3)以θ₂=θT-θ1取代 / Z

(2) R = Z1 2 = 1 為圖 3.3-2 右邊中間的均勻阻抗諧振腔，此時諧振腔長度 為四分之一波長。

(3

1 1

1 2

1tan tan tan( ) 1 tan tan

tanθ θ θ θ θ θ θ

T

R T

= +

−

=

= ^tanθ^1(tanθ_T −^tanθ¹⁾ (3.6)

⎟⎟⎞

tan tan 1

Z₁ 由(3.14)、(3.15)、(3.16)式，可求得下列結果

1

Z₁

Z₂ Z₂ Z₁

Z₁ Z₂

圖 3.3-4 正規化諧振頻率與阻抗比值之關係

3.3-4 所 3 倍，R>1

3 倍，而 R<1 時小於 3 倍。

由上述的結果可以知道，其他高次諧振頻率為 的函數值，換言之，

估其他高次 率的比值，

可以利用這種關係，將二次諧振頻率推遠，

振頻率推遠的方式就是將 R 值降低，使得步階阻

由圖 示，當 R=1 時，二次諧振頻率為主諧振頻率的 時大於

R

控制阻抗的比值 R，就可以預 諧振頻率與主諧振頻

而從方程式(3.18)得知，要將諧 抗諧振腔的長度θ_T也跟著 縮小(微小化)。

第四章 設計柴比契夫帶通濾波器

本 章 節 將 利 用 前 面 兩 章 所 敘 述 之 方 法 ， 設 計 四 階 柴 比 契 夫 梳 型 (Combline)、指叉型(Interdigital)、折疊型(Folded)與渦型(Spiral)帶通濾波器。

這次使用的印刷電路板為Rogers公司所生產RO4003C高頻電路板，介電常數 ε_r=3.38，板材厚度H=20mil，金屬厚度T=0.7mil，損耗正切tanδ=0.002。

濾波器設計流程：

(1) 決 定 濾 波 器 所 需 的 物 理 結 構 (Physical Structure) 、 中 心 頻 率 (Center Frequency)、頻寬(Bandwidth)、階數(Order)、漣波大小(Ripple)、響應 (Response)。

(2)利用耦合係數法計算外部品質因數和內部耦合係數。

(3)利用電磁模擬軟體模擬頻率響應，求出與耦合係數法相同的外部品質因 數和內部耦合係數，並建立內部耦合係數與外部品質因數的設計曲線。

利用電磁模擬軟體做整體濾波器模擬並加以微調。

適當的讓結構作變化，可製作出一系列之梳型帶通濾波

，參看 4.2 節。

.1.1 使用混合低阻抗微帶線與背地共平面波導之諧振腔

設計中心頻率為 1GHz，漣波值為 0.05dB、5%頻寬、四階柴氏指叉型 通濾波器，諧振腔之結構為圖 4.1-1，首先經查表得知一個漣波值為 0.05dB 四階柴氏低通雛型濾波器的元件值，之後將內部耦合係數與外部品質因 求出。

(4)

4.1 指叉型帶通濾波器設計

在論文的第二章，介紹了混合微帶線與背地共平面波導之諧振腔，我 們將利用此諧振腔設計型帶通濾波器，接著會說明，這個結構無法製作梳 型帶通濾波器。而

器 4

帶 之 數

圖 4.1-1 混合低阻抗微帶線與背地共平面波導之諧振腔結構

g2 g3 g4 g5 g0 g1

1.0000 0.9588 1.2970 1.6078 0.7735 1.2396 0448 9588 19 .

S12 (mil)

30 40 50 60 70 80 90

K12 ; K23 ; K34

0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055

圖 4.1-2 1、2 腔與 2、3 腔和3、4 腔之內部耦合係數

d (mil)

50 100 150 200 250 300 350

Qext

10 20 30 40 50 60 70

圖 4.1-3 外部品質因數

圖 4.1-4 濾波器模擬電路 圖 4.1-5 濾波器實際電路

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 Frequency (GHz)

Simulation Passband

-60

Frequency (GHz) Measurement Passband

-60

Frequency (GHz)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Frequency (GHz) Measurement Fullband

-100 Simulation Fullband

-120

利用阻抗並聯方法和增加鑽孔接地，製作低阻抗微帶線與低阻抗背地共平 面波導以及高阻抗微帶線與低阻抗背地共平面波導兩個梳型帶通濾波器。

4.2.1 使用混合高阻抗微帶線與背地共平面波導之諧振腔

設計中心頻率為 1GHz，漣波值為 0.05dB、5%頻寬、四階柴氏梳型帶 通濾波器，諧振腔之結構為圖 4.2-1。

圖 4.2-1 混合高阻抗微帶線與背地共平面波導之諧振腔結構

g0 g1 g2 g3 g4 g5 1.0000 0.9588 1.2970 1.6078 0.7735 1.2396

0448 2396 19 .

S12 (mil)

0 5 10 15 20 25 30 35

0.00 0.01 0.03 0.04 0.07

0.06

0.05

K12 ; K23 ; K34

0.02

圖 4.2-2 1、2 腔與 2、3 腔和 3、4 腔之內部耦合係數

d (mil)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Qext

0 40 60 80 100 120 140 160

20

圖 4.2-3 外部品質因數

圖 4.2-4 濾波器模擬電路 圖 4.2-5 濾波器實際電路

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 Frequency (GHz)

Simulation Passband

-95

Frequency (GHz) Measurement Passband

-80

Frequency (GHz) Measurement Fullband

-80 -60 -40 -20

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Frequency (GHz) Simulation Fullband

0

(Ⅰ) 增加鑽孔接地之數量

分析一個混合微帶線與背地共平面波導之諧振腔，首先背地共平面波 導之接地線只有一個鑽孔接地位於上端，如圖 4.2-10，接著我們讓下端也鑽 孔接地，如圖 4.2-11，可以看出，我們使二次諧振頻率消除了，這個機制是 將原本四分之一波長短路變成現在二分之一波長短路。

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Frequency (GHz) Simulation 0

-120 -100 -80 -60 -40 -20

圖 4.2-10 背地共平面波導鑽孔接地位於上端

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Simulation 0

-120 -80 -60 -40

-100 -20

Frequency (GHz)

圖 4.2-11 背地共平面波導鑽孔接地位於上、下端

(Ⅱ) 降低背地共平面波導之阻抗

利用並聯的方式將多條訊號與接地線以平行插入，降低背地共平面波 導之阻抗，進而將二次諧振頻率推遠，如圖 4.2-12。可藉由電磁模擬軟體算

4.2-13。

出共平面波導之阻抗，如圖

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Frequency (GHz) Simulation

-120 -100 -80 0

-60 -40 -20

圖 4.2-12 多條訊號與接地線以平行插入共平面波導

1 2

SUBCKT ID=S1

NET="impedance_b_5s14_4g12_8g5_2port"

PORT P=1

Z=zeff Ohm

PORT P=2 Z=

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Frequency (GHz) Simulation

-80 -60 -40 -20 0

抗背地共平面波導之諧振腔 圖 4.2-13 背地共平面波導之阻抗(Z_CBCPW=16Ω)

4.2.3 使用混合低阻抗微帶線與低阻

利用 4.2.2 節所提出的方法，製作微帶線阻抗為 23Ω(Z_Microstrip=23Ω)、

背地共平面波導阻抗為 16Ω(Z_CBCPW=16Ω)之諧振腔。

zeff Ohm zeff=16

設計中心頻率為 1GHz，漣波值為 0.05dB、6%頻寬、四階柴氏梳型帶 通濾波器，諧振腔之結構為圖 4.2-14。

圖 4.2-14 阻 腔結構

g0 g1 g2 g3 g4 g5 混合低 抗微帶線與低阻抗背地共平面波導之諧振

1.0000 0.9588 1.2970 1.6078 0.7735 1.2396

0538

S12 (mil)

0 10 20 30 40 50

K12 ; K23 ; K34

0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.060

0.055

圖 4.2-15 1、2 腔與 2、3 腔和 3、4 腔之內部耦合係數

d (mil)

50 100 150 200 250 300 350

Qext

10 20 30 40 60 70

50

圖 4.2-16 外部品質因數

圖 4.2-17 濾波器模擬電路 圖 4.2-18 濾波器實際電路

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 Frequency (GHz)

Simulation Passband

-60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

Frequency (GHz) Measurement Passband

-60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

圖 4.2-19 通帶模擬結果 圖 4.2-20 通帶量測結果

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Frequency (GHz)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Frequency (GHz) Measurement Fullband

-80 -60 -40 -20 Simulation ullba d F n

-80 -60 -40 -20

0 0

圖 4.2-21 全頻帶模擬結果 圖 4.2-22 全頻帶量測結果

4.2.4 使用混合高阻抗微帶線與低阻抗背地共平面波導之諧振腔

利用 4.2.2 節所提出的方法，製作微帶線阻抗為 97Ω(Z_Microstrip=97Ω)、

地共平面波導阻抗為 20Ω(Z_CBCPW=20Ω)之諧振腔。

設計中心頻率為 1GHz，漣波值為 0.05dB、6%頻寬、四階柴氏梳型帶 通濾波器，諧振腔之結構為圖 4.2-23。

利用電磁模擬軟體將內部耦合係數和外部品質因數求出，如圖 4.2-24 和圖 4.2-25。

模擬電路及實際電路如圖 4.2-26 及圖 4.2-27。通帶模擬結果和量測結

模擬電路及實際電路如圖 4.2-26 及圖 4.2-27。通帶模擬結果和量測結

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