卻有截然不同的表現，
Carelson Carelson
解決的一維解決的一維 的複函數理論的在十九世紀中葉，多維變分法開始發展。
在十九世紀中葉，多維變分法開始發展。
當時研究主要集中在
當時研究主要集中在LapalceLapalce算子（算子（DirichletDirichlet 原理），以後推展到一般的橢圓形算子系 原理），以後推展到一般的橢圓形算子系
統，成為方程解存在的一個主要辦法。
統，成為方程解存在的一個主要辦法。
調和分析和勢場理論對
調和分析和勢場理論對LaplaceLaplace算子提供了算子提供了 深入的了解。我們也因此有一個基礎去研 深入的了解。我們也因此有一個基礎去研 究非線性橢圓方程的正則性問題，從而解 究非線性橢圓方程的正則性問題，從而解
儘管如此，我們對非線性橢圓微分方程組
拋物方程與橢圓方程比較接近，其正則性 拋物方程與橢圓方程比較接近，其正則性
也比較容易處理。上述的
也比較容易處理。上述的HamiltonHamilton、李偉光、李偉光 和我對拋物方程組的研究提供了非線性拋 和我對拋物方程組的研究提供了非線性拋 物方程一個有用的估值原則。我們在這些 物方程一個有用的估值原則。我們在這些
方程的特殊解（
方程的特殊解（solitonsoliton）中先得到一些重要）中先得到一些重要 的量，然後利用極大值原理來證明它在一 的量，然後利用極大值原理來證明它在一
般情形下滿足不等式。
般情形下滿足不等式。HamiltonHamilton和我發現這和我發現這 個原理是一般拋物方程共同的基本特性，
個原理是一般拋物方程共同的基本特性，
拋 物 方 程 不 單 有 它 本 身 的 幾 何 和 物 理 意 拋 物 方 程 不 單 有 它 本 身 的 幾 何 和 物 理 意 義，它對橢圓方程也提供了新的方法。舉 義，它對橢圓方程也提供了新的方法。舉 例來說，線性的熱方程是連接局部幾何和 例來說，線性的熱方程是連接局部幾何和 流形上譜的一個橋樑。從物理上說這是古 流形上譜的一個橋樑。從物理上說這是古 典力學過渡到量子力學一個過程。從這個 典力學過渡到量子力學一個過程。從這個 觀點來看，一個與時間無關的方程在尋找 觀點來看，一個與時間無關的方程在尋找 解時，很可能透過拋物方程得到深入的了 解時，很可能透過拋物方程得到深入的了 解。解。
二十一世紀的微分幾何一個最重要的問題 二十一世紀的微分幾何一個最重要的問題 是是EinsteinEinstein方程解的存在性問題。在代數流方程解的存在性問題。在代數流 形的理論裡有所謂幾何穩定性的理念。二 形的理論裡有所謂幾何穩定性的理念。二 十年前，我提出方程存在性與這種穩定性 十年前，我提出方程存在性與這種穩定性 有關。這個想法己經成為一個重要的研究 有關。這個想法己經成為一個重要的研究 方向。方向。在研究在研究KahlerKahler流形上的度量問題上流形上的度量問題上，，
最重要的突破是由
最重要的突破是由DonaldsonDonaldson作出的作出的。這種。這種 穩定性的研究與辛幾何裡面的
穩定性的研究與辛幾何裡面的moment mapmoment map 密切相關，
密切相關，假如我們認為辛幾何和複幾何假如我們認為辛幾何和複幾何
我相信大部分的微分方程組會有相似的現 我相信大部分的微分方程組會有相似的現 象。我們可以人為地加上時間而構成新的 象。我們可以人為地加上時間而構成新的 方程組。當時間趨于無窮時，希望找出原 方程組。當時間趨于無窮時，希望找出原 方程的解，或帶奇異點的解。（奇異點的 方程的解，或帶奇異點的解。（奇異點的 存在性會與上述方程的穩定性有關。）這 存在性會與上述方程的穩定性有關。）這 種穩定性應當比古典的概念來得廣泛，它 種穩定性應當比古典的概念來得廣泛，它
與代數幾何裡的幾何不變理論密切相關。
與代數幾何裡的幾何不變理論密切相關。
非線性波動方程比拋物方程困難。其中一個主要原因 所謂所謂inverse scatteringinverse scattering的方法將非線性方程轉變成的方法將非線性方程轉變成
比較容易處理的線性方程，從而問題得到解決。
比較容易處理的線性方程，從而問題得到解決。
Glimm
Glimm對一維空間的對一維空間的Conservation lawConservation law和以後非線性和以後非線性 Schordinger
Schordinger方程的研究都對非線性波動有一定貢方程的研究都對非線性波動有一定貢 獻。然而流體學家的擾動方法、幾何光學和
有物理或幾何意義的方程往往是橢圓方程、拋物
在上述所有討論裡，有兩個重要的理念在物 在上述所有討論裡，有兩個重要的理念在物
理、數學和應用科學中都是非常重要的 理、數學和應用科學中都是非常重要的︰︰
第一個是第一個是scalescale的問題。的問題。理論理論物理物理學的學的HierachyHierachy問問 題就是一個例子。引力場和其他力場的
題就是一個例子。引力場和其他力場的scalescale相相 差極遠，如何統一，如何解釋？在古典物理，
差極遠，如何統一，如何解釋？在古典物理，
微分方程、微分幾何和數值分析中都有不同 微分方程、微分幾何和數值分析中都有不同
scale
scale融合的問題。在統計物理和高能物理融合的問題。在統計物理和高能物理
第二個重要的理念是
第二個重要的理念是SymmetrySymmetry（對稱）（對稱）
群和群的表示論的理念
對稱的理念可說是
對稱的理念可說是各門各門科學中最基本的工科學中最基本的工 具。但運用之妙，存乎一心，在于作者的 具。但運用之妙，存乎一心，在于作者的 經驗和直覺。二十一世紀基礎科學的基本 經驗和直覺。二十一世紀基礎科學的基本 命題命題︰︰如何將對稱的物理基本現象與非對如何將對稱的物理基本現象與非對
稱的世界聯合？
稱的世界聯合？
Symmetry Breaking Symmetry Breaking
眾生色相，何由而生？
眾生色相，何由而生？
基本的物理定律是時間對稱的，為何我們 基本的物理定律是時間對稱的，為何我們 擔憂時光消逝？因為直觀世界不是時間對 擔憂時光消逝？因為直觀世界不是時間對
熱力學第二基本定律說
熱力學第二基本定律說︰︰RandomnessRandomness隨時間而增。隨時間而增。
Boltzmann
Boltzmann發現發現EntropyEntropy也隨時間增長。這是一個奇也隨時間增長。這是一個奇 妙的定理，到如今還未得到徹底的了解。
妙的定理，到如今還未得到徹底的了解。
時間的箭咀在廣義相對論中是一 時間的箭咀在廣義相對論中是一
個重要的題目。
個重要的題目。Roger PenroseRoger Penrose和和 Hawking
今日的演講，由於時間的緣故，不可能包 今日的演講，由於時間的緣故，不可能包 括其他有趣的數學，尤其是與工程有關的 括其他有趣的數學，尤其是與工程有關的 數學。然而很明顯的，應用數學需要建立 數學。然而很明顯的，應用數學需要建立 在 基 本 數 學 上 。 反 過 來 說 ， 好 的 工 程 問 在 基 本 數 學 上 。 反 過 來 說 ， 好 的 工 程 問 題，尤其是現代的電子計算機會提供基礎 題，尤其是現代的電子計算機會提供基礎 數學不可代替的幫助，而有意義的應用數 數學不可代替的幫助，而有意義的應用數 學的問題也會逐漸變成基礎數學主流的一 學的問題也會逐漸變成基礎數學主流的一 部分。所以我說二十一世紀的數學是趨向 部分。所以我說二十一世紀的數學是趨向