} { } { ](
[ } { ]
[K ∆u =− Kfr ∆u − ∆ut （3.46）
其中{ u∆ 與} {∆ut}分別為為節點位移向量與模具位移向量，將（3.46）
式重新整理可得有限元素方程式之最後形式如下所示：
} ]{
[ } { ) ] [ ] [
( K + K fr ∆u = Kfr ∆ut （3.47）
而[K fr]摩擦剛性矩陣(其矩陣大小為3× ）僅存在於與模具接觸時之3 節點自由度。
3.6 廣義 rmin法之增量步驟的計算
每一次時間增量的過程中，板金成形是以其增量開始之座標為參 考基準，其採用ULF 理論並結合 Yamada 等所提之廣義之 rmin方法來 決定每一次計算步驟的增量值的大小，下列六種情況下 r 值中之最小 者定為rmin。
(1) 元素最大容許應變增量 (2) 元素最大容許旋轉增量 (3) 元素最大容許等效應力增量
(4) 材料降伏之判定 (5) 自由節點與模具接觸 (6) 接觸節點與模具分離
應用r 方法的程序及增量大小的計算包含下列步驟: min
1. 在增量開始前，先給予一個假設模具位移增量∆a；
2. 相對於前述模具的位移增量∆a，利用剛性方程式解出其虛擬 解∆u；
3. 經由前述(1)~(6)的r值，找出最小的值即為rmin的值；
4. 將所得的解 u∆ 乘上r 係數(0＜min r ＜1)作為其加權，故此增min 量的大小將變為rmin∗ u∆ ，此將用來改善成形的變形狀態、總 位移、總應力及每一個元素降伏極限的數值。
由於本研究採增量理論，每一步驟與材料之幾何形狀及元素所處 狀態有關，故以rmin決定該步驟之實際增量。在第一次的虛擬增量計 算後，經由上述各種增量限制之判定，每一步驟僅允許一元素或節點 改變其原有狀態，並選擇最小之rmin去決定該步驟之實際增量。
圖3-1 退化殼元素之座標
圖 3-2 殼元素之自由度
圖3-3 接觸彈簧元素
四、結果與討論
本計畫為整合型計畫之子計畫三，主要以開發金屬板材成形三維 解析 CAE 軟體有關應力與應變的部份為主。本計畫已如期將增量型 彈塑性大變形三維有限元素分析應力與應變之理論與程式，與其他各 子計畫所建構之程式進行整合，且完成測試。此外，亦完成 IDEAS 軟體之升級與本計畫分析程式之整合應用。且為使本程式之可靠度提 高，於去年亦完成實驗之驗證，因此本年度的計畫，將程式針對實際 加工所發生的狀況，做大幅修改及改善執行效率，已如期完成泛用型 CAE 分析軟體之目標。
今年為本程式完成階段，本計畫最後亦嘗試加入判斷材料破裂之 理論，藉由變形履歷與板材厚度變化，可判斷成形中材料最早產生破 裂之位置，應該位於料片與沖頭或料片與沖模接觸之隅角處。將本計 畫所推導之應力與應變程式，與其他子計畫之前後處理程式進行整合 後，以金屬板材彎曲成形加工之解析為例進行分析。在模具方面有限 元素網格分割是採用三角形元素，其目的是解決模具之幾何形狀問 題，以避免網格分割時在模具表面同時產生三角形和四邊形元素，增 加分析程式的複雜程度。而工件之有限元素網格分割則是採用四邊形 元素。上述模具與工件之幾何圖形皆由套裝軟體I-DEAS 建立，並透 過 Simulation 模組產生有限元素網格資料，再轉出 Universal 檔案，
以作為本整合計畫程式之前處理輸入資料，經分析後再經由 I-DEAS 軟體作後處理。以下為金屬板材彎曲成形加工為例，進行分析：