循環節 (cycle) 的應用

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三度空間的剛體運動 (平移與旋轉)，把正六邊形對應到同一圖形的，就只有D 的元₆ 素 (6 種旋轉與 6 種翻轉)，所以D 是正六邊形的對稱變換群。我們把₆ D 叫做正六邊形群，₆ 是由正六邊形決定的，並且 D ₆ 12。

綜合以上D 、₅ D 兩個例子的說明，可得到以下有用的結果： ₆

【定義 2.3.2】設n 2，正 n 邊形群D 是由 、_n  S_n所生成的，其中 



1 2 3 ... n



，



¹



^{2 1 ...}



^{1 1}

2 2

n n

n n

      

      

   

 

；並且，D 是秩為_n 2n的正 n 邊形群，記作

n 2

D  n。

【例題 2.3.3】若n 10，則正 10 邊形群D 是由 、₁₀  S₁₀所生成的，其中



^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}



  ，



1 10 2 9 3 8 2 9 3 8 4

    

7 5 6

 

  。

又若n 9，則正 9 邊形群D 是由 、₉  S₉所生成的，其中



^{1 2 3 4 5 6 7 8 9}



  ， 



1 9 2 8 3 7 2 8 3 7

    

4 6 5

 

。 ■

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representation)。把G內每個元素的循環結構式相加後，再除以群元素個數G ，得到的多

項式，稱為置換群G的循環指標式，型如：

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2.5 群對集合的作用

【定義 2.5.1】假設 ( ; )G  是一個群，S是一個集合。如果存在某種運算『  』，使得：

(1) 封閉性 (Closure)： g G，xS，則g x 仍然是S中的元素。

(2) 結合律 (Associativity)：g g₁, ₂G，xS，(g₁g₂) x g₁(g₂x)恆成立。

(3) 單位元 (Identity) 的存在性： e G，使得 e x  成立。 x

則稱群G作用 (action) 在集合S上。通常兩種運算符號『  』及『  』皆可以略去不寫。

【引理 2.5.2】若群G作用在集合S上，則對任意群元素g，g是把S映射到S的一對一 且映成函數。

證明：

考慮S中任意兩元素x 和₁ x ，若₂ ^{gx1gx2 g1}



^gx1



^g1



^gx2



^



^{g g x1}



^1



^{g g x1}



²

1 2 1 2

ex ex x x

    ，這證明了g是一對一函數。又，因為S為有限集合，故g必是映成 函數。 ■

【定義 2.5.3】若『』是建立在集合S上的一個關係， x 、y、 z 是任意元素，如果符合：

(1) 反身性 (Reflexivity)：x 成立。 x

(2) 對稱性 (Symmetry)：若x y，則yx成立。

(3) 遞移性 (Transitivity)：若x y，且y z，則 x 成立。 z 就稱『』是S上的等價關係 (equivalence relation)。

在定義 2.5.3 中，若x y，我們說兩元素 x 和y是等價的。

【定理 2.5.4】假設群G作用在集合S上，對任意 x 、yS，若存在 g G ，使得gx y，



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但我們想問：等價類的個數要怎麼求出？計數的方法，是以伯恩賽定理為工具。要證明 它，需要下面的預備工作。

【定義 2.5.9】設 g G ， f  ，若 gfS  ，則說 f 是f g的一個固定點；以 f 為固定點 (fixed point) 的所有群元素所成的集合，用Gf 



g gf  f ^, gG



來表示，一般稱G_f是一個穩 定子集 (stabilizer)。

【定理 2.5.10】穩定子集是一個群。

證明：

若 a 、b是G_f 中任意兩元素，所以 a 、bG，且 af  f 、 bf  f 。由定理 2.5.4 證明中 的(2)得知，b f^1  f ，且b^1G，於是得到



^ab1



^{f a b f}



^1



^{af  f ，表示ab1仍在Gf}

中，因此G_f 是一個群。 ■ 今後，穩定子集都稱為穩定子群。

【定義 2.5.11】g是一個群元素，g在S上的所有固定點所成的集合，記為



^,



Sg  f gf  f f S ，一般稱S_g是一個固定子集。

【引理 2.5.12】G_f是一個穩定子群，gG_f 是一個左陪集，若hgG_f，則hG_f  gG_f。 證明：

若hgG_f，則  g₁G_f ，使hg g ₁g h g₁^1。由於：

(i) x hG_f，  g₂G_f，使xh g 2 



g g 1



g2 g



g1g2



gGf (g₁g₂G_f) 故hG_f gG_f。

(ii) y gG_f， g₃G_f，使y g g ³ 



h g ^11



g³ h



g^11g³



hGf (g₁^1g₃G_f)

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故gG_f hG_f。

由 (i)、(ii) 得知hG_f gG_f。 ■

【引理 2.5.13】設G_f 是一個穩定子群，若兩個左陪集g G_{1 f}、g G_{2 f}不相等，即g G_{1 f} g G_{2 f}， 則g G_{1 f} g G_{2 f} 。

證明：

我們證明此引理的對偶命題：『若g G_{1 f} g G_{2 f} ，則g G_{1 f} g G_{2 f}』成立。

因為g G_{1 f} g G_{2 f} ，即 h g G_{1 f} g G_{2 f} ，使得hg G_{1 f}且hg G_{2 f} ，則由引理 2.5.12 可知：hG_f g G_{1 f}且hG_f g G_{2 f} ，於是可得g G_{1 f} g G_{2 f} ，因此本引理得證。 ■

【引理 2.5.14】設群G作用在集合S上，對任意元素 f  ，恆有S E_f G_f  G 。 證明：

因為G_f 是G的子群，可以在G中找到g 、₁ g 、…、₂ g ，使得_m Gg G_{1 f} g G_{2 f}  ... g G_{m f}， 因為對每個i，g G_{i f}  G_f ，且由引理 2.5.13 知道這些g G_{i f} 兩兩互斥 (pairwise disjoint)，

故G  G_f G_f ...G_f m G _f 。令g f_i  f_i，i1, 2,...,m，則可得到

  

1, 2,...,



f i i m

E  f f  f  f f f ，其中任兩元素均不相等，所以G m G _f  E_f G_f 。■

【例題 2.5.15】在例題 2.5.8 中， f 的等價類是₁



f f1, 2, f3, f4



，共有四個元素；以 f 為固₁ 定點的子群是



e

    

1 2 3 4 ,2 



1 2 3 4

  

，有兩個元素，它們的乘積，正好正 4 邊形群^D4 



^{e, ,}      ^{2, 3, 1, 2, 3, 4}



的元素個數。另外，f 的等價類是₅



f5, f6



， f 的穩₅ 定子群是



^e

    

^{1 2 3 4 ,2 }



^{1 3 2}



^{4 ,}



^{3 }

  

^{1 3 2 4 ,}



^{4 }

  

^{2 4 1 3}

 

^，其元

素個數的乘積亦為 8。 ■

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證明：

因為 ( ( ))h g i  f i( )，i1, 2,...,n，所以

1 1 1

( ) ( ( )) ( ( ( ))) ( ( )) ( )

n n n

i i i

w f w f i w h g i w h i w h

  













 ，故得證。 ■

圖(十三)

若以黑、白兩色在圖(十三)的三個頂點塗色，共得得到八個著色圖， f 、₁ f 、…、₂ f 。₈ 因圖形可旋轉、可翻轉，故經過正 3 邊形群D 的作用，可分出四個等價類。由定理 2.7.3₃ 得知，每一個等價類中的著色圖，有相同的權值，此權值就代表該等價類的權值，請看 表(七)。

表(七)

f1 f₂ f₃ f₄ f₅ f₆ f7 f₈

b

3

^{b w}

²

bw

²

w

³

最後，將所有等價類的權值相加，得到的總和，稱為正三角形塗黑、白兩色的權重清單

(inventory)，用I 表示，_v I_v b³b w bw²  ²w³。I 通常也稱為等價類權重清單。 _v

有時，不同的等價類，可能會有相同的權值。例如，在例題 2.5.8 中，兩個等價類的權值 相等。

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‧

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‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

0!2!3!4!5! 1!1!3!4!5! 1!2!2!4!5! 1!2!3!3!5! 1!2!3!4!4!

1 30! 15! 15!

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4. 結論

4.1 正多面體的對稱轉動

以正六面體為例，我們在三度空間來想像一下它的轉動，總共有 24 種，約略可分成 四大類，一一列舉如下。

第一類：不轉

這一類的旋轉個數只有 1 個。若將它的六個面用數字 1、2、3、4、5、6 來表示，如下圖 (廿一)，則旋轉後可用循環節來表示的群元素為e 

      

1 2 3 4 5 6 。

1

2 4 5

6

圖(廿一) 第二類：兩個面面中點的連線為旋轉軸旋轉

這一類可以分成三個子類，如果三度空間的三個方向分別是 x 、y、 z ，那麼下圖(廿二) 就是沿著 z 軸，穿過兩個面的中點的旋轉軸。每次旋轉可以轉90、180和270，所以有 三種旋轉。同理， x 軸、y軸方向也都各有90、180和270三種旋轉。所以這一類總共 有3 3 3  9種旋轉。

圖(廿二)

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同樣的，若將沿著 z 軸，穿過兩個面的中點的旋轉軸來旋轉的六個面以數字 1、2、3、4、

5、6 來表示，如下圖(廿三)，則旋轉後可用循環節來表示的群元素為：

圖(廿三)

轉90的

  

^{1 6 2 3 4 5}



^{、轉180的}

  

^{1 6 2 4 3 5}

 

^{、以及轉270的}

  

1 6 2 5 3 4



。同理， x 軸、y軸方向也都各有兩個1 1 4  循環節乘積的群元素 與一個1 1 2 2   循環節乘積的群元素。

第三類：邊邊的中點連線為旋轉軸的旋轉

第三類有 6 種旋轉，分別是六對對邊的中點連線作為旋轉軸，但是因為對每個旋轉軸來 說，只有 180 度這一次旋轉，所以就剛剛好 6 種旋轉，把旋轉軸畫在圖(廿四)：

圖(廿四)

依照之前六個面的編號，這一類旋轉後，都會各有一個型如



1 6 2 5 3 4

  

的

2 2 2  循環節乘積的群元素。

第四類：點點相連為旋轉軸的旋轉

第四類是八個頂點，兩兩為一對，總共有四個旋轉軸，但是這四個選轉軸因為每次可以 旋轉120或是240，所以這一類總共有 8 種旋轉。旋轉軸示意圖如圖(廿五)：

1 3 2 4 5

6

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在上一節我們以正六面體為例來使用波利亞計數方法計算不等價的著色法總數，在

群元素個數G 的尋找過程，由於三度空間的對稱旋轉比較複雜不易想像，故費了不少力

氣。正 n 邊形群是置換群的一個子群，本論文利用正 n 邊形群得出珠狀排列的公式，至於 正多面體或其他對稱體的著色問題，是否也能從置換群的其他子群，導出計數著色數的 簡潔公式？是以後可以努力的方向。

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5. 參考文獻

[1] Alan Tucker (2007,5^th edition). Applied Combinatorics. John Wiley & Sons Inc.

[2] John B. Fraleigh (2002,7^th edition). A First Course In Abstract Algebra. Addison Wesley.

[3] Ralph P. Grimaldi (1999,4^th edition). Discrete And Combinatorial Mathematics. Addison Wesley.

[4] 吳素美、范麗昌 (譯) (民 91)。抽象代數導論 (原作者：John B. Fraleigh)。臺北市：

五南。(原著出版年：2002)。

[5] 康明昌 (民 77)。近世代數。台北市：聯經。

[6] 蕭文強 (民 83)。波利亞計數定理。新竹市：凡異。

[7] 王世勛 (民 99)。不盡相異物的環狀排列公式。政大應數所碩士論文。

[8] 孫航同 (民 101)。一個環狀排列的公式。政大應數所碩士論文。

[9] 洪鵬凱 (民 96)。不盡相異物排列─著色與環狀排列的問題。全國高中數學教學研討 會論文集。

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在文檔中 一個珠狀排列的公式 - 政大學術集成 (頁 11-0)