3、 人體模型定義
3.2. 建立各肢節local座標系間之階層幾何轉換關係
以兩個肢節L 、0 L1為例，依圖 3-1、3-2 定義出各肢節(Limb)的 local 座標系，並將 各肢節中的所有 Vertex V ，都定義在各自的 local 座標系中；而i L 、0 L1local 座標系的原 點就是 jointJ 、0 J1。
J 0
V (Root Object) 0
圖 3-2 L1的 local 座標系(JointJ1為其原點，V1為其肢節的末端點)
定義 Neutral Pose(t=0 時)，各肢節 local 座標系間樹狀架構之幾何轉換關係，在每個 parent 肢節與其 child 肢節之間，都各定義一組 constant transformation(可能包含 rotation 及 translation 用來表示 child 肢節的 local 座標系與 parent 肢節的 local 座標系之間的相對 關係)；Root 肢節則會與 global 座標系有一組 transformation 用來表示 Root 肢節的 local 座標系與 global 座標系之間的相對關係。如此就將每個 child 肢節都定義在其 parent 肢 節上。圖 3-3、3-4 表示如何將兩肢節V 、0 V1依序表示在其 parent 肢節的 local 座標系上：
圖 3-3 將L1local 座標系移至上一層父系L0的 local 座標系 V1
V 0
V1的 local 座標系
V 的 local 座標系 0
T1
J1
V1
圖 3-4 將 Root 的L0移至上一層的 global 座標系(其 child 肢節L1隨之一起移)
如圖 3-3、3-4 所示，其肢節向量定義在各自的 local 座標系中分別可表示為V 、0 V1， 令 parent 肢節與其 child 肢節之間的 constant transformation 分別為T 、0 T1。
在未旋轉時，其之間的階層性關係表示如下圖：
圖 3-5 未旋轉時，各肢節的階層性關係圖
肢節點V 中的資訊 0 T0
肢節點V1中的資訊 T1
Global 座標系 Global 座標系
T 0
V1
V0
V 的 local 座標系 0
V1的 local 座標系
若要將V 、0 V1表示在 global 座標系中，則可寫為：
global
V0 =T ．0 V 0
global
V1 =T ．0 T1．V1
若要對肢節V 、0 V1分別旋轉θ0、θ1角度，則分別在其各自的 local 座標系中，依 fixed-angle rotation 旋轉θ0、θ1角度，旋轉時是旋轉 local 座標系中的所有物體，並不改變 local 座 標系本身；表示其階層性關係如下圖：
圖 3-6 經過旋轉時，各肢節的階層性關係圖
再以圖 3-7、3-8 說明肢節點V 、0 V1分別旋轉θ0、θ1 肢節點V 中的資訊 0
T0
肢節點V1中的資訊 T1
Global 座標系
R0
R1
先對肢節點V 旋轉0 θ0：
圖 3-7 肢節點V0在其 local 座標系中旋轉θ0圖
將V 表示在 global 座標系中，則可寫為： 0
global
V0 =T ．0 R0(θ0)．V 0
其中R0(θ0)．V 表示將肢節點0 V 在其本身的 local 座標系中做 fixed-angle rotation0 R0(θ0)。 因此仍表示在V 本身的 local 座標系中。 0
再經過 transformation T 將旋轉後的0 V 表示在 global 座標系中， 0 寫為T ．0 R0(θ0)．V 。 0
旋轉θ0
V 的 local 座標系 0
V0
Global 座標系 T 0
再對肢節點V1旋轉θ1：
圖 3-8 肢節點V1在其 local 座標系中旋轉θ1圖
將V1表示在 global 座標系中，則可寫為：
global
V1 =T ．0 R0(θ0)．T1．R1(θ1)．V1
其中R1(θ1)．V1表示將V1在其本身的 local 座標系中做 fixed-angle rotationR1(θ1)。 因此仍表示在V1本身的 local 座標系中。
再經過 transformation T1將旋轉後的V1表示在V 的 local 座標系中， 0 寫為T1．R1(θ1)．V1。
V 再對其 local 座標系中的所有物體(包含0 V1)做 fixed-angle rotationR0(θ0)。 寫為R0(θ0)．T1．R1(θ1)．V1
再經過 transformation T 將0 V1表示在 global 座標系中，
寫為T ．0 R0(θ0)．T1．R1(θ1)．V1。
V1
V1的 local 座標系 旋轉θ0
V 的 local 座標系 0
V0
Global 座標系 T 0
旋轉θ 1
若每個 joints 都是 1-DOF，若肢節V 、0 V1，再分別旋轉θ0′、 ′
θ1 角度，由於肢節各自的 旋轉都在其 local 座標系中進行，肢節的 local 座標系是不會改變的，因此肢節永遠是對 同一個轉軸旋轉，
原本已經過θ0的V 表示在 global 座標系中，可寫為： 0
global
V0 =T ．0 R0(θ0)．V 0
其中R0(θ0)．V 表示將0 V 在其本身的 local 座標系中做 fixed-angle rotation0 R0(θ0)。 因此仍表示在V 本身的 local 座標系中。 0
若再旋轉 ′
θ1 ，可表示為：
global
V0 =T ．0 R0(θ0′)．R0(θ0)．V 0
其中R0(θ0′)．R0(θ0)可合併為 0(θ0′+θ0) R
寫為V0global=T ．0 0(θ0′+θ0)
R ．V 0
同理，
原本已經過θ0、θ1旋轉的V1表示在 global 座標系中，可寫為：
global
V1 =T ．0 R0(θ0)．T1．R1(θ1)．V1
其中R1(θ1)．V1表示將V1在其本身的 local 座標系中做 fixed-angle rotationR1(θ1)， 因此仍表示在V1本身的 local 座標系中；R0(θ0)．(T1．R1(θ1)．V1)表示在V 本身的 local0 座標系中對所有物體做 fixed-angle rotationR0(θ0)，因此這個旋轉仍表示在V 本身的 local0 座標系中。
因此若再旋轉θ0′、 ′
θ1 ，可表示為：
global
V1 =T ．0 R0(θ0′)．R0(θ0)．T1．R1(θ1′)．R1(θ1)．V1 其中R0(θ0′)．R0(θ0)可合併為 0(θ0′+θ0)
R ；R1(θ1′)．R1(θ1)可合併為 1(θ1′+θ1) R
寫為V1global=T ．0 0(θ0′+θ0)
R ．T1． 1(θ1′+θ1)
R ．V1
由此可見先旋轉θ0、θ1再旋轉θ0′、 ′
θ1 與一次旋轉θ0+θ0′、θ1+ ′
θ1 是等價的。
欲依據上述方法定義一個完整的人體在 Neutral Pose 下各肢節 local 座標系及樹狀架構。
定義 Neutral Pose 為：
當各個肢節 t=0 時未對 joint 做旋轉(即角度為 0)之前的相互幾何關係圖，稱為人體 肢節的 Neutral Pose。由此一圖可看出每個肢節與其上一層次父系座標系的 constant transform matrix 為何。
再考慮由於資料是經由影像處理所得來，因此資料的準確性是有限的，而身體輪廓 較好判斷的點只有頭、手、腳這些端點是較為準確的，因此把這些端點當做是人體模型 中的 End-Effector 或是 Root；而除了這些點以外的點就較難用影像處理來判斷了，因此 就取幾個比較重要的關節做為 Root 到 End-Effector 之間的端點，並有 1DOF 與 3DOF 的 關節，以表示人體正確的動作，並使求解的複雜度不至於太高，且認為內部的關節點較 難定位，因此只考慮以人體的端點做 Root，又認為人體至少需靠單腳站立，而踩地的該 腳位置固定，因而制定了如圖 3-9、3-10 分別以左腳和右腳為 Root 的人體肢節模型，有 11 個關節點共 21 個關節自由度、4 個 End-effectors。
圖 3-9、3-10 就是本論文所定義的自然姿勢(neutral pose)時(t=0)，各肢節的 local 座標系 及樹狀架構圖。
圖 3-9 以左腳為 Root 的人體模型自然姿勢
Rheel_x
Rhip_y Rhip_z x z
在關節點的自由度是 3DOF 時，為了配合 Jacobian matrix 中的每個 element 僅考慮一個 轉軸對 End-effector 位置的影響，本論文將 3-DOF 拆成 3 個 1-DOF 的座標系及其之間的 constant transform matrix = I
並且將 x-dof 與 y-dof 的肢節向量設為 0
只有 z-dof 的肢節向量是此 3DOF 肢節的肢節向量
以 Lheel 為例；hierarchical tree 順序為 Lheel_xÆLheel_yÆLheel_z 就是分別以 Lheel 肢節 local 座標系中 x、y、z 軸為轉軸的三個肢節。
如圖 3-11 所示：
Lheel_x Lknee
Lheel_y y
z Lheel_z
x
y
z x
y
z x
0 0
圖 3-11 3DOF 的肢節拆成 3 個 1DOF 的肢節之示意圖
各肢節對其 local 座標系原點的 joint 做 1-DOF 旋轉的表示式如下：
T[‧]為 Transformation，R(‧)為 Rotation。
以某一個 3-DOF 肢節node 所拆成的三個肢節i node -x-dof、i node -y-dof、i node -z-dof 為i
)] 1