第五章 電腦模擬與比較
5.2 標準差改變
5.2.1 模擬過程
在模擬的過程中，我們假設資料來自於混合常態分配，其中一個 分配是製程在管制狀態內N( ,μ σ02)，另一個分配則是製程在管制狀態 外N( ,μ σ12)，其中子群數m=100(1000)，樣本數n=5，μ =0，σ02 =1， 標準差的改變程度γ σ σ γ= 1/ 0 ( =1, 1.5, 2, 2.5, 3)，資料來自於管制狀態外 之製程的比例p p( =0.05, 0.1, 0.15, 0.2)，對於不同的δ 和p的組合作模 擬。模擬步驟如下：
步驟一. 給定γ 和p初始值。
步驟二. 生成m組子群，每組n個樣本，每組子群有1−p的機率來自於
2
( , 0 )
N μ σ ，p的機率來自於N( ,μ σ12)，子群內的資料則都會來 自同一分配。
步驟三. 用直接估計法、重覆篩選法和 EM-MLE 法三種方法估計管制 狀態內之製程的參數σ0。
步驟四. 利用步驟三得到的σ0建構出S2管制圖，計算假警報率α 和偵 測力1−β
重覆上面模擬步驟r=10000次，求得 10000 個σ0、α 和1−β的平均。
在我們模擬的過程中，管制上下限為
2
S2管制圖中用 EM-MLE 法去估計參數，從表十五中可以發現在 所有的情況下σ0都估計得相當理想，所以 EM-MLE 法是一個不錯的 估計參數方法。
從圖十的比較中可以發現，無論改變程度γ 是多少，EM-MLE 法 在估計σ0 =0方面表現較好，所以 EM-MLE 法比起另外兩種方法要來 得好。
5.2.3 假警報率α 和偵測力1−β的比較
表十六到表十八分別列出當子群數m=100時直接估計法、重覆篩 選法、和 EM-MLE 法三種估計參數方法在階段 I 中假警報率和偵測 力在 10000 次模擬中的平均值和標準差。圖十二和圖十三表示的是當 子群數m=100時三種估計法在階段 I 中假警報率和偵測力的表現，圖 十四和圖十五則是m=1000時的情形。從圖十二和圖十三中可以發 現，EM-MLE 法的假警報率比起另外兩種方法要來得低，而偵測力 則比較高，因此 EM-MLE 法表現得比另外兩種方法好。
第六章 結論與未來展望
當階段 I 中的資料是來自於混合常態分配，其中一個分配是製程 在管制狀態內，另一個分配則是製程在管制狀態外，無論二分配的不 同是在平均數偏移或是標準差改變，EM-MLE 法在參數估計上、階 段 I 中假警報率α和偵測力1−β的表現還有階段 II 中ARL的表現上都 比另外兩種方法好。
在 EM 演算法中，其實是需要較大的資料量才能得到較好的結 果，但是在階段 I 中又不太可能有太多的資料，這是一個矛盾的地方。
在本篇論文中，對於混合常態分配中兩分配的不同我們只分別做 了平均數偏移和標準差改變的情形，在未來我們可以考慮探討更一般 的情形，即二分配的平均數和標準差都有可能不相同，或是混合常態 分配由不只二個常態分配混合。
參考文獻
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425-442.
圖一：X 管制圖中，子群數m=100，三種估計法估計μ0的表現
圖二：X 管制圖中，子群數m=100，三種估計法估計σ 的表現
圖三：X 管制圖中，子群數m=1000，三種估計法估計μ0的表現
圖四：X 管制圖中，子群數m=1000，三種估計法估計σ 的表現
圖五：X 管制圖中，子群數m=100，三種估計法在階段 I 中假警報率的表現
圖六：X 管制圖中，子群數m=100，三種估計法在階段 I 中偵測力的表現
圖七：X 管制圖中，子群數m=1000，三種估計法在階段 I 中假警報率的表現
圖八：X 管制圖中，子群數m=1000，三種估計法在階段 I 中偵測力的表現
圖九：階段 I 中δ =2和p=0.2時利用三種方法估計參數後，在階段 II 中 ARL 的 表現(圖形的標題N(0,1)表示階段 II 的資料來自於N(0,1))
圖十：S 管制圖中，子群數2 m=100，三種估計法估計σ0的表現
圖十一：S 管制圖中，子群數2 m=1000，三種估計法估計σ0的表現
圖十二：S 管制圖中，子群數2 m=100，三種估計法在階段 I 中假警報率的表現
圖十三：S 管制圖中，子群數2 m=100，三種估計法在階段 I 中偵測力的表現
圖十四：S 管制圖中，子群數2 m=1000，三種估計法在階段 I 中假警報率的表現
圖十五：S 管制圖中，子群數2 m=1000，三種估計法在階段 I 中偵測力的表現
表一：在混合分配下，X 管制圖中當管制上下限為
μ
x ±3 /σ
n 之假警報率和0.99865, 1 0.00135, 1
(σ χ n− /(n−1) ,σ χ n− /(n−1))之假警報率和偵測力理論值
表三：X 管制圖中m=100用直接估計法估計μ0和σ ，模擬 10000 次參數估計的 結果
(a) μ平均 p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.0001 0.0238 0.0492 0.0751 0.1008 0.1242 0.1512
0.0003 0.0501 0.0987 0.1494 0.2000 0.2500 0.3001 0.0000 0.0751 0.1501 0.2260 0.2997 0.3747 0.4509 0.05
0.0448 0.0456 0.0500 0.0562 0.0625 0.0700 0.0791 0.0443 0.0466 0.0544 0.0637 0.0759 0.0876 0.0997 0.0448 0.0479 0.0576 0.0700 0.0844 0.1000 0.1168 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0447 0.0487 0.0603 0.0750 0.0900 0.1093 0.1286 (c) σ 平均
p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.9994 0.9998 0.9997 1.0002 1.0007 1.0000 1.0003 0.9995 1.0002 1.0001 0.9995 0.9997 0.9999 0.9998 0.9999 0.9999 1.0002 1.0002 0.9997 0.9993 1.0001 0.05
0.0352 0.0350 0.0349 0.0361 0.0354 0.0350 0.0349 0.0354 0.0355 0.0353 0.0351 0.0357 0.0352 0.0354 0.0354 0.0353 0.0355 0.0348 0.0355 0.0352 0.0353 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0356 0.0352 0.0352 0.0356 0.0354 0.0354 0.0353
表四：X 管制圖中m=100用重覆篩選法估計μ0和σ ，模擬 10000 次參數估計的 結果
(a) μ平均 p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.0000 0.0238 0.0355 0.0247 0.0069 0.0042 0.0034 0.0003 0.0488 0.0756 0.0522 0.0151 0.0096 0.0124 0.0004 0.0733 0.1199 0.0892 0.0289 0.0185 0.0259 0.05 0.0446 0.0471 0.0500 0.0514 0.0480 0.0472 0.0468 0.0461 0.0477 0.0558 0.0596 0.0520 0.0493 0.0491 0.0459 0.0499 0.0614 0.0717 0.0574 0.0524 0.0527 0.05 1.0001 0.9999 0.9997 1.0001 1.0005 0.9997 0.9999 0.9999 0.9998 0.9999 1.0000 0.9994 0.9996 0.9997 1.0001 1.0003 1.0006 1.0004 0.9999 0.9998 0.9997 0.05 0.0351 0.0357 0.0355 0.0360 0.0362 0.0366 0.0363 0.0350 0.0356 0.0354 0.0367 0.0368 0.0374 0.0374 0.0349 0.0349 0.0356 0.0374 0.0382 0.0387 0.0391 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0354 0.0357 0.0357 0.0374 0.0395 0.0405 0.0406
表五：X 管制圖中m=100用 EM-MLE 法估計μ0和σ ，模擬 10000 次參數估計 的結果
(a) μ平均 p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.0011 0.0170 0.0094 0.0000 -0.0028 -0.0001 0.0007
0.0013 0.0377 0.0292 -0.0003 -0.0010 -0.0005 -0.0004 -0.0003 0.0572 0.0513 -0.0040 -0.0001 -0.0004 -0.0005 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0008 0.0816 0.0771 -0.0002 0.0010 -0.0006 0.0015 (b) μ標準差
p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.0713 0.0732 0.0686 0.0620 0.0562 0.0532 0.0499 0.0711 0.0773 0.0714 0.0599 0.0499 0.0487 0.0473 0.0693 0.0801 0.0764 0.0596 0.0501 0.0488 0.0488 0.05 0.9994 0.9998 0.9997 1.0002 1.0007 1.0000 1.0003 0.9995 1.0002 1.0001 0.9995 0.9997 0.9999 0.9998 0.9999 0.9999 1.0002 1.0002 0.9997 0.9993 1.0001 0.05 0.0352 0.0350 0.0349 0.0361 0.0354 0.0350 0.0349 0.0354 0.0355 0.0353 0.0351 0.0357 0.0352 0.0354 0.0354 0.0353 0.0355 0.0348 0.0355 0.0352 0.0353 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0356 0.0352 0.0352 0.0356 0.0354 0.0354 0.0353
表六：X 管制圖中m=100求μ0和σ 的最大概似估計量估計μ0和σ ，模擬 10000 次參數估計的結果
(a) μ平均 p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.0011 0.0170 0.0094 0.0000 -0.0028 -0.0001 0.0007
0.0013 0.0377 0.0292 -0.0003 -0.0010 -0.0005 -0.0004 -0.0003 0.0572 0.0513 -0.0040 -0.0001 -0.0004 -0.0005 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0008 0.0816 0.0771 -0.0002 0.0010 -0.0006 0.0015 (b) μ標準差
p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.0713 0.0732 0.0686 0.0620 0.0562 0.0532 0.0499 0.0711 0.0773 0.0714 0.0599 0.0499 0.0487 0.0473 0.0693 0.0801 0.0764 0.0596 0.0501 0.0488 0.0488 0.05 0.9836 1.0103 1.0861 1.1299 1.0981 1.0658 1.0381 0.9829 1.0351 1.1538 1.0817 1.0074 0.9918 0.9903 0.9834 1.0540 1.2010 1.0285 0.9912 0.9876 0.9873 0.05 0.0675 0.0699 0.0847 0.1341 0.1668 0.1689 0.1549 0.0672 0.0715 0.0982 0.1759 0.1170 0.0859 0.0775 0.0675 0.0719 0.1150 0.1548 0.0809 0.0715 0.0723 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0675 0.0729 0.1326 0.1264 0.0764 0.0718 0.0714
表七：X 管制圖中m=100用直接估計法估計μ0和σ 的假警報率和偵測力，模擬 10000 次的結果
(a) μ平均 p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.0028 0.0027 0.0031 0.0032 0.0036 0.0040 0.0047 0.0028 0.0029 0.0035 0.0045 0.0062 0.0083 0.0115 0.0027 0.0031 0.0044 0.0068 0.0107 0.0172 0.0268 0.05 0.0054 0.0055 0.0057 0.0059 0.0061 0.0068 0.0072 0.0055 0.0058 0.0063 0.0072 0.0087 0.0105 0.0132 0.0053 0.0061 0.0073 0.0093 0.0121 0.0168 0.0237 0.05 NA 0.0273 0.1922 0.5769 0.8933 0.9886 0.9996 NA 0.0228 0.1637 0.5046 0.8453 0.9773 0.9985 NA 0.0203 0.1360 0.4402 0.7842 0.9571 0.9955 0.05
0.1 0.15
0.2 NA 0.0182 0.1134 0.3754 0.7165 0.9247 0.9885 (d) σ 標準差
p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 NA 0.0859 0.2047 0.2519 0.1501 0.0514 0.0085 NA 0.0508 0.1247 0.1716 0.1215 0.0465 0.0116 NA 0.0378 0.0960 0.1412 0.1176 0.0547 0.0168 0.05
0.1 0.15
0.2 NA 0.0312 0.0757 0.1219 0.1166 0.0656 0.0245
表八：X 管制圖中m=100用重覆篩選法估計μ0和σ 的假警報率和偵測力，模擬 10000 次的結果
(a) μ平均 p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.0027 0.0030 0.0047 0.0091 0.0126 0.0138 0.0148 0.0027 0.0031 0.0058 0.0124 0.0197 0.0224 0.0268 0.0028 0.0034 0.0067 0.0163 0.0280 0.0355 0.0444 0.05 0.0053 0.0058 0.0076 0.0125 0.0164 0.0178 0.0186 0.0053 0.0061 0.0089 0.0163 0.0246 0.0271 0.0309 0.0054 0.0065 0.0099 0.0204 0.0322 0.0389 0.0461 0.05 NA 0.0262 0.1802 0.5406 0.8210 0.9888 0.9994 NA 0.0228 0.1614 0.5345 0.8385 0.9789 0.9986 NA 0.0196 0.1420 0.5141 0.8468 0.9621 0.9965 0.05
0.1 0.15
0.2 NA 0.0176 0.1228 0.4751 0.8482 0.9316 0.9905 (d) σ 標準差
p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 NA 0.0892 0.2074 0.2683 0.1985 0.1617 0.1603 NA 0.0534 0.1371 0.1990 0.1484 0.1227 0.1237 NA 0.0385 0.1095 0.1780 0.1271 0.1057 0.1037 0.05
0.1 0.15
0.2 NA 0.0316 0.0915 0.1685 0.1176 0.0933 0.0937
表九：X 管制圖中m=100用 EM-MLE 法估計μ0和σ 的假警報率和偵測力，模 擬 10000 次的結果
(a) μ平均 p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.0033 0.0034 0.0032 0.0032 0.0030 0.0028 0.0027 0.0035 0.0035 0.0031 0.0031 0.0029 0.0028 0.0028 0.0033 0.0036 0.0033 0.0031 0.0029 0.0028 0.0026 0.05 0.0058 0.0061 0.0059 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0059 0.0062 0.0061 0.0060 0.0058 0.0055 0.0056 0.0057 0.0067 0.0064 0.0062 0.0059 0.0059 0.0056 0.05 NA 0.0305 0.2218 0.6358 0.9260 0.9945 0.9999 NA 0.0288 0.2075 0.6388 0.9279 0.9940 0.9999 NA 0.0258 0.1954 0.6430 0.9270 0.9947 0.9998 0.05
0.1 0.15
0.2 NA 0.0223 0.1815 0.6391 0.9270 0.9943 0.9999 (d) σ 標準差
p δ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 NA 0.0895 0.2173 0.2519 0.1343 0.0375 0.0055 NA 0.0586 0.1465 0.1745 0.0903 0.0263 0.0040 NA 0.0444 0.1219 0.1464 0.0743 0.0196 0.0037 0.05
0.1 0.15
0.2 NA 0.0355 0.1097 0.1304 0.0652 0.0179 0.0028
表十：X 管制圖在δ =2和p=0.2時用直接估計法估計參數後在階段 II 中的 ARL δ
ARL 0 ARL 1
m
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 126.9675 297.789 46.4591 4.889119 1.557689 1.077551 1.00654 98.57248 290.4632 35.89206 4.292703 1.499738 1.067387 1.005041 81.41554 289.451 28.14893 3.850738 1.450508 1.058354 1.003819 67.43647 294.8182 23.75079 3.601215 1.419914 1.05248 1.003071 62.04301 294.0881 21.98677 3.487266 1.404523 1.049553 1.002739 60.04845 296.8953 21.65987 3.471081 1.402816 1.049112 1.002672 58.83653 295.671 21.10089 3.430718 1.396968 1.048042 1.002564 57.6698 296.2461 20.85895 3.415897 1.395052 1.047635 1.002514 20
∞ 370.3983 33.40078 4.495312 1.566493 1.075838 1.00482 1.000104
表十一：X 管制圖在δ =2和p=0.2時用重覆篩選法估計參數後在階段 II 中的 371.2702 113.696 15.41789 2.694917 1.610013 1.064163 1.006954 359.2671 82.06555 8.745305 2.021019 1.145642 1.014279 1.000785 355.3655 62.22221 6.386072 1.793656 1.11525 1.009635 1.000344 350.8763 49.23295 5.544992 1.71079 1.101208 1.00757 1.00021 352.2484 44.94234 5.313581 1.683616 1.096266 1.006902 1.000177 352.9314 43.62549 5.238808 1.674486 1.094592 1.006683 1.000167 353.0933 42.78439 5.192488 1.668998 1.093564 1.006543 1.00016 353.8581 42.35123 5.17048 1.666608 1.093096 1.00647 1.000157 20
∞ 370.3983 33.40078 4.495312 1.566493 1.075838 1.00482 1.000104
表十二：X 管制圖在δ =2和p=0.2時用 EM-MLE 法估計參數在階段 II 中的 ARL δ
ARL 0 ARL 1
m
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 419.5828 52.69736 5.54102 2.059485 1.630862 1.065031 1.006322 389.9802 44.54323 5.137878 1.656354 1.191322 1.015442 1.001201 379.8026 39.08546 4.807639 1.603446 1.082962 1.005795 1.000148 375.0066 36.37864 4.669098 1.58808 1.079943 1.005349 1.000127 369.2918 34.79498 4.576909 1.576618 1.077783 1.005072 1.000115 369.967 34.43519 4.558168 1.574538 1.077357 1.005008 1.000112 370.9186 34.09268 4.53897 1.572247 1.076906 1.004946 1.000109 369.6732 33.75816 4.518131 1.569525 1.076399 1.004885 1.000107 20
∞ 370.3983 33.40078 4.495312 1.566493 1.075838 1.00482 1.000104
表十三：S 管制圖中2 m=100用直接估計法估計σ02，模擬 10000 次的結果 (a) σ 平均
p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.9989 1.0301 1.0711 1.1210 1.1771 0.9998 1.0598 1.1378 1.2314 1.3366 0.9993 1.0879 1.2027 1.3329 1.4786 0.05
0.1 0.15
0.2 0.9995 1.1165 1.2620 1.4284 1.6064 (b) σ 標準差
p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.0352 0.0396 0.0529 0.0727 0.0970 0.0348 0.0425 0.0619 0.0893 0.1188 0.0351 0.0454 0.0689 0.0975 0.1280 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0353 0.0485 0.0737 0.1026 0.1353
表十四：S 管制圖中2 m=100用重覆篩選法估計σ02，模擬 10000 次的結果 0.0361 0.0393 0.0433 0.0436 0.0418 0.0358 0.0431 0.0525 0.0531 0.0497 0.0362 0.0464 0.0632 0.0707 0.0638 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0361 0.0493 0.0753 0.0970 0.0916
表十五：S 管制圖中2 m=100用 EM-MLE 法估計σ02，模擬 10000 次的結果 (a) σ 平均
p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.9876 1.0040 1.0046 1.0026 1.0017 0.9887 1.0225 1.0288 1.0224 1.0172 0.9886 1.0418 1.0558 1.0397 1.0274 0.05
0.1 0.15
0.2 0.9887 1.0639 1.0815 1.0530 1.0350 (b) σ 標準差
p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.0357 0.0391 0.0405 0.0413 0.0405 0.0363 0.0422 0.0470 0.0494 0.0493 0.0360 0.0450 0.0567 0.0593 0.0560 0.05
0.1 0.15
表十六：S 管制圖中2 m=100用直接估計法估計σ02的假警報率和偵測力，模擬 10000 次的結果
(a) α 平均 p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.0025 0.0022 0.0025 0.0024 0.0029 0.0025 0.0021 0.0026 0.0032 0.0042 0.0026 0.0022 0.0029 0.0042 0.0064 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0025 0.0022 0.0035 0.0054 0.0089 (b) α 標準差
p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.0049 0.0049 0.0046 0.0050 0.0055 0.0051 0.0048 0.0052 0.0060 0.0070 0.0051 0.0051 0.0058 0.0072 0.0089 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0050 0.0053 0.0066 0.0083 0.0109 (c) 1− 平均 β
p γ
1 1.5 2 2.5 3 NA 0.0765 0.2709 0.4746 0.6065 NA 0.0599 0.2124 0.3673 0.4787 NA 0.0492 0.1683 0.2820 0.3685 0.05 NA 0.1355 0.2158 0.2367 0.2275 NA 0.0776 0.1266 0.1467 0.1502 NA 0.0550 0.0894 0.1063 0.1172 0.05
0.1 0.15
0.2 NA 0.0433 0.0687 0.0842 0.0945
表十七：S 管制圖中2 m=100用重覆篩選法估計σ02的假警報率和偵測力，模擬 10000 次的結果
(a) α 平均 p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.0025 0.0024 0.0027 0.0031 0.0036 0.0025 0.0023 0.0027 0.0037 0.0051 0.0026 0.0023 0.0030 0.0048 0.0068 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0026 0.0023 0.0035 0.0058 0.0091 (b) α 標準差
p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.0051 0.0050 0.0054 0.0057 0.0062 0.0051 0.0051 0.0055 0.0064 0.0077 0.0052 0.0051 0.0060 0.0075 0.0092 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0051 0.0053 0.0067 0.0086 0.0110 (c) 1− 平均 β
p γ
1 1.5 2 2.5 3 NA 0.0781 0.3077 0.5469 0.7135 NA 0.0669 0.2766 0.5200 0.6974 NA 0.0558 0.2385 0.4793 0.6760 0.05 NA 0.1384 0.2445 0.2586 0.2331 NA 0.0872 0.1650 0.1863 0.1657 NA 0.0653 0.1344 0.1648 0.1490 0.05
0.1 0.15
0.2 NA 0.0526 0.1145 0.1595 0.1518
表十八：S 管制圖中2 m=100用 EM-MLE 法估計σ02的假警報率和偵測力，模擬 10000 次的結果
(a) α 平均 p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.0029 0.0028 0.0027 0.0028 0.0028 0.0029 0.0025 0.0025 0.0027 0.0027 0.0029 0.0024 0.0025 0.0027 0.0027 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0031 0.0023 0.0025 0.0027 0.0025 (b) α 標準差
p γ
1 1.5 2 2.5 3 0.0054 0.0055 0.0053 0.0055 0.0055 0.0055 0.0053 0.0053 0.0055 0.0056 0.0055 0.0053 0.0054 0.0058 0.0057 0.05
0.1 0.15
0.2 0.0056 0.0053 0.0056 0.0060 0.0058 (c) 1− 平均 β
p γ
1 1.5 2 2.5 3 NA 0.0947 0.3431 0.5819 0.7387 NA 0.0813 0.3209 0.5615 0.7245 NA 0.0747 0.2913 0.5438 0.7162 0.05 NA 0.1518 0.2457 0.2512 0.2231 NA 0.0947 0.1648 0.1752 0.1552 NA 0.0744 0.1370 0.1497 0.1303 0.05
0.1 0.15
0.2 NA 0.0597 0.1251 0.1401 0.1181