幾何和拓樸
在十九世紀中葉，複變函數開始奠基。因此 在十九世紀中葉，複變函數開始奠基。因此
刺激了各門數學學科的發展 刺激了各門數學學科的發展︰︰
數論函數（如黎曼
數論函數（如黎曼zetazeta函數）得到嚴格的處函數）得到嚴格的處 理，解析數論這門學科因此而生。
理，解析數論這門學科因此而生。
多葉函數的出現則引起了黎曼曲面的定義。
多葉函數的出現則引起了黎曼曲面的定義。
到了二十世紀，
到了二十世紀，PoincarePoincare證明了黎曼曲證明了黎曼曲 面上存在唯一的曲率等于
由於對多體力學問題相空間的構造問題， PoincarePoincare 對對 高維高維空間產生濃厚的興趣空間產生濃厚的興趣
高維空間用到高維空間用到ThomThom的的CobordismCobordism理論。理論。
S m a l e
S m a l e 則 更 進 一 步 由則 更 進 一 步 由M o r s eM o r s e理 論 悟 出 的理 論 悟 出 的 handlebody
handlebody理論，得以將高維空間的分類變理論，得以將高維空間的分類變 成計算同調群，特徵類和由基本群所產生 成計算同調群，特徵類和由基本群所產生
的代數不變量。高維空間理論
的代數不變量。高維空間理論中一個重要中一個重要 的工具是的工具是由由WhitneyWhitney發展出發展出的一個方法，但的一個方法，但 是是WhitneyWhitney的方法要的方法要依靠依靠到空間中二維子流到空間中二維子流
形 在 一 般 情 形
形 在 一 般 情 形 下下 不不 相相 交 。交 。
由於一般曲面在三維和四維空間會自行相 由於一般曲面在三維和四維空間會自行相 交。因此切割方法在低維空間遇到很大的 交。因此切割方法在低維空間遇到很大的 困難。可是三維和四維空間恰恰是物理學 困難。可是三維和四維空間恰恰是物理學
家最為關心的空間。在愛因
家最為關心的空間。在愛因斯坦斯坦發現廣義發現廣義 相對論后，我們知道空間會受到重力場影 相對論后，我們知道空間會受到重力場影
響而變更曲率，
響而變更曲率，空間的空間的拓撲亦隨之變動。拓撲亦隨之變動。
二十一世紀幾何學的發展有相當重要的部 二十一世紀幾何學的發展有相當重要的部 分會是有組織地解決三維和四維空間的問 分會是有組織地解決三維和四維空間的問 題。除了它們的拓撲性質外，更重要的是 題。除了它們的拓撲性質外，更重要的是
空間上的幾何和分析問題。
空間上的幾何和分析問題。
我們從二十世紀黎曼曲面的發展可以約略 我們從二十世紀黎曼曲面的發展可以約略 地 猜 測 未 來 這 個 世 紀 幾 何 和 拓 撲 學 的 走 地 猜 測 未 來 這 個 世 紀 幾 何 和 拓 撲 學 的 走
黎曼曲面在代數幾何、數論、分析、微分
研究擬全純（pseudoholomorphicpseudoholomorphic）曲線的架）曲線的架 構。構。
這些表面不同的理論已經逐漸融合，當它的 這些表面不同的理論已經逐漸融合，當它的
理論完美發展後，將會成為數學中具有威 理論完美發展後，將會成為數學中具有威
力的工具。
力的工具。
在數論上我們知道古典的
在數論上我們知道古典的modular formmodular form都是都是 在代數曲線上定義的扭曲的複函數，而曲 在代數曲線上定義的扭曲的複函數，而曲 線上線上RiemannRiemann－－RochRoch公式則往往給出這些函公式則往往給出這些函 數 的 描 述 而 因 此 得 到 很 多 重 要 的 算 術 內 數 的 描 述 而 因 此 得 到 很 多 重 要 的 算 術 內 容。例如它們可以描述一個正整數寫成不 容。例如它們可以描述一個正整數寫成不 同整數的同整數的powerpower的和的個數。的和的個數。
由由PoincarePoincare、、KoebeKoebe等人發展的單值化原理等人發展的單值化原理 使我們知道黎曼曲面都可以看作單位圓面 使我們知道黎曼曲面都可以看作單位圓面 透過離散群得出來的商空間，而這些離散 透過離散群得出來的商空間，而這些離散
群可以看作二次矩陣群的子群。
群可以看作二次矩陣群的子群。PoincarePoincare因因 此將離散群引入自守函數和黎曼曲面理論 此將離散群引入自守函數和黎曼曲面理論 中 ， 他 因 此 得 出 新 的 方 法 來 構 造 自 守 函 中 ， 他 因 此 得 出 新 的 方 法 來 構 造 自 守 函 數。數。
黎曼曲面有很多獨特的性質，而其中最重 黎曼曲面有很多獨特的性質，而其中最重 要的一點是上述的單值化原理。任何一個 要的一點是上述的單值化原理。任何一個 單連通的曲面都可以用保持角度的方法映 單連通的曲面都可以用保持角度的方法映 射到球面上面去。正如我們現下用的地圖 射到球面上面去。正如我們現下用的地圖 是從地球保角不變地映射到平面上。當一 是從地球保角不變地映射到平面上。當一 艘艘船只在海上航行時，船長可以在地圖上船只在海上航行時，船長可以在地圖上 找出準確的方向就是因為保角的緣故。我 找出準確的方向就是因為保角的緣故。我 們發現這種保角投影對任何二維曲面都可 們發現這種保角投影對任何二維曲面都可
以辦得到。
以辦得到。
單值化定理的證明多姿多彩。最 單值化定理的證明多姿多彩。最
一般和最重要的證明由
一般和最重要的證明由MorreyMorrey先先 生在生在19381938年給出。他所需要函年給出。他所需要函
數的光滑性不多，在二十世紀非 數的光滑性不多，在二十世紀非 線性分析中占了重要的地位。無 線性分析中占了重要的地位。無 論二次二維非線性微分方程和複 論二次二維非線性微分方程和複 動力系統的理論都以它為基礎。
動力系統的理論都以它為基礎。
在高維空間的單值化也是一個重要的問題，
在高維空間的單值化也是一個重要的問題，
如何找出具體而有意思的問題是很重要的，
如何找出具體而有意思的問題是很重要的，
在複幾何的情況下，我在七十年代提出的一系列問 在複幾何的情況下，我在七十年代提出的一系列問
題已得到一些
題已得到一些解答解答，但是即使在這個情形下還未，但是即使在這個情形下還未全全 部部完成。我曾經證明複空間的完成。我曾經證明複空間的 PoincarePoincare 猜想猜想, , 在二維在二維
空間時答案
空間時答案是完滿的是完滿的，，但是以下的高維的複但是以下的高維的複PoincarePoincare 猜想還未解決
猜想還未解決: : 如何證明同倫於射影空間的代數流如何證明同倫於射影空間的代數流 形形必須是射影空間。必須是射影空間。
黎曼曲面第二個重要基礎就 黎曼曲面第二個重要基礎就 是如何去描述在非單連通的 是如何去描述在非單連通的 曲面曲面上上所有保角結構。從複所有保角結構。從複
函數的觀點來看，這就是 函數的觀點來看，這就是
Teichmuller
Teichmuller空間的建立。而從空間的建立。而從 代數曲線的觀點來看，它的商 代數曲線的觀點來看，它的商 空間是代數曲線的模空間。模 空間是代數曲線的模空間。模
空間和空間和TeichunilerTeichuniler空間的關係通過空間的關係通過 mapping class mapping class group
group這個群的表示理論值得到多所考慮。如何具體這個群的表示理論值得到多所考慮。如何具體
二十世紀中葉以後人們對它們的架構有一定 二十世紀中葉以後人們對它們的架構有一定 的了解，在二十一世紀我們會繼續努力。尤 的了解，在二十一世紀我們會繼續努力。尤 其在這兩個空間的調和分析和其中的子流形 其在這兩個空間的調和分析和其中的子流形 問題。問題。
弦理論開章明義是研究曲線在 弦理論開章明義是研究曲線在 時空中振蕩的所有經驗。而曲 時空中振蕩的所有經驗。而曲 線的軌跡就是一個黎曼曲面。
線的軌跡就是一個黎曼曲面。
弦理論因此對代數曲線的模提 弦理論因此對代數曲線的模提 供了很多新的數學公式。例如 供了很多新的數學公式。例如
E.Verlinder
E.Verlinder和和WittenWitten的公式，的公式，
這兩個公式的證明在這十五年來的數學界 這兩個公式的證明在這十五年來的數學界
有深入的影響。
有深入的影響。
三度空間和四維空間是時空本身的幾何，
三度空間和四維空間是時空本身的幾何，
可是我們對他們的了解遠沒有對黎曼曲面 可是我們對他們的了解遠沒有對黎曼曲面 來得深入。可以想像的是本世紀的數學將 來得深入。可以想像的是本世紀的數學將 會促使二維空間的研究提升到三維和四維 會促使二維空間的研究提升到三維和四維 空間。空間。而將它們變成幾何和理論物理的主而將它們變成幾何和理論物理的主 要工具要工具。。
三度空間的拓撲始于
三度空間的拓撲始于PoincarePoincare。他提出著名。他提出著名 的的PoincarePoincare猜想。以後經歷猜想。以後經歷DehnDehn，，KneserKneser，，
Haken
Haken，，WaldhausenWaldhausen直到直到ThurstonThurston才理出一條才理出一條 清晰的思路。
清晰的思路。
Poincare
Poincare認為對任何一個封閉的三度空間，認為對任何一個封閉的三度空間，
如果任何一條閉曲線都可以連續地收縮到 如果任何一條閉曲線都可以連續地收縮到
這個漂亮的問題吸引了數學家一百年。
19801980年，我的朋友年，我的朋友HamiltonHamilton發展了一套發展了一套 非線性微分方程組。他利用幾何空間的 非線性微分方程組。他利用幾何空間的
19801980年，我的朋友年，我的朋友HamiltonHamilton發展了一套發展了一套 非線性微分方程組。他利用幾何空間的 非線性微分方程組。他利用幾何空間的