四、 可靠度分析方法
4.1 強度－應力干涉理論
當著眼於供給與需求之干涉關係，可靠度可經由強度-應力干涉理論 (Strength-Stress Interference ; SSI)分析求得，亦即失效的產生是系統所負荷 的應力(需求)超過系統所能提供的強度(供給)所致。所稱「應力」係指廣 義者，不僅指外力、內應力，且包括各種環境因素，如溫度、腐蝕…等，
凡能阻止結構或零件失效之因素，統稱為強度，如材料之機械性能、製造 工藝、加工精度、尺寸…等，所稱「強度」係指機械結構承受上述「應力」
之能力。當應力大於強度時，產品便會失效[26]，如圖 25 所示。由於實務 上不可能製造出兩件完全一樣的產品，而且在實際使用時亦無法保證產品 所受應力均為相同，因此，應力與強度都會隨機變化[8]，其分佈的形狀和 位置亦會隨時間改變。當強度較弱的產品與較重的應力發生干擾時就會發 生失效。事實上，強度並非永遠具有固定平均數值，例如當零件發生疲勞 或腐蝕現象時，強度分佈將會隨著時間或反覆的負荷應用而變動。在數理 統計上，可靠度是條件機率問題，特別強調初始條件及操作過程的環境條
件，此兩條件若其中之一不同，即使是同一個產品，所表現之可靠度亦不 盡相同。
定義隨機變數：
X = 強度(供給條件) Y = 應力(需求條件)
當X ＞Y 時，系統為安全；若 X＜Y 時，系統即發生失效。則可靠度 R 可 表示為：
R = P (強度＞應力|環境)
= P (X ＞Y ) = P (X－Y ＞0) (4-1)
而在工程設計上將強度X 與應力 Y 視為一定值或呈機率分佈，如圖 26 至 圖29 所示。如圖 27 所示，可靠度可表示為：
R = P (X ＞Y ) =
∫
0xfy(y)dy (4-2)如圖28 所示，可靠度可表示為：
R = P (X ＞Y ) =
∫
y∞ = −∫
y x
x x dx f x dx
f ( ) 1 0 ( ) (4-3)
如圖29 所示，假設 X 與 Y 均為機率分佈，而其累積分佈函數FX(x)，FY(y) 與機率密度函數 fX(x)，fY(y)為已知。則根據強度－應力干涉理論，可靠 度可表示為：
R = P (X ＞Y ) =
∫∫
fX,Y(x,y)dxdy (4-4)其中 fX,Y(x,y)為 X 與 Y 之聯合機率密度函數(Joint Probability Density Function)。應力大於強度時之失效機率 F 可計算如下 ：
36
F = 1-R = P (X＜Y ) =
∑
<y all
Y X
P( │Y = y)⋅P(Y = y) (4-5)
如果X 與 Y 互為統計獨立，且為連續隨機變數時，其可靠度可表示為
R = dR f y f x dx dy
y X
Y ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
∫
∫ ∫
−∞∞ ( ) ∞ ( )=
∫
−∞∞ fY(y)[
1−FX(y)]
dy (4-6)若由應力(需求)觀點視之，其可靠度可表示為
R = dR fX x xfY y dy⎥⎦⎤dx
⎢⎣⎡
=
∫
∫ ∫
∞∞
∞
− ( ) ( )
=
∫
−∞∞ fX(x)FY(x)dx (4-7)兩機率分佈之間所重疊的區域，為失效發生的區域，稱為強度-應力 干涉區域。所以，只要知道隨機變數X 與 Y 的機率分佈，便可用上述的式 子計算可靠度。經由有效運用統計技術，確實掌握強度(Strength)與應力 (Stress)的變化情形，再透過完整的設計程序與品質改進，以確保研製產品 的可靠度水準。
若隨機變數X、Y 為常態分佈，令 Z=X-Y；則 Z 亦為常態分佈，設其 平均值為µ ，標準差為Z σ Z
則 µZ =µX −µY (4-8)
若X 與 Y 相互為統計獨立
則 σZ = σ2X +σY2 (4-9)
當Z>0 時，表示安全。當 Z<0 時，表示失效。當 Z=0 時，為極限狀態，
如超出此一狀態，便無法滿足某一特定要求而造成失效，以 Z=X-Y 表示 者，即為極限狀態方程式(Limit State Equation)。用以描述產品強度與所承 擔之應力的設計變數很多，一般是以產品強度與使用時所承受之應力的關 為極限狀態方程式(Limit State Equation)或稱失效面；當 g(X)＞0 時，表示 產品處於安全狀態，反之g(X)＜0 則為失效狀態。當臨界狀態 g(X) = 0 遠 離或接近原點時，安全區域g(X) > 0 會相對增加或減少，因此，相對於原 點的g(X) = 0 之位置可決定產品的安全性或可靠度，其位置可用 g(X) = 0 距離原點的最短變量(距離)來表示，此最短距離可定義為可靠度指標 (Reliability Index)β。
可靠度 R 為強度 X 與應力 Y 之差的機率，即
) 佈函數(cumulative distribution function)，可查常態分佈數值表，求得 β 對 應之可靠度R 值。