二、 光學嵌住理論
2.2 幾何光學模型
微粒直徑遠大於雷射光波長時(d>>λ)，我們可以用 Mie 散射狀況(Mie scattering regime)來討論。簡單的來說，當光線由一介質中進入到另一不同 介質中時，光會發生偏折的現象，也就是所謂的折射。如果將光線想像成 是由光子所組成，當光線發生偏折時，光子的動量即產生改變，而動量改 變即產生作用力，如圖2-2。
圖2-2 光折射後動量變化示意圖
當雷射光線經過微粒後發生偏折，此光線偏折力就由微粒提供，也就 是說微粒對雷射光子施一作用力使之偏折。又由牛頓第三運動定律所描述 之作用力與反作用力的關係得知，雷射光子亦對微粒施一反作用力，而這 些反作用力的合力便是光鉗的捕捉力。因此，一道平行的雷射光束，經過 透鏡聚焦後，若有微粒在其焦點附近時，由於左右偏折不對稱的關係，其 合力指向焦點，就會產生一個類似彈簧力的恢復力，將這個微小物體往焦 點拉，並在焦點的位置達到力平衡。因此，雷射光鉗的正式名稱為「單束
光梯度力阱( single-beam optical gradient force trap )」，可以用來抓取並移動 從數十奈米到數十微米的微小粒子。
若光的聚焦中心在微粒的球心下方，光線的路徑如圖 2-3(a)。入射光為 r1，r2，產生的反射光為r11及r21，折射光為r12及r22。反射光方面，施予微粒 的力(Freflection)，在橫向互相抵消，而垂直方面給予Z方向一個正向力。而折 射光所施的力(Frefraction)，亦是給予微粒Z方向的力，因此總合來說，光線給 予微粒Z方向的合力，把微粒推離聚焦心。
圖2-3(a) 聚焦中心在球心下方 圖 2-3(b) 聚焦中心在球心上方 若光線聚焦在微粒上方，如圖 2-3(b)，反射光r11，r21仍然施予微粒Z方 向的力，但折射光r12，r22卻施予微粒 –Z方向的力。假如折射光產生的力 Frefraction大於反射光產生的力Freflection，會把微粒拉往聚焦中心，且因具有此 回復力，可把微粒穩定地嵌住在其中[7]。
若是增加
Θ
值，Freflection減小，Frefraction增加，即回復力增加，且必須達 到最小Θ
值以產生足夠回復力， 嵌住才會產生，如圖 2-4。圖 2-4 Freflection和Frefraction示意圖
若要計算整束雷射光對微粒的作用力，可先推導單一入射光線對微粒 的作用力，再積分整束雷射光做總和，就可求得雷射對微粒的作用力[1]。
如圖2-5。
圖 2-5 單一入射光的幾何光學分析
當光進入微粒時，一部份光反射，其餘的光線折射入微粒內，在進入 微粒後，又不斷的發生反射，折射的情形。若光束功率為P，介面的反射率 (Fresnel Reflection Coefficient)為R，透射率(Fresnal Transmission Coeffient) 為T，沿光束行進方向為Z軸，垂直光束行進方向為Y軸，反射光的功率為 PR，與Z軸夾角為 2θ，而不斷折射的光線功率分別為PT2，PT2R，PT2R2，
PT2R3...，且與Z軸夾角為α，α+β，α+2β，α+3β...，由幾何光學推導出以下 稱散射力(Scattering Force; Fs):
( )
分佈有關，又稱為梯度力(Gradient Force; Fg):( )
圖 2-6 整束雷射光聚焦示意圖
考慮真實雷射聚焦的情況，如圖 2-6，雷射光束的強度由中心向外是屬 高斯分佈，若是要得到光束總和的力，必須對於光束半徑r，旋轉角度 β，
以及光的高斯分佈做積分。研究光學嵌住力時，F 通常表示為
c
F = nPQ
， (2-4)np/c 表示雷射光束每秒中傳送光子的總動量，也就是當一微粒完全吸收光 子時，雷射光對微粒所施的力，而 代表嵌住效率(trapping efficiency)，為 光壓作用效率的比值。
Q
值和光學嵌住的形式，和微粒種類和大小，以及顯 微物鏡的 NA 值有密切的關係(NA 值在第三章會詳加介紹)。從數學公式來 看，則是式子(2-1)、(2-2)、(2-3)中將 np/c 提出後，括號內一連串變數積分 後的結果。Q
接下來討論雷射光在微粒內不同位置的聚焦後，對微粒施力的結果。
當雷射聚焦中心在Z 軸上時:
對單一入射光而言，光給予光前進方向的力Fs，垂直光前進方向的力
Fg，分別在水平及垂直方向皆有力的分量，如圖2-7。
圖2-7 聚焦中心在 Z 軸的力學分析圖 圖 2-8 Z 軸上的 Q 值分布 因為聚焦中心是在Z軸上，左右對稱的關係，力在水平方向的分量會被 抵消，積分的結果只會剩下垂直方向的力，而這個力決定微粒是否會被推 走或是被嵌住。圖2-8 是整束雷射光積分的結果，由圖可看出，沿著Z軸方 向，Fg及Fs會隨著聚焦點高度的不同而有所改變，Qg及Qs分別為Fg及Fs的嵌 住效率，聚焦中心S在球心上方時，Qg是負值，給予微粒-Z方向的力，當S 在球心下方，則給予+Z方向的力，且越靠近邊緣Q值越大，也就是說，聚 焦中心越靠近微粒邊緣，受到的回復力越大。Qs不論是在球心上方或是下 方始終是正的，給予+Z方向的力。Qt為Qg和Qs的和，在邊界的最大值可達 0.3。另外，在球心上方一點的位置，Fs會和Fg抵消，位置SE即為平衡位置，
大小約為 0.06。因此當雷射嵌住微粒時，聚焦中心會在球心上方一點的位 置。
當雷射聚焦中心沿著Y 軸時:
圖2-9 聚焦中心在 Y 軸的分析圖 圖 2-10 力學分析圖
當聚焦中心不在Z軸上時，水平方向的受力就不平均了，如圖 2-9。我 們仍然可以對單一入射光作分析，然後最後用積分得到整束雷射光的作用 力。若聚焦中心在-Y軸的位置f，分析單一入射光作力的分解，如圖 2-10，
Fg的水平分量給予-Y方向的力，而垂直分量在積分的結果則會被抵消，所 以Fg只給予微粒水平-Y方向的力。而Fs同理也只會給予微粒+Z方向的力。
積分整束雷射光後，得到圖2-11。
圖2-11 Y 軸上的 Q 值分布圖
由圖可以看出，聚焦點越往-Y方向移動，Qg值在負方向是越大的，表示給 予微粒-Y方向的回復力越大，在邊界Qg值可達 0.3。Z方向上，Fs仍然一直 給予+Z方向的力，在邊界的值為最大。
圖 2-12、圖 2-13、圖 2-14 是在YZ平面上，聚焦點在微粒內各個位置，
Qg，Qs，Qt的分布情形，以向量方式表示，可以明顯看出力的大小及方向。
Fg永遠都是把微粒拉近到聚焦的中心，Fs都是把微粒往光軸方向推動，而圖 2-14 中的實線則是嵌住微粒時，Z方向的平衡位置，隨著Y軸改變。
圖2-12 Qg分布圖 圖 2-13 Qs分布圖 圖 2-14 Qt分布圖