3.4.1 多级动态网络（Omega 网络）
3.4.1.1 网络的结构及其特点
网络又称为多级洗牌置换网络，若它的输入端或输出端数为 N，则网络的交叉开关级
数为 n=log N ，每级有2 N/2 个交叉开关，故网络的交叉开关数为(N/2)log N 。网络的结2 构特点是：
（1）采用 2×2 的 4 功能交叉开关，4 个功能为直送、交叉、上播、下播。
（2）各级交叉开关的级号编排是从网络输入端到输出端，依次为 Kn-1、…、K1、K0。
（3）级间连接从网络输入端到输出端依次分别表示为 Cn、…、C1、C0，其中，C1～Cn
都是均匀洗牌置换函数，C0是恒等置换函数。
因此，网络的输入端对输出端的互连函数表达式为：
(n)=σnHn-1σn-1Hn-2…σ1H0I0=(σH)n
其中：Hi是 Ki级交叉开关在单元控制下实现的置换函数（0≤i≤n-1）， 是j Cj级级间连接模 式实现的均匀洗牌置换函数（1≤j≤n），I0是 C0级级间连接模式实现的恒等置换函数。故可 称网络为多级洗牌置换网络，N=8 的网络的结构如图 3-29 所示。
图 3-29 N=8 的网络结构 3.4.1.2 网络的开关控制与寻径算法
网络对交叉开关状态采用单元控制方式来获得所需要的输入端到输出端的连接路径，交 叉开关单元控制采用终端标记寻径算法。所谓终端标记寻径算法的含义是指：以终端的二进制 地址 D 中的各位作为控制信号，来控制从源端到终端所经过路径上的各级交叉开关的工作状 态，实现源端到终端的连接来保证数据正确传送。终端标记寻径算法具体如下：
设网络输入端二进制地址编号为 S=sn-1 sn-2…s1s0，输出端二进制地址编号为 D=d n-1dn-2… d1 d0。从输入端 S 开始，第 i 级 Ki交叉开关状态由终端地址 D 的相应二进制数位 di控制。若 di=0，则 Ki 级上对应交叉开关的输入端与上输出端相连；若 di=1，则 Ki级上对应交叉开关的 输入端与下输出端相连。
如图 3-30 所示，当源端地址为 S =010，终端地址为 D=110 时，连接源端 010 的 K2级的 交叉开关因终端地址 D =110 的 d2 =1，故使该交叉开关输入端与下输出端相连。同样，因 d1=1，
故 k1级的对应交叉开关的输入端与下输出端相连；因 d0=0，故 K0 级的对应交叉开关的输入 端与上输出端相连。从而完成了网络源端 S=010 到终端 D=110 的连接。
对网络的源端集合到终端集合的连接，都可用终端标记法来控制交叉开关的工作状态。
但由于终端标记法使每一个源端终端对的连接路径是唯一的，因此不能保证不发生争用交叉开 输入端 K2 K1 K0 输出端
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 C3 C2 C1 C0
关状态的冲突。例如要实现(000,000)和(100,010)两对同时连接，就会发生 K2级交叉开关的冲 突，如图 3-30 所示，即网络是一种阻塞网。
图 3-30 N=8 的网络发生争用交叉开关冲突 3.4.1.3 网络可实现的互连函数
（1）恒等置换。
f(x)=x 其中 0≤x<N
（2）按 c 序散播加上距离为 d 的移数置换。
f(x)=cx+d 其中 0≤x<N，c 为奇数
（3）a 序向量的收集加上距离为 b 的移数置换。
f(ax+b)=x 其中 0≤x<N，a 为奇数
在数组中，网络可完成按行、列、对角线和子块等无冲突的访问，因此网络的应用极 广泛。但不能用网络来实现源端集合到终端集合的均匀洗牌、蝶式和位序颠倒等置换，因为 这些置换连接要求会发生争用开关的冲突。
3.4.2 STARAN多级动态网络
3.4.2.1 STARAN 网络的结构及其特点
若 STARAN 网络的输入端或输出端数为 N，则 STARAN 网络的交叉开关级数为 n=log N ，2 每级有 N/2 个交叉开关，故 STARAN 网络的交叉开关数为(N/2)
log N
2 。STARAN 网络的结构 特点是：（1）采用 2×2 的 2 功能交叉开关，两个功能为直送和交叉。
（2）各级交叉开关的级号编排从网络的输入端到输出端，依次将为 K0、K1、…、Kn-1。
（3）级间连接模式从网络输入端到输出端依次表示为 C0、C1、…、Cn，其中，C0是恒等 置换，C1～Cn都是逆洗牌置换。
因此，STARAN 网络的输入端对输出端的互连函数表达式为：
STARAN(n)=I0H0σ1 -1
H1σ2 -1
…Hn-1σn -1
=(Hσ-1)n
其中：Hi是 Ki级交叉开关级在级控制或组控制下实现的置换函数（0≤i≤n-1），σ-1j是 Cj级 级间连接模式实现的逆洗牌置换函数（1≤j≤n），I0是 C0级级间连接模式实现的恒等置换函 数。N=8 的 STARAN 网络的结构如图 3-31 所示。
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 C3 C2 C1 C0
输入端 K2 K1 K0 输出端 000
010
100
000
010
110
图 3-31 N=8 的 STARAN 网络结构 3.4.2.2 STARAN 网络的开关控制
STARAN 网络的交叉开关控制方式有两种：一种是级控制，可实现方体置换，故级控制 的 STARAN 网络又被称为方体网络；另一种是组控制，可实现移数置换，故组控制的 STARAN 网络又被称为移数网络。
1．级控制
在级控制下，对于一个两功能交叉开关，只需一个控制位信号 f 就可控制交叉开关的工作 状态。交叉开关输出 V(x)与输入 x 的连接和控制位 f 的关系可表示为：
V(x)=x f
若 f=0，则 V(x)=x，开关为直送连接；若 f=1，则 V(x)=
x
，交叉开关为交叉连接。对于级控制，可以用二进制向量 F=(fn-1fn-2…f1f0)表示网络的控制信号，F 的位分量 fi就是 交叉开关级 Ki的所有交叉开关的控制位信号。这样 STARAN 网络各级交叉开关实现的互连函 数为：
V(xn-1xn-2…x1x0)=(xn-1 fn-1,xn-2 fn-2,…,x1 f1,x0 f0) 2．组控制
STARAN 网络的组控制是指将第 i 级的 N/2 个 2×2 的 2 功能开关分成 i+1 组，每组用一 个位信号控制交叉开关的工作状态。对于一个两功能交叉开关，级数是 n=log N 的2 N×N 的 STARAN 网络，从第 0 级至第 n-1 级所需的控制信号位数分别为 1、2、…、n 个，因此，共 需 n(n+1)/2 个位组成二进制控制向量 F。对于 N=8 的网络，需要 6 个位信号组成控制向量 F，
表示为 F=(f23 f22 f21 f12f11 f0)。交叉开关输出 V(x)与输入 x 的连接和控制位 f 的关系与级控制相 同。实现移数置换的互连函数为：
(x)=(x+2m) mod 2p 其中，p 和 m 都是整数，且 0≤m<p≤n。
3.4.2.3 STARAN 网络可实现的互连函数 1．级控制方式的方体置换
在级控制方式下，含有 n 级的 STARAN 网络需要的二进制控制信号向量 F 为 n 位，可取 N=2n个不同组合值，从而可使 N×N 的 STARAN 网络实现 N 种置换。N=8 的 STARAN 网络 分别在 8 种级控信号（000～111）控制下，实现的网络输入端到输出端的连接如表 3-3 所示。
A
B
C
D
I E
L K J G
F
H 输
入 端
输 出 端 0 1 2 3 4 5 6 7 0
1 2 3 4 5 6 7
C0 C1 C2 C3
K0 K1 K2
表 3-3 3 级 STARAN 网络入出端连接及实现的方体函数功能（fi 为 ki级控制信号）
号 f21、f22和 f23，f21控制开关 I，f22控制开关 J，f23控制开关 K 和 L。实现的 7 种移数置换的
图 3-33 N=8 的 STARAN 网实现的移数置换
的值决定了开关级 Ki上相应交叉开关的状态。若 si
di=0，则 Ki上相应交叉开关为直送状态；若 si
di=1，则 Ki上相应交叉开关为交叉状态。例如，当源端地址为 S=100 和终端地址为 D=010 时，从输入端 4 到输出端 2 的路径上的 K0级相应开关为直送，K1级和 K2级的相应开关为交 叉。若同时有从输入端 7 到输出端 6 的连接要求，则会发生争用开关冲突。所以间接二进制 n 方体网络是阻塞网。图 3-34 N=8 的间接二进制 n 方体网络结构 3.4.3.3 n 方体网络可实现的互连函数
间接二进制 n 方体网络的连接能力很强，可实现多种常用的函数置换，例如，移数置换、
子移数置换、P 序置接、逆 P 序置换、P 序加移数置换和交换置换等。
3.4.4 多级动态网络 3.4.4.1 网络结构及其特点
（Delta）网络的一般结构形式为如图 3-35 所示的 an×bn结构，网络级为 n。网络的结 构特点是：
（1）采用 a×b 的交叉开关，各级交叉开关的级号编排从网络的输入端到输出端，依次将 为 K0、K1…、Kn1。
（2）级间连接模式从网络输入端到输出端依次表示为 C0、C1、…、Cn，级间连接模式为 q 洗牌置换函数。
（3）每一级的交叉开关数为：第一交叉开关级 K1的交叉开关数是 an1个，最后交叉开关 级 Kn-1的交叉开关数是 bn1个，中间交叉开关级 Ki的交叉开关数是 anibi1个。
（4）每一级交叉开关的输入端与输出端数为：第一交叉开关级 K1 的输入端数是 an1× a=an，输出端数是 an1×b=an1b；最后交叉开关级 Kn-1的输入端数是 bn1×a=abn1，输出端数 是 bn1×b=bn；中间交叉开关级 Ki的输入端数是 anibi1×a1=ani+1bi1，输出端数是 anibi1× b=anibi；中间交叉开关级 Ki+1的输入端数是 ani1bi×a1=anibi，输出端数是 ani1bi×b=anibi+1。 显然，Ki级交叉开关的输出端数与 Ki+1级交叉开关的输入端数相等。
（5）级间连接为：K1级和 K2级的级间连接是将 K1级的 an1b 个输出端依序分为 q1=an1 组，每组有 r=an1b/an1=b 个输出端，按 q 洗牌分配连接到 K2级的 an1b 个输入端位置；Kn1
级 和 K n 级 的 级间 连接 是将 Kn1 级 的 abn2 个 输 出端 依序 分为 qn-1=abn3 组 ， 每 组 有 r=abn2/abn3=b 个输出端，按 q 洗牌分配连接到 Kn级的 abn2个输入端位置；Ki级和 Ki+1级的
C0 C1 C2 C3
K0 K1 K2
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
级间连接是将 Ki级的 anibi个输出端依序分为 qi=anibi1组，每组有 r=anibi/anibi1=b 个输出端，
按 q 洗牌分配连接到 Ki+1级的 anibi个输入端位置。由 r 恒为 b 可见，实现上就是把一个交叉 开关级的 b 个输出端作为一组，对这一级交叉开关的所有输出端进行 q 洗牌，分配到下一级交 叉开关的输入端位置。
图 3-35 42×32的δ网络结构 3.4.4.2 网络的开关控制与寻径算法
网络的 a×b 交叉开关采用终端标记法来确定源端与终端的连接路径，但终端地址 D 不 是二进制数字，而是以 b 为基数的 b 进制数字。若终端地址表示为 D=(dn-1dn-2…d1d0)b，由 di
控制第（ni）级上的交叉开关，1≤i≤n。例如，一个 42×32的网络如图 3-32 所示。该网 络的 n=2、a=4、b=3，采用 4×3 的交叉开关。若要从输入端 S=(100)2连到输出端 D=(21)3，则 由终端标记 di控制第（ni）级的交叉开关。由 i=0，有 d0的“1”去控制 K2级的相应交叉开 关；由 i=1，有 d1的“2”去控制 K1级的相应交叉开关。所以，K1级上的交叉开关是输入端 与输出端 2 相连，K2级上的交叉开关是输入端与输出端 1 相连，最后到达终端(21)3。
3.4.5 DM多级动态网络
3.4.5.1 DM 网络的结构及其特点
数据变换网络（Data Manipulator，DM）是用于实现数据的排列、重复和间隔等变换的网 络。一个 N×N 的数据变换网络由 n+1 级交叉开关级和 n 级级间连接构成，n=
log N
2 ，每个 交叉开关级有 N 个开关，则数据变换网络的交叉开关数为 N(log N
2 +1)。N=8 的数据变换网 络的结构如图 3-36 所示。数据变换网络的结构特点有：（1）交叉开关级的级号编排从网络输出端到输入端，依次为 K0、K1、…、Kn。
（2）网络输入端的第 n 交叉开关级的每个开关有一个输入端和 3 个输出端，网络输出端 的第 0 级交叉开关级的每个开关有 3 个输入端和一个输出端，中间各交叉开关级的每个开关都 有 3 个输入端和 3 个输出端。
（3）交叉开关级之间的级间连接模式都是 PM2I 置换。即中间交叉开关级第 i 级（0<i<n）
的交叉开关 j（0≤j≤N1）的 3 个输入端分别连接前一级第 i+1 级的 j2i mod N、j 和 j+2i mod N 交叉开关，3 个输出端分别连接后一级第 i1 级的 j2i1 mod N、j 和 j+2i1 mod N 交叉开关。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
K1
00 01 02 10 11 12 20 21 22 输入
端
输出 端
K2
例如，第 i=2 级交叉开关 j=3 的 3 个输入端分别连接前一级第 i+1=3 级的 j2i mod N =322 mod
101、110、111 四个交叉开关。
还 有 一 种 交 叉 开 关 的 控 制 是 采 用 单 元 控 制 的 强 化 数 据 变 换 网 络 （ Augmented Data
还 有 一 种 交 叉 开 关 的 控 制 是 采 用 单 元 控 制 的 强 化 数 据 变 换 网 络 （ Augmented Data