序論 - 橢圓偏光光譜儀對線性二色及雙折射複合式結構之研究

自然界中存在一種晶體，屬於各向異性(anisotropic medium)的非吸收性材料。當光線入射此晶體時，因為 TE 波和 TM 波所感應的折射率不同，造成出射光會分歧為兩道光束，此即線性雙折射特性(linear birefringence)。當入射光以某特定方向入射晶體時，出射光不會有分歧的現象，此方向即為晶體的光軸(optic axis)。顧名思義，具有一個光軸的晶體稱單光軸晶體(uniaxial crystals)，如方解石(calcite)、石英(quartz)，而具有兩個光軸的晶體則為雙光軸晶體(biaxial crystals)，如雲母(mica)。

另有一種晶體，屬於各向異性的吸收性材料。晶體中具有一個特定的軸向，稱為主軸或光軸。當入射光的電場振動方向垂直於光軸時，會被晶體強烈吸收，此時出射光將只有單一的線偏振方向。此特性稱為線性二向性(linear dichroism)。

本論文中選用了圓偏振片為量測樣品，由實驗可知，圓偏振片並非環狀二向性吸收材料(circular dichroism medium)，而是由兩種分別具有線性雙折射特性(LB)與線性二向性(LD)的材料結合而成，且兩種材料的光軸皆在同一平面上。因此圓偏振片為一種具有複合式光軸的組件。由 LB 所引起 TE 波和 TM 波間的相位延遲、LD 所代表的線性吸收率以及光軸間的夾角，都必

光軸間夾角為π/4。在這種條件下通過圓偏振片的光線才具有圓偏振態。

以圓偏振片的量測來說，傳統量測法主要是量測其穿透率，然而此種量測法所使用的光偵測器，必須對光強度有廣大的偵測範圍，以免因光強度太強而進入光偵測器的非線性區或飽和區，或者是在光源區加入濾光片，達到降低光強度的目的，但濾光片亦有許多嚴苛的規格條件需滿足。

為了克服此問題，我們使用光彈調變式橢圓儀(PhotoElastic Modulator Ellipsometer)系統，量測此類具有雙光軸的材料特性。這是屬於一種亮比式橢圓儀(light intensity ratio ellipsometry)，由於光彈調變器(PEM)的特性，在光偵測器接收到訊號後，將訊號傳送至訊號處理區，藉由 DAQ 卡(Data Acquisition card)及 LabVIEW 程式的監控，可以得到直流及倍頻項訊號，再利用倍頻訊號做數值擬合分析(curve fitting method)，即可得到圓偏振片的特性參數。

長的圓偏振率變化，可以發現量測樣品於短波長時有較好的特性。由於 LD 代表的是光線穿透二向性材料時，最小光強度與最大光強度的比例，因此我們將LD 換算為消光率(extinction ratio)後，與實驗室所用的 Melles Griot 線偏振片做規格比較，圓偏振片的消光率約為1.12 10× ⁻⁴~ 之間，而線偏振

片的消光率約在 ~ 。

4.53 10× ⁻4

10

⁻4.9

10

⁻^5.4

第二章基本原理

JG的偏振態就可由馬克斯威爾方程式(Maxwell equations)求出其餘三個

場向量、D

其中

角頻率(angular frequency)

x : (optical polarization)，此即為橢圓方程式。

如圖2-2 為一旋轉 θ 角的橢圓，則

圓偏振光 ,

一般而言 Jones vector 只能形容純偏振 (pure polarized) 光，不能形容

份均為部份偏振光，故須用 Stokes Parameters 來代表。

Mueller matrix 則是一個 4 4 階的矩陣，用來表示光學元件的傳導矩陣，主要架構建立在Stokes Parameters 上，如以下的出射光

☉線性偏振片(穿透軸在水平方向) 20kHz~60kHz 的頻率(當 PEM 出廠後此頻率便已固定)，擠壓另一個與它黏

著在一起的材料，此材料的特性為具有穿透性，並會等比例隨外在的應力改變雙折射效應(如圖 2-7)。

圖2.6 PEM 外觀及功能介紹

圖2-7 PEM 調變振幅為

2 λ

PEM 的 Mueller matrix 如下(光軸位於 0 度) 換後，可由訊號截取卡(Data acquisition card --DAQ card) 截取各倍頻訊號，

並加以計算分析得到樣品的參數。

圖 2-8 穿透式光彈調變式橢圓儀

2.4 圓偏振片

k 與為介質的k extraordinary 和 ordinary coefficients

對理想的線偏振片來說，k =0，k → ∞，此時穿透軸在水平方向。

cosh( ) sinh( ) 0 0

γ 為線偏振片穿透軸與四分之一補波片快軸的夾角。理想的圓偏振片 γ

sin² sin 4 sinh ) cos 2

其後再加置一個檢偏片，不論檢偏片的方位角為何，光偵測器所接收的光強

圖2-10 以布魯斯特角反射的光線具有線偏振態

由於圓偏振片的參數LD 與 LB 均為波長λ的函數，因此隨著入射波長的改變會有不同的圓偏振率。此外，在攝影的同時，必須轉動圓偏振片以達到消除反射光及色彩飽和的要求，接下來我們將探討圓偏振率對照不同方位角的線偏振光及不同入射波長的關係式。由式(2.4-4)，將圓偏振片 LD 的吸收軸方位角放在，入射光為任意角度的線偏振光。Mueller Matrix 結構將如以下所示:

0°

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

2.8 消光率(extinction ratio)與光學密度(optical density)

為了使論文中的參數與市售產品的規格表做比較，我們將說明LD 與消光率的關係。

消光率

將線偏振片的Jone’s Matrix 寫如下:

圖2-11 Optical density 示意圖 H90即closed transmittance，則為 open transmittance。這兩個參數都和波長有關。由於隨著波長的改變，和跳動範圍很大，為了方便起見，

此即為open 和 closed optical density。

extinction ratio= ²

k =

10

^{− ∆}⁽ ⁹⁰⁻^∆⁰⁾ ... (2.8-9)

第三章實驗步驟

實驗基本設置如下：

雷射光源： 1. He-Ne Laser: Melles Griot laser 10mw 2. Kr-Ar Laser: Melles Griot

偏光片及析光片： Melles Griot 03FPG sheet polarizer 待測物: B+W circular polarizer

光偵測器：Thorlabs PDA55 silicon pin diode Spectral Range：400-1100nm

數據擷取卡DAQ (Data Acquisition )：NI PCI-6111 光彈調變器：Hinds PEM-90

3.1 穿透式橢圓儀實驗架構

綜合以上對圓偏振片的了解，我們要量測的參數有三:

1. 線性偏振二向性(Linear Dichroism, LD) 由式(2.4-2)、(2.4-3)可知

LD=²π(k_o k d_e)

λ ⁻ ……… (3.1-1) 此參數代表光線在經過厚度為 d 的材料後，p-polarized light 和 s-polarized

light 強度被吸收的差異程度。

2. 雙折射(Linear Birefringence, LB)

LB=²π (n_o n d_e)

λ ⁻ ……… (3.1-2) 此參數代表光線在經過厚度為d 的材料後，p-polarized light 和 s-polarized light 的相位差。

3. LD 的穿透軸與 LB 的快軸之間的夾角(γ)

我們在簡式橢圓儀(Polarizer-Sample-Analyzer，簡稱 PSA 架構)中，另外加放了光彈調變器(PEM)，即為光彈調變式橢圓儀(圖 3-1)。

圖 3-1 穿透式光彈調變式橢圓儀

綜合以上對光彈調變式橢圓儀及圓偏振片的認識，我們可以著手進行圓偏振片的量測。為了減少待量測參數，提高量測的準確度，先將圓偏振片中的線偏振片穿透軸放置於零度。所有實驗皆以撰寫的 LabVIEW 程式透過數據擷取卡取得各倍頻訊號。

3.2 圓偏振片方位角校正

為了找出圓偏振片中的線偏振片穿透軸的方位角，主要利用了 Malus Law 的原理，將線偏振片那面朝向雷射，並旋轉 180 度，即可得到穿透軸的方位角。實驗架構如下:

圖 3-2 校正圓偏振片方位角

3.3 多波長量測圓偏振片參數

為了驗証實驗準確度，以及了解待測材料的吸收與折射係數對應波長的關係，選用了 He-Ne 及 Kr-Ar 離子雷射共六組波段做為光源，以便將量得的參數做比較。

將檢偏片(Analyzer)由 0 度轉至 180 度，並記錄每隔 15 度角度下的直流與倍頻訊號，經由運算即可得到圓偏振片中的LD、LB 與 γ 三個參數。

3.4 多波長驗証圓偏振率

將圓偏振片中線偏振片的那面朝向雷射。為了減少因儀器造成的系統誤差，此實驗步驟並無放置起偏片(如圖 2-9)。將檢偏片方位角由轉至360 ，每隔15 記錄一次光強度值。

0° °

最後將得到的圓偏振參數代入式(2.6-2)、(2.6-3)，對析光片的穿透軸方位角A 做光強度分布極坐標圖，再與實驗數據做對照。

第四章實驗結果

4.1 倍頻訊號量測結果

此章節將分別展示兩種實驗架構所量測到的訊號波形。在 4.1.1 節是以橢圓儀(P-PEM-S-A 架構，參照第 3.1 節)量測圓偏振片時的各倍頻訊號，此時的圓偏振片擺置方式是將線偏振片那面朝向光偵測器，目的是方便接下來的數值擬合過程。4.1.2 節則是將架構中的起偏器與光彈調變器移除，並將圓偏振片中的線偏振片朝向雷射(參照第 3.4 節)，目的是檢驗圓偏振率(圓偏振率的定義請參照第 2.7 節)

4.1.1 多波長橢圓儀(P-PEM-S-A)量測圓偏振片結果

圖(4-1)至圖(4-6)分別是以六種不同波長的雷射為光源的量測在各析光角下的亮度，在實驗中的訊號取值並無考慮相位，因此可以發現不論是直流或其他倍頻訊號皆為正值。相位的判斷將於第4.3 節作進一步討論。

圖4-1 波長 488nm 的各倍頻訊號圖4-2 波長 514.5nm 的各倍頻訊號

圖4-3 波長 520.8nm 的各倍頻訊號圖 4-4 波長 568.2nm 的各倍頻訊號

圖4-5 波長 632.8nm 的各倍頻訊號圖 4-6 波長 647.1nm 的各倍頻訊號

4.1.2 多波長驗証圓偏振率

下圖是以第3.4 節的架構所量測出來的結果，由於已經將光彈調變器移除，

因此只會取得直流訊號。由式(2.4-1)及式(2.6-2)、(2.6-3)可知，光偵測器所接收的訊號不會隨檢偏器的轉動而改變，因此最外圍的粗體黑線代表的是理想圓偏振片該有的實驗結果。我們可以發現，當波長增加時，其圓偏極化程度

圖4-7 多波長光強度極座標分布圖

4.2 圓偏振片理論圖形模擬

為了減少曲線擬合時的變數，以增加實驗準確度及計算速度，可先做圖形模擬，觀察參數的變動對倍頻訊號的影響。在此我們選用λ=488nm 時的實驗數據做數值模擬，而為了方便與實驗數據做比對，我們將適度等比例縮小理論圖形的振幅。

直流訊號對參數的敏感度

•

圖4-8 觀察不同的 LD 對I_dc的影響圖 4-9 觀察不同的 LB 對I_dc的影響

圖4-10 觀察不同的γ 對I_dc的影響

由以上三圖可知，直流項只對LD 的變化有明顯反應，LD 改變對I_dc造成的效應在於改變振幅大小，唯獨波形最低點位置並無改變。因此若要以曲線擬合法(curve fitting method)尋求 LB 與γ 時，應避開I_dc訊號。

•一倍頻訊號對參數的敏感度

圖 4-11 觀察不同的 LD 對I_{1 f} 的影響圖 4-12 觀察不同的 LB 對I_{1 f} 的影響

圖4-13 觀察不同的γ 對I_{1 f} 的影響

由以上三圖可知，一倍頻訊號對LD 與 LB 有反應，其中 LD 對I_{1 f} 造成的效應與對I_dc造成的效應相同，而LD 與 LB 對I_{1 f} 的效應亦大同小異，因此在擬合時，應避免同時尋求這兩個參數的解，以免造成簡併(degenerate)的現象。另一點值得注意的是，在 LB=60 與LB=120 時，曲線重合，原因是 LB 在

° °

I1 f 中是以sin 函數的形式呈現(參照 2.11 式)，因此若希望單以I_{1 f} 求得 LB，

會出現上述的問題，無法判定LB 的正確值。

二倍頻訊號對參數的敏感度

•

圖4-14 觀察不同的 LD 對I_{2 f} 的影響圖 4-15 觀察不同的 LB 對I_{2 f} 的影響

圖 4-16 觀察不同的γ 對I_{2 f}的影響

若單由圖4-14 與圖 4-15，很容易做出錯誤判斷，認為I_{2 f} 對LD 與 LB 沒有反應。在觀察圖4-16 後，可以清楚發現，原因在於其夾角γ 並不是45∘。

圖4-16 顯示，若γ =45°，其理論波形與實驗數據大相逕庭。當γ =46°時較接近實驗數據，而γ =44°時相位將反相。

現在將γ =50°代回圖4-8 至圖 4-15 重新討論，發現對圖 4-8 至圖 4-13 並無影響，而圖4-14 與圖 4-15 將改變如下

圖4-17 γ =50°時觀察不同的 LD 對I_{2 f} 的影響

圖 4-18 γ =50°時觀察不同的LB 對I_{2 f}的影響

可以發現，LD 與 LB 對I_{1 f} 與I_{2 f}造成的效應類同，與I_{1 f} 不同的是，LB 在I_{2 f}會以cos 函數的形式呈現(參照 2.12 式)，因此 LB 在大於或小於90°時，

I2 f值會有變化，在判斷LB 值會較I_{1 f} 容易。

表 4-1 倍頻訊號對參數的敏感度

在文檔中橢圓偏光光譜儀對線性二色及雙折射複合式結構之研究 (頁 8-0)

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第二章 基本原理