微分的概念

上 册

）

（1） cos sin

 

 



，

； x a t y b t

（2） ( ) ( ) ( ) x f t y tf t f t

 



  



，

，设 f( )t 存在且不为零．

9．求参数方程

ln(1 2) arctan

x t

y t t

  

  



，所确定的函数的三阶导数

3 3

d d

y x ^．

2.5 函数的微分

在实际应用中，常遇到与导数密切相关的一类问题，这就是当自变量有一个 微小的改变量 x 时，要计算相应的函数的改变量 y ．但是求 y 是比较困难的，

需要找出一种便于计算函数改变量的近似公式．

2.5.1 微分的概念

先考察一个具体问题．

例 2.5.1 设有一个边长为x 的正方形金属片，受热后边长伸长了 x₀  ，求其 面积增加了多少？

解 由图 2.4 可以看出，受热后，边长由x 伸长到₀ x₀  ，面积x A相应的增 量为

2 2 2

0 0 0

( ) 2 ( )

A x x x x x x

         ．

图 2.4

上式可分成两部分：第一部分是 x 的线性函数2x₀ ，当x  x 0时与 x 为 同阶无穷小；第二部分(x)²，当 x 0时是 x 的高阶无穷小．由此可见，当x 很小时，第二部分的绝对值要比第一部分的绝对值小得多，可以忽略不计，因此 可用 x 的线性函数2x₀ 作为x A的近似值，即

2 0

A x x

   ． （2.5.1）

显然，2x₀ 是容易计算的，它是边长x x 有增量 x₀  时，面积A的增量的主

第 2 章 导 数 与 微 分 要部分（亦称线性主部）．

由此引入函数微分的概念．

定义 2.5.1 设函数y f x( )在点x 的某邻域内有定义，如果函数 ( )₀ f x 在点x₀ 处的增量 y f x( ₀ x) f x( ₀)可以表示为

( ) y A x o x

     ，

其中A是与 x 无关的常数，则称函数 ( )f x 在点x 处可微， A x₀  称为 ( )f x 在点x₀ 处的微分，记作

dy _{x x}0 ，即

dy _{x x}0 A x ． 由微分定义，（2.5.1）式可写成

d _{x x}0

A A _

  ．

定理 2.5.1 函数y f x( )在点x 处可微的充分必要条件是函数₀ y f x( )在点 x 处可导． 0

证明 （必要性） 如果函数y f x( )在点x 处可微，由可微的定义知 ₀

0 0

( ) ( ) ( )

y f x x f x A x o x

         ， 则有 y o( x)

x A x

 

 

  ，令 x 0取极限得：

lim0 x

y A x

 

 

 ，即y f x( )在点x 处可₀ 导，并且f x( ₀)A，dy f x( ₀) ． x

（充分性）若y f x( )在点x 处可导，由导数定义知_{0 0} lim0 ( )

x

y f x x

 

  

 ，由极

限与无穷小的关系可得 y ( ₀) x f x 

   

 ，其中

lim0 0

x 

   ．

从而有 y f x( ₀)   ，显然 x  x  x o(x)．即y f x( )在点x 处可微，₀ 且dy f x( ₀) ． x

当函数 yx时，y  ，此时 d1 ydx y x   ，即 dxx   ，称为自变量x 的微分，于是函数 ( )f x 在点x 处的微分又可写成 ₀

0 0

dy _{x x}  f x( )dx．

若函数 ( )f x 在区间 ( , )a b 内每一点都可微，则称该函数在 ( , )a b 内可微，或称 函数 ( )f x 是在 ( , )a b 内的可微函数．此时，函数 ( )f x 在 ( , )a b 内任意一点 x 处的微 分记为 dy ，即

dy f x x( )d ， 上式两端同除以自变量的微分 dx ，得

d ( ) d

y f x x  ．

这就是说，函数 ( )f x 的导数等于函数的微分与自变量的微分的商，因此导数 也称为微商．

80 高 等 数 学

（ 上 册

）

例 2.5.2 设y 4x² ，求d d y

x与 dy ．

解 ^{2 2}

2 2

d 1

( 4 ) (4 )

d 2 4 4

 

    

 

y x

x x

x x x

，

d 2 d

4

y x x

x





．

例 2.5.3 求当x  ，1  x 0.1时函数yx²的微分．

解 函数的微分

dy(x2) x 2x x ．

1 1

0.1 0.1

d x 2 x 0.2

x x

y  x x 

       ．

例 2.5.4 半径为 r 的圆的面积为A r^{2，当半径增大}r^{时，求圆面积的增量} 与微分．

解 面积的增量

2 2 2

( ) 2 ( )

A r r r r r r

             ． 面积的微分

dAA   r 2 r rd . 2.5.2 微分的几何意义

设函数y f x( )的图形如图 2.5 所示．过曲线y f x( )上一点M x y 处作切( , ) 线MT，设MT的倾角为 ．

图 2.5

当自变量 x 有增量 x 时，切线MT的纵坐标有增量

tan ( ) d

QP   x f x  x y．

因此，微分 dy f x( ) 几何上表示当 x 有增量 xx  时，曲线 y f x( )在对应点 ( , )

M x y 处的切线的纵坐标的增量．

第 2 章 导 数 与 微 分 2.5.3 微分的基本公式与微分法则

1．微分的基本公式

由函数y f x( )的微分表达式看出， dy 等于导数 f x( )乘以 dx ，所以根据导 数公式和运算法则，就能得相应的微分公式和微分运算法则．

（1） d( ) 0C  （ C 为常数）； （2）d(x^)x^1dx（R）；

（3） 1

d(log ) d

ax ln x

x a

 （a1）； （4） 1 d lnx dx

 x ；

（5）d(a^x)a^xln da x； （6）d(e )^x e d^x x；

（7） d(sin ) cos dx  x x； （8） d(cos )x  sin dx x；

（9） ² 1₂

d(tan ) sec d d

x x x cos x

  x ；

（10） ² 1₂

d(cot ) csc d d

x x x sin x

    x ；

（11） d(sec ) sec tan dx  x x x； （12） d(csc )x  csc cot dx x x；

（13） 2

d(arcsin ) 1 d 1

x x

x





； （14）

2

d(arccos ) 1 d 1

x x

x

 



；

（15） 1 ₂

d(arctan ) d

x 1 x

 x

 ； （16） 1 ₂

d(arc cot ) d

x 1 x

  x

 ． 2．函数的和、差、积、商的微分运算法则

设函数 ( )u x u， ( )v x  均可微，则 v d(uv)dudv； d (uv)v ud u vd ；

d (Cu)C ud （ C 为常数）；

2

d d

d u v u u v

v v

  

 

 

（v 0）． 3．复合函数的微分法则

设函数y f u( )，u( )x 都是可导函数，则复合函数y f[ ( )] x 的微分为 dy f[ ( )] ( )d x  x x，

或 dy f u u( )d ，其中 du( )dx x．

可见不论 u 是自变量还是中间变量，函数y f u( )的微分总保持同一形式，这 个性质称为一阶微分形式的不变性．

利用这个性质，可以比较方便地求一些复合函数的微分、隐函数的微分以及 它们的导数．

例 2.5.5 y ln(1 e ) ^x2 ，求 dy ．

82

在文檔中 高等数学（上册） - 万水书苑-出版资源网 (頁 22-26)