中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：建立五軸工具機誤差補償機制之後處理器

系 所 別：機械與航太工程研究所 學號姓名： M09208009 王信舜 指導教授：徐永源 博士

中華民國 九十四 年 七 月

摘要

本研究主要目的是補償五軸工具機靜態誤差中的幾何誤差。所以針對 五軸工具機之幾何誤差建立誤差模型，而誤差模型的建立使用齊次座標轉 換矩陣，將五軸工具機各機構間之誤差項利用矩陣相乘計算工件座標系相 對於機器座標系之數學關係式。當建立完整五軸工具機誤差模型，即可估 算工件座標系上刀具端點位置與刀具指向所包含的誤差量。所以補償此工 件座標系上刀具端點位置與刀具指向的誤差量，本研究中使用所推導之誤 差補償方法，將刀具端點位置與刀具指向的誤差量推算至機器座標系上各 伺服控制運動軸所應補償之總成誤差量。其補償方法的原理是利用刀具指 向的誤差量與線性運動軸的運動量無關，但刀具端點位置的誤差量與轉動 運動軸的運動量有關。因此刀具端點位置與刀具指向的誤差量，經由伺服 控制運動軸適當的修正即可補償五軸工具機之幾何誤差。而誤差的修正則 利用後處理器模組，將誤差補償機制建立於後處理器中，其誤差補償機制 包含五軸工具機誤差模型，以及誤差補償方法與 NC 程式碼的修正程式。

經由後處理器中誤差補償機制的誤差補償量推導，五軸工具機之幾何誤差 即可獲得正確的補償修正。因此工具機的誤差改善，透過誤差補償機制後 處理器之 NC 程式碼的補償，即可將五軸工具機精度進行有效的提升。

關鍵字：五軸工具機、誤差補償、幾何誤差、誤差模型、後處理器。

Abstract

The purpose of this paper is to compensate the geometric errors for five-axis machine tools. For error compensation, the first step is to establish the error model for machine tools. The homogeneous transformation matrix (HTM) derives the error model to construct the error mapping for machine tools. Based on the fully known error model, a new error compensation function is developed by this paper. The new compensation method calculates each position of motion to make complex errors to be compensated. Finally, the errors can be compensated by a suitable compensation method in the error model of machine tools.

Keywords: Five-axis machine tools, Error compensation, Geometric error, Error model, Postprocessor

誌謝

科學是描述自然現象的最具體方式，而數學即是譜曲這世界的美麗詩 句 。 雖 然 我 無 法 撰 寫 出 動 人 的 偉 大 理 論 ， 但 研 究 期 間 不 斷 的 磨 練 與 學 習 下，也讓我學會利用數學拼出那簡單的字語。當然，一切的一切還是感謝 父母親一直為我支持與鼓勵，讓我有更多的勇氣向前邁進。同時，也感謝 指導教授徐永源老師細心的教導與叮嚀，帶領我探訪數學的嚴謹與科學的 奧秘。並且亦感謝瞿志行老師的引領，啟發我對 CAD/CAM 的興趣與瞭解。

以及許多許多曾教導我的老師，於心中由衷的感謝。

而一起共同修課及研究討論的丁嘉緯同學，感謝短短的求學期間給予 相互扶持與關心。還有精密實驗室的陳俊宏同學，感謝帶給予許多的歡笑 與激勵。以及感謝默默支持我的 chauur，讓我有力量完成許多任務。並且 於實驗室的學長學弟妹們，其周、振佑、律憲、益通、嘉慶、俞凡、勝偉、

芳芳、建誠、久寧、俊傑、茂榮、伯憲、文川與可愛的魚魚…等許多幫助 我的人，在此好多的感謝能陪伴我與包容我。時間悄悄的流逝，轉眼間又 搭乘下一趟旅程前進，曾有的回憶與快樂還是得真心的感謝有你們的陪伴 讓我的旅途更加精彩。

信舜 2005/8/11

目錄

摘要………..Ⅰ 誌謝………...….………..Ⅲ 目錄………..Ⅳ 圖表目錄………..Ⅵ

第一章 緒論………...1

1-1 前言……….1

1-2 研究目的……….…………2

1-3 文獻回顧……….………3

1-4 內容大綱……….6

第二章 建立誤差模型………..………7

2-1 齊次轉換矩陣……….……7

2-2 誤差模型建立………..……….…………13

2-2-1 工件座標系誤差模型……….………..14

2-2-2 參考座標系誤差模型………..…...…..27

2-3 五軸正轉換及逆轉換………..…….27

第三章 建立誤差補償機制………..…..30

3-1 誤差補償原理………...……30

3-2 誤差補償方法………...………31

3-2-1 補償方法………...……32

3-2-2 補償方法驗證………...…………40

3-3 誤差補償後處理器………...……46

3-3-1 UG 之後處理器模組………..47

3-3-2 建立後處理器………..……….…49

3-3-3 驗證後處理器……….……….….52

3-3-4 誤差補償程序……….………….…….55

3-3-5 誤差補償機制後處理器的驗證………..……….58

3-3-6 誤差補償 NC 程式輸出……….……….….62

第四章 實驗………64

4-1 實驗方法………...64

4-2 實驗步驟………...…70

4-3 結果……….………..…77

第五章 結論………...….82

參考文獻………..84

圖表目錄

圖 2-1 座標平移關係圖………..………8

圖 2-2 座標旋轉關係圖………..9

圖 2-3 X 線性運動軸之誤差項………...…..10

圖 2-4 C 軸旋轉運動軸之誤差項……….……12

圖 2-5 RRTTT、TTTRR 與 RTTTR 三類型之五軸工具………13

圖2-6 RRTTT 型之五軸工具………...14

圖 2-7 座標系統設定………14

圖 2-8 C 軸誤差項………17

圖 2-9 A 軸誤差項………..……..18

圖 3-1 刀具姿態誤差向量圖………34

圖3-2 刀具位置與指向之誤差向量圖…….………...……35

圖 3-3 補償方法驗證流程圖………...………..….41

圖 3-4 量測路徑 Path F……….…………...….42

圖 3-5 伺服控制軸運動位置………..………..42

圖 3-6 量測路徑 Path F 數值模擬結果………...………..……..43

圖 3-7 量測路徑 Path S……….…44

圖 3-8 伺服控制軸運動位置………...…….44

圖 3-9 量測路徑 Path S 數值模擬結果………...…45

圖 3-10 誤差補償前後之 NC 程式碼………...…….46

圖 3-12 後處理模組之資料傳遞………...………….49

圖 3-13 五軸工具機座標系定義圖………...…….50

圖 3-14 第四軸與第五軸座標向量圖………...…….51

圖 3-15 測試路徑………...……...…….52

圖 3-16 Path_F 路徑模擬結果………...…………..….53

圖 3-17 Path_S 路徑模擬結果………...…….53

圖 3-18 Path_A 路徑模擬結果………...………….….54

圖 3-19 Path_C 路徑模擬結果………...…….54

圖 3-20 誤差補償程序之原理………...………..56

圖 3-21 誤差補償流程………...………..….57

圖 3-22 Path F 量測路徑刀具端點位置數值模擬數據……...……...….59

圖 3-23 Path F 量測路徑刀具指向數值模擬數據……...…………....….60

圖 3-24 Path S 量測路徑刀具端點位置數值模擬數據…………....…….61

圖 3-25 Path S 量測路徑刀具指向數值模擬數據…...…………...….62

圖 3-26 Path F 測試路徑部份 NC 程式碼…...…………...….63

圖 3-27 Path S 測試路徑部份 NC 程式碼……...…………...….63

圖 4-1 Path F 與 Path S 路徑之孔銑削定位點與方向…………...………..….65

圖 4-2 補償前後之刀具端點位置與指向……….………...…66

圖 4-3 刀具端點位置與指向………..………..67

圖 4-4 等間格孔銑削刀具路徑………...……….68

圖4-5 半圓球工件………...….71

圖 4-6 自動對心裝置………..………..72

圖 4-7 夾治具固定於 C 軸………..………..72

圖 4-8 千分量錶量測 X 軸向………..………..73

圖 4-9 固定半圓球工件………..………..73

圖 4-10 孔銑削過程………..………..………..74

圖 4-11 Path F 孔銑削完成工件………..……….………....74

圖 4-12 Path S 孔銑削完成工件………..……….………....74

圖 4-13 定義半圓球工件之球心………..………....75

圖 4-14 量測刀具端點位置………..………....76

圖 4-15 量測刀具指向………..………..…..76

圖 4-16 半圓球工件量測過程………..………..…..77

圖 4-17 Path F 路徑補償前後刀具端點位置誤差量………..…….………....78

圖 4-18 Path F 路徑補償前後刀具指向誤差量……..………...…..79

圖 4-19 Path S 路徑補償前後刀具端點位置誤差量..………...………..80

圖 4-20 Path S 補償前後刀具指向誤差量……..……….…..…..81

表 3-1 後處理模組各項參數設定..………..50

第一章 緒論

1-1 前言

五軸工具機具較三軸工具機有額外兩個機構上的轉動自由度，在五軸 同步運動控制下，刀具可對切削之自由曲面做最佳的方向配合，讓工具機 對於複雜零件加工能力更加提升，因而工業界積極研究開發五軸工具機的 相關技術。而五軸工具機除了硬體方面的研發，也需電腦輔助製造軟體不 斷配合五軸工具機的加工特性，開發適合五軸工具機之刀具路徑與刀具指 向的加工方式，以及發展適用於各種類型的五軸工具機後處理器。

五 軸 工 具 機 於 銑 削 加 工 零 件 時 能 同 時 控 制 刀 具 端 點 位 置 與 刀 具 軸 向，使複雜曲面形狀的零件於銑削時能有效的加工完成。如此同時控制刀 具端點位置與刀具軸向的加工方式，不但減少加工切削所需的時間成本，

也降低夾治具與工件間之夾持所產生的安裝誤差。由於五軸工具機於複雜 形狀曲面銑削可控制刀具軸向不斷變化，使切削曲面時刀具路徑間距所產 生之貝丘高度也降低至設定的容許公差內。上述優點讓五軸工具機的銑削 加工為目前航太業、汽車業與精密零件加工業…等所廣泛利用。

但五軸工具機相關技術正處於研究發展階段，許多技術瓶頸仍有待克 服，例如五軸工具機的誤差補償技術與伺服控制迴路的配置設計。由於五 軸工具機的機構設計上額外增加兩個轉動運動軸，能讓刀具可依據伺服控 制改變刀具軸向的自由度，也因此推導五軸工具機各伺服控制運動軸間之 數學模型複雜許多，相較於三軸工具機的技術開發其困難度提升不少。所 以五軸工具機的技術發展，於誤差補償運算或運動軸的伺服控制，正等待 學者不斷的開發與研究。

由於五軸工具機之轉動運動軸可控制刀具軸向改變，但刀具軸向的變 化會影響刀具端點位置所需的修正量，因此誤差補償機制中除了推導五軸 工具機刀具端點位置與刀具指向的誤差量，也需考慮刀具軸向的改變所影 響刀具端點位置的誤差量。所以誤差補償機制的建立，將利用齊次座標轉

換矩陣推導其五軸工具機數學誤差模型，以清楚利用數學式建立刀具端點 位置與刀具指向的誤差補償量。

而利用齊次座標轉換矩陣建立五軸工具機誤差模型，主要目的是補償 工具機的幾何誤差。之所以只針對幾何誤差進行補償，是因為影響工具機 精度的誤差源可分為靜態誤差、動態誤差與結構誤差，其中工具機的誤差 源 70％來自靜態誤差。而此靜態誤差中又包含幾何誤差與熱誤差，幾何誤 差一般由各元件製造及機器組裝所產生，例如軸的平行度與垂直度、軸承 的預力、背隙及表面粗糙度…等。另外，熱誤差主要是由外在環境的溫度 及機器內部因相對運動及加工程序產生之熱源導致機構變形，而影響加工 及定位精度。相較於幾何誤差與熱誤差，大多誤差源的產生是受幾何誤差 影響，使工具機無法達到應有的理想精度，所以誤差補償機制中建立幾何 誤差的誤差模型，以補償五軸工具機所包含大多數的誤差源。

1-2 研究目的

本研究主要目的是補償五軸工具機的幾何誤差。而幾何誤差的補償首 先需建立誤差模型，五軸工具機誤差模型的建立於本研究中使用齊次座標 轉換矩陣(HTM)建立其幾何誤差模型。而誤差模型中各運動軸之誤差項的 定義，以 Slocum[1]所明確定義之線性運動軸與轉動運動軸各誤差項的參 數建立於誤差模型中，利用矩陣相乘計算出完整的幾何誤差數學模型。所 以由五軸工具機誤差模型中，即可估算工件座標系上刀具端點位置與指向 的誤差量。

因此補償工件座標系上刀具端點位置與指向的誤差量，需透過線性運 動軸與轉動運動軸的驅動，改變機器座標系上各伺服控制運動軸的定位，

以補償刀具端點位置與指向的誤差量。而工件座標系的誤差量轉換至機器 座標系的補償量，本研究中提出一誤差補償方法，建立刀具與伺服控制軸 的誤差補償量計算，如此即可利用伺服控制運動軸的驅動，補償工件座標 系上刀具端點位置與指向的誤差量。而誤差補償方法的原理為，指向誤差

與線性運動軸的運動量無關，但轉動運動軸的運動量則與刀具端點位置有 關。依此原理即可推導工件座標系上刀具端點位置與指向的誤差量，相對 於機器座標系上各伺服控制運動軸所應補償的總成誤差量。

當 伺 服 控 制 運 動 軸 所 應 補 償 的 誤 差 量 已 知 ， 於 後 處 理 器 中 即 可 修 正 NC 程式碼各伺服控制軸的驅動位置，以補償 工件座標系上刀具端點位置 與指向的誤差量。所以誤差補償機制後處理器中的補償流程，先透過齊次 座標轉換矩陣所推導的誤差模型，估算刀具端點位置與刀具指向所產生的 誤差量，再利用誤差補償方法計算機器座標系上各伺服控制運動軸所應補 償的總成誤差量，如此即可修改 NC 程式碼中機器座標系各伺服控制運動 軸所應驅動的位置，使工件座標系上刀具端點位置與刀具指向到達理想的 位置與指向上。

最後利用實際銑削，將誤差補償前與誤差補償後所設定之定位點，利 用量測取得工件座標系上刀具端點位置與刀具指向的誤差修正量，以驗證 此誤差補償機制後處理器，是否確實將五軸工具機之幾何誤差獲得正確的 補償。

1-3 文獻回顧

許多學者於五軸工具機研究領域提出很多相關研究報告，首先說明五 軸工具機所定義的誤差項之相關研究，Tsutsumi 與 Saito[2]針對 RRTTT 型 式五軸工具機定義各伺服控制運動軸的誤差項，並針對各誤差項進行量測 與估算。而工具機的誤差源可分為靜態誤差與動態誤差之相關領域研究，

例如工具機的靜態誤差，Kiridena 與 Ferreira[3-5]學者對於三軸工具機的靜 態誤差進行一系列的完整研究，根據工具機的機器結構，透過齊次座標轉 換矩陣，推導各誤差項造成的體積誤差，建立三軸工具機數學誤差模型。

Slocum[1]也詳盡的針對工具機的幾何誤差做深入的探討與說明，以及幾何 誤差對於工具機誤差源所造成的精度影響詳細研究。另一方面工具機的動 態誤差，Barakat、Elbestawi 及 Spence[6]以伺服控制運動軸其馬達扭力，

所造成軸向變形而影響進給速度之動態誤差。但此工具機誤差的描述，則 須 透 過 誤 差 模 型 建 立 工 具 機 誤 差 的 數 學 關 係 式 以 定 義 工 具 機 的 各 誤 差 項 說明。而誤差模型的建立 Srivastava、Veldhuis 及 Elbestawit[7]利用 D-H 轉 換矩陣(Denavit-Hartenberg Matrix)之方法建立五軸工具機的誤差模型，以 描 述 工 具 機 各 誤 差 項 所 影 響 伺 服 控 制 軸 的 誤 差 量 。 以 及 Denavit 與 Hartenberg[8]則使用 D-H 轉換矩陣，以四種參數描述空間中兩相鄰連桿的 運動關係，並廣泛應用在具旋轉與滑動接頭機構的位置、速度、加速度及 力 的 分 析 。 於 目 前 的 誤 差 模 型 建 立 ， 最 為 廣 泛 使 用 為 齊 次 座 標 轉 換 矩 陣 (Homogeneous transformation matrix,HTM)之方法，利用座標轉換定義各誤 差項以建立五軸工具機的誤差模型。Lin 與 Shen[9]以齊次座標轉換矩陣建 立各式五軸工具機之誤差模型，並整理各式五軸工具機誤差模型間的相關 性，以快速的完成五軸工具機誤差模型的建立。Lei 與 Hsu[10]則利用齊次 座標轉換矩陣發展可直接量測五軸工具機總成誤差之探頭-球桿(Probe-ball) 量 測 裝 置 的 誤 差 模 型 ， 可 藉 以 評 估 五 軸 工 具 機 的 精 度 。 Tutunea-Fatan 與 Feng[11]使用齊次座標轉換矩陣建立幾何誤差模型，以分析五軸工具機結 構於銑削時所造成的誤差量。Choi、Lee 及 Kwon[12]則針對工具機主軸偏 擺誤差，使用齊次座標轉換矩陣建立其誤差模型。因此依據所需補償之誤 差類型，即可使用齊次座標轉換矩陣依序定義其誤差項，經由計算得知此 工具機之誤差模型。

而工具機誤差補償的型態，可區分為即時(Real-time)誤差補償與離線 (Off-line)誤差補償兩種誤差補償方式。Yuan 與 Ni[13]則將誤差模型所計算 各誤差量，運用即時誤差補償方式，透過控制器的處理將工具機的誤差量 進行修正。Huang 與 Ni[14]將座標量測儀建立其誤差模型，並以雷射量測 即時的誤差量進行補償。Pahk 與 Lee[15]則以即時誤差補償工具機之熱誤 差，同時也考慮主軸熱源誤差與運動軸之熱誤差。此即時誤差補償方式如 閉迴路系統，立即將誤差量補償於工具機系統控制中，而另一誤差補償的 型態是離線誤差補償，此方式能快速有效的將誤差量獲得適當的補償。姚 宏宗[16]等學者利用離線誤差補償方式，將誤差模型所估算的誤差量加入 控制器中進行補償。而本研究中則利用後處理器，開發五軸工具機的誤差

模型所估算各誤差量的離線誤差補償技術。

於誤差模型中誤差量的補償，其中有一關鍵是計算各伺服控制運動軸 的誤差補償定位位置。Lei 與 Hsu[17]則使用 Jacobian 誤差補償機制，將誤 差 模 型 中 工 件 座 標 系 的 誤 差 量 推 算 於 機 器 座 標 系 的 誤 差 補 償 量 。 Srivastava[18]提出體積誤差模型可當作誤差補償機制的基礎，並應用 D-H 齊次轉換矩陣於工具機的接合點及小角度的逼近，並由誤差模型說明角度 誤差量由轉動誤差所造成，而刀具端點的誤差則與角度誤差量有關，藉此 誤差補償機制計算機器座標系的誤差補償量。Eman 與 Wu[19]以剛體運動 為基本假設，應用齊次座標轉換矩陣發展出適用於任意多軸機器的幾何誤 差 模 型 ， 並 考 慮 高 階 項 的 誤 差 項 ， 探 討 補 償 各 誤 差 項 對 總 體 積 誤 差 的 貢 獻，以推算出伺服控制軸所應補償的誤差總成量。Lei 與 Hsu[20]發展可直 接量測五軸工具機總成誤差之探頭-球桿量測裝置，可藉以評估五軸工具機 的精度。而藉由探頭-球桿所量得數據及建構之探頭-球桿誤差模型，對於 部份不可直接由量具測得之誤差項，即可由最小平方誤差估算法精確估算 出所應補償的誤差量。

將誤差補償機制建立於後處理器中，此誤差補償方式屬於誤差補償型 態中的離線誤差補償。Mahbubur、Heikkala、Lappalainen 及 Karjalainen[21]

利用 Newton-Raphson 方法建立五軸工具機的定位位置誤差補償機制，並 將其誤差補償機制建立於後處理器中，將工件座標系之誤差量進行 CL 檔 之修正。Jung、Lee、Kim 及 Mok[22]則將所建立之誤差模型，亦是利用 CL 檔修正刀具端點位置與指向，以改善五軸工具機的靜態誤差。陳長隆[23]

是利用 CAD 模型所計算之切削刀具路徑，使用內插法估算刀具位置的插 補點，運用參數式曲線傳送至工具機以建立刀具位置與刀具角度之資料點 的誤差補償。而本研究中結合所建立之誤差補償方法，經由轉換直接修正 伺服控制軸之定位位置，以適用目前工業界所使用之 NC 程式碼，進行五 軸工具機之幾何誤差的補償。

1-4 內容大綱

第一章首先說明此研究之主要目的，並概略說明研究方法與步驟。第 二章則建立五軸工具機之幾何誤差模型，並將所量測之清大 PC-based 五軸 工具機的各誤差項數值代入誤差模型參數中，計算工件座標系上刀具端點 位置與刀具指向之誤差量。第三章將所估算之刀具端點位置與指向之誤差 量，利用誤差補償方法推導於機器座標系上，使伺服控制運動軸補償總成 誤差量，以修正刀具端點位置與指向驅動至理想的位置與方向上。於章節 中也詳細描述此誤差補償方法之原理及運算步驟，並完整的建立誤差補償 機制於後處理器中，使 NC 程式碼獲得適當的修正。第四章則以實際切削 加工，驗證此誤差補償機制後處理器的正確性。並且針對實驗中所需考量 的誤差因素，加以描述與設計其刀具路徑，以避免幾何誤差外的誤差源影 響實驗數據。最後再將量測數據結果進行探討，以比較誤差補償前與誤差 補償後的誤差修正量。第五章則針對本研究進行討論與總結，以及提議此 研究結果之未來展望。

第二章 建立誤差模型

本章節利用齊次轉換矩陣推導五軸工具機之誤差模型[10]，同時也建 立工具機之機器座標系相對於工件座標系間的數學關係，如此即可將工件 座標系上刀具端點位置與指向的誤差量，利用機器座標系各運動軸進行修 正。由於五軸工具機依機構設計上的不同，各種類之五軸工具機所推導之 誤差模型亦不相同，本研究中針對兩個轉動運動軸架設於 X 軸床台上之五 軸工具，進行誤差模型的推導與誤差的補償。

2-1 齊次轉換矩陣

為描述工具機中機器軸座標與工件座標間的關係，使用齊次轉換矩陣 (Homogeneous transformation matrix, HTM)的運算，即可說明工具機之機器 軸座標系與工件座標系間的關係式。

因此，齊次轉換矩陣的原理為三度空間中任意兩座標系之相對關係，

如平移、旋轉及縮放等，可用一 4×4 齊次轉換矩陣表示之。例如齊次轉換 矩陣^rT_n，如(2.1)式，數學式中^rT_n表示剛體座標系(X , Y , Z )_{n n n} 相對於參考 座標系(X , Y , Z )_{r r r} ，並且 4×4 齊次轉換矩陣各元素亦代表不同涵義。其中，

矩 陣 前 三 行 前 三 列R_{3 3×} ， 表 示 剛 體 座 標 系 相 對 於 參 考 座 標 系 之 方 向 餘 弦 (Unit vector i,j,k)。第四列前三項O_{1 3×} ，則表示方向餘弦的比例因子(Scale factor)，其方向餘弦比例因子數值一般為零。第四行前三項P_{3 1×}，表示剛體 座標系的原點位置相對於參考座標系上之平移量。第四行第四列P ，則表_s 示平移量的比例因子。

ix iy iz x

3 3 3 1 jx jy jz y

r n

1 3 s kx ky kz z

s

O O O P

R P O O O P

T O P O O O P 0 0 0 P

× ×

×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

=⎢⎣ ⎥ ⎢⎦=⎢ ⎥⎥

⎣ ⎦

(2.1)

所以，剛體座標系(X , Y , Z )_{n n n} 相對於參考座標系(X , Y , Z )_{r r r} 之數學關係 式如(2.2)式所示：

r n

r r n

n

r n

X X

Y Y

Z T Z

1 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.2)

例 如 圖 2-1 所 示 之 範 例 說 明 ， 座 標 系(X , Y , Z )_{1 1 1} 相 對 於 參 考 座 標 系

r r r

(X , Y , Z )間有 X 軸向之 a 單位、Y 軸向之 b 單位與 Z 軸向之 c 單位平移 距 離 ， 所 以 兩 座 標 系 之 數 學 關 係 式 即 可 以^rT1齊 次 轉 換 矩 陣 表 示 ， 如(2.3) 式所示。

r 1

1 0 0 a 0 1 0 b T 0 0 1 c 0 0 0 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.3)

圖2-1 座標平移關係圖

若座標系(X , Y , Z )1 1 1 相對於參考座標系(X , Y , Z )r r r 的 X 軸向有θ_x轉動 量之關係時，則兩座標系之數學關係式即可以^rT₁齊次轉換矩陣表示之，如 (2.4)式所示。

x x r 1

x x

1 0 0 0

0 cos sin 0 T 0 sin cos 0

0 0 0 1

⎡ ⎤

⎢ θ − θ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ θ θ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.4)

若座標系(X , Y , Z )_{1 1 1} 相對於參考座標系(X , Y , Z )_{r r r} 的 Y 軸向有θ_y轉動 量之關係時，則兩座標系之數學關係式即可以^rT 齊次轉換矩陣表示之，如₁ (2.5)式所示。

y y

r 1

y y

cos 0 sin 0 0 1 0 0 T sin 0 cos 0 0 0 0 1

θ θ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢− θ θ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.5)

若座標系(X , Y , Z )_{1 1 1} 相對於參考座標系(X , Y , Z )_{r r r} 的Z 軸向有θ 轉動量_z 之關係時，如圖 2-2 所示。則兩座標系之數學關係式即可以^rT 齊次轉換矩₁ 陣表示之，如(2.6)式所示。

z z

z z

r 1

cos sin 0 0 sin cos 0 0

T 0 0 1 0

0 0 0 1 θ − θ

⎡ ⎤

⎢ θ θ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.6)

圖2-2 座標旋轉關係圖

因此定義齊次轉換矩陣之座標平移與旋轉的數學關係式，即可利用齊 次轉換矩陣設定工具機各運動軸之誤差項，若將實際工具機任一軸向運動 視為剛體運動，線性運動軸床台除了軸向運動量外，此運動體在空間中應 具有六個自由度，其中包含沿 X、Y、Z 三軸向的平移(Translational)，以 及繞 X、Y、Z 三軸向的轉動(Rotational)，所以建立各座標系之齊次轉換矩 陣時，需考慮各運動軸所產生之誤差項。因此，利用 X 軸向線性運動軸說 明各誤差項的定義，如圖 2-3 所示。當床台驅動 X 軸向移動至定位時，理 想位移量與真實位移量間的差值稱之 X 軸向之線性誤差(X-axis servo error)

xx(x)

δ ，相對應 Y 軸與 Z 軸所產生的偏移量則分別稱之 Y 軸向之直線度誤 差(Horizontal straightness error) δ_yx(x)與 Z 軸 向 之 直 線 度 誤 差 (Vertical straightness error) δ_zx(x)。而且理想 X、Y、Z 座標軸與真實 X、Y、Z 座 標軸間的角度差，分別稱之側傾(Roll)、俯仰(Pitch)及橫擺(Yaw)，其符號 分別表示為ε_xx(x)、ε_yx(x)及ε_zx(x)。所以設定 X 線性運動軸之誤差項，即 可以齊次轉換矩陣表示 X 線性運動軸所影響的誤差關係，如(2.7)式。

zx yx xx

zx xx yx

x

yx xx zx

1 (x) (x) (x) (x) 1 (x) (x) E (x) (x) 1 (x)

0 0 0 1

−ε ε δ

⎡ ⎤

⎢ ε −ε δ ⎥

⎢ ⎥

=⎢−ε ε δ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.7)

如此描述包含各誤差項的 X 線性運動軸相對於參考座標系之齊次轉 換矩陣數學關係式^rT_x,err = ^rT_x,ideal E_x，即可以(2.8)式之齊次轉換矩陣表示相 對於參考座標系的關係式。

zx yx xx

zx xx yx

r x,err

yx xx zx

1 (x) (x) x a (x) (x) 1 (x) b (x) T (x) (x) 1 c (x)

0 0 0 1

−ε ε + + δ

⎡ ⎤

⎢ ε −ε + δ ⎥

⎢ ⎥

=⎢−ε ε + δ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.8)

此外，需注意 X、Y、Z 三線性運動軸之正交關係所產生微小的偏差 量稱之垂直度誤差(Squareness error)，而此誤差量需考慮於誤差模型中。

以 Y 線性運動軸相對於參考座標系所產生之垂直度誤差項說明，如(2.9) 式所示。

xy y,squ _ err

xy

1 0 0 0

0 1 0

E 0 1 0

0 0 0 1

⎡ ⎤

⎢ −γ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ γ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.9)

而工具機的旋轉運動軸之誤差項，以下針對 C 軸旋轉運動軸簡述說 明，如圖 2-4 所示。當 C 軸轉動運動軸繞參考座標系之 Z 軸方向旋轉至定 位時，於三軸向產生之位置偏移誤差量，分別為 Z 軸向之軸向誤差(Axial error) δ_zc(c)，與 X、Y 軸向之徑向誤差(Radial errors) δ_xc(c)、δ_yc(c)。於 三軸向產生之轉動誤差量，分別為 Z 軸向之轉動角度誤差(Rotating angular error) ε_zc( )c ，與 X、Y 軸向之傾斜誤差(Tilt errors) ε_xc( )c 、ε_yc( )c 。因此，

C 軸旋轉運動軸相對於參考座標系之關係，分別利用(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)式 相 成 所 得 之 齊 次 轉 換 矩 陣 ^rT_c,err ， 如(2.10) 式 所 示 。 而 (2.10) 式 中 以

ce c zc(c)

S =sin(θ ε+ )和C_ce =cos(θ ε_c+ _zc(c))符號表示，並且為簡化齊次轉換矩陣

r c,err

T ， 假 設 極 小 角 度 之 cos(ε_xc(c)) 1= 、 sin(ε_xc(c))=ε_xc(c) 、 cos(ε_yc(c)) 1= 和

yc(c) yc(c)

sin(ε )=ε ，以及包含誤差二次項以上忽略不記。其結果如下所示：

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

δ ε

+ ε

ε

− ε

δ ε

−

δ ε

−

=

1 0

0 0

) c ( 1

S ) c ( C

) c ( C

) c ( S

) c (

) c ( ) c ( C

S

) c ( ) c ( S

C T

zc ce

yc ce xc ce yc ce xc

yc xc

ce ce

xc yc

ce ce

err ,

r c (2.10)

若針對 A 軸旋轉運動軸相對於參考座標系之關係時，須注意各個軸向 之誤差量乘積順序應為(2.3)(2.5)(2.6)(2.4)式。而針對 B 軸旋轉運動軸相對 於 參 考 座 標 系 之 關 係 時 ， 各 個 軸 向 之 誤 差 量 乘 積 順 序 應 為 (2.3)(2.6)(2.4)(2.5)式。

圖2-4 C 軸旋轉運動軸之誤差項

所以，清楚描述工件座標系相對於機器座標系之轉換關係，即可根據 工具機之機構鏈，將多組齊次轉換矩陣(HTM)依序相乘計算得知。如(2.11) 式所示，分別得知各運動軸誤差項之齊次轉換矩陣，再根據所需之相對關 係 依 序 相 乘 ， 得 到 剛 體 座 標 系(X , Y , Z )_{n n n} 相 對 於 參 考 座 標 系(X , Y , Z )_{r r r} 之 4×4 齊次轉換矩陣。

r n m 1 r 1 2 n 1

n m 1 2 3 n

m 1

T ⁻ T T T T .... T⁻

=

=

∏

2-2 誤差模型建立

五 軸 工 具 機 依 不 同 功 能 需 求 而 機 構 設 計 上 的 不 同 ， 略 可 區 分 為 RRTTT、TTTRR 與 RTTTR 之三大類型，其中 T 表示伺服控制直線運動軸，

R 表 示 伺 服 控 制 轉 動 運 動 軸 。 而 順 序 排 列 所 表 示 意 義 是 從 零 件 加 工 平 台 起，依工具機之機構鏈所串連的伺服控制軸，至主軸刀具伺服控制端止，

依序串連機構鏈所表示的伺服控制軸順序，如此定義即可明確表示五軸工 具機之機構類型。如圖2-5 所示之工具機，分別為 RRTTT、TTTRR 與 RTTTR 三類型之五軸工具。

圖2-5 RRTTT、TTTRR 與 RTTTR 三類型之五軸工具

本 研 究 中 所 推 導 之 誤 差 模 型 ， 針 對 RRTTT 型 之 五 軸 工 具 機 進 行 推 導，如圖 2-6 所示，此五軸工具機為清大 PC-based 控制器之實驗機型。首 先需建立各個機構元件與驅動元件之座標系設定，如此才可描述各伺服控 制運動軸間因誤差項所造成影響的數學關係式。接著再依工具機原設計所 定義各座標間相對位置之距離，如圖 2-7 所示。因此，依據各伺服控制運 動軸機構間所包含之誤差項建立 4×4 齊次轉換矩陣，並依機構鏈之順序相 乘各機構間誤差模項的齊次轉換矩陣，以下介紹各機構間 4×4 齊次轉換矩 陣，並建立其誤差模型。

圖 2-6 RRTTT 型之五軸工具 圖 2-7 座標系統設定

2-2-1 工件座標系誤差模型

建立刀具座標系相對於工件座標系的工作座標系誤差模型，首先依據 工具機結構如圖 2-7 所示之座標系統設定，推導工件座標相對於參考座標 間的齊次轉換矩陣關係式，再推導刀具座標系相對於參考座標系間的齊次 轉換矩陣關係式。因此利用反矩陣計算刀具座標相對於工件座標之齊次轉 換矩，如此即可估算刀具端點位置在工件座標系上的位置誤差量與指向誤 差量。

所以，在工件座標相對於參考座標^rT_w的推導運算，其中^woT 表示工_w 件座標系相對於工件原點座標系之齊次轉換矩陣，因此描述^woT 齊次轉換_w 矩陣，如(2.12)式所示。

w wo w

w

w

1 0 0 X 0 1 0 Y T 0 0 1 Z 0 0 0 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.12)

其中，X_w、Y_w及Z_w為加工之工件座標系於工件原點座標系的相對 X、Y、

Z 偏移量。

在工件座標相對於參考座標^rT_w的推導運算，其中^bT 表示工件原點座_wo 標系相對於 C 軸轉動運動軸床台面中心位置座標系之齊次轉換矩陣，因此 描述^bT 齊次轉換矩陣關係式，如(2.13)式所示。 _wo

wo b wo

wo

wo

1 0 0 X 0 1 0 Y T 0 0 1 Z 0 0 0 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.13)

其中，X_wo、Y_wo及Z_wo為工件原點座標系與 C 軸轉動運動軸床台面中心位 置座標系的常數偏移量。

在工件座標相對於參考座標^rT_w的推導運算，其中^cT 表示 C 軸轉動運_b 動軸床台面中心位置座標系相對於 C 軸轉動運動軸座標系之齊次轉換矩 陣，因此描述^cT 齊次轉換矩陣關係式，如(2.14)式所示。 _b

zb yb xb

zb xb yb

c b

3 yb xb zb

1 0 0 0 1 0 1 0 0 1

T 0 0 1 Z 1

0 0 0 1 0 0 0 1

−ε ε δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ε −ε δ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢−ε ε δ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.14)

其中

z Z₃為 C 軸轉動運動軸床台面中心位置座標系與 C 軸座標系於 Z 方 向之常數偏移量。

z δ_xb、δ 及_yb δ_zb為 C 軸轉動運動軸床台面由於組裝所造成之 X、Y、Z 三軸向的偏移誤差量。

z εxb、ε 及_yb ε_zb為 C 軸轉動運動軸床台面由於組裝所造成之 X、Y、Z 三軸向的轉動誤差量。

在工件座標相對於參考座標^rT_w的推導運算，其中^aT 表示 C 軸轉動運_c 動軸座標系相對於A 軸轉動運動軸座標系之齊次轉換矩陣，因此描述^aT 齊_c 次 轉 換 矩 陣 關 係 式 ， 如(2.15)式所示，而齊次轉換矩陣中相對應之誤差項 如圖 2-8 所示。

yc xc

xc yc

a c

yc xc zc

1 0 0 1

T 1

0 0 0 1 α λ

⎡ ⎤

⎢ −α λ ⎥

⎢ ⎥

=⎢−α α λ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

ce ce yc xc

ce ce xc yc

xc ce yc ce xc ce yc ce zc

C S (c) (c)

S C (c) (c)

(c)S (c)C (c)C (c)S 1 (c)

0 0 0 1

− ε δ

⎡ ⎤

⎢ −ε δ ⎥

⎢ ⎥

⎢ε − ε ε + ε δ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.15)

其中

z λxc、λ 及_yc λ_zc為 C 軸轉動運動軸由於組裝所造成之 X、Y、Z 三軸 向的偏移誤差量。

z α_xc及α 為 C 軸轉動運動軸由於組裝所造成之 X 軸向與 Y 軸向的_yc 轉動誤差量。

z δxc(c)、δ_yc(c)及δ_zc(c)為 C 軸轉動運動軸伺服控制旋轉至定位時，

分別造成X、Y 及 Z 軸向之偏移誤差量。

z εxc(c)、ε_yc(c)及ε_zc(c)為 C 軸轉動運動軸伺服控制旋轉至定位時，分 別造成 X、Y 及 Z 軸向之轉動誤差量。

z S_ce =sin(C_m+ε_zc(c))和C_ce =cos(C_m +ε_zc(c))，而C_m表示 C 軸轉動運動 軸伺服控制之角度位置。

圖2-8 C 軸誤差項

在工件座標相對於參考座標^rT_w的推導運算，其中^xT 表示 A 軸轉動運_a 動軸座標系相對於X 軸線性運動軸座標系之齊次轉換矩陣，因此描述^xT 齊_a 次 轉 換 矩 陣 關 係 式 ， 如(2.16)式所示。而齊次轉換矩陣中相對應之誤差項 如圖 2-9 所示。

za ya xa

za ya

x a

2 ya za

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0 T 0 0 1 Z 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

−α α λ

⎡ ⎤⎡ ⎤

⎢ ⎥⎢α λ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢−α λ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

ya ae za ae za ae ya ae xa

za ae ae ya

ya ae ae za

1 (a)S (a)C (a)S (a)C (a)

(a) C S (a)

(a) S C (a)

0 0 0 1

ε − ε ε + ε δ

⎡ ⎤

⎢ ε − δ ⎥

⎢ ⎥

⎢−ε δ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.16)

其中

z Z₂為 A 軸轉動運動軸座標系與 X 軸線性運動軸座標系於 Z 方向之 常數偏移量。

z λxa、λ 及_ya λ_za為 A 軸轉動運動軸由於組裝所造成之 X、Y、Z 三軸 向的偏移誤差量。

z α 及_ya α_za為 A 軸轉動運動軸由於組裝所造成之 Y 軸向與 Z 軸向的 轉動誤差量。

z δxa(a)、δ_ya(a)及δ_za(a)為 A 軸轉動運動軸伺服控制旋轉至定位時，

分別造成X、Y 及 Z 軸向之偏移誤差量。

z εxa(a)、ε_ya(a)及ε_za(a)為 A 軸轉動運動軸伺服控制旋轉至定位時，

分別造成X、Y 及 Z 軸向之轉動誤差量。

z S_ae =sin(A_m +ε_xa(a))和C_ae =cos(A_m+ε_xa(a))，而A_m表示 A 軸轉動運動 軸伺服控制之角度位置。

在工件座標相對於參考座標^rT_w的推導運算，其中^yT 表示 X 軸線性運_x 動軸座標系相對於 Y 軸線性運動軸座標系之齊次轉換矩陣，因此描述^yT_x 齊次轉換矩陣關係式，如(2.17)式所示。

m zx yx

y zx x

1 yx

1 0 0 X 1 0

0 1 0 0 1 0 0

T 0 0 1 Z 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

−γ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ γ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ ⎢−γ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

zx yx xx

zx xx yx

yx xx zx

1 (x) (x) (x)

(x) 1 (x) (x)

(x) (x) 1 (x)

0 0 0 1

−ε ε δ

⎡ ⎤

⎢ ε −ε δ ⎥

⎢ ⎥

⎢−ε ε δ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.17)

其中

z Xm為 X 軸線性運動軸伺服控制之位置。

z Z₁為 X 軸線性運動軸座標系與 Y 軸線性運動軸座標系於 Z 方向之 常數偏移量。

z γ 與_yx γ_zx為 X 軸線性運動軸座標系分別相對於 Y 軸與 Z 軸之垂直度 誤差。

z δxx(x)、δ_yx(x)及δ_zx(x)為 X 軸線性運動軸伺服控制運動至定位時，

分別造成X、Y 及 Z 軸向之偏移誤差量。

z ε_xx(x)、ε_yx(x)及ε_zx(x)為 X 軸線性運動軸之側傾(Roll)、俯仰(Pitch) 及橫擺(Yaw)誤差量。

在工件座標相對於參考座標^rT_w的推導運算，其中^rT 表示 Y 軸線性運_y 動軸座標系相對於參考座標系之齊次轉換矩陣，因此描述^rT 齊次轉換矩陣_y 關係式，如(2.18)式所示。

1 m xy r

y

0 xy

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 Y Y 0 1 0

T 0 0 1 Z 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ + ⎥ ⎢ −γ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ − ⎥ ⎢ γ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

zy yy xy

zy xy yy

yy xy zy

1 (y) (y) (y)

(y) 1 (y) (y)

(y) (y) 1 (y)

0 0 0 1

−ε ε δ

⎡ ⎤

⎢ ε −ε δ ⎥

⎢ ⎥

⎢−ε ε δ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.18)

其中

z Ym為 Y 軸線性運動軸伺服控制之位置。

z Z₀和Y₁為 Y 軸線性運動軸座標系與參考座標系於 Z 方向與 Y 方向 之常數偏移量。

z γ 為 Y 軸線性運動軸座標系相對於參考座標系之垂直度誤差。 _xy

z δxy(y)、δ_yy(y)及δ_zy(y)為 Y 軸線性運動軸伺服控制運動至定位時，

分別造成X、Y 及 Z 軸向之偏移誤差量。

z εxy(y)、ε_yy(y)及ε_zy(y)為 Y 軸線性運動軸之俯仰(Pitch)、側傾(Roll) 及橫擺(Yaw)誤差量。

由上述所推導各座標系間的齊次轉換矩陣，從工件座標系至參考座標 系依序相乘，即可建立工件座標系相對於參考座標系的工作座標系誤差模 型 。 因 此 利 用(2.19)式所示之數學式，可計算工作座標係相對於參考座標 系間的關係。

r r y x a c b wo

w y x a c b wo w

T = T T T T T T T (2.19)

接 著 再 推 導 刀 具 座 標 系 相 對 於 參 考 座 標 系 間 的 齊 次 轉 換 矩 陣 關 係 式，所以由工具機結構如圖 2-7 所示之座標系統設定，依序推導刀具座標

在刀具座標相對於參考座標^rT 的推導運算，其中_t ^hT 表示刀具座標系_t 相對於刀把座標系之齊次轉換矩陣，因此描述^hT 齊次轉換矩陣關係式，如_t (2.20)式所示。

h t

t

1 0 0 0 0 1 0 0

T 0 0 1 L

0 0 0 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.20)

其中，L_t為刀具座標系相對於刀把座標系之 Z 方向常數偏移量。

在刀具座標相對於參考座標^rT 的推導運算，其中_t ^sT 表示刀把座標系_h 相 對 於 主 軸 座 標 系 之 齊 次 轉 換 矩 陣 ， 因 此 描 述^sT 齊次轉換矩陣關係式，_h 如(2.21)式所示。

zh yh xh

zh xh yh

s h

yh xh zh

1 T 1

1

0 0 0 1

−ε ε δ

⎡ ⎤

⎢ ε −ε δ ⎥

⎢ ⎥

=⎢−ε ε δ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2.21)

其中

z δxh、δ 及_yh δ_zh為刀把機構組裝時所造成之 X、Y、Z 三軸向的偏移 誤差量。

z ε_xh、ε 及_yh ε_zh為刀把機構組裝時所造成之 X、Y、Z 三軸向的轉動 誤差量。

在刀具座標相對於參考座標^rT 的推導運算，其中_t ^zT 表示主軸座標系_s 相對於 Z 軸座標系之齊次轉換矩陣，因此描述^zT 齊次轉換矩陣關係式，_s 如(2.22)式所示。

zs ys xs

1 zs xs ys

z s

ys xs zs

1 0 0 0 1 0 1 0 Y 1

T 0 0 1 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

−ε ε δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ε −ε δ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢−ε ε δ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.22)

其中

z Y1為主軸座標系與 Z 軸線性運動軸座標系於 Y 方向之常數偏移量。

z δ_xs、δ 及_ys δ_zs為主軸機構組裝時所造成之 X、Y、Z 三軸向的偏移誤 差量。

z εxs、ε 及_ys ε_zs為主軸機構組裝時所造成之 X、Y、Z 三軸向的轉動誤 差量。

在刀具座標相對於參考座標^rT 的推導運算，其中_t ^rT 表示 Z 軸座標系_z 相對於參考座標系之齊次轉換矩陣，因此描述^rT 齊次轉換矩陣關係式，如_z (2.23)式所示。

zz yz xz

zz xz yz

r z

m yz xz zz

1 0 0 0 1 (z) (z) (z) 0 1 0 0 (z) 1 (z) (z) T 0 0 1 Z (z) (z) 1 (z)

0 0 0 1 0 0 0 1

−ε ε δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ε −ε δ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢−ε ε δ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.23)

其中

z Z_m為 Z 軸線性運動軸伺服控制之位置。

z δxz(z)、δ_yz(z)及δ_zz(z)為 Z 軸線性運動軸伺服控制運動至定位時，

分別造成X、Y 及 Z 軸向之偏移誤差量。

z ε_xz(z)、ε_yz(z)及ε_zz(z)為 Z 軸線性運動軸之俯仰(Pitch)、橫擺(Yaw) 及側傾(Roll)誤差量。

由上述所推導各座標系間的齊次轉換矩陣，從刀具座標系至參考座標 系依序相乘，即可建立刀具座標系相對於參考座標系的工作座標系誤差模 型 。 因 此 利 用(2.24)式所示之數學式，可計算刀具座標系相對於參考座標 系間的關係。

r r z s h

t z s h t

T = T T T T (2.24) 因此，利用齊次座標轉換矩陣於各座標系之間的計算，得知工件座標 系相對於參考座標系^rT 之齊次轉換矩陣，與刀具座標系相對於參考座標_w 系^rT 之齊次轉換矩陣。但反之需計算刀 具座標系相對於工件座標系的關_t 係，則可利用(2.25)式所示之反矩陣計算求得^wT 齊次轉換矩陣關係式。 _t

w r 1 r

t w t

T =( T )⁻ T (2.25) 所以在^wT 齊次轉換矩陣中，第四行前三項即表示含誤差項的刀具端_t 點 位 置 與 理 想 之 刀 具 端 點 位 置 在 工 件 座 標 系 上 的 位 置 誤 差 量ΔP_err,w， 如 (2.26)式所示。而刀具指向誤差ΔQ_err,w，則是^wT 齊次轉換矩陣中第三行前_t 三項，其含誤差項的刀具指向與理想之刀具指向的差異量，即可計算出刀 具指向誤差，如(2.27)式所示。

[ ]

err,w w t

P T 0 0 0 1 Δ =

[

]

= Δ Δ Δ (2.26)

[ ]

[ ]

w w

err,w t t,ideal

Q T 0 0 1 0 T 0 0 1 0

Δ = −

[

]

= Δ Δ Δ (2.27)

其中，^wT_t,ideal為理想工具機之刀具座標系相對於工件座標系的齊次轉

換矩陣。換言之，忽略^wT 齊次轉換矩陣中各誤差項之誤差值，即可計算_t

得^wT_t,ideal理想齊次轉換矩陣。

在數學式(2.26)式與(2.27)式中，經由計算整理後列出刀具端點位置誤 差量與刀具指向誤差量如(2.28)-(2.33)式所示。

Xw

Δ = (−δxx(x)− δxy(y)+ δxz(z)− λ − δxa xa(a)− λ − δxc xc(c)+ δ + δxs xh)(C )ce

ys yh ce t

( )( C L ) + ε + ε −

yx yy yz ya ya ys yh ae ce

( (x) (y) (z) (a) )(C S )

+ −δ − δ + δ − λ − δ + δ + δ

xs xh ae ce t

( )(C S L ) + ε + ε

zt( C S Z )ae ce wo

+ε −

xx(x)( C S Zae ce 1 C S Lae ce t C S Zae ce m S S Yae ce m C S Z )ae ce 0

+ε − − + + +

yx yx ce 1 ce t ce m ce 0 ae ce m

( (x) )(C Z C L C Z C Z S S X )

+ ε + γ + − − −

zx zx ae ce m ce m

( (x) )(C S X C Y )

+ ε + γ −

zy(y)( S S )ae ce

+δ −

xy xy ae ce m ae ce t ae ce 0 ae ce m

( (y) )(C S Z C S L C S Z S S Y )

+ ε + γ − + +

yy(y)(C Lce t C Zce m C Z )ce 0

+ε − −

zy(y)( C Y )ce m

+ε −

zz za za zs zh ae ce

( (z) (a) )(S S )

+ δ − λ − δ + δ + δ

xz(z)(C S Lae ce t S S Y )ae ce 1

+ε +

yz(z)( C L )ce t

+ε −

zz(z)( C Y )ce 1

+ε −

ya ya ce ae m ce 0 ce 1 ce 2 ce m ce t

( (a) )( S S X C Z C Z C Z C Z C L )

+ ε + α − − + + − +

za za ce ae ce m

( (a) )(S C X C Y )

+ ε + α −

yc yc ce

( (c) )( S ) + δ + λ −

xc xc ce ae 2 ce ae 1 ce ae t ce ae ce ae ce ae 0

( (c) )( S C Z S C Z S C L S C Z S S Y S C Z )

+ ε + α − − − + + +

yc yc ae ce 2 ae ce 1 ae ce t ae ce ae ce ae ce 0

( (c) )(C C Z C C Z C C L C C Z S C Y C C Z )

+ ε + α + + − − −

xt( 1) +δ −

yt( S Yae m C Zae 0 Z3 C Zae 1 C Zae 2 C Lae t C Z )ae m

+ε − − + + + + −

ae ce m ae ce 0 ce m ae ce 1 ce ae 2 wo w

S S Z S S Z C X S S Z S S Z X X

+ + − − − − −

−S S L_{ae ce t}−C S Y_{ae ce m} (2.28)

Yw

Δ = (δ_xx(x)+ δ_xy(y)− δ_xz(z)+ λ + δ_{xa xa}(a)+ λ + δ_{xc xc}(c)− δ − δ_{xs yh})(S )_ce

ys yh ce t

( )(S L ) + ε + ε

yx yy yz ya ya ys yh ae ce

( (x) (y) (z) (a) )( C C )

+ δ + δ − δ + λ + δ − δ − δ −

xs xh ae ce t

( )(C C L ) + ε + ε

zt( C C Z )ae ce wo

+ε −

zx zy zz za za zs zh ae ce

( (x) (y) (z) (a) )( S C )

+ δ + δ − δ + λ + δ − δ − δ −

xx(x)(S C Yae ce m C C Zae ce 1 C C Zae ce 0 C C Zae ce m C C L )ae ce t

+ε − + + −

yx yx ce 1 ae ce m ce 0 ce t ce m

( (x) )( S Z S C X C Z S L S Z )

+ ε + γ − − + − +

zx zx ce m ae ce m

( (x) )(S Y C C X )

+ ε + γ +

xy xy ae ce 0 ae ce m ae ce t ae ce m

( (y) )(C C Z S C Y C C L C C Z )

+ ε + γ + − +

yy(y)(S Zce 0 S Lce t S Z )ce m

+ε − +

zy(y)(S Y )ce m

+ε

xz(z)(S C Yae ce 1 C C L )ae ce t

+ε +

yz(z)(S L )ce t

+ε

zz(z)(S Y )ce 1

+ε

ya ya ce 1 ce 2 ce ae m ce 0 ce t ce m

( (a) )( S Z S Z C S X S Z S L S Z )

+ ε + α − − − + − +

za za ce m ce ae m

( (a) )(S Y C C X )

+ ε + α +

yc yc ce

( (c) )( C ) + δ + λ −

xc xc ce ae 2 ce ae 1 ce ae m ce ae 0

( (c) )( C C Z C C Z C S Y C C Z

+ ε + α − − + +

+C C Z^{ce ae m}−C C L )^{ce ae t}

yc yc ae ce m ae ce 0 ae ce t ae ce m ae ce 2

( (c) )(S S Y C S Z C S L C S Z C S Z

+ ε + α + − + −

^{−C S Z )ae ce 1}

yt( 1) +δ −

xt(S Yae m C Zae 1 C Zae 2 Z3 C Zae 0 C Zae m C L )ae t

+ε − − − + + −

ae ce 1 ce ae 2 wo w ce m ae ce m ae ce 0

S C Z C S Z Y Y S X C C Y S C Z

− − − − + − +

−S C L_{ae ce t}+S C Z_{ae ce m} (2.29)