一個珠狀排列的公式 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士學位論文. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 一個珠狀排列的公式 ‧. A Formula for Calculating Necklace Permutations. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 碩專班學生：薛麗姿撰. 指導教授：李陽明博士中華民國一○二年八月廿三日.

(2) 致謝辭撰寫論文是身為一位研究生很大的挑戰，而對於一位在職且身懷六甲的學生而言更是。本篇論文能夠順利的完成，最要感謝的是我的指導教授在論文撰寫期間給予的教導與督促。老師不厭其煩的諄諄教誨猶言在耳，老師的認真、嚴謹、充滿幹勁也深深影響著我，我能從中學習到對於研究的執著與態度，也讓我在學習的路上倍感溫暖，使我完成的不僅僅是一篇論文，更是滿滿的回憶與感動。我由衷感謝這位充滿學問的智者── 李陽明博士。在政大讀書的這幾年，同學間的情誼也是值得回憶的，每個人各有專長，分工合作，讓所有挑戰都能迎刃而解。謝謝瓊如、珮紋、凱翔領導著教室裡和睦的氛圍及課業上適. 政治大. 時的指點；謝謝同師門的昱欣、亨峰對我的關懷、提醒、鼓勵及熬夜相伴；大家齊心安. 立. 排課堂後的活動也為研究所生涯增添了許多豐富的色彩，很高興在我的人生旅途中遇見. ‧ 國. 學. 你們，我會永遠珍惜這個緣份。另外，還要感謝應數系裡各位教授及年輕的助教們無微. ‧. 不至的照顧，讓我在數學知識、為人處世等各方面皆有所成長，獲益匪淺。而口試委員 ──余屹正教授與林英仁教授，對此論文亦提供寶貴的意見，在此也一併感謝。. y. Nat. io. sit. 最後，要感謝默默支持與關心我的家人，讓我在住校求學期間無後顧之憂。我想我. n. al. er. 並沒有讓你們失望，在此與你們一起分享這份喜悅。我是幸福的，因為有你們！. Ch. engchi. i n U. v. 時年 3 歲的女兒筆下的家人，繪於民國 101 年 11 月 17 日。 (左一：『大肚子』的媽媽，左二開始分別為『戴眼鏡』的爸爸、大阿姨、小阿姨。). I.

(3) 摘要這篇論文的目的，是要推廣學長的論文《一個環狀排列的公式》，欲藉由波利亞計數方法，來建立一個可計算任何珠狀排列問題的公式。為了達到這個目的，需要對循環群的概念及正 n 邊形群的結構做些介紹；並且說明伯恩賽定理及波利亞計數方法的內容；最後，利用波利亞計數定理，整理出珠狀排列的公式，並舉出實例，以顯示其實用價值。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. II. i n U. v.

(4) Abstract The purpose of this thesis is to expand the conclusion of the thesis ”A Formula for Calculating Circular Permutations”, we want to establish a formula that can calculate any type of the necklace permutations by the Pólya’ s enumeration method . Firstly , we introduce the concept of the cyclic groups , and discuss the structure of the dihedral group . Secondly , we illustrate the Burnside theorem , and the Pólya’ s enumeration method . Finally , we conclude the formula for calculating necklace permutations . And we also give several examples to reveal the results .. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. III. i n U. v.

(5) 一個珠狀排列的公式 A Formula for Calculating Necklace Permutations. 目次致謝辭......................................................................................................................................I 摘要 ....................................................................................................................................... II Abstract ................................................................................................................................. III 目次 ...................................................................................................................................... IV 1. 前言.................................................................................................................................... 1 2. 理論方法............................................................................................................................ 2 2.1 循環群 (cyclic group) 的簡介 ................................................................................. 2 2.2 循環節 (cycle) 的應用 ............................................................................................ 6 2.3 正 n 邊形群 Dn (dihedral group) 的簡介 ................................................................. 8. 立. 政治大. ‧ 國. 學. ‧. 2.4 循環指標式 (Cycle Index Polynomial) ................................................................... 13 2.5 群對集合的作用..................................................................................................... 18 2.6 伯恩賽定理 (Burnside theorem) 及其應用 ........................................................... 23 2.7 波利亞計數方法 (Pólya’ s enumeration method) 的綜合說明 .............................. 28 3. 實證.................................................................................................................................. 33 3.1 環狀排列的公式..................................................................................................... 33 3.2 珠狀排列的公式..................................................................................................... 35 3.3 珠狀排列的實例..................................................................................................... 38 4. 結論.................................................................................................................................. 49 4.1 正多面體的對稱轉動 ............................................................................................. 49 4.2 未來展望 ................................................................................................................ 52 5. 參考文獻.......................................................................................................................... 54 中、英文名詞對照表 ........................................................................................................... 55. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. IV. i n U. v.

(6) 1. 前言由於高中教材介紹完環狀排列後，緊接著會提及珠狀排列的問題，而以往在教學上最常使用的方法是窮舉法，做法冗長繁複，因此希望能將環狀排列的論文做個推廣，將珠狀排列的公式也整理出來。雖然波利亞理論需要具備大學代數的基礎，但我們在這裡盡可能的不提及太抽象的代數內容，並適當的選取與排列所需的基礎理論，相信所建立的公式，是可以讓具有高中基礎數學實力的學生做進階挑戰的。為了達到這個目的，首先需要對循環群的概念及正 n 邊形群的結構做些介紹；並且說明伯恩賽定理及波利亞計數方法的內容；最後，利用波利亞計數定理，整理出珠狀排. 政治大. 列的公式，並舉出實例，以顯示其實用價值。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 1. i n U. v.

(7) 2. 理論方法 2.1 循環群 (cyclic group) 的簡介【定義 2.1.1】令 (G; ) 是具有某種運算「  」的集合 G 。如果 (G; ) 滿足以下性質，它就叫做群 (group)： (1) 結合律 (Associativity)： a, b, c  G ， (a  b)  c  a  (b  c ) 成立。 (2) 單位元 (Identity) 的存在性： e  G ，使得 e  a  a  e  a 成立。 (3) 反元素 (Inverse) 的存在性： a  G ， b  G ，使得 a  b  b  a  e 成立，我們稱 b 為. 政治大 a 的反元素，記為 b  a. 立. 1. 。. ‧ 國. 學. 我們常把群 (G; ; e) 簡寫成 (G; ) 或 G 。另外，群 G 的所有元素數目叫做 G 的秩. ‧. (order of G )，記為 G 。. sit. y. Nat. 【定義 2.1.2】若 X 是任意集合且 X   ， S ( X ) 表示 X 到 X 的所有一對一且映成的函數. n. al. er. io. 集合，如果  、  S ( X ) ，    代表  與  的合成函數，即 x  X ，    ( x )   ( ( x)) ，. Ch. i n U. v. 則 ( S ( X ); ) 形成一個群。當 X 只有 n 個元素時，即 X  1, 2,..., n ，我們用 S n 表示 S ( X ) ，. engchi. S n 叫做 n 元對稱群或簡稱對稱群 (symmetric n group)。S n 的任意一個元素叫做一個置換 (permutation)。【例題 2.1.3】設 X  1, 2, 3 ，若  (1)  2 ，  (2)  3 ，  (3)  1 ，我們就把  記為 2 3  1  1      (1)  (2)  (3)   2 1 2 3  1 2 3   1 1 2 3  ， 1 3 2  ，  2     . 2 3 2 1. 3 。所以 S3 一共有六個元素，即 1  3  1 2 3 1 2 3 1 2 3 ，，，；顯然， S3 的 3   2 3 1   3 1 2   3 2 1 . 1 2 3  元素個數與 1, 2,3 所有可能的排列數目相同，並且，單位元為 e    ，而 1 2 3 . 2.

(8)   (1)  (2)  (3)   2 3 1   1 2 3   的反元素為  1   。   2 3   1 2 3   3 1 2   1. ■.  1 2 3 ... n  事實上， S n 共有 n ! 元素，其單位元為     ，而  1 2 3 ... n  2 3 ... n   1   (1)  (2)  (3) ... ...  (n)  的反元素為  1   。    2 3 ... ... n    (1)  (2)  (3) ...  (n)   1. 【定義 2.1.4】如果群 G 是對稱群 S n 的子群， G 就叫做置換群 (permutation group)。. 【定義 2.1.5】假設   Sn ，如果 i1 , i2 ,..., ik 是 k 個相異文字，並且  (i1 )  i2 ，  (i2 )  i3 ，. 治政  (i )  i ，……，  (i )  i ，  ( j )  j ， j  i , i ,..., i 大，則  可簡記為  i 立 3. 4. k. 1. 1. 2. k. 1. i2 ... ik  ，其. ‧ 國. 學. 中  i1 i2 ... ik  叫做  的一個長度為 k 的循環節 ( k  cycle)，或稱 k  循環節。在定義 2.1.5 中，  可分為若干個互不相交的循環節的乘積。例如，在 S 4 中，. sit. y. 2  有一個 2  循環節及兩個 1 循環節，可用一個 2  循 2 3 4  = 1 2 3 有一個 3  循環節及一個 1 循環節，. n. er. io. al. ‧. Nat. 1 2 3 4  2 1 3 4  = 1 2  3 4  = 1   1 2 3 4 環節來簡記；  = 1  2 3 1 4 1 可用一個 3  循環節來簡記；  2. v. 2 3 4 = 1 2 3 4  只有一個 4  循環節。 3 4 1 . Ch. engchi. i n U. 【定義 2.1.6】假設 G 是一個群，  G ，若  所產生的群     i i   就是 G ，則 G 是一個循環群。而且，有限循環群 G 可看成是對稱群 S n 的子群。由定義 2.1.6 知道，元素  所產生的群為 G  e,  , 2 ,...,  n1 ，因此 G 的秩是 n ，亦可記為 G  o( )  n ，則 G 是一個 n 階循環群，常用 Cn 來表示。. 3.

(9) A. D 1. 4. 2. 3. B. C. 圖(一) 如圖(一)，在正方形 A 、 B 、 C 、 D 四個頂點上分別標示出 1、2、3、4 四個數字，以正方形的中心點為圓心，沿逆時針方向旋轉 90 的群元素  1 2 3 4 1 2 3 4  2    = 1 2 3 4  ，旋轉 180 的群元素     = 1 3 2 4  ， 2 3 4 1 3 4 1 2 1 2 3 4 旋轉 270 的群元素  3    = 1 4 3 2  ，而  4 1 2 3 1 2 3 4  4    1 2  3 4   e 可視為旋轉 360 或不動的群元素。這四個元素構成一 1 2 3 4 . 政治大. 立. ‧ 國. 學. 個四階循環群 C4  e, ,  2 ,  3  。. ‧ sit. y. Nat. io. n. al. er. 循環群有許多重要性質，下面介紹兩個特別有用的循環群定理。. v. n 【定理 2.1.7】設 Cn  e,  , 2 ,...,  n1，o( )  n，若  t  Cn ,且 gcd(t , n)  d ，則 o( t )  。 d. 證明：. Ch. engchi. i n U. 假設 o( t )  s，因為 gcd(t , n)  d ，可令 t  t ' d ，n  n ' d ，且 gcd(t ', n ')  1。由於 d . n t  ， n' t '. 故 ( t )n '  ( n )t '  (e)t '  e ，所以 s 是 n ' 的因數，即 s n ' (*)。另外，( t ) s   ts  e   n ，所以 n 是 ts 的因數，可再推得 n ' 是 t ' s 的因數；但 gcd(t ', n ')  1，所以得到 n ' s (**)。綜合(*)、(**)兩式，得到 s  n ' ，因此 o( t )  s  n ' . 4. n 。 d. ■.

(10) 【定理 2.1.8】設 Cn  e,  , 2 ,...,  n1 ， o( )  n ，若  t  Cn ,且 gcd(t , n)  d ，則  t 和  d 可以生成相同的子群，即   t   d  。證明：因為 t 含有正因數 d ，所以   t   d  必然成立。我們只需要證明   d   t  即可。由於   d  中的任意元素 y  ( d ) q ，已知 d  gcd(t , n) ，可以找到  、  兩個整數，使得. d   t   n ，於是 y  ( d ) q  (  t   n )q    tq    nq  ( t ) q  ( n )  q  ( t ) q  e  ( t ) q   t  ，得證。. 立. 政治大. ■. ‧ 國. 學. 【例題 2.1.9】六階循環群 C6  e,  , 2 ,  3 ,  4 , 5  中， n  6 ，取 t  4 ，因為 ( 4 )1   4 、 ( 4 ) 2   8   2 、 ( 4 )3   12  e ，故可得 o( 4 )  3 ，即   4  e,  2 ,  4  ；利用公式，. ‧. 因為 gcd(t , n)  2 ，故 o( 4 ) . sit. y. Nat. 6  3 。取 t  5 ，因為 ( 5 )1   5 、 ( 5 ) 2   10   4 、 2. io. n. al. er. ( 5 )3   15   3 、 ( 5 )4   20   2 、 ( 5 )5   25   、 ( 5 )6   30  e ，故可得 o( 5 )  6 ，. v ni. 即   5  e, ,  2 , 3 ,  4 ,  5  ；利用公式，因為 gcd(t , n)  1 ，故 o( 5 ) . Ch. engchi U. 6 6。 1. ■. 由定理 2.1.8 及例題 2.1.9 可知，當 gcd(t , n)  1 時，  t 可生成整個群。所以在. Cn  e,  , 2 ,...,  n1 中，任何  j ， gcd( j, n)  1 ，  j 就是 Cn 的生成元。【定義 2.1.10】歐氏函數 (Euler  function)  (n) ，是定義在自然數集合上的函數。.  (n) 為不超過 n ，且與 n 互質的自然數個數，亦即  (n)   x 1  x  n, gcd( x, n)  1 。【例題 2.1.11】不超過 12 且和 12 互質的自然數有 1、5、7、11 四個數，故  (12)  4 。■ 所以，對於 n 階循環群 Cn，若  (n)  k ，表示 Cn 當中有 k 個元素是生成元 (generator)。. 5.

(11) 2.2 循環節 (cycle) 的應用 1 取   2 1 2 3 2  3 4 5 1 2 3 3   4 5 6 1 2 3 4  5 6 7. 2 3 ... ... ... ... ... .... 3 ... 4 ... n3 n 1 n4 n 1 n5 n 1. n 1 n n2 n n 3 n n4 n. n = 1 2 3 1  n 1 n  ， 1 2  n  2 n 1 1 2 n 3 n  2 1 2. ... n  1 n  ，顯然有. n ， 3  n 1 n  ， 3 4 . . n   1 2 3 ... n  5 n  4 n  3 n  2 n  1  n1     n 1 2 ... n  6 n  5 n  4 n  3 n  2 n  1 . n2 n 3. 3 4 . 學.  .  . . j. ‧. ‧ 國. 立. 政1 治 n n 1 大 2. 圖(二). sit. y. Nat. n. al. er. io. 很容易可以觀察出來，對於   1 2 3 ... n  1 n  中任一數字 j ， i ( j ) 表示數字 j 在. i n U. v. 圖(二)中沿逆時針方向移動 i 個間隔，得到 i  j ；如果 i  j  n ，則必須模 n (modulo)。可以得到下面的結論：. Ch. engchi. 【定理 2.2.1】設   1 2 3 ... n  1 n  ， j  1, 2,..., n ， i 是任意正整數，. ，當 i  j  n i  j  i ( j)   i  j (mod n) ，當 i  j  n. 【引理 2.2.2】在循環群 Cn 中，   1 2 3 ... n  1 n  ，則對任意元素  t ，它的每個循環節長度均相同。. 6.

(12) 證明：由定理 2.1.7 知道，若 gcd(t , n)  d ，則 o( t ) . n 。考慮  t 的任一個循環節 d. n     1t n 2  j  t ( j )  t ( j ) ...   d  ( j )  ，取 0  u  v   1 ，並令  ut ( j )   vt ( j ) ，於是   d  . n  t n j  ut  j  vt (mod n) ，所以 n 可以整除 (v  u )t ；但是 gcd  ,   1 ，因此是 v  u 的 d d d . 因數，這是一個不合理的結果。故，任意循環節的長度均為. n 。 d. ■. 政治大.  1 2 3 4 5 6 【例題 2.2.3】在六階循環群 C6 中，     = 1 2 3 4 5 6  ，  2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6  2   = 1 3 5  2 4 6  ， 3 4 5 6 1 2 1 2 3 4 5 6 3    = 1 4  2 5  3 6  ，  4 5 6 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4   = 1 5 3 2 6 4  ， 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 5   = 1 6 5 4 3 2  ，  6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6  6   = 1 2  3 4  5  6  。 1 2 3 4 5 6 . 立. ‧. ‧ 國. 學. er. io. sit. y. Nat. al. n. v i n C h  與  都有兩個都只有一個 6  循環節； e n g c h i U 3  循環節； . 其中，  與  5. 2. 4. 節；  6 有六個 1 循環節。. 3. 有三個 2  循環 ■. 7.

(13) 2.3 正 n 邊形群 Dn (dihedral group) 的簡介研究環狀排列 (circular permutations)、珠狀排列 (necklace permutations) 或對稱體 (symmetrical body) 的著色問題，其基本精神都是一樣的，需要找出所有對稱性，構成一個置換群，作用在全體著色集合上。利用循環群的性質可以得出環狀排列的公式；若欲解決珠狀排列的問題，則需了解正 n 邊形群 Dn 的結構。在本節中，我們將對正 n 邊形群做精簡的介紹。【定義 2.3.1】設 H 是群 G 的子群，如果 x  G ，定義 xH   xh h  H , xh  G ，. 治政大 (right coset) 為 xH 叫做 H 的一個左陪集 (left coset)。同樣的，定義右陪集立 ‧ 國. 學. Hx  hx h  H , hx  G 。接下來用兩個例子來介紹正 n 邊形群 Dn 的特徵。. ‧. sit. y. Nat. 令   ( 1 2 3 4 5 )  S5 ，  ( 2 5 ) ( 3 4 )  S5 。以正五邊形為例，如圖(三)，在五個. io. n. al. er. 頂點 A 、 B 、 C 、 D 、 E 分別標示出 1、2、3、4、5 五個數字。我們可以想像  與  怎. v ni. 樣作用於這個正五邊形呢？  把正五邊形以其中心點為圓心，沿逆時針方向旋轉. Ch. engchi U. 2 ，而 5.  是以頂點 A 與對邊 CD 的中點連線作為對稱軸的鏡射。則 C5  e,  , 2 ,  3 ,  4  是一個五階循環群； D5  e,  , 2 ,  3 ,  4 ,  , , 2 , 3 , 4  是秩為 10 的置換群。 C5 與 D5 的關係可參看圖(四)。 A. D5. 1. B. 2. 5. E. C5 3.  C5. 4. D. C. 圖(三). 圖(四) 8. C5   C5  5 D5  2  5  10.

(14) 其中 12345     =( 1 2 3 4 5 )  2 3 4 51   12345  2   =( 1 3 5 ) ( 2 4 )  3 4 512   12345  3    =( 1 4 2 5 3 ) 5  4 512 3   12345  4   =( 1 5 4 3 2 )  512 3 4  12345  5   =( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 12345 . C.  可視為正五邊形沿逆時針方向旋轉. 2 5.  可視為正五邊形沿逆時針方向旋轉. 4 5.  可視為正五邊形沿逆時針方向旋轉. 6 5.  可視為正五邊形沿逆時針方向旋轉. 8 5. 旋轉 ( 5 個元素). 5 )e.  可視為正五邊形沿逆時針方向旋轉 2 或不轉. 立.   12345   12345   =( 1 ) ( 2 5 ) ( 3 4 )=  1 5 4 3 2   1 2 3 4 5  = e     . ‧ 國. 學.  12345  =  15 4 3 2. 政治大.  可視為以頂點 A 與對邊 CD 的中點連線為翻動軸翻轉 180 得到. y.   =( 3 ) ( 1 5 ) ( 2 4 ) . sit.  12345 = 5 4 3 2 1  . ‧. Nat.  12345   12345  =     15 4 3 2   2 3 4 51. a l  =  1 2 3 4 5  =( 5 ) ( 1 4 )i (v2 3 )  C 4 3 2 1 5  hengchi Un.  12345   12345  2 =     15 4 3 2   3 4 512. n.  C5. er. io.  可視為以頂點 C 與對邊 AE 的中點連線為翻動軸翻轉 180 得到. 翻轉.  可視為以頂點 E 與對邊 BC 的中點連線為翻動軸翻轉 180 得到 ( 5 個元素)  12345   12345  3 =     15 4 3 2   4 512 3.   12345   =  3 2 1 5 4  =( 2 ) ( 1 3 ) ( 4 5 )   .  可視為以頂點 B 與對邊 DE 的中點連線為翻動軸翻轉 180 得到  12345   12345  4 =     15 4 3 2   51 2 3 4.  12345   =  2 1 5 4 3  =( 4 ) ( 1 2 ) ( 3 5 )   .  可視為以頂點 D 與對邊 AB 的中點連線為翻動軸翻轉 180 得到. 9.

(15) 三度空間的剛體運動 (平移與旋轉)，把正五邊形對應到同一圖形的，就只有 D5 的元素 (5 種旋轉與 5 種翻轉)，所以 D5 是正五邊形的對稱變換群。我們把 D5 叫做正 5 邊形群，是由正五邊形決定的，並且 D5  10 。再以正六邊形為例，如圖(五)，在六個頂點 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 分別標示出 1、 2、3、4、5、6 六個數字。令   ( 1 2 3 4 5 6 )  S6 ，   ( 1 6 ) ( 2 5 ) ( 3 4 )  S6 。我們一樣可以想像  與  是如下作用於這個正六邊形的：  把正六邊形以其中心點為圓心，沿逆時針方向旋轉. 2 ，  是以 AF 中點與對邊 CD 的中點連線作為對稱軸的鏡射。則 6. 治政 C  e,  , ,  ,  ,  是一個六階循環群；而大立 2. 3. 4. 5. 6. 5. E. io. n. al. C6. 3. 4. C. D. 圖(五). Ch. engchi U.  C6. v ni. 圖(六). 10. y. sit. B 2. D6. F. 6. Nat. 1. er. A. ‧. ‧ 國. 看圖(六)。. 學. D6  e,  ,  2 ,  3 , 4 ,  5 , , , 2 , 3 , 4 , 5  是秩為 12 的置換群。 C6 與 D6 的關係可參. C6   C6  6. D6  2  6  12.

(16) 其中 2 3 4 5 6   = 1 2 3 4 5 6   可視為正六邊形沿逆時針方向旋轉 3 4 5 6 1 3 2 3 4 5 6 2  = 1 3 5  2 4 6   可視為正六邊形沿逆時針方向旋轉 4 5 6 1 2 3 2 3 4 5 6  = 1 4  2 5  3 6   可視為正六邊形沿逆時針方向旋轉  5 6 1 2 3 2 3 4 5 6 4  = 1 5 3 2 6 4   可視為正六邊形沿逆時針方向旋轉 6 1 2 3 4 3 2 3 4 5 6 5  = 1 6 5 4 3 2   可視為正六邊形沿逆時針方向旋轉 1 2 3 4 5 3 2 3 4 5 6 = 1 2  3 4  5  6   e 2 3 4 5 6 . 旋轉 ( 6 個元素). 治政  可視為正六邊形沿逆時針方向旋轉大 2 或不轉. 立.   123456   123456  =( 1 6 ) ( 2 5 ) ( 3 4 )=  6 5 4 3 2 1   1 2 3 4 5 6    . 學.  123456  =  65 4 3 21. ‧ 國. C6. 1   2 1 2  3 1 3   4 1 4  5 1 5  6 1 6  1.   = e .  可視為以 AF 中點與對邊 CD 的中點連線為翻動軸翻轉 180 得到. io. al. n.  123456 = 4 3 2 1 6 5  . Ch. y. er.  可視為以 C 、 F 連線為翻動軸翻轉 180 得到.  123456   123456  2 =     65 4 3 21   3 4 5612.  C6.   =( 3 ) ( 6 ) ( 1 5 ) ( 2 4 ) . sit.  123456 = 5 4 3 2 1 6  . ‧. Nat.  123456   123456  =     65 4 3 2 1   2 3 4 5 61. v.   =( 1 4 ) ( 2 3 ) ( 5 6 ) . engchi. i n U.  可視為以 BC 中點與對邊 EF 的中點連線為翻動軸翻轉 180 得到  123456   123456  3 =     65 4 3 21   4 5612 3.   123456 = 3 2 1 6 5 4  .   =( 2 ) ( 5 ) ( 1 3 ) ( 4 6 ) .  可視為以 B 、 E 連線為翻動軸翻轉 180 得到  123456   123456  4 =     65 4 3 21   561 2 3 4.  123456 = 2 1 6 5 4 3  .   =( 1 2 ) ( 3 6 ) ( 4 5 ) .  可視為以 AB 中點與對邊 DE 的中點連線為翻動軸翻轉 180 得到  123456   123456  5 =     65 4 3 21   61 2 3 4 5.   123456 = 1 6 5 4 3 2  .   =( 1 ) ( 4 ) ( 2 6 ) ( 3 5 ) .  可視為以 A 、 D 連線為翻動軸翻轉 180 得到 11. 翻轉 ( 6 個元素).

(17) 三度空間的剛體運動 (平移與旋轉)，把正六邊形對應到同一圖形的，就只有 D6 的元素 (6 種旋轉與 6 種翻轉)，所以 D6 是正六邊形的對稱變換群。我們把 D6 叫做正六邊形群，是由正六邊形決定的，並且 D6  12 。. 綜合以上 D5 、 D6 兩個例子的說明，可得到以下有用的結果：【定義 2.3.2】設 n  2，正 n 邊形群 Dn 是由  、  S n 所生成的，其中   1 2 3 ... n ，   n   n  1    1 n  2 n  1 ...       1 ；並且， Dn 是秩為 2n 的正 n 邊形群，記作 2  2   Dn  2n 。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 【例題 2.3.3】若 n  10 ，則正 10 邊形群 D10 是由  、   S10 所生成的，其中.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  ，. ‧ sit. y. Nat.   1 10  2 9  3 8  2 9  3 8  4 7  5 6  。. n. al. er. io. 又若 n  9 ，則正 9 邊形群 D9 是由  、   S9 所生成的，其中. i n U. v.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 ，  1 9  2 8  3 7  2 8  3 7  4 6  5  。. Ch. engchi. 12. ■.

(18) 2.4 循環指標式 (Cycle Index Polynomial) 【定義 2.4.1】設 G 是集合 X  1, 2,..., n 上的置換群，其元素是由單個或多個互不相交的循環節所組成，長度是 i 的循環節，用 xi 來表示，i  1, 2,..., n 。若 g  G ，且 g 具有 i ( g ) 個 i  循環節，則單項式 x11 ( g )  x2 2 ( g )  xn n ( g ) 稱為 g 的循環結構式 (cycle structure. representation)。把 G 內每個元素的循環結構式相加後，再除以群元素個數 G ，得到的多項式，稱為置換群 G 的循環指標式，型如：. PG ( x1 , x2 ,..., xn ) . 1 G. 1 ( g ) 1. x.  x2 2 ( g ) xn. n ( g ). 政治大  e,  , ,  ,  ,  中，   1 【例題 2.4.2】六階循環群 C立 2. 。. gG. 3. 4. 5. 2 3 4 5 6  寫成 x6 ，. 6. ‧ 國. 學.  2  1 3 5  2 4 6  寫成 x32 ，  3  1 4  2 5  3 6  寫成 x23 ，. ‧.  4  1 5 3 2 6 4  寫成 x32 ，  5  1 6 5 4 3 2  寫成 x6 ，. y. 1 6  x1  x23  2 x32  2 x6  。■ 6. er. io. sit. Nat.  6  1 2  3 4  5  6  寫成 x16 。所以， C6 的循環指標式為. 【例題 2.4.3】群 S3  1 2 3 , 1 3 2  , 1 2  3 , 1 2 3  ,  2 1 3  ,  3 1 2  中，. n. al. Ch. engchi. i n U. v. 第一、二個元素均可寫成 x3 ，第三個元素可寫成 x13，第四、五、六個元素均可寫成 x1  x2 。故 S3 的循環指標式為. 1 3  x1  2 x3  3x1  x2  。 6. ■. 【例題 2.4.4】群 G   g 0 , g1 , g 2 , g3  是右圖(七)做旋轉的置換群集，. 1 其中 g 0  1 2  3 4  5  寫成 x15 ， g1  1 2 3 4  5  寫成 x1  x4 ，. 2. 5. g 2  1 3 2 4  5  寫成 x1  x2 2 ， g3  1 4 3 2  5  寫成 x1  x4 。. 3. 1 5  x1  x1  x2 2  2 x1  x4 。 4. 圖(七). 故 G 的循環指標式為. 13. 4. ■.

(19) 【引理 2.4.5】對任意正整數 n ，恆有   (d )  n ，其中  (d ) 是歐氏函數。 dn. 證明：設 n 的正因數為 d1  1，d 2，…，dt  n，令集合 Ai   x 1  x  n , gcd(x, n)=di ，i  1, 2,..., t 。 t. 很明顯的， Ai 兩兩相離，且  Ai  1, 2,..., n ，所以 i 1 t t  t n n n   n  1, 2,..., n   Ai    y 1  y  , gcd( y, )  1     di di i 1 i 1   i 1  d i .      (d ) 。  dn. ■. 接著，我們要導出循環群 Cn 的循環指標式。. 政治大. 【定理 2.4.6】n 階循環群 Cn  e,  , 2 ,...,  n1，其中   1 2 3 ... n  1 n  ，則 Cn 的. 立 n. 證明：. ‧. ‧ 國. 學. 1 循環指標式必為   (d )xdd 。 n dn. sit. y. Nat. 設 n 的正因數為 d1  1 ， d 2 ，…， dt  n ，令集合 Ai   x 1  x  n , gcd(x, n)=di  ，且. n. al. er. io. n n 的 Ai    ，由引理 2.2.2 知道，每個元素  k 共有 mk  gcd(k , n) 個長度為 nk  gcd(k , n)  di . Ch. 循環節，故 Cn 的循環指標式應為. engchi. i n U. v. n 1 n mk 1 t 1 t 1 t  n  di 1 di mk d  xn    xn    x n     x n     d xd 。 n k 1 k n i 1 kAi k n i 1 kAi di n i 1  di  di n d n. 上式中，d 和. n 扮演互補的角色，它們都是 n 的正因數。 d. 利用定理 2.4.6 重做一次例題 2.4.2， n  6 ， d  1, 2,3, 6 ，則 C6 的循環指標式為 6. 1 1 1  (d ) xd d   (1)  x16   (2)  x2 3   (3)  x3 2   (6)  x61    x16  x23  2 x32  2 x6  ，  6 d6 6 6. 與利用定義寫出來的結果相同。. 14. ■.

(20) 【例題 2.4.7】正五邊形群 D5  e,  , 2 ,  3 ,  4 , 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5  中，包含了： (1) 5 種逆時針旋轉的元素、(2) 5 種以各頂點與其對邊中點連線為翻動軸翻轉的元素，整理如下表(一)：表(一) 元素. 循環結構式. e  1 2  3 4  5 . x15.   1 2 3 4 5 . x5.  2  1 3 5 2 4 . x5.  3  1 4 2 5 3. x5.  4  1 5 4 3 2 . x 立. 1. 2. 5. 元素. 循環結構式. 1  1 2 5  3 4 . x1 x2 2.  2   2 1 3 4 5. x1 x2 2.  3   31 5  2 4 . x1 x2 2. 政治大 3. 4. 5.   4 1 2  3 5. x1 x2 2.  5   5 1 4  2 3. x1 x2 2. 4. 1  x15  4 x5  5x1 x2 2 。 10. ‧ 國. 學. 故 D5 的循環指標式為. ■. ‧. 【例題 2.4.8】正六邊形群 D6  e,  ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 , 1 ,  2 ,  3 ,  4 , 5 ,  6  中，包含了：. sit. y. Nat. (1) 6 種逆時針旋轉的元素、(2) 3 種以對邊中點連線為翻動軸翻轉的元素、. n. al. er. io. (3) 3 種以對頂點連線為翻動軸翻轉的元素，整理如下表(二)：. 元素. Ch. 循環結構式. e  1 2  3 4  5  6 . x15.   1 2 3 4 5 6 . x6.  2  1 3 5 2 4 6 . x32.  3  1 4  2 5 3 6 . x23.  4  1 5 3 2 6 4 . x32.  5  1 6 5 4 3 2 . x6. engchi 6. 1. 2. 故 D6 的循環指標式為. i n U. 表(二). v. 元素. 循環結構式. 1  1 6  2 5  3 4 . x23. 2  1 2  3 6  4 5 . x23. 3  1 4  2 3  5 6 . x23. 4  1 4  2 6  3 5 . x12 x2 2. 5   2  5 1 3 4 6 . x12 x2 2. 6   3 6 1 5  2 4 . x12 x2 2. 5. 3. 4. 1. 6. 2. 5. 3. 4. 1  x16  x23  2 x3 2  2 x6    3x2 3  3x12 x2 2   。  12  15. ■.

(21) 由以上兩個例題，很容易可以觀察出來，正 n 邊形群 Dn 的循環指標式，應分成兩類討論：第一類： n 為奇數 1 2. n. n 1. 3. n3 2. n 1 2. 治政圖(八) 大. 立. ‧ 國. 每次旋轉. 學. 這一類共有 n 種旋轉與 n 種翻轉，其旋轉為以正 n 邊形的中心點為圓心，沿逆時針方向，. ‧. 2 所得之元素；而 n 種對稱翻轉，分別是以每個頂點與其遠對邊的中點連線作 n. sit. io. er. 標式為. y. Nat. 為翻動軸翻轉所得的 n 元素，參看圖(八)。因此，當 n 為奇數時，正 n 邊形群 Dn 的循環指. n. a1l  v    i  ( d )  x  n  x  x n C     U 2n  h e    n g c h i n d. n 1 2. d. 1. 2. dn. 第二類： n 為偶數. n 1. 2. n 1. 2. n2 2. n 2. n. 1. n. 1. n 2. 圖(九). n2 2. 圖(十). 這一類同樣是有 n 種旋轉與 n 種翻轉，其旋轉為以正 n 邊形的中心點為圓心，沿逆時針方 16.

(22) 向，每次旋轉. 2 所得之元素；而 n 種對稱翻轉，有兩個子類，分別是：(1) 每個邊中點 n. 與其遠對邊的中點連線作為翻動軸 (線軸)，共有. n 種翻轉，參看圖(九)；(2) 每個頂點與 2. n 其遠對頂點的連線作為翻動軸 (點軸)，共有種翻轉，參看圖(十)。因此，當 n 為偶數時， 2. 正 n 邊形群 Dn 的循環指標式為 n   n n2 n 2 n 2   1     (d )  xd d     x2   x1  x2 2   2n  d n 2    2. ↑ 線軸於是，我們得到下列引理：. 立. 。. ↑ 點軸. 政治大. 【引理 2.4.9】正 n 邊形群 Dn 是由  、   S n 所生成的，其中   1 2 3 ... n  ，. ‧ 國. 學.   n   n  1    1 n  2 n  1 ...       1 ，則： 2  2  . ‧. n. al. Ch. n   n n2 n 2 n 2   1     (d )  xd d     x2   x1  x2 2   。■ 2n  d n 2    2. er. io. (2) 當 n 為偶數時， Dn 的循環指標式必為. sit. y. Nat. n n 1     1  d (1) 當 n 為奇數時， Dn 的循環指標式必為    (d )  xd    n  x1  x2 2   ；   2n  d n    . engchi. 17. i n U. v.

(23) 2.5 群對集合的作用【定義 2.5.1】假設 (G; ) 是一個群， S 是一個集合。如果存在某種運算『  』，使得： (1) 封閉性 (Closure)： g  G ， x  S ，則 g  x 仍然是 S 中的元素。 (2) 結合律 (Associativity)： g1 , g 2  G ， x  S ， ( g1  g 2 )  x  g1  ( g 2  x ) 恆成立。 (3) 單位元 (Identity) 的存在性： e  G ，使得 e  x  x 成立。則稱群 G 作用 (action) 在集合 S 上。通常兩種運算符號『  』及『  』皆可以略去不寫。【引理 2.5.2】若群 G 作用在集合 S 上，則對任意群元素 g ， g 是把 S 映射到 S 的一對一且映成函數。. 立. ‧ 國. 學. 證明：. 政治大. 考慮 S 中任意兩元素 x1 和 x2 ，若 gx1  gx2  g 1  gx1   g 1  gx2    g 1 g  x1   g 1 g  x2. ‧. y. sit. io. n. al. ■. er. 函數。. Nat.  ex1  ex2  x1  x2 ，這證明了 g 是一對一函數。又，因為 S 為有限集合，故 g 必是映成. i n U. v. 【定義 2.5.3】若『  』是建立在集合 S 上的一個關係， x 、 y 、 z 是任意元素，如果符合：. Ch. engchi. (1) 反身性 (Reflexivity)： x  x 成立。. (2) 對稱性 (Symmetry)：若 x  y ，則 y  x 成立。 (3) 遞移性 (Transitivity)：若 x  y ，且 y  z ，則 x  z 成立。就稱『  』是 S 上的等價關係 (equivalence relation)。在定義 2.5.3 中，若 x  y ，我們說兩元素 x 和 y 是等價的。【定理 2.5.4】假設群 G 作用在集合 S 上，對任意 x 、 y  S ，若存在 g  G ，使得 gx  y ，則 x 和 y 是等價的，記做 x  y 。 18.

(24) 證明： (1) 對單位元素 e  G ， x  S ，可得 ex  x ，所以 x  x 。 (2) 若 x  y ，則存在 g  G ，使得 gx  y ，故 g 1  gx   g 1 y   g 1 g  x  g 1 y  ex  g 1 y  g 1 y  x ，所以 y  x 成立。 (3) 對任意 x 、 y 、 z  S ，若 x  y ，且 y  z ，則必可找到群元素 g1、 g 2  G ，使 g1 x  y 、 g 2 y  z 成立，故 z  g 2 y  g 2  g1 x    g 2 g1  x ，所以 x  z 成立。綜合(1)、(2)、(3)，則證明了本定理。. 治政【定理 2.5.5】若 x  S 是任意元素，所有和 x 等價的元素形成的集合，用 E 大立. ■. x.   y y  x 來. ‧ 國. 學. 表示。 Ex 是一個等價類 (equivalence class)，所有的等價類是 S 的分割 (partition)。證明：參看[3] p.7~8。. ‧. sit. y. Nat. 【定義 2.5.6】設 X  1, 2,..., n 是一個集合，R  r1 , r2 ,..., rm  是顏色集，所有 X 映射到 R 的. io. n. al.  1 f   f (1). Ch. 2 ... f (2) .... engchi. er. 函數集合為 S ，並且對任意 f  S ，定義： n  f (n) . i n U. v. 【定理 2.5.7】設 X  1, 2,..., n 是一個集合，用 m 種顏色對 X 塗色，所有著色的集合用 S 表示，假設 X 上的一個置換群為 G ，若 g  G ， f  S ，並且規定 g  f  f  g 1 ，則 G 作用在 S 上。  1 證明：設 f    f (1). 2 ... f (2) .... f. n  2 ... n   1 ，g    f (n)   g (1) g (2) ... g (n) . f (i) i. f (i ) g (i ). g.   g f. 圖(十一) 19.

(25) 首先說明 g  f ，意思是將著色圖 f 的第 i 號顏色 f (i ) ，送到 g (i ) 號， i  1, 2,..., n ，於是得  g (1) g (2) ... g (n)  到一個新的著色圖 g  f ，參看圖(十一)，所以 g  f    ；由於  f (1) f (2) ... f (n)   g (1) g (2) ... g (n)  ，故 g 1   2 ... n   1 2 ... n   g (1) g (2) ... g (n)   g (1) g (2) ... g (n)   1 1 g f     f g f (1) f (2) ... f ( n ) f (1) f (2) ... f ( n ) 1 2 ... n       接下來證明本定理： (1) g  f  S 顯然成立。 1. (2) 若 g1 , g 2  G ， f  S ，則  g1  g 2   f  f   g1  g 2   f   g 2 1  g11    f  g 2 1   g11.  g1   f  g 2. 1. 治政大   g g  f  。立 1. 2. ‧ 國. 學. (3) 若單位元素 e  G ， f  S ，則 e  f  f  e 1  f  e  f 。綜合(1)、(2)、(3)，則證明了本定理。. ■. ‧. 【例題 2.5.8】用 2 黑色、2 白色對圖(一)的四個頂點塗色，圖形可旋轉、可翻轉，共得到. y. Nat. al. er. io. sit. 6 種不同的著色圖；用正 4 邊形群 D4  e,  ,  2 ,  3 , 1 ,  2 , 3 ,  4  作用在這 6 個著色圖上，. n. 其中 e  1 2  3 4  、   1 2 3 4  、  2  1 3 2 4  、  3  1 4 3 2  、. Ch. engchi. i n U. v. 1  1 4  2 3 、  2  1 2  3 4  、  3  1 3 2 4  、  4   2  4 1 3 ，總共得到兩個等價類，如表(三)，也就是共有兩種不同的塗色方法。. 表(三). f1. f2. f4. f3. 20. f5. f6. ■.

(26) 但我們想問：等價類的個數要怎麼求出？計數的方法，是以伯恩賽定理為工具。要證明它，需要下面的預備工作。【定義 2.5.9】設 g  G， f  S ，若 gf  f ，則說 f 是 g 的一個固定點；以 f 為固定點 (fixed point) 的所有群元素所成的集合，用 G f   g gf  f , g  G 來表示，一般稱 G f 是一個穩定子集 (stabilizer)。【定理 2.5.10】穩定子集是一個群。證明：. 治政若 a 、 b 是 G 中任意兩元素，所以 a 、 b  G ，且 af 大  f 、 bf  f 。由定理 2.5.4 證明中立 f. ‧ 國. 學. 的(2)得知，b 1 f  f ，且 b 1  G ，於是得到  ab 1  f  a  b 1 f   af  f ，表示 ab 1 仍在 G f 中，因此 G f 是一個群。. ■. ‧. 今後，穩定子集都稱為穩定子群。. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. v. 【定義 2.5.11】 g 是一個群元素， g 在 S 上的所有固定點所成的集合，記為. Ch. engchi. S g   f gf  f , f  S  ，一般稱 S g 是一個固定子集。【引理 2.5.12】 G f 是一個穩定子群， gG f 是一個左陪集，若 h  gG f ，則 hG f  gG f 。證明：若 h  gG f ，則  g1  G f ，使 h  g  g1  g  h  g11 。由於： (i) x  hG f ，  g 2  G f ，使 x  h  g 2   g  g1   g 2  g   g1  g 2   gG f ( g1  g 2  G f ) 故 hG f  gG f 。 (ii) y  gG f ， g3  G f ，使 y  g  g3   h  g11   g3  h   g11  g3   hG f ( g11  g3  G f ) 21.

(27) 故 gG f  hG f 。由 (i)、(ii) 得知 hG f  gG f 。. ■. 【引理 2.5.13】設 G f 是一個穩定子群，若兩個左陪集 g1G f 、g 2 G f 不相等，即 g1G f  g 2G f ，則 g1G f  g 2 G f   。證明：我們證明此引理的對偶命題：『若 g1G f  g 2 G f   ，則 g1G f  g 2G f 』成立。因為 g1G f  g 2 G f   ，即 h  g1G f  g 2G f ，使得 h  g1G f 且 h  g 2G f ，則由引理 2.5.12 可知： hG f  g1G f 且 hG f. 治政  g G ，於是可得 g G  g 大 G ，因此本引理得證。立 2. f. 1. f. 2. f. ■. ‧. ‧ 國. 證明：. 學. 【引理 2.5.14】設群 G 作用在集合 S 上，對任意元素 f  S ，恆有 E f  G f  G 。. 因為 G f 是 G 的子群，可以在 G 中找到 g1、 g 2 、…、 g m，使得 G  g1G f  g 2G f  ...  g mG f ，. sit. y. Nat. n. al. er. io. 因為對每個 i ， gi G f  G f ，且由引理 2.5.13 知道這些 gi G f 兩兩互斥 (pairwise disjoint)，. i n U. v. 故 G  G f  G f  ...  G f  m  G f 。令 gi f  f i ， i  1, 2,..., m ，則可得到. Ch. engchi. E f   fi fi  f    f1 , f 2 ,..., f m  ，其中任兩元素均不相等，所以 G  m  G f  E f  G f 。■ 【例題 2.5.15】在例題 2.5.8 中， f1 的等價類是  f1 , f 2 , f3 , f 4  ，共有四個元素；以 f1 為固定點的子群是 e  1 2  3  4  ,  2  1 2  3 4  ，有兩個元素，它們的乘積，正好正 4 邊形群 D4  e,  ,  2 ,  3 , 1 ,  2 , 3 ,  4  的元素個數。另外， f5 的等價類是  f5 , f6  ， f5 的穩定子群是 e  1 2  3  4  ,  2  1 3 2 4  , 3  1 3 2 4  , 4   2  4 1 3 ，其元素個數的乘積亦為 8。. ■. 22.

(28) 2.6 伯恩賽定理 (Burnside theorem) 及其應用【引理 2.6.1】設群 G 作用在集合 S 上，對任意元素 f1  S ，若 f 2  E f1 ，則 E f 2  E f1 。證明：若 f 2  E f1 ，則必存在 g  G ，使得 f 2  gf1 ，由定理 2.5.4 證明中的(2)得知， g 1 f 2  f1 。 (i) 取 p  E f1 ，則存在 g1  G ，使 p  g1 f1  g1  g 1 f 2    g1 g 1  f 2  E f2 成立，故 E f1  E f 2 。 (ii) 取 q  E f 2 ，則存在 g 2  G ，使 q  g 2 f 2  g 2  gf1    g 2 g  f1  E f1 成立，故 E f 2  E f1 。由 (i)、(ii) 得知：E f 2  E f1 。引理 2.6.1 亦可寫成：若 E f1  E f2. 立. ■. 治政，則 E  E   。大 f1. f2. ‧ 國. 學. 【定理 2.6.2】(伯恩賽定理). 設集合 S =  f1 , f 2 ,..., f p  中的物件，在群 G   g1 , g 2 ,..., g q  各元素的作用下，產生的等價類. ‧. gG. g. y. sit. S. 。. io. al. n. 證明：. 1 G. er. 素個數，即 r . Nat. 是 E1 、 E2 、…、 Er ，則等價類總數 r ，等於每個 gi 所固定的物件數目之總和，除以群元. Ch. engchi. i n U. v. 將群 G 的各元素寫在表(四)的最左邊一行；將集合 S 的各元素寫在表(四)的最上方一列。將表(四)中的第 i 列第 j 行記為 M  i, j  ，並且規定 1 若 gi  f j   f j  M  i, j    0 若 gi  f j   f j. 23.

(29) 表(四) S f1 G g1. f2. fj. . . g2. . . . gi . fp. .   M  i, j .  gq. 政治大. 對每一列求和，再全部相加，得總和  S g ；對每一行求和，再全部相加，得總和  G f 。 gG. 立. f S. 因為  S g   G f ，由引理 2.5.14 得知. S. g. gG. . i 1 f E fi. Ef. r. . . i 1 f E fi. G E fi. r.   E fi  i 1. 。. Nat. 1 G. Ef. G. G. E fi. r.   G  r G i 1. ‧. 所以， r . f S. r. . ■. y. f S. G. sit. gG. Sg   G f  . 學. . f S. ‧ 國. gG. n. al. er. io. 【定理 2.6.3】設 X  1, 2,..., n 是一個集合，用 m 種顏色對 X 塗色，所有著色的集合用 S. i n U. v. 表示，假設 X 上的一個置換群為 G ，若 f  S ， g  G ，則 f  S g 的充要條件，是 f 在 g 的. Ch. 每個循環節中，塗相同的顏色。. engchi. 證明： f  S g  f (i )  f ( g (i)) ， i  1, 2,..., n.  f 在 g 的每個循環節上塗相同的顏色. ■. 接下來利用伯恩賽定理，重做例題 2.5.8，得到等價類的數目為 1 D4. . gD4. Sg . 1 Se  S  S 2  S 3  S 1  S 2  S 3  S 4 8. . 1  6  0  2  0  2  2  2  2  2 8 24.  。.

(30) 【例題 2.6.4】在圖(一)的四個頂點塗黑、白兩色，圖形可旋轉、可翻轉，共有幾種塗法？方法一用黑、白兩色塗正方形的四個頂點，可得 16 個著色圖。以正 4 邊形群. D4  e,  ,  2 ,  3 , 1 ,  2 , 3 ,  4  作用在這 16 個著色圖上，其中， e  1 2  3 4  、   1 2 3 4  、  2  1 3 2 4  、  3  1 4 3 2  、. 1  1 4  2 3 、  2  1 2  3 4  、  3  1 3 2 4  、  4   2  4 1 3 。由定理 2.6.3 得知， S g 中的著色圖，必須在 g 的每個循環節塗相同的顏色，. 治政大則由伯恩賽定理計算，得到等價類的個數為立 Sg . ‧ 國. . gD4. 1 Se  S  S 2  S 3  S 1  S 2  S 3  S 4 8. . 學. 1 D4. 1 4 1 2 1 2 2  2  2  2  2  2 2  23  23   8 6 . ‧. io. sit. y. Nat. 方法二. . n. al. er. 以置換  4   2  4 1 3 為例， S 4 中的元素，必定是  4 的每個循環節都塗相同的顏色。我們來看一下要如何塗色：. Ch. i n U. engchi.  4   2  4 1 b b w b b w w. v. 3  循環結構式為 x1  x1  x2 b  S  =2  2  2=8 w b w  被  固定的著色圖之權值總和為： 4. 4. 1. 4. 2. 3. b b w w w b w. b w b w.  b  w b  w   b 2  w2 . 所以等價類數目的計算方法，就是把 D4 的循環指標式中 xi 以 2 代入，即可求出。由定理 2.4.9 得知 D4 的循環指標式為. 25.

(31) 4   4 42 4 2 4 2 2   1  d    (d )  xd     x2   x1  x2   8  d 4 2    2. 1   (1)  x14   (2)  x2 2   (4)  x41  2  x2 2  2  x12  x21  ， 8 1   x14  x2 2  2 x41  2 x2 2  2 x12  x21  8 1 故等價類的數目是  24  2 2  2  21  2  22  2  22  21   6 ，與方法一中，利用伯恩賽定 8 理計算出的答案相同。方法三用兩種顏色塗四個頂點，它其實是一個重複排列的問題，我們可用窮舉法列出所有情形，如下表(五)：. 排列數. 塗色方法. 等價類. 學. 球數. 立. ‧ 國. (黑,白). 政治大表(五) 數目. 4! 1 4!0!. (3,1). 4! 4 3!1!. (2, 2). 4! 6 2!2!. (1,3). 4! 4 1!3!. 1. (0, 4). 4! 1 0!4!. 1. 共有 16 個著色圖. 共6種. ‧. (4, 0). Nat. n. al. 1. er. io. sit. y. 1. Ch. engchi. i n U. v. 2. ■ 附帶一提，也可將例題 2.6.4 的正 4 邊形群 D4  e,  ,  2 ,  3 , 1 ,  2 , 3 ,  4  作用在這 16 26.

(32) 個著色圖的所有結果紀錄如下表(六)，這可幫助我們更深入了解伯恩賽定理的證明過程。表(六). S. f2. f3. f4. f5. f6. f7. f8. f9. f10. f11. f12. f13. f14. f15. f16. e. f1. f2. f3. f4. f5. f6. f7. f8. f9. f10. f11. f12. f13. f14. f15. f16. . f1. f3. f4. f5. f2. f7. f8. f9. f6. f11. f10. f13. f14. f15. f12. f16. 2. f1. f4. f5. f2. f3. f8. f9. f6. f7. f10. f11. f14. f15. f12. f13. f16. 3. f1. f5. f2. f3. f4. f9. f6. f7. f8. f11. f10. f15. f12. f13. f14. f16. 1. f1. f5. f4. f3. f2. f8. 2. f1. f3. f2. f5. 立 f 4. 3. f1. f2. f5. f4. 4. f1. f4. f3. f2. 6. 9. 11. f10. f15. f14. f13. f12. f16. f6. f9. f8. f7. f11. f10. f13. f12. f15. f14. f16. f3. f9. f8. f7. f6. f10. f12. f15. f14. f13. f16. f5. f7. f6. f9. f8. f10. f13. f12. f15. f16. f11. f14. G. sit. y. f11. f. f S. al. er. gG. 1 8. 7. ‧.  r . 政f f 治f 大 f. 學. g. io. S. Nat. 1 8. ‧ 國. f1. C4. v. n. 1 (8)  (2  2  2  2)  (2  2  2  2)  (4  4)  (2  2  2  2)  (8)  8 6. . Ch. engchi. i n U. 綜觀上面三種方法的比較，窮舉法較為複雜，若數字很大時，不可能一一列出；其次是伯恩賽定理，必須找到每個群元素所固定的著色圖的數目；但藉由定理 2.6.3 的概念，只要把群 G 的循環指標式中，每個 xi 以顏色數目代入，即可求出。這是最有效率的方法，於是我們有下面的定理：【定理 2.6.5】設 X  1, 2,..., n ，用 m 種顏色對 X 塗色，假設 G 是 X 上的置換群，則所有等價類的數目為 PG  m, m,..., m  ，其中 PG  x1 , x2 ,..., xn  是 G 的循環指標式。意即，把循環指標式中的 xi 以顏色數目 m 代入所求得之值，即為等價類數目。 27. ■.

(33) 2.7 波利亞計數方法 (Pólya’ s enumeration method) 的綜合說明波利亞計數法是非常有用的一種計數方法，它是伯恩賽定理的推廣，於本節中會有詳細的介紹。在例題 2.6.4 中，用伯恩賽定理可計算出用黑、白兩色塗正方形四個頂點的方法數；但若想進一步瞭解：在各種條件下的等價情況，就要用波利亞計數法作為工具，為了清楚說明這個方法，首先介紹權重的概念。【定義 2.7.1】用 m 種顏色對集合 X  1, 2,..., n 塗色，每種顏色的權值 (weight , of color)  1 記為 w(ri )，若 f    f (1). 2 ... f (2) .... 立. n. 治政 n  是任意一個著色圖大，那麼 f 的著色權重 (weight , f (n) . ‧ 國. 學. of coloring) 為 w( f )   w( f (i)) 。 i 1. 1. 圖(十二). sit er. io. al. y. ‧. Nat. 3. 2. n. v i n Ch 【例題 2.7.2】如圖(十二)，在正三角形的三個頂點塗色，1 e n g c h i U 號點塗黑色，2、3 號點塗白色，便得到一個著色圖 f ，於是 f (1)  黑色， f (2)  f (3)  白色；假設黑、白兩色的權值 3. 分別為 w(黑色)  b ， w(白色)  w ，則 f 的著色權重為 w( f )   w( f (i))  bw 2 。 i 1. 【定理 2.7.3】設 X  1, 2,..., n 是一個集合，用 m 種顏色對集合 X 塗色，所有著色圖的集合為 S ， G 是 X 上的置換群，若 f 、 h  S ， g  G ，且 g  f  h ，則 f 和 h 有相同的著色權重。. 28.

(34) 證明：因為 h( g (i ))  f (i ) ， i  1, 2,..., n ，所以 n. n. n. w( f )   w( f (i ))   w(h( g (i)))   w(h(i ))  w(h) ，故得證。 i 1. i 1. ■. i 1. 圖(十三). 政治大. 若以黑、白兩色在圖(十三)的三個頂點塗色，共得得到八個著色圖， f1 、 f 2 、…、 f8 。. 立. 因圖形可旋轉、可翻轉，故經過正 3 邊形群 D3 的作用，可分出四個等價類。由定理 2.7.3. ‧ 國. 學. 得知，每一個等價類中的著色圖，有相同的權值，此權值就代表該等價類的權值，請看. ‧. n. al. er. io. sit. Nat. 表(七). y. 表(七)。. f1. b3. f2. f3. Ch. ef n g c h fi 4. 5. b2 w. i n U. v. f6. bw2. f7. f8. w3. 最後，將所有等價類的權值相加，得到的總和，稱為正三角形塗黑、白兩色的權重清單 (inventory)，用 I v 表示， I v  b3  b 2 w  bw2  w3 。 I v 通常也稱為等價類權重清單。有時，不同的等價類，可能會有相同的權值。例如，在例題 2.5.8 中，兩個等價類的權值相等。. 29.

(35) 接著我們說明等價類權重清單如何使用。【定理 2.7.4】假設集合 S 在有限群 G 的作用下，分成的全部等價類是 Ei ， i  1, 2,..., r ，而 w 是 S 上的權值函數 (weighted function)，如果等價類 Ei 中的元素具有相同的權值，用 wi 代表 Ei 的權值，則等價類權重清單為 r. w. i. 1 G. . i 1.   w( f ). gG f S g. 其中， S g 是 g 的所有固定點的集合。. ■. 政治大. 為了明確展示此公式的運算過程，我們再以正三角形的三頂點塗黑、白兩色問題為. 立. f1. Nat.   1 2 3. b3. b3. f5. b2 w b2 w b2 w. io. f7. f6. bw2 bw2 bw2. n. al.   1 3 2 . b. 3. Ch. 1  1 2 3. b3. b2 w.  2   2 1 3. b3. 3   31 2 . b3. 2. f4. sit. e  1 2  3. f3.  w( f ). f S g f8. y. f2. er. 3. 表(八). ‧. 2. 學. 1. ‧ 國. 例，請看下表(八)：. engchi U. v ni. bw2 b2 w. bw2. b2 w. bw2. w3. (b  w)3. w3. b3  w3. w3. b3  w3. w3. b3  b 2 w  bw 2  w3. w3. b3  b 2 w  bw 2  w3. w3. b3  b 2 w  bw 2  w3. 亦可表示為. 30.  b  w   b 2  w2 .

(36) 故，等價類權重清單為 1    w( f )   w( f )  G  f Se f S . . w( f ) . f S. . w( f ) . f S 1. 2. . w( f ) . f S 2.   w ( f )   f S3 . 3 3 3 3 3   1  b  w    b  w    b  w     6  b  w   b 2  w2    b  w   b 2  w2    b  w   b 2  w2     3 2 2 3  b  b w  bw  w. 和前面的結果相同。. 政治大 1. 立. 6. 5. 學. ‧ 國. 2. 4. 3. 圖(十四). ‧. 【例題 2.7.5】用黑、白兩色在圖(十四)的六個頂點塗色，且 w(黑色)  b ， w(白色)  w ，. sit. y. Nat. n. al. g 固定的著色圖 f 的權值總和必為. Ch. 圖(十五)中四個圖的權值總和。 1. 1. 6. 5. 2. 3. 4.  w( f )   b. f S g. engchi 1. 6. 5. 2. 3. 3. er. io. 考慮 D6  e,  ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 , 1 ,  2 ,  3 ,  4 , 5 ,  6  中的元素 g   2  1 3 5  2 4 6 ，則. i n U. 5. 3. 圖(十五). 31. 1. 6. 2. 4. v.  w3  b3  w3  的展開式，也就是下面. 4. 6. 5. 2. 3. 4. ■.

(37) 循此原理，假設用 r1 , r2 ,..., rm  共 m 種顏色對集合 X  1, 2,..., n 進行塗色，由 X 產生的置換群為 G ，且每種顏色 ri 的權值為 w(ri ) ，計算元素 g 所固定的著色圖 f 的權值總 m. m. 和，就是把 g 中長度為 1 的循環節 x1 以  w(ri ) 代入，長度為 2 的循環節 x2 以  w2 (ri ) 代 i 1. i 1. m. 入，…，長度為 n 的循環節 xn 以  wn (ri ) 代入，然後對所有群元素 g 求和，再除以群元素 i 1. 個數 G ，即得到 m 種顏色在 X 上塗色的等價類權重清單。最後，我們將波利亞計數定理重新敘述如下：【定理 2.7.6】用 m 種顏色 r1 , r2 ,..., rm  ，在 n 個頂點的集合 X 上塗色，得到著色圖的集合. 治政為 S ，由 X 產生的一個置換群為 G ，若置換群 G 的循環指標式為 P  x , x ,..., x  ，則對大立 G. m m  m  PG   w(ri ),  w2 (ri ),...,  wn (ri )   i 1 i 1 i 1 . 。. Nat. n. al. er. io. sit. y. ‧. ‧ 國. 2. n. 學. 應的等價類權重清單必為. 1. Ch. engchi. 32. i n U. v. ■.

(38) 3. 實證用波利亞計數法來計算環狀排列及珠狀排列的數目，無論是相異物或不盡相異物的排列，都可以展現此種方法的威力。在環狀排列的論文中，已舉了實例來說明作用於 n 階循環群 Cn 之環狀排列的計數。在本章中，我們也試著建立一個作用於正多邊形群 Dn 之珠狀排列的計數公式，並用多個具體的實例來顯示波利亞計數法的威力。. 3.1 環狀排列的公式. 政治大用 m 種顏色 r , r ,..., r  塗正 n 邊形的 n 個頂點，共有 m 種著色，假設 w(r )  r ，這立 n. i. m. 2. i. 學. ‧ 國. 1. 些著色藉由 n 階循環群 Cn 的作用，依照波利亞計數定理，求出等價類權重清單為 n. y. Nat. er. io. sit. 將 I v 式展開，可求得不同顏色的球作環狀排列的數目。. al. ‧. d 1 I v    (d )(r1d  r2 d  ...  rm d ) n dn. v. n. 【定理 3.1.1】將不同顏色的球，作環狀排列，其中 k1 個球顏色為 r1 ，k2 個球顏色為 r2 ，，. Ch. engchi. i n U. km 個球顏色為 rm ， k1  k 2  ...  km  n ， c  gcd(k1 , k 2 ,..., km ) 。試證此 n 個球的環狀排列數為 n  ! 1 d t0    ( d ) n dc  k1   k2   km  d  ! d  !...  d    . 33.  ! .

(39) 證明：. n d 1 考慮 I v    (d )(r1d  r2 d  ...  rm d ) 的展開式，其中必有 r1k1 r2 k2 ...rm km 項出現，它的係數由 n dn. n 的正因數 d 來決定，如果 d 是所有 k1 、 k2 、…、 km 的公因數，那麼為正整數，且. k1 k2 k 、、…、 m 均 d d d. k1 k2 k n   ...  m  ，則由多項式定理 (multinomial theorem) 可知， d d d d. n  ! k1 k2 km d  r1 r2 ...rm 的係數必為  (d ) ，最後，對所有符合條件的 d 求總和，就  k1   k2   km   d  ! d  !...  d  !     . 政治大. 得到環狀排列的總數 t0 。此式簡潔而便於使用，是解決環狀排列問題的有力工具。. 立. ■. ‧ 國. 學. 【推論 3.1.2】 n 個不同顏色的球，作環狀排列，共有 (n  1)! 種排法。. ‧. 證明：. sit. y. Nat. 因為球色不同，故 k1  k2  ...  k n  1 ，且 k1  k2  ...  k n  n ， c  gcd(k1 , k 2 ,..., k1 )  1 。. n. al. er. io. 因此此 n 個球的環狀排列數為. Ch. n  ! 1 d t0    ( d ) k k n d1  1   2   km  d  ! d  !...  d    . e n g1 c h i. iv n U n .  ! 1    (1)   n  1 ! 1  n   1 1   !  !...   ! ! 1 1 1 . 34. ■.

(40) 3.2 珠狀排列的公式將不同顏色的球，作珠狀排列，其中 k1 個球顏色為 r1 ， k2 個球顏色為 r2 ，， km 個球顏色為 rm ，且 k1  k 2  ...  km  n ， c  gcd(k1 , k 2 ,..., km ) 。欲求此 n 個球的珠狀排列數。波利亞計數法需要把每一種可能的對稱變換(可以造成兩種著色變成一種的旋轉或翻轉)全部列出來，才能代入它的公式。故，作用於正 n 邊形群 Dn 時，應分成兩類討論，列舉如下：第一類： n 為奇數 ● Dn 的循環指標式為. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n n 1     1     (d )  xd d    n  x1  x2 2   2n  d n    . ● Dn 的等價類權重清單為. Nat. y. sit. n. al. ( ). er. io. n n 1    1   d d d d 2 2 2 2      (d )  (r1  r2  ...  rm )    n  (r1  r2  ...  rm )  (r1  r2  ...  rm )   2n   d n    . i n U. v. ● 欲求此 n 個球的珠狀排列數，亦即尋找等價類權重清單展開式中 r1k1 r2 k2 ...rm km 項之係數，它的係數有兩種可能：. Ch. engchi. (1) 若 k1 、 k2 、…、 km 當中只有一個奇數時，不失一般性，我們可令 k1 為奇數， ki 為偶數，其中 2  i  m ，則此 n 個球的珠狀排列數為：.  n   !  1  d     (d ) 2n   d c  k1   k2   km  d  ! d  !...  d       .     n 1   !      2     n 1      ki     k1  1  !   2  !   2  !      2 i  m    . (2) 若 k1 、 k2 、…、 km 中有兩個以上為奇數時，由於(  )式中，括號內. n  (r1  r2  ...  rm )1  (r12  r2 2  ...  rm 2 ). n 1 2. 此項展開後得 r1k1 r2 k2 ...rm km 項之係數為 0 ，故此 35.

(41) n 個球的珠狀排列數為：   n !     1 1 d    (d )  ，即  環狀排列數。 2n  d c 2  k1   k 2   k m     !  !...  !  dd   d  . ■. 第二類： n 為偶數 ● Dn 的循環指標式為 n   n n2 n 2 n 2 2   1   d    x1  x2   ( d ) x  d     x2  2n   d n 2   2  . 立. 政治大 ↑ ↑ 線軸. 點軸. ‧ 國. 學. ● Dn 的等價類權重清單為. ‧. n    d d d d ( d ) ( r r ... r )         1 2 m  1   d n    n n 2 2n   n 2 n 2 2 2 2 2 2 2 2    2  (r1  r2  ...  rm )  2  (r1  r2  ...  rm )  (r1  r2  ...  rm )     . n. al. er. io. sit. y. Nat. (  ). i n U. v. ● 欲求此 n 個球的珠狀排列數，亦即尋找等價類權重清單展開式中 r1k1 r2 k2 ...rm km 項之係數，它的係數有三種可能：. Ch. engchi. (1) 若 k1 、 k2 、…、 km 全為偶數，則此 n 個球的珠狀排列數為：.    n n   !  !   n d     (d )   2  k1   k2   km    2  ki   d c   !  !...   !     !   d   d   d    1i  m  2  1   2n   n2  n2 !    !   n 2 2         k  2 k k k k  2 2   2  m   1  2   km  1  !  !...   !   !    !...     2   2   2   2   2   2.         n2  !  2     ...    k1   k2   km  2       !  !...  ! !    2   2   2    . (2) 若 k1 、 k2 、…、 km 當中只有兩個為奇數，其餘均為偶數。不失一般性，我們可令 36.

(42) k1 、 k2 為奇數， ki 為偶數，其中 3  i  m ，則此 n 個球的珠狀排列數為：.  n   !  1  d     (d ) 2n   d c  k1   k 2   km  d  ! d  !...  d       .     n2  !  n    2     2    2  ki     k1  1   k2  1  !   2  ! 2  !   2  !        3i m    . (3) 其他 k1 、 k2 、…、 km 之奇、偶數情況。若 k1 、 k2 、…、 km 當中有 4 個、或 6 個、或 8 個、…為奇數，其餘均為偶數，則(   )式中，括號內 n n 2 n 2 n  (r1  r2 2  ...  rm 2 ) 2   (r1  r2  ...  rm )2  (r12  r2 2  ...  rm 2 ) 2 此兩項展開後得 2 2. r1k1 r2 k2 ...rm km 項之係數為 0 ，故此 n 個球的珠狀排列數為：. 政治大.   n !     1 1 d    (d )  ，即  環狀排列數。 2 2n  d c  k1   k 2   k m     !  !...  !  dd   d  . 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 37. i n U. v. ■.

(43) 3.3 珠狀排列的實例【例題 3.3.1】用 2 個黑色，2 個白色，共 4 球，作珠狀排列，共有幾種排法？解： k1  2 ； k2  2 ； n  4 ； c  gcd(k1 , k 2 )  2 4 4 2    4 42 4  1  D4 的循環指標式：    (d )  xd d     x2   x12  x2 2    2 8  d 4 2    . 4 2 2 2 4 4 1 1  (1)  (b  w)   (2)  (b  w )   (4)  (b  w )  D4 的等價類權重清單：   8  2  (b 2  w2 ) 2  2  (b  w)2  (b 2  w2 )1 . 治政大b w 項係數。欲求 2 黑球及 2 白球之珠狀排列數，即求上式展開後之立 2. 2. ‧. ‧ 國. 學.   4  4  !  !   1 2  (1)      (2)   2 2 2 2    1  ! 1  !  2  ! 2  !           1  利用公式，則珠狀排列數為：  8   42 4  4  2   !  2 !  2 !   4 4   2              2  2  ! 2  ! 2   2  2  ! 2  !  2  ! 2  2  !        2   2   2   2    2 2       . er. io. sit. y. Nat. n. al 1 1 4!  2  2!  2  2!  2iv 1!  1!    2!2! n  0!1! 1!0!   8C 1!1! 1!1!  h U engchi 1 6  2  4  4 8 2 . 圖(十六). 38. ■.

(44) 【例題 3.3.2】用 3 個黑色，3 個白色，共 6 球，作珠狀排列，共有幾種排法？解： k1  3 ； k2  3 ； n  6 ； c  gcd(k1 , k 2 )  3. D6 的循環指標式：. 6   6 62 6 2 6  2   1     (d )  xd d     x2   x1  x2 2   12  d 6 2    2. D6 的等價類權重清單： 6 2 2 3 3 3 2 6 6 1 1  (1)  (b  w)   (2)  (b  w )   (3)  (b  w )   (6)  (b  w )    12  3  (b 2  w2 )3  3  (b  w)2  (b 2  w2 )2 . 治政大b w 項係數。欲求 3 黑球及 3 白球之珠狀排列數，即求上式展開後之立 3. 3. sit. io. n. al. y. . er. Nat. 1  6! 2! 2!  1  2  3 2  12  3!3! 1!1! 1!1! 1   20  4  12 12 3. ‧. ‧ 國. 學.   6 6 62 ! ! !         1 6 1 3  2   利用公式，則珠狀排列數為：  (1)     (3)     2  12  3  3  3  3 2  3  1   3 1     !  !   !  !   ! !  1 1  3  3  2   2  . Ch. engchi. i n U. v. 圖(十七) 【例題 3.3.3】用 3 個黑色，4 個白色，共 7 球，作珠狀排列，共有幾種排法？解： k1  3 ； k2  4 ； n  7 ； c  gcd(k1 , k2 )  1 7 7 1     1  1 d D7 的循環指標式：    (d )  xd    7  x1  x2 2     14  d 7    . 39. ■.

(45) D7 的等價類權重清單：. 1  (1)  (b  w)7   (7)  (b7  w7 )1  7  (b  w)1  (b 2  w2 )3  14 . 欲求 3 黑球及 4 白球之珠狀排列數，即求上式展開後之 b3 w4 項係數。  7  7 1   !    !  1 1 2      利用公式，則珠狀排列數為：  (1)  7 1  14   3  4  3 1   4     !  !   !  !  1  1  2   2  . 1  7! 3!  1  7 1   14  3!4! 1!2! 1   35  21 14 4 . 學. ‧ 國. 立. 政治大圖(十八). ‧. 【例題 3.3.4】用 4 個黑色，4 個白色，共 8 球，作珠狀排列，共有幾種排法？. io. sit. y. Nat. 解：. n. al. er. k1  4 ； k2  4 ； n  8 ； c  gcd(k1 , k 2 )  4. Ch. engchi. i n U. v. 8   8 82 8 2 8 22   1  d D8 的循環指標式：    (d )  xd     x2   x1  x2    2 16  d 8 2    . D8 的等價類權重清單： 8 2 2 4 4 4 2 8 8 1 1  (1)  (b  w)   (2)  (b  w )   (4)  (b  w )   (8)  (b  w )    16  4  (b 2  w2 )4  4  (b  w)2  (b 2  w2 )3 . 欲求 4 黑球及 4 白球之珠狀排列數，即求上式展開後之 b 4 w4 項係數。. 40. ■.

(46)   8 8 8  !  !  !   1 2 4  (1)      (2)     (4)   4 4  4  4 4 4    1  ! 1  !  2  ! 2  !  4  ! 4  !           1   利用公式，則珠狀排列數為：  16   82 8  8  2   !  2 !  2 !   8 8   2              2  4  ! 4  ! 2   4  2  ! 4  !  4  ! 4  2  !        2   2   2   2    2 2        . 1  8! 4! 2! 4! 3!    3! 1  1  2  4  4    16  4!4! 2!2! 1!1! 2!2!  1!2! 2!1!  . 1  70  6  4  24  24 16 8 . 立. 政治大. y. ‧. ‧ 國. 學. Nat. io. sit. 圖(十九). ■. n. al. er. 【例題 3.3.5】用 3 個黑色，4 個白色，1 個紅色，共 8 球，作珠狀排列，共有幾種排法？解：. Ch. engchi. i n U. v. k1  3 ； k2  4 ； k3  1 ； n  8 ； c  gcd(k1 , k 2 , k3 )  1 8   8 82 8 2 8 22   1  d D8 的循環指標式：    (d )  xd     x2   x1  x2    2 16  d 8 2    . D8 的等價類權重清單： 8 2 2 2 4 4 4 4 2 8 8 8 1  (1)  (b  w  r )   (2)  (b  w  r )   (4)  (b  w  r )   (8)  (b  w  r )    16  4  (b 2  w2  r 2 ) 4  4  (b  w  r ) 2  (b 2  w2  r 2 )3 . 欲求 3 黑球、4 白球及 1 紅球之珠狀排列數，即求上式展開後之 b3 w4 r 項係數。. 41.

(47)   8 82 ! !       1 8 1  2   利用公式，則珠狀排列數為：  (1)   2 16   3   4  1 2  3 1   1  1   4     !  !  !   !  !  !   1   1  1  2   2   2  . 1  8! 3!  1  4 2  16  3!4!1! 1!0!2! 1   280  24 16  19 . 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. 圖(廿). Ch. er. io. sit. y. Nat. al. n U engchi. iv. ■. 【例題 3.3.6】用 3 個黑色，4 個白色，6 個紅色，共 13 球，作珠狀排列，共有幾種排法？解： k1  3 ； k2  4 ； k3  6 ； n  13 ； c  gcd(k1 , k 2 , k3 )  1 13 131     1  1 d D13 的循環指標式：    (d )  xd   13  x1  x2 2     26  d 13    . D13 的等價類權重清單： 1  (1)  (b  w  r )13   (13)  (b13  w13  r 13 )1  13  (b  w  r )1  (b 2  w 2  r 2 )6  26 . 欲求 3 黑球、4 白球及 6 紅球之珠狀排列數，即求上式展開後之 b3 w4 r 6 項係數。 42.

(48)    13   13  1  ! !       1 1  2   利用公式，則珠狀排列數為：  (1)  13 1  26  3  4  6  3 1   4   6     !  !  !   !  !  !  1 1 1  2   2   1  . 1  13! 6!  1  13  1  26  3!4!6! 1!2!6!  1   60060  780 26  2340 . ■. 【例題 3.3.7】用 3 個黑色，5 個白色，5 個紅色，共 13 球，作珠狀排列，共有幾種排法？解：. 政治大. k1  3 ； k2  5 ； k3  5 ； n  13 ； c  gcd(k1 , k 2 , k3 )  1. 立. ‧ 國. 學. 13 131     1  1 d D13 的循環指標式：    (d )  xd   13  x1  x2 2     26  d 13    . D13 的等價類權重清單：. ‧. sit. y. Nat. 1  (1)  (b  w  r )13   (13)  (b13  w13  r 13 )1  13  (b  w  r )1  (b 2  w 2  r 2 )6  26 . n. al. i n U.    13  !     1 1  利用公式，則珠狀排列數為：  (1) 26  3 5 5    !  !  !  1 1 1 . Ch. engchi. er. io. 欲求 3 黑球、5 白球及 5 紅球之珠狀排列數，即求上式展開後之 b3 w5 r 5 項係數。. 1  13!  1 26  3!5!5! 1   72072 26  2772. v. . ■. 【例題 3.3.8】用 4 個黑色，4 個白色，8 個紅色，共 16 球，作珠狀排列，共有幾種排法？解： k1  4 ； k2  4 ； k3  8 ； n  16 ； c  gcd(k1 , k2 , k3 )  4. 43.