建立完整五軸工具機誤差模型後，即可預估五軸工具機各運動軸運動 至任一位置時，於工件座標系上刀具端點位置與指向所產生的誤差量。而 修正此一誤差量以提升工具機之加工精度，需利用補償機制計算出各運動 軸所需修正之補償量，將此誤差量補償於各伺服控制運動軸進行修正，使 刀具端點與刀具指向定位至正確位置上。
3-1 誤差補償原理
工具機的誤差除了組裝誤差外，尚有隨工具機各軸的運動位置不同，
所造成的定位誤差。同時，這些誤差項會造成在工件座標系上刀具端點位 置與指向的誤差。因此，欲得知工具機所產生之誤差量，就誤差補償流程 而言，首先應知道機器各運動軸的座標位置(X ,Y ,Z ,A ,C )m m m m m ，再經由第 二章所推導之誤差模型，利用誤差模型估算其工件座標上的刀具端點位置 誤差(ΔX ,ΔY ,ΔZ )w w w 與刀具指向誤差(ΔI ,ΔJ ,ΔK )w w w ，藉此推導出工件座標 系上的誤差補償量。
推 導 出 工 件 座 標 系 上 應 補 償 的 刀 具 端點 位 置 與 刀 具 指 向 誤 差 補 償 量 量後，但欲補償此一工件座標系上誤差量時，又得回到機器軸座標系的層 面上，驅動各個伺服控制軸運動至所需位置，使其能補償相應於工件座標 系上的誤差補償量。所以利用誤差補償機制，將工件座標系上的誤差補償 量依據機構轉換，計算各個伺服控制軸所應驅動的補償運動量。
所 以 推 導 出 五 軸 工 具 機 的 誤 差 模 型 ，即 可 依 此 模 型 建 立 誤 差 補 償 機 制。其原理為根據理想工具機機構模型(Nominal kinematic model)，運用逆 機 構 轉 換F 表示工件座標系的刀具姿態向量b,n v轉 換 至 機 器 座 標 系 的 位 置 向量u，如(3.1)式。
u F (v)= b,n (3.1)
此 刀 具 姿 態 向 量 v ， 包 含 定 義 於 工 件 座 標 系 的 刀 具 端 點 位 置
[
w w w]
P= x y z 和刀具指向Q=
[
iw jw kw]
，其中Q 為單位向量。因此，相 對 之 正 機 構 轉 換F 可表示機器座標系的位置向量f ,n u轉 換 至 工 件 座 標 系 的刀具姿態向量v，如(3.2)式。
v F (u)= f ,n (3.2) 但 實 際 五 軸 工 具 機 所 設 定 之 機 器 座 標系 的 線 性 運 動 軸 與 轉 動 運 動 軸 位置向量us，於直線運動與旋轉定位時有伺服控制定位上的誤差量，使得 工具機命令伺服控制運動軸直線與旋轉至設定的軸位置向量時，造成於工 件 座 標 系 上 之 實 際 的 刀 具 姿 態 向 量v 與 設 定 之 刀 具 姿 態 向 量a v 產 生 一 差s 異量，如(3.3)式所示。
a e s
v =F (u ,e) (3.3) 其(3.3)式中F 為實際機器之誤差模型，而e e為幾何誤差向量。
所以，補償機制之目的是為了修正此工件座標系上刀具姿態向量的差 異量。因此，利用誤差模型推導實際工具機運動至工件座標系上所設定的 刀具姿態向量時，與理想之刀具姿態向量的差異量，經由計算得到刀具姿 態誤差補償量後，反向推導其機器座標系上應修正的軸位置向量du，即可 達成工件座標系上刀具姿態向量的誤差補償修正至正確的姿態向量上，如 (3.4)式所示。
s e s
v =F (u +du,e) (3.4) 其(3.4)式中，v 為設定的刀具姿態向量， du,e 為機器軸之修正向量。 s
3-2 誤差補償方法
誤差補償方法的目的是修正刀具姿態向量總成誤差。而修正此誤差量 時，首先需建立工件座 標系之刀具姿態向量v與機器座標系之位置向量u 的關係式，因此藉由兩者間關係式以求得機器軸之修正向量du。換言之，
工件座標系上刀具姿態向量的誤差量，即可利用此關係式求得機器座標系 上所應修正的機器軸位置向量。因此將機器軸位置修正向量du，補償於原 機器座標系之位置向量u，即可利用此誤差補償方法修正工件座標系上刀 具端點與刀具指向補償至正確位置與指向上。
3-2-1 補償方法
由於五軸工具機較三軸工具機有額外兩個轉動運動軸，所以控制兩個 轉動軸之旋轉角度，可藉此改變刀具指向以適應各種形式的切削需求。在 正機構座標轉換數學式中刀具指向的控制，僅有轉動運動軸能改變刀具指 向之方向，而線性運動軸的改變並不影響刀具指向。所以修正刀具指向的 誤差，需從轉動運動軸進行補償。但是利用轉動運動軸補償刀具指向，由 正機構座標轉換數學式中可說明轉動運動軸的補償，會影響刀具端點位置 的改變。因此刀具端點位置的誤差補償除了補償原誤差模型中，刀具端點 位置的誤差量，還需修正因轉動運動軸的改變而影響刀具端點位置的補償 量。所以，誤差補償方法之原理，則依據此特性先進行刀具指向誤差量的 修正，再利用誤差模型計算刀具指向因補償修正，所影響刀具端點位置的 改變量，以及原本線性運動軸的誤差量兩者相加，以完成刀具端點位置與 刀具指向的總成誤差量補償。
所以在正機構座標轉換數學式中，補償方法之原理為指向誤差與線性 運動軸的運動量無關，但轉動運動軸的運動量則與刀具端點位置有關。換 言之，誤差模型中所需補償的指向誤差( I , J , K )Δ w Δ w Δ w ，僅有轉動運動軸的 修正，才能補償工件座標系上刀具指向的誤差量。所以機器座標系上 A 軸 與 C 軸轉動運動軸的修正，能改變刀具指向於正確的方向上。於正機構座 標轉換數學式中，X、Y、Z 軸向之線性運動軸，並無法修正刀具指向的誤 差量，所以指向誤差的補償即可針對轉動運動軸，進行計算各伺服控制轉 動運動軸所需的補償量。因此誤差補償機制先進行刀具指向的誤差補償，
由於線性運動軸無法修正刀具指向的誤差，所以補償刀具指向誤差量只須 計算轉動運動軸所應補償的伺服控制位置。
修正工件座標系上刀具指向誤差量，經由計算可得知轉動運動軸所需 補償的伺服控制位置。但由於誤差補償原理中，刀具端點位置誤差量與轉 動運動軸的運動量有關，因此刀具端點位置的誤差補償，須考慮補償刀具 指向後之轉動運動軸的運動量，所影響刀具端點位置的改變。從正機構座 標轉換數學式中可瞭解，除了機器座標系之 X、Y、Z 軸向線性運動軸影 響其刀具端點位置，同時 A 軸與 C 軸轉動運動軸也會影響刀具端點位置的 變化。所以修正刀具指向誤差量後，需再修正因驅動 A 軸與 C 軸轉動運動 軸而造成的刀具端點位置改變量，並再利用線性運動軸補償其刀具端點位 置的改變。因此刀具指向的誤差經由轉動運動軸修正，以及修正刀具指向 而 造 成 刀 具 端 點 位 置 的 改 變 量 再 由 線 性 運 動 軸 驅 動 回 正 確 的 刀 具 端 點 位 置。此時原誤差模型中位置誤差量( X , Y , Z )Δ w Δ w Δ w ，即可再加入因修正刀 具指向而補償的線性運動軸修正量中，完成總成誤差量的補償。簡言之此 誤差補償方法，即是依序修正刀具指向與刀具端點位置的誤差量。
因此藉由刀具姿態誤差向量圖 3-1 所示說明，於工作座標系上理想刀 具 端 點 位 置(X , Y , Z )w w w i與 刀 具 指 向(I , J , K )w w w i是 未 含 誤 差 項 之 理 想 工 具 機刀具所在位置與指向，也是誤差補償機制欲使工具機補償至理想的刀具 端點位置與指向。但由於實際工具機中包含線性運動軸與轉動運動軸的各 種誤差項，導致刀具端點位置與刀具指向的改變。而針對刀具端點位置而 言，將誤差的刀具端點位置修正於理想刀具端點位置之補償量，定義為位 置 誤 差 向 量 Vuva
。 也 是 原 誤 差 模 型 中 位 置 誤 差 量 ( X , Y , Z )Δ w Δ w Δ w ， 如 (2.28)-(2.30)式。換言之，若誤差模型為三軸工具機，也只需補償刀具端點 位置誤差向量Vuva
即可完成誤差補償。而五軸工具機於工件座標系上除了含 誤 差 項 的 實 際 刀 具 端 點 位 置 (X ,Y ,Z ) 需 補 償 至 理 想 刀 具 端 點 位 置w w w e
w w w i
(X , Y , Z )，其刀具指向也需將含誤差項的實際刀具指向(I ,J ,K ) 補償w w w e 至理想刀具指向(I , J , K )w w w i，因此誤差補償的程序藉由下列方式進行刀具 端點位置與刀具指向的修正。
首 先 依 誤 差 補 償 方 法 之 原 理 ， 由 誤 差 模 型 中 先 補 償 刀 具 指 向 誤 差
w w w
( I , J , K )Δ Δ Δ ，將工件座標系上含誤差項的實際刀具指向(I ,J ,K ) 修正w w w e
為理想刀具指向(I , J , K )w w w i。但由於修正刀具指向驅動其轉動運動軸 A 軸 與 C 軸，也同時造成刀具端點位置的改變，因此定義其刀具端點位置的改 變稱為指向誤差向量Vuve
。所以刀具指向修正至理想方向時，而刀具端點位 置 因 指 向 誤 差 向 量 Vuve
而 改 變 至 因 補 償 指 向 後 的 刀 具 端 點 位 置
w w w c
(X , Y , Z ) 。 所 以 刀 具 端 點 位 置 的 補 償 ，除 了 需 補 償 原 誤 差 模 型 中 的 位 置誤差向量Vuva
，也需再補償因修正指向誤差而造成的指向誤差向量Vuve
。 所以定義其總成誤差補償向量Vuvs
，即是位置誤差向量Vuva
與指向誤差向 量 Ve
uv 的總成補償量，如(3.5)式所示。
s a e
V =V +V uv uv uv
(3.5) 因此刀具端點位置與刀具指向的修正，即可利用此誤差補償方法，分 別進行位置誤差向量Vuva
的修正與指向誤差向量Vuve
的修正，得到理想刀具 端點位置(X , Y , Z )w w w i以及理想刀具指向(I , J , K )w w w i，所以誤差補償方法之 目的即是計算出總成誤差補償向量Vuvs
，以完成工具機的幾何誤差補償。
圖3-1 刀具姿態誤差向量圖
經 由 誤 差 補 償 方 法 的 說 明 瞭 解 其 刀 具端 點 位 置 與 刀 具 指 向 的 補 償 原
3-2 所示的刀具位置與指向之誤差向量圖說明。由於 RRTTT 型五軸工具機 是藉由工件座標系的旋轉改變其刀具指向，所以刀具指向的誤差補償也藉 由工件座標系的旋轉修正其指向誤差。首先依據補償原理說明如何驅動轉 動運動軸改變工件座標系達成指向誤差的補償，以及刀具座標系與工件座 標系的向量關係也如圖 3-2 說明之。
圖3-2 刀具位置與指向之誤差向量圖
於理想刀具端點位置(X , Y , Z )w w w i與刀具指向(I , J , K )w w w i，是相對於轉 動運動軸上之理想工件座標系Xw、Yw、Zw所設定的刀具端點位置與刀具 指向。因此定義其理想刀具端點位置與刀具指向相對於理想工件座標系的 刀具姿態向量為Wuuvi
。但實際上五軸工具機因為線性運動軸與轉動運動軸包 含直線度誤差、側傾(Roll)、俯仰(Pitch)及橫擺(Yaw)等誤差項，使刀具端 點位置偏移至含誤差項的實際刀具端點位置(X ,Y ,Z ) 。同時工件座標系w w w e 也因誤差項的影響，偏移至含誤差項的實際工件座標系X 、w,e Y 、w,e Zw,e。
所以刀具指向相對於含誤差項的實際工件座標系而言，造成刀具指向改變 至含誤差項的實際刀具指向(I ,J ,K ) 。因此定義其含誤差項的實際刀具w w w e 端點位置與刀具指向相對於含誤差項的實際工件座標系，其含誤差項的刀 具姿態向量為Wuuve
。
所 以 誤 差 補 償 原 理 中 說 明 將 誤 差 刀 具端 點 位 置 修 正 於 理 想 刀 具 端 點 位置的位置誤差向量Vuva
，即是理想的刀具姿態向量與含誤差項的刀具姿態 向量間的差異量，其數學式表示式如(3.6)式所示。
a i e
V =W −W uv uuv uuv
(3.6) 此時即可計算出補償刀具端點至理想位置所需的位置誤差向量Vuva
，而 刀具指向的誤差補償則需透過伺服控制旋轉 A 軸與 C 軸，使工件座標系改 變方向並相對刀具指向為理想的刀具指向向量上。所以因修正刀具指向而 改變的工作座標系定義為補償刀具指向後的工件座標系X 、w,c Y 、w,c Zw,c， 因此刀具座標系相對於工件座標系而言，指向誤差向量Vuve
即是兩工件座標 系的改變量。
由 於 刀 具 指 向 因 工 件 座 標 系 的 旋 轉 修 正 於 理 想 刀 具 指 向
w w w i
(I , J , K )，而刀具端點位置的補償即是位置誤差向量Vuva
與指向誤差向量 Ve
uv 的總成補償量。亦是說利用理想工件座標系的刀具姿態向量為Wuuvi
與含 誤差項的刀具姿態向量為Wuuve
所計算出誤差模型中的位置誤差向量Vuva
，和 修正刀具指向誤差所造成的指向誤差向量Vuve
，兩誤差向量Vuva
與Vuve
的向量 總和，即是工具機所需驅動線性運動軸進行補償刀具端點位置的總成誤差 補償向量Vuvs
。
所以誤差補償方法即是驅動 A 軸與 C 軸修改工件座標系，使工件座標 系相對於刀具指向為(I , J , K )w w w i，因此刀具指向即為理想刀具指向。接著 再計算轉動運動軸的修改導致刀具端點位置改變的指向誤差向量Vuve
，以及 原誤差模型中刀具端點位置誤差向量Vuva
，所以驅動線性運動軸修正刀具與 工件座標系，進行總成誤差補償向量Vuvs
的補償，使刀具端點位置於工件座