平均數偏移

5.1.1 模擬過程

在模擬的過程中，我們假設資料來自於混合常態分配，其中一個 分配是製程在管制狀態內N(μ σ₀, ²)，另一個分配則是製程在管制狀態 外N(μ σ₁, ²)，其中子群數m=100(1000)，樣本數n=5，μ₀ =0，σ² =1， 平均數的偏移程度δ =(μ μ σ δ₁− ₀) / ( =0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3)，資料來自於管 制狀態外之製程的比例p p( =0.05, 0.1, 0.15, 0.2)，對不同的δ 和p的組合 作模擬。模擬步驟如下：

步驟一. 給定δ 和p值。

步驟二. 生成m組子群資料，每組n個樣本；每組子群有1−p的機率來 自於N(μ σ₀, ²)，p的機率來自於N(μ σ₁, ²)，子群內的資料則都 來自同一分配。

步驟三. 計算出m組子群的組內平均{X¹,...,Xm}並用直接估計法、重覆

篩選法和 EM-MLE 法三種方法估計管制狀態內之製程的參

5.1.2 參數估計的比較

表三到表五分別列出當子群數m=100時直接估計法、重覆篩選 法、和 EM-MLE 法三種估計參數方法的估計值在 10000 次模擬中的 平均值和標準差，表六則是列出求μ₀和σ 的最大概似估計量來估計參 數(與 EM-MLE 法不同，EM-MLE 法是用σSp來估計σ)。圖一和圖二 分別是當子群數m=100時直接估計法、重覆篩選法和 EM-MLE 法三 種方法在μ₀和σ估計上的比較。圖三和圖四則是當m=1000時的情形。

從表三中可以發現直接估計法在估計μ₀方面估計得不好，而且隨 著平均數的偏移程度δ和資料來自於管制狀態外之製程的比例p變大 而變差，原因是因為X是算所有資料的平均，連資料來自於管制狀態 外之製程也會被計算進去，所以會受到管制狀態外之製程的資料影 響，導致估計得不理想。

在X 管制圖中用重覆篩選法去估計參數，從表四中可以發現在估 計μ₀方面也估計得不好，原因是因為X 會受到管制狀態外之製程的資 料影響，雖然說有做過篩選，但是在篩選的過程中也有可能把管制狀 態內之製程的資料給刪除，而且也無法把全部管制狀態外之製程的資 料都刪除。

從表五中可以發現 EM-MLE 法在所有的情況下μ₀和σ 都估計得相

法中我們是採用σSp來估計σ ，如果是用σ 的最大概似估計量估計參 數，從表六中可以發現σ 估計得不理想，因為子群內的資料來自同一 分配，所以我們採用σSp來估計σ 。

從圖一的比較中可以發現，無論偏移程度δ 是多少，EM-MLE 法 在估計μ₀ =0方面表現較好，圖二則顯示三種方法在估計σ =1方面表 現得差不多。

從圖一至圖四可以發現，當子群數m變大時，三種方法在估計

0 0

μ = 和σ =1方面都會表現的比較好。

5.1.3 假警報率α 和偵測力1−β的比較

表七到表九分別列出當子群數m=100時直接估計法、重覆篩選 法、和 EM-MLE 法三種估計參數方法在階段 I 中假警報率和偵測力 在 10000 次模擬中的平均值和標準差。圖五和圖六表示的是當子群數

m=100時三種估計法在階段 I 中假警報率和偵測力的表現，圖七和圖 八則是m=1000時的情形。從圖五和圖六中可以發現，EM-MLE 法的 假警報率比起另外兩種方法要來得低，而偵測力則比較高，因此 EM-MLE 法表現得比另外兩種方法好。

從圖五至圖八可以發現，當子群數m變大時，三種方法在假警報 率和偵測力上都會表現的比較好。

5.1.4 階段 II 中ARL的表現

在階段 I 中偏移程度δ 和資料來自於管制狀態外之製程的比例p 有許多不同的組合，在這裡我們只列出當δ =2和p=0.2時用三種估計 方法估計參數後在階段 II 中ARL的表現，表十至表十二分別列出直接 估計法、重覆篩選法和 EM-MLE 法三種估計參數方法在階段 II 中ARL 的表現。圖九表示的是三種方法在階段 II 中ARL的表現。當階段 II 的資料來自於管制狀態內N(0,1)時，我們發現直接估計法之ARL₀比參 數已知時之設定值 370.4 小很多；重覆篩選法之ARL₀較靠近 370.4 但 即使m大到 1000 仍有偏差(bias)；而 EM-MLE 法之ARL₀雖然在m較 小時比 370.4 大，但隨著m愈大則愈逼近 370.4。當階段 II 的資料來 自於管制狀態外時，EM-MLE 法的ARL₁比另外兩種方法都要小而且 較接近參數已知時之ARL₁。由上面的比較可以得知 EM-MLE 法在階 段 II 中ARL的表現比其他兩種方法為佳。

從表十二中可以發現，無論偏移程度δ 是多少，當子群數m變大 時，ARL會變小且漸漸逼近參數已知時(m= ∞)，而當m=200時，ARL 就會跟參數已知時相當接近，也就是說當階段 I 資料來自於混合常態 分配時，EM-MLE 法至少需要 200 個子群，才能使得估計的參數和 管制圖在階段 II 中ARL的表現與參數已知時相近。