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第 2 章 导数与微分

微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分．本章中，我 们主要讨论导数和微分的概念以及他们的计算方法，对于导数的应用，将在第 3 章讨论．

2.1 导数的概念

2.1.1 导数概念的引例 为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切 线问题．这两个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系． 例 2.1.1 变速直线运动的瞬时速度． 一物体做变速直线运动，位移函数为s f t( )，求物体在时刻t 的瞬时速度₀ 0 ( ) v t ． 首先考虑物体从t 到₀ t0  这段时间内的平均速度 t _ 0 0 ( ) ( ) s t t s t s v t t         ， （2.1.1） 其中 s 是这段时间内的路程改变量． 当时间间隔很小时，可以认为物体在时间

_

t t₀,₀ t

_

内近似地做匀速运动．因 此，可以用 v 近似代替v t( )₀ ，且 t 越小，其近似度越高．为求在时刻t 的速度的0 精确值，令 t 0，取（2.1.1）式的极限，我们把这个极限值称为在时刻t 的（瞬₀ 时）速度，即 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim t t s t t s t s v t t t             ． 例 2.1.2 平面曲线的切线斜率． 设一曲线方程为y f x ，求曲线( ) y f x 在( ) M x y( 0, 0)处的切线斜率． 如图 2.1 所示，设点N x( ₀ x y， ₀ y)是曲线上任意点，作割线 MN ．让 N 沿着曲线趋向M，割线 MN 的极限位置MT就称为曲线y f x 在点( ) M处的 切线． 设割线的倾角为，则割线 MN 的斜率为 0 0 ( ) ( ) tan          MN f x x f x y k x x  ．

58 高 等 数 学 （ 上 册 ） 图 2.1 当点 N 沿曲线趋于点M时，割线 MN 的倾角趋近于切线MT的倾角 ，即 0 0 0 0 0 ( ) ( )

tan lim tan lim lim

x x x f x x f x y x x                  ． 2.1.2 导数的概念 1．函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出，非匀速运动的速度和切线的斜率都归结为如 下的极限： 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x       ． 我们撇开这些量的具体意义，就得出函数的导数概念． 定义 2.1.1 设函数y f x 在点( ) x 的某邻域内有定义，当自变量 x 在点₀ x 处₀ 取 得 增 量 x （ 点 x0 x 也 在 该 邻 域 内 ） 时 ， 相 应 地 函 数 y 取 得 增 量 0 0 ( ) ( )  y f x  x  f x ，若极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim            x x f x x f x y x x （2.1.2） 存在，则称函数y f x 在点( ) x 处可导，并称此极限值为函数₀ y f x 在点( ) x 处₀ 的导数，记作 0 ( )  f x ， 0  _{x x} y ， 0 d d x x y x  或 0 d d x x f x  ， 即 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim         x f x x f x f x x ． 如果极限（2.1.2）不存在，则称函数y f x 在点( ) x 处不可导．当0  x 0时， 比式 y x     ，则说函数y f x 在点( ) x 处的导数为无穷大． 0 令xx₀ x ，当 x 0时，有xx ，则 ₀ ( ) yf x

第 2 章 导 数 与 微 分 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim      x x f x f x f x x x ， 常用此式来判断分段函数在分段点处是否可导． 令 h  ，则 x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim h f x h f x f x h      ， 式中的 h 即自变量的增量 x （导数与自变量的增量的表示形式无关）． 若函数y f x 在开区间 ( , )( ) a b 内每一点都可导，则称 f x 在区间 ( , )( ) a b 内可 导．此时，对于每一个x( , )a b ，都对应着 ( )f x 的一个确定的导数值 f x ，从而( ) 构成了一个新的函数，称为函数 ( )f x 的导函数，记作 ( ) d d y y f x x ，  ， 或d d f x，即 0 ( ) ( ) ( ) lim         x f x x f x f x x ． 函数y f x 在点( ) x 处的导数0 f x( 0)就是导函数 f x 在点( ) x 处的函数值，即 0 0 0 ( ) ( )     x x f x f x ． 通常导函数简称为导数． 例 2.1.3 试按导数定义求lim (2 ) (2 ) x a f x f a x a    ．

解 lim (2 ) (2 ) lim (2 ) (2 ) 2 lim (2 ) (2 ) 2 (2 )

1 2 2 (2 2 ) 2              x a x a x a f x f a f x f a f x f a f a x a x a x a ． 2．左、右导数 下面两个极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim              x x f x x f x y x x ， 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim              x x f x x f x y x x 分别叫做函数y f x 在点( ) x 处的左导数和右导数，分别记为0 f(x0)和 f(x0)． 由上一章关于左、右极限的性质可知下面的 定理． 定理 2.1.1 函数y f x 在点( ) x 处可导的充0 分必要条件是 ( )f x 在点x 处的左、右导数都存在0 且相等． 例 2.1.4 证明函数y x 在x0处不可导 （如图 2.2 所示）． 证明 0 0 (0 ) (0) (0) lim lim 1 x x f x f x f x x                  ； 图 2.2

60 高 等 数 学 （ 上 册 ） 0 0 (0 ) (0) (0) lim lim 1 x x f x f x f x x                   ． 所以函数y x 在x0处不可导． 例 2.1.5 证明函数 1 1 0 ( ) 0 0 x x f x _x x          ， ， ， ≤ ， 在x0不可导． 证明 0 0 0 ( ) (0) 1 1

(0) lim lim lim

( 1 1) x x x f x f x x f x x x x x x                   ； 0 ( ) (0) (0) lim 0 x f x f f x        ． 所以函数 ( )f x 在x0处不可导． 注意：如果 ( )f x 在开区间 ( , )a b 内可导，且 f a( )及f b_( )都存在，则称 ( )f x 在 闭区间 [ , ]a b 上可导． 下面应用导数的定义计算一些简单函数的导数． 例 2.1.6 求函数 2  y x 的导数． 解 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )

lim lim lim lim (2 ) 2

x x x x y f x x f x x x x x x x x x x                         ， 即 2 (x ) 2x． 同理可得 1 ( n)  n x nx （ n 为正整数）． 一般地，当指数为任意实数时，有 1 ( )_{ }  x x  ． 例如 1 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 x x x x     ． 1 1 1 2 1 1 (  ) ( 1)      _        x x x x ． 例 2.1.7 求指数函数  x y a 的导数（a0，a1）． 解 0 0 0 0 1 ln

lim lim lim lim ln

                      x x x x x x x x x x x y a a a x a a a a a x x x x ， 即 ( x)  xln a a a． 特别地，上式中令a  ，可得自然对数函数e y ex的导数 (e )x _{ }ex_． 例 2.1.8 求对数函数yloga x的导数（a0，a1，x0）．

第 2 章 导 数 与 微 分 解 1 0 0 0 0 log log ( ) log

lim lim a lim lim log 1

a a _x a x x x x x x x x x y _x x x x x x                      _  _      0 1 1 1

lim log 1 log e ln a x x a x x x x x x a        _  _     ， 即 1 (log ) . ln a x x a   特别地，上式中令a  ，可得自然对数函数e ylnx 的导数 1 (ln ) x x． 例 2.1.9 求函数ysinx 的导数． 解 0 0 0 2 cos sin sin( ) sin 2 2

lim lim lim

              _    _      x x x x x x y x x x x x x 0 2 cos 2 2 lim cos               x x x x x x ， 即 (sin )x cosx ． 类似的方法可得 (cos )x  sinx ． 2.1.3 导数的几何意义 函数 ( )f x 在点x 处的导数0 f x( 0)在几何上表示曲线y f x 在点(( ) x ,0 f x( 0)) 处的切线的斜率（如图 2.3 所示），即 0 0 ( ) lim x y k f x x        ． 图 2.3

62 高 等 数 学 （ 上 册 ） 过曲线上一点且垂直于该点处切线的直线，称为曲线在该点处的法线． 因此可以求得曲线y f x 在点( ) (x0, f x( 0))处的切线方程为 0 ( 0)( 0)    y y f x x x ． 法线方程为 0 0 0 1 ( ) ( )      y y x x f x （f x( 0)0）． 特别的，若 f x( ₀) ，则切线垂直于 x 轴，切线的方程就是 x 轴的垂线xx ．0 例 2.1.10 求曲线 2  y x 在点 (1,1) 处的切线和法线方程． 解 由y 2x ，曲线 2  y x 在点 (1,1) 的切线与法线的斜率分别为 1 2 2 1 1 1 2 2 x k y k k     ，     ． 切线方程为 1 2( 1)    y x ， 即 2xy 1 0． 法线方程为 1 1 ( 1) 2     y x ， 即 x2y  ． 3 0 2.1.4 可导与连续的关系 若 f x 在点( ) x 处可导，则 0 0 0 ( ) lim .       x y f x x 根据函数极限与无穷小间的关系，得 0 ( )      y f x x  ， 其中 是当  x 0 时的无穷小．从而有 0 ( )   y f x  x  x， 因此



0



0 0 lim lim ( ) 0  x  y  x f x  x  x  ， 因此有下面的定理． 定理 2.1.2 如果函数y f x 在点( ) x 处可导，则 ( )0 f x 在点x 处连续． 0 上述定理的逆命题不一定成立．例如由例 2.1.4 知函数y x 在x0处不可 导，但在x0处连续． 例 2.1.11 函数 3 ( ) y f x  x在区间 (  内连续，但在, ) x0处不可导．

第 2 章 导 数 与 微 分 解 在点x0处有 3 2 3 (0 ) (0) 0 1 f h f h h h h      ， 因而， 2 3 0 0 (0 ) (0) 1 lim lim h h f h f h h        ，即导数为无穷大（注意，导数不存在）．用 几何图形表示即曲线 3 y x在原点 O 具有垂直于 x 轴的切线x 0． 由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件． 习题 2.1 1．设某种子厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f x 元（函数( ) f x 称为成本( ) 函数），成本函数 ( )f x 的导数 f x( )在经济学中称为边际成本．试说明边际成本 ( ) f x 的实际意义． 2．求下列函数的导数： （1）ylog3x ； （2） 3 e x x y  ； （3） 3 2 y t ； （4）ycosx ． 3．下列各题中均假定 f x( 0)存在，按导数定义观察下列极限： （1） 0 0 0 ( ) ( ) lim       x f x x f x x ； （2） 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h h     ． 4．求曲线y 1₂ x  在点（1，1）处的切线方程与法线方程． 5．讨论下列函数在x0处是否连续、是否可导？ （1）y sinx ； （2） 1 sin 0 0 0       _  x x x y x ， ， ， . 6．设 e 1 0 ( ) 0 1 sin( 1) 1 1        _{ }  ≤ ≤ ≥ t t f t t a t b t t ， ， ， ， ， ， 求 a ，b ，使得 f t 在( ) t 0和t  处1 可导． 7．设 f(0) ，1 f (0)  ，求极限 1 1 (ln ) 1 lim 1    x f x x ．

2.2 函数的求导法则

在本节中，将介绍求导数的几个基本法则以及前一节中未讨论过的几个基本 初等函数的导数公式．

64 高 等 数 学 （ 上 册 ） 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 定理 2.2.1 设函数uu x 与( ) vv x 在点 x 处均可导，则它们的和、差、积、( ) 商（当分母不为零时）都在点 x 处可导，且 （1） (uv)uv； （2） ( )uvu v uv  ； （3） u u v uv₂ v v            （v 0）． 下面我们给出法则（3）的证明，其余的留给读者自己证． 证明 令 ( ) ( ) u x y v x ，对自变量 x 的增量 x ，则













0 0 0 0 2 ( ) ( ) 1 lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) .               _  _  _   _                             x x x x y u x x u x x v x x v x x u x x u x v x u x v x x v x v x v v x x u x x u x v x x v x v x u x x x v x v v x u v uv v 特别地，若 ( ) 1u x  ，则可得公式 2 1           v v v （v 0）． 法则（1），（2）均可推广到有限多个可导函数的情形． 设uu x( )，vv x( )，ww x( )在点 x 处均可导，则 (u v w)uvw ，  (uvw)u vw uv w uvw    ． 例 2.2.1 设 1 2 _{sin ln} yx  x x，求 y ． 解 y 1 2 (x ) (sin )x  (ln )x    1 cos 1 2 x x x    ． 例 2.2.2 设 3 5 2x y x ，求 y ． 解 3 3 5( ) 2x 5 (2 )x y x   x  2 3 15 2x 5 2 ln 2x x x   ． 例 2.2.3 设ye (sinx xcos )x ，求 y ． 解 (e ) (sinx cos ) e (sinx cos )

第 2 章 导 数 与 微 分

e (sinx x cos ) e (cosx x x sin )x

   

2e cosx x

 ．

例 2.2.4 求ytanx 的导数．

解 (tan ) sin (sin ) cos ₂sin (cos )

cos cos        _{ }    x x x x x y x x x 2 2 2 2 2 cos sin 1 sec cos cos   x x  x x x ． 即 2 (tan )x  sec x． 类似地可得 2 (cot )x  csc x． 例 2.2.5 求ysecx 的导数． 解 2 1 sin (sec ) cos cos     _{ }    x y x x x 1

tan sec tan cos

  x x x

x ．

即

(sec )x  secxtanx ． 类似地可得 (csc )x  cscxcotx ． 2.2.2 复合函数的导数 定理 2.2.2 如果函数u( )x 在 x 处可导，而函数y f u 在对应的 u 处可( ) 导，那么复合函数y f[ ( )] x 在 x 处可导，且有 d d d d  d d y y u x u x 或 yx yuu ． x 证明 y f u 可导，有 ( ) d d     y y u u  ， 其中 0 lim 0 u     ．上式两边同乘 u 得 d d  y y  u  u u  ， 于是 d d           y y u u x u x  x， 因为可导必连续，所以当 x 0时， u 0，因此 0 0 lim lim 0  x   u  ，从而有 0 0 d d d d lim lim d     d d d        _    _       x x y y y u u y u x x u x  x u x． 上式表明，求复合函数y f[ ( )] x 对 x 的导数时，由表及里，先求出y f u( ) 对 u 的导数，再求u( )x 对 x 的导数，然后相乘即可．

66 高 等 数 学 （ 上 册 ） 以上法则还可记为 yx yuu 或x



f



( )x





 f u( )( )x ． 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形．例如，设y f u ，( ) ( ) u v ，v( )x ，则复合函数y f



 [ ( )]x



的导数为 d d d d d d d d y y u v x u v x． 例 2.2.6 设 3 ln(1 ) y x ，求 y ． 解 3 ln(1 ) y x 可看作是由 3 ln 1 y u u，  x 复合而成的，因此 2 3 2 3 1 3 (ln ) (1 ) 3 1 u x x y u x x u x         ． 对复合函数的复合过程熟悉后，就不必再写中间变量，可直接按复合步骤求导． 例 2.2.7 2 cos 2 y x  ，求 y ． 解 2 2 2 2 1 sin 2 sin 2 2 2 2 2 x x y x x x x            ． 例 2.2.8 ln sin ex y  ，求 y ． 解 1 (cos e ) e e cot e sin e x x x x x y     ． 例 2.2.9 1 cos e x y  ，求 y ． 解 1 1 1 1

cos cos cos cos

2

1 1 1 1 1

(e ) e cos e sin e sin

          _{ }   _{  } _         x x x x y x x x x x． 例 2.2.10 证明 1 (x) x （x 0）． 证明 ln ln 1 1 1 (x ) (e x) e x x x x x                    ． 2.2.3 反函数的求导法则 定理 2.2.3 如果单调连续函数x f y( )在某区间内可导，且f( )y  ，则它0 的反函数y( )x 在对应的区间内可导，且有 1 ( ) ( ) x f y    或 d 1 d d d y x x y  ． 证明 因y( )x 是x f y( )的反函数，利用复合函数求导法则，复合函数 ( ) [ ( )] x f y  f  x 对 x 求导，得 1 fyx或 d d 1 d d x y y x  

第 2 章 导 数 与 微 分 因此 1 ( ) ( )    x f y  或d 1 d d d  y x x y d ( ) 0 d x f y y          ． 例 2.2.11 求函数yarcsinx 的导数． 解 yarcsinx 是xsiny 在区间 2 2         ，的反函数，且 (sin )y  y cosy0 ， 因此在对应的区间 ( 1,1) 内有 2 2 1 1 1 1 (arcsin )

(sin ) cos _{1 sin 1}

      _{ } x x y y _{y x} ． 即 2 1 (arcsin ) 1    x x x ． 同理可得 2 1 (arccos ) 1     x x x ． 例 2.2.12 求函数yarctanx 的导数． 解 yarctanx 是xtany在区间 2 2         ，的反函数，因此在区间 ( , ) 上，有 2 2 2 1 1 1 1 (arctan )

(tan ) sec 1 tan 1

        x y x y y y x ． 即 (arctan ) 1 ₂ 1    x x ． 同理可得 (arc cot ) 1 ₂ 1     x x ． 2.2.4 初等函数的导数 根据函数的四则运算求导法则、复合函数的求导法则以及反函数的求导法则， 现将基本导数公式归纳如下． （1） ( )C  0（C 为常数）； （2）(x) x1（为常数）； （3）(log ) 1 ln a x x a   ； （4）(ln )x 1 x   ； （5）( x) xln a  a a； （6）(e )x _{ }ex_；

（7） (sin )x  cosx； （8） (cos )x  sinx；

（9） 2 2 1 (tan ) sec cos x x x    ； （10）(cot ) csc2 1₂ sin x x x      ；

68 高 等 数 学 （ 上 册 ） （13） 2 1 (arcsin ) 1 x x    ； （14） 2 1 (arccos ) 1 x x     ； （15）(arctan ) 1 ₂ 1 x x    ； （16） 2 1 (arc cot ) 1 x x     ． 除以上基本导数公式要熟练掌握外，还需熟练运用函数的四则运算求导法则与 复合函数的求导法则，以此求初等函数的导数． 例 2.2.13 2 3 ( cos ) y x  x ，求 y ． 解 2 3 2 2 2

[( cos ) ] 3( cos ) ( cos )

y x  x  x  x x  x 2 2 3(x cos ) (2x x sin )x    ． 例 2.2.14 2 1 ex e x y   ，求 y ． 解 2 2 1 1 2 1 (e )x e x 2 ex e x y x x         _ _     ． 例 2.2.15 2 3 arcsin 3 x x y  ，求 y ． 解 2 2 2 4 2 3 (3 ) arcsin arcsin 3 ( 3 ln 3) arcsin 3

3 3 3 1 9 x x x x x x x x y x  _        _{ }       2 4 2 3 ln 3 arcsin 3 9 x x x x     _   _    ． 例 2.2.16 2 2 ln sin x y x x   ，求 y ． 解 2 2 2 2 1 2 ln 1 ln ln

(sin ) 2 sin cos

         _{ }      x x x x _x y x x x x x 2 2 2 ln ln sin 2 x x x x    ． 例 2.2.17 2 ln( 1)    y x x ，求 y ． 解 2 2 1 2 1 1 2 1     _  _      x y x x x 2 1 1   x ． 例 2.2.18 设 ( )f x 可导，求ysin ( )f x  f(sin2x)的导数． 解 2

cos ( ) ( ) (sin ) 2 sin cos      

y f x f x f x x x

第 2 章 导 数 与 微 分 例 2.2.19 设 2 1 sin 0 ( ) 0 0 x x f x x x       _  ， ， ， ， 求 f x( )． 解 0 0 ( ) (0) 1

(0) lim lim sin 0

x x f x f f x x x        ， 当x 0时，f x( ) 2 sinx 1 cos1 x x    ， 即 1 1 2 sin cos 0 ( ) 0 0. x x f x x x x      _{ }  _  ， ， ， 习题 2.2 1．求下列函数的导数： （1） x ex yxa  ； （2）y3 tanx x2 secx ； 4 （3） 3 3 2x 3ex y x   ； （4） 1 ln 2 1 ln x y x x     ； （5） 2 ln  y x x； （6）y5e cosx x； （7）ylnx x ； （8） 2 e ln 3 x y x   ； （9） 2    x x y x x； （10） 2 1 2 x x y x     ； （11） 2 2 log yx x； （12）yxarctanx ； （15） 3 2 3 arcsinx y x x ； （16）yarcsinxarccosx ． 2．设 f x 可导，求下列函数的导数： ( ) （1） 2 [ ( )]  y f x ； （2）y ef x( )； （3）yarctan[ ( )]f x ； （4）yln[1 f2( )]x ； （5）y f( x1)； （6） 2 2 (sin ) (cos )   y f x f x ． 3．求下列函数的导数： （1） 2 5 ( )   y x x ； （2）y2sin(3x6)； （3）y ln_nx x  ； （4）yln(tan )x ； （5）y 1 ln x； （6） 2 e x y x   ； （7） arctan 1 1    x y x ； （8） ln(2 3 4 )     x x x y ；

70 高 等 数 学 （ 上 册 ） （9） 1





2  ln sin  x  y x ； （10） (arcsin )2 2  x y ； （11）yln ln lnx ； （12）y e2 arctan x； （13） 2 e (x 2 3) y  x x    ； （14） 2 (arctan ) 2 x y  ； （15） 3 cos  y x； （16） e e e e x x x x y      ． 4．已知yx2a与ybln(1 2 ) x 在x1点相切，求 a，b 的值． 5．设函数 f x 和 ( )( )  x 可导，且 2 2 ( ) ( ) 0 f x  x  ，求函数 2 2 ( ) ( ) y f x  x 的导数．

2.3 高阶导数

2.3.1 高阶导数的概念 我们知道，加速度 a 是速度函数 ( )v t 对时间t的导数，而变速直线运动的速度 ( ) v t 又是位移函数 ( )s t 对时间t的导数，从而 d d d d d d     _{ }   v s a t t t 或a( )s ． 这种导数的导数 d d( ) d d s t t 或 ( )s  叫做 s 对t的二阶导数，记作 2 2 d d s t 或 ( )s t ． 所以，直线运动的加速度就是位置函数 s 对时间t的二阶导数． 一般地，函数y f x( )的导函数y f x( )仍是 x 的可导函数，我们就称 ( ) y f x 的导数为函数y f x( )的二阶导数，记作 2 2 d ( ) d y y f x x ，  ， 或 2 2 d ( ) d f x x ，即 ( ) ( ) [ ( )] y y ，f x  f x ， 或 2 2 d d d d d d y y x x x    _{ }  ． 我们称y f x( )的导数y f x( )为函数y f x( )的一阶导数． 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…， 一般地， (n 1)阶导数的导数称为 n 阶导数，分别记作 (4) ( )n y，y ， ， y 或

第 2 章 导 数 与 微 分 3 4 3 4 d d d d d d n n y y y x ， x ， ， x ． 函数 ( )f x 具有 n 阶导数，也说是函数 ( )f x 为 n 阶可导．如果函数 ( )f x 在点 x 处具有 n 阶导数，那么 ( )f x 在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数．将 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数． 函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，导数运算法则与导数基本公式 仍然适用于高阶导数的计算． 例 2.3.1 设 yax b ，求 y ． 解 ya y, 0． 例 2.3.2 设yexcosx，求 y ．

解 e xcos e ( sin )x e (cosx sin )

y_{  }  x  x  x x

     ， y e (cosx xsin ) e ( sinx  x  xcos )x 2exsinx．

例 2.3.3 设y f(sin )x ，求 y ． 解 y f(sin ) cosx x，

y f(sin ) cosx 2x f(sin ) sinx x． 例 2.3.4 设 ex y  ，求 ( )n y ． 解 (4) e e e e  x，  x，  x，  x y y y y ． 一般地，可得 ( ) e n x y  ．即 ( ) (e )x n ex． 例 2.3.5 求正弦与余弦函数的 n 阶导数． 解 ysinx， (sin ) cos sin

2       _  _   y x x x ，

sin cos sin 2

2 2 2 y x x x           _{ }  _  _  _ _   _         ， sin 2 sin 3 2 2 y x x         _{ }   _  _   _       ， …… ( ) sin 2 n y  _x n _  ． 即 ( ) (sin ) sin 2 n x  _x n _  ． 同理可得 ( ) (cos ) cos 2 n x  _x n _  ． 例 2.3.6 求幂函数yx的 n 阶导数（ n 是正整数）．

72 高 等 数 学 （ 上 册 ） 解 yx（是任意常数），那么 1 _{( 1)} 2 ( ) _{( 1)( 2) ( 1)}     ，   ， ， n       n y x y   x y     n x ， 即 ( ) ( )n ( 1)( 2) ( 1) n x n x            ． 当n时，得到 (xn)( )n  ( 1)(2)3 2 1  n!， 而 ( 1) ( n)n 0 x   ． 例 2.3.7 求函数yln(1x)的 n 阶导数． 解 ln(1 ) 1 1 ₂ 1 (1 )          ， ， y x y y x x ， (4) 3 4 1 2 1 2 3 (1 ) (1 )         ，  y y x x ， 一般地，可得 ( ) 1 ( 1)! ( 1) (1 ) n n n n y x      ， 即 ( ) 1 ( 1)! [ln(1 )] ( 1) (1 ) n n n n x x       ． 2.3.2 高阶导数的运算法则 若 函 数uu x( ) 及 vv x( ) 都 在 点 x 处 具 有 n 阶 导 数 ， 则 ( )u x v x( ) 及 ( ) ( ) u x v x 也在点 x 处具有 n 阶导数，且 ( ) ( ) ( ) ( )n n n uv u v ． 但乘积 ( ) ( )u x v x 的 n 阶导数并不如此．由 (uv)u v uv   得出 (uv)u v 2u v uv； (uv)u v 3u v 3u v uv． 用数学归纳法可以证明 ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 2! ( 1) ( 1) ! n n n n n k k n n n uv u v nu v u v n n n k u v uv k                    ． 上式称为莱布尼茨（Leibniz）公式．这个公式可按二项式展开定理记忆：把二项式 0 ( ) n n k n k k n k u v C u  v   



， 中的 k 次幂换成 k 阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的uv换成 uv ， 这样就得到莱布尼茨公式 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n n k n k k n k uv C u  v  

_

． 例 2.3.8 2 2 e x yx ，求 (20) y ．

第 2 章 导 数 与 微 分 解 设 2 2 e ,x u vx ，则 ( ) 2 2 e  k k x u （k1, 2,, 20）， ( ) 2 2 0  ，  ， k  v x v v （k3, 4,, 20）， 代入莱布尼茨公式，得 (20) 2 2 (20) 20 2 2 19 2 2 20 19 18 2 ( e ) 2 e 20 2 e 2 e 2 2! x x x x y  x  x   x    =2 e (20 2x x220x95)． 习题 2.3 1．求下列函数的二阶导数： （1） x 7ex yxa  ； （2）y3 tanx xsecx； （3） 3e cosx y x； （4）ylnx x ； （5） e₂ ln 5 x y x   ； （6）yx2ln cosx x； （7） 1 sin 1 cos    x y x； （8） 2    x x y x x； （9） 2 3 log  y x x； （10）yxarctanx ； （11）yarcsinxarccosx ； （12）yxcosx；

（13） 2 1 ex y   ； （14） 2 (1 ) arctan y x x； （15）yxex2； （16）yln(x 1x2)． 2．设 6 ( )( 10) f x x ，求f(2)． 3．设 f( )x 存在，求下列函数的二阶导数 2 2 d d y x ： （1） 2 ( ) y f x ； （2）yln[ ( )]f x ． 4．证明ye (sinx xcos )x 满足方程yy2excosx0．

5．密度大的陨石进入大气层时，当它离地心为 s 千米时的速度与 s 成反比， 试证陨石的加速度与 2 s 成反比． 6．假设质点沿 x 轴运动的速度为d ( ) d x f x t  ，试求质点运动的加速度． 7．求下列函数所指定的阶的导数： （1） e cosx y x，求 (4) y ； （2） 2 sin 2 yx x，求y(50)． 8．求函数 2 ( ) ln(1 ) f x x x 在x 0处的 n 阶导数 ( ) (0) n f （n≥3）．

74 高 等 数 学 （ 上 册 ）

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

2.4.1 隐函数的导数 前面我们遇到的函数，形如 2 sin , ln 1 y x y x x 等．将这种等号左端是 因变量的符号，右端是含有自变量的式子的函数叫做显函数．但有些函数的表达 方式却不是这样，如，方程 3 1 0 xy   表示一个函数，因为当变量 x 在 (  内, ) 取值时，变量 y 有确定的值与之对应．这样的函数称为隐函数． 一般地，如果变量 x 和 y 满足一个方程 ( , ) 0F x y  ，在一定条件下，当 x 取某 区 间 内 的 任 一 值 时 ， 总 有 满 足 这 方 程 的 唯 一 的 y 与 之 对 应 ， 那 么 就 说 方 程 ( , ) 0 F x y  在该区间内确定了一个隐函数． 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程 3 1 0 xy   解出 3 1 y x．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．但在实际问题中， 有时需要计算隐函数的导数．下面通过具体例子来说明隐函数求导的方法． 例 2.4.1 求由方程ey 0 xy   所确定的隐函数y y x( )的导数d d y x． 解 方程两边对 x 求导数，注意 y 是 x 的函数，得 d d e 0 d d y y y y x x  x ， 从而d d   ey y y x x （ e 0 y x ）． 例 2.4.2 设yarctan(x2 )y ，求d d y x． 解 方程两边对 x 求导，得 2 1 (1 2 ) 1 ( 2 ) y y x y      ， 解得 1 ₂ ( 2 ) 1 y x y     （ 2 (x2 )y 1）． 例 2.4.3 求圆 2 2 1 x y  在点 1, 3 2 2         处的切线方程． 解 方程两边对 x 求导，得 2x2y y  ． 0 所求切线的斜率

第 2 章 导 数 与 微 分 _{1 3} , 2 2 1 3 k y _{ }           ． 所求切线方程为 3 1 ( 0) 2 3 y   x ，即 2 3y2x 3 0． 例 2.4.4 求由方程xysiny0所确定的隐函数y y x( )的二阶导数 2 2 d d y x ． 解 先求 y ，方程两边对 x 求导，得 1ycosy y 0． 解得 1 1 cos y y    ． 再求 y ，注意到 y 是 x 的函数，有 2 1 (1 cos ) (1 cos ) y y y       2 sin (1 cos )      y y y ， 将 y 的表达式代入，得 2 2 d d y y x   3 sin (1 cos ) y y    ． 例 2.4.5 设ex y xy1，求y(0)． 解 方程两边对 x 求导，得 (1y)ex y yxy0． 上式两边再对 x 求导，得 2 (1 ) ex y ex y 2 0 y_  y_  y_ xy_      ． 令x 0，可得y0，y(0) 1，将这些值代入上式得y(0)  ． 2 在计算幂指函数的导数以及某些连乘、连除、带根号函数的导数时，可以采 用先取对数再求导的方法，简称对数求导法． 例 2.4.6 设 2 2 ( 1)(3 4) ( 1)( 3) x x y x x      ，求 y ． 解 将函数两边取自然对数，得 2 2 1 ln ln( 1) ln(3 4) ln( 1) ln( 3) 2 y _ x   x  x  x  _， 两边对 x 求导，得 2 2 1 1 2 3 1 2 2 1 3 4 1 3 x x y y x x x x     _    _      ， 所以 2 2 2 2 1 ( 1)(3 4) 2 3 1 2 2 ( 1)( 3) 1 3 4 1 3 x x x x y x x x x x x       _    _        ．

76 高 等 数 学 （ 上 册 ） 例 2.4.7 求 sin x yx 的导数． 解 两边取对数得 lnysin lnx x． 上式两边对 x 求导，得 1 cos ln sin y x x x y x    ， 所以 sin 1 1

cos ln sin cos ln sin

      _  _ _  _     x y y x x x x x x x x x ． 2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 若方程x( )t 和y( )t 确定 y 与 x 间的函数关系，则称此函数关系所表达 的函数为由参数方程 ( ) ( )      ， ， x t y t   t( , )  所确定的函数．下面来讨论由参数方程所确定的函数的导数． 设 1 ( ) t  x  为x( )t 的反函数，在t( , )  中，则复合函数 1 ( ( )) y   x  的 导数为 1 1 1 d ( ( )) ( ( ))( ( )) d y x x x x              _{ }  1 1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) t x t t             （( )t 0）． 于是由参数方程所确定的函数y y x( )的导数为 d d _d ( ) d d ( ) d t t y y y _t t x x x t t          ． 例 2.4.8 求 3 3 cos sin x a t y a t      在 π 4 t  处的切线方程和法线方程． 解 3 2 3 2 ( sin ) d 3 sin cos tan d ( cos ) 3 cos ( sin )

t t a t y a t t t x a t a t t        ． 切线的斜率为 4 d 1 d t= y k x     ，法线的斜率为 1 1 k   ． 所以切线方程为 2 2 2 2 a a y  _x _   ，即 2 a xy ． 法线方程为 2 2 2 2 a a y x ，即 yx．

第 2 章 导 数 与 微 分 例 2.4.9 已知 sin cos x a t y b t      ， ，求 2 2 d d y x ．

解 d ( cos ) sin tan d ( sin ) cos y b t b t b t x a t a t a        ， 2 2 d d _tan ( ) d _{d d} d ( cos ) d d b y _t y _{t x} a x a t x t            2 2 2 1 sec sec csc sin b b t t t a a t a        ． 习题 2.4 1．求下列方程所确定的隐函数的导数d d y x： （1） ex y xy   ； （2） 1 ey y x ． 2．求曲线 2 2 2 3 3 3 x y a 在点 2 , 2 4 a 4 a         处的切线方程和法线方程． 3．求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数： （1） 2 2 1 x y  ； （2） 1 ey y x ． 4．用对数求导法求下列函数的导数． （1） 1         x x y x ； （2） 4 5 2(3 ) ( 1)     x x y x ； （3）y xsinx 1 e x ； （4） 2 3 3 2 2    x x y x ． 5．求下列参数方程所确定的函数的导数d d y x及 d d x y： （1） 2 2        ， ； x at y bt （2） (1 sin ) cos .       ， x y     6．已知 sin cos 2 x t y t      ， ，求当 π 4 t  时d d y x的值． 7．写出曲线 2 2 2 3 1 3 1 at x t at y t    _      _  在t 2处的切线方程和法线方程． 8．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 2 d d y x ：

78 高 等 数 学 （ 上 册 ） （1） cos sin      ， ； x a t y b t （2） ( ) ( ) ( ) x f t y tf t f t         ， ，设 f( )t 存在且不为零． 9．求参数方程 2 ln(1 ) arctan x t y t t        ， 所确定的函数的三阶导数 3 3 d d y x ．

2.5 函数的微分

在实际应用中，常遇到与导数密切相关的一类问题，这就是当自变量有一个 微小的改变量 x 时，要计算相应的函数的改变量 y ．但是求 y 是比较困难的， 需要找出一种便于计算函数改变量的近似公式． 2.5.1 微分的概念 先考察一个具体问题． 例 2.5.1 设有一个边长为x 的正方形金属片，受热后边长伸长了 x0  ，求其 面积增加了多少？ 解 由图 2.4 可以看出，受热后，边长由x 伸长到0 x0  ，面积x A相应的增 量为 2 2 2 0 0 0 ( ) 2 ( ) A x x x x x x          ． 图 2.4 上式可分成两部分：第一部分是 x 的线性函数2x₀ ，当x  x 0时与 x 为 同阶无穷小；第二部分 2 (x) ，当 x 0时是 x 的高阶无穷小．由此可见，当x 很小时，第二部分的绝对值要比第一部分的绝对值小得多，可以忽略不计，因此 可用 x 的线性函数2x0 作为x A的近似值，即 0 2 A x x    ． （2.5.1） 显然，2x₀ 是容易计算的，它是边长x x 有增量 x0  时，面积A的增量的主

第 2 章 导 数 与 微 分 要部分（亦称线性主部）． 由此引入函数微分的概念． 定义 2.5.1 设函数y f x( )在点x 的某邻域内有定义，如果函数 ( )0 f x 在点x0 处的增量 y f x( ₀ x) f x( ₀)可以表示为 ( ) y A x o x      ， 其中A是与 x 无关的常数，则称函数 ( )f x 在点x 处可微， A x0  称为 ( )f x 在点x0 处的微分，记作 0 dy x x ，即dy x x₀ A x ． 由微分定义，（2.5.1）式可写成 0 d x x A A    ． 定理 2.5.1 函数y f x( )在点x 处可微的充分必要条件是函数₀ y f x( )在点 0 x 处可导． 证明 （必要性） 如果函数y f x( )在点x 处可微，由可微的定义知 ₀ 0 0 ( ) ( ) ( ) y f x x f x A x o x          ， 则有 y A o( x) x x       ，令 x 0取极限得：limx 0 y A x      ，即y f x( )在点x 处可0 导，并且f x( ₀)A，dy f x( 0) ． x （充分性）若y f x( )在点x 处可导，由导数定义知0 0 0 lim ( ) x y f x x       ，由极 限与无穷小的关系可得 y f x( ₀) x       ，其中 limx 0 0 ． 从而有 y f x( ₀)   ，显然 x  x  x o(x)．即y f x( )在点x 处可微，₀ 且dy f x( ₀) ． x 当函数 yx时，y  ，此时 d1 ydx y x   ，即 dxx   ，称为自变量x 的微分，于是函数 ( )f x 在点x 处的微分又可写成 0 0 0 dy x x  f x( )dx． 若函数 ( )f x 在区间 ( , )a b 内每一点都可微，则称该函数在 ( , )a b 内可微，或称 函数 ( )f x 是在 ( , )a b 内的可微函数．此时，函数 ( )f x 在 ( , )a b 内任意一点 x 处的微 分记为 dy ，即 dy f x x( )d ， 上式两端同除以自变量的微分 dx ，得 d ( ) d y f x x  ． 这就是说，函数 ( )f x 的导数等于函数的微分与自变量的微分的商，因此导数 也称为微商．

80 高 等 数 学 （ 上 册 ） 例 2.5.2 设 2 4 y x ，求d d y x与 dy ． 解 2 2 2 2 d 1 ( 4 ) (4 ) d   _{2 4}   _4 y x x x x _{x x} ， 2 d d 4 x y x x   ． 例 2.5.3 求当x  ，1  x 0.1时函数 2 yx 的微分． 解 函数的微分 2 dy(x ) x 2x x ． 1 1 0.1 0.1 d x 2 x 0.2 x x y  x x         ． 例 2.5.4 半径为 r 的圆的面积为 2 A r ，当半径增大r时，求圆面积的增量 与微分． 解 面积的增量 2 2 2 ( ) 2 ( ) A r r r r r r              ． 面积的微分 dAA   r 2 r rd . 2.5.2 微分的几何意义 设函数y f x( )的图形如图 2.5 所示．过曲线y f x( )上一点M x y 处作切( , ) 线MT，设MT的倾角为 ． 图 2.5 当自变量 x 有增量 x 时，切线MT的纵坐标有增量 tan ( ) d QP   x f x  x y． 因此，微分 dy f x( ) 几何上表示当 x 有增量 xx  时，曲线 y f x( )在对应点 ( , ) M x y 处的切线的纵坐标的增量．

第 2 章 导 数 与 微 分 2.5.3 微分的基本公式与微分法则 1．微分的基本公式 由函数y f x( )的微分表达式看出， dy 等于导数 f x( )乘以 dx ，所以根据导 数公式和运算法则，就能得相应的微分公式和微分运算法则． （1） d( ) 0C  （ C 为常数）； （2） 1 d(x) x dx    （R）； （3）d(log ) 1 d ln ax x x a  （a1）； （4）d lnx 1dx x  ； （5）d(ax)axln da x； （6）d(e )x e dx x；

（7） d(sin ) cos dx  x x； （8） d(cos )x  sin dx x；

（9） 2 2 1 d(tan ) sec d d cos x x x x x   ； （10） 2 2 1 d(cot ) csc d d sin x x x x x     ；

（11） d(sec ) sec tan dx  x x x； （12） d(csc )x  csc cot dx x x； （13） 2 1 d(arcsin ) d 1 x x x   ； （14） 2 1 d(arccos ) d 1 x x x    ； （15）d(arctan ) 1 ₂d 1 x x x   ； （16） 2 1 d(arc cot ) d 1 x x x    ． 2．函数的和、差、积、商的微分运算法则 设函数 ( )u x u， ( )v x  均可微，则 v d(uv)dudv； d (uv)v ud u vd ； d (Cu)C ud （ C 为常数）； 2 d d d u v u u v v v         （v 0）． 3．复合函数的微分法则 设函数y f u( )，u( )x 都是可导函数，则复合函数y f[ ( )] x 的微分为 dy f[ ( )] ( )d x  x x， 或 dy f u u( )d ，其中 du( )dx x． 可见不论 u 是自变量还是中间变量，函数y f u( )的微分总保持同一形式，这 个性质称为一阶微分形式的不变性． 利用这个性质，可以比较方便地求一些复合函数的微分、隐函数的微分以及 它们的导数． 例 2.5.5 y ln(1 e ) x2 ，求 dy ．

82 高 等 数 学 （ 上 册 ） 解 2 1 ₂ 2 1 ₂ 2 2 d d( ln(1 e )) d(1 e ) e d( ) 1 e 1 e x x x x x y      x   2 2 2 2 e 2 e 2 d d 1 e 1 e     x x x x x x x x ． 例 2.5.6 1 2 e xcos y  x  ，求 dy ． 解 1 2 1 2 1 2

d d(e xcos ) cos d(e x) e xd( cos )

y  x x   x

  

1 2 1 2

( cos )e x( 2d )+e x( sin d )

x  x  x x    1 2 e x(2 cosx sin )dx x    ． 例 2.5.7 求由方程 3 3 2 2 1 x  xy y  所确定的隐函数y f x( )的导数与微分． 解 对方程两边求微分，得 2 2 3 dx x2 dx y2 dy x6y yd 0， 所以微分为 2 2 3 2 d d 6 2 x y y x y x    ， 导数为 2 2 d 3 2 d 6 2 y x y y x y x      ． 例 2.5.8 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立． （1） d( )x xd ； （2） d( )cost td 解（1）因为 2 d(x )2 dx x，所以 2 2 1 d d( ) d 2 2    _{  }   x x x x ． 一般地，有 2 d d 2 x C x x         （ C 为任意常数）．

（2）因为 d(sin )= cos dt  t t，所以cos d  1d(sin )_{ }d1sin _   t t t t      ． 一般地，有d_1sin  _cos d  t C t t（ C 为任意常数）． 2.5.4 微分在近似计算中的应用 在实际问题中，经常利用微分作近似计算． 由微分的定义可知，当x 很小时， 0 0 0 ( ) ( ) ( ) y f x x f x f x x        ， 或 f x( 0 x) f x( 0) f x( 0) ． x

第 2 章 导 数 与 微 分 记x₀  x x，则上式又可写为 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) f x  f x  f x xx ． 特别地，当x ₀ 0时，有 ( ) (0) (0) f x  f  f  ． x 因此在工程上有一些常用的近似公式，当 x 很小时， （1） sin xx（ x 用弧度作单位来表示）； （2） tan xx（ x 用弧度作单位来表示）； （3） ex  1 x； （4） ln(1x)x ； （5）n1 1 1 x x n    ． 例 2.5.9 计算 sin 46_{的近似值．} 解 将 46_{转化成弧度为} π 46 4 180     _． 取 ₀ 4 x ，则 180 x    ，所以

sin 46 sin cos 2 2 0.719

4 4 180 2 2 180            ． 例 2.5.10 计算 1.05 的近似值． 解 设f x( ) 1x，利用近似公式中（5），取x 0.05，得 1 1.05 1 0.05 1.025 2     ． 例 2.5.11 有一批半径为1cm 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜， 厚度定为 0.1cm ，估计一下，每只球需用铜多少克（铜的密度为 3 8.9g / cm ）． 解 设球体的半径为R，则球体的体积为 4 3 π 3 V  R ，从而体积增量为 2 1 1 0.1 0.1 d  4π  1.3       R   R  R R V V R R （ 3 cm ）． 因此每只球需用铜约为 8.9 1.3 11.6  （

g

）． 习题 2.5 1．已知yx3x，计算在当 x 分别等于1 , 0.1 , 0.01 时的 y ， dy ． 2．求下列函数的微分：

84 高 等 数 学 （ 上 册 ） （1）yxsin 2x； （2）y12 x x ； （3） 2 ln (1 )   y x ； （4） 2 1   x y x ； （5）yexcos(3x)； （6）yx2 2e x； （7） 2 arcsin 1 y x ； （8）y 1 lnx x ． 3．求下列微分关系式中的未知函数f x ： ( ) （1）xe dx2 xd ( )f x ； （2）e2xdxd ( )f x ； （3） d ₂ d ( ) 1  x f x x ； （4） 2 sec 3 dx xd ( )f x ； （5） x1dxd ( )f x ； （6） d ₂ d ( ) 1  x x f x x ； （7） tan dx xd ( )f x ； （8） 2 d d ( ) 1   x f x x ． 4．设y y x 是由方程( ) ln(x2y2)xy所确定的隐函数，求 dy 及dy (0,1)． 5．利用微分求近似值： （1）6 65 ； （2） lg11 ． 6．计算球体体积时，要求精确度在2% 以内．问这时测量直径D的相对误差 不能超过多少？

复习题 2

1．在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空 格内： （1） ( )f x 在点x 可导是0 f x 在点( ) x 连续的________条件；0 f x 在点( ) x 连0 续是 ( )f x 在点x 可导的________条件； ₀ （2） ( )f x 在点x 的左导数0 f(x0)及右导数f(x0)都存在且相等是 ( )f x 在点 0 x 可导的________条件； （3） ( )f x 在点x 可导是 ( )0 f x 在点x 可微的________条件． 0 2．设 f x( )x x( 1)(x2)(xn)（n ≥ ）2 ，则 f(0)________． 3．选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论： 设 ( )f x 在xa 的某个邻域内有定义，则 f x 在( ) xa 处可导的一个充分条件 是（ ）． A．lim ( 1) ( ) hh f a _h f a        存在； B． 0 ( 2 ) ( ) lim     h f a h f a h h 存在；

第 2 章 导 数 与 微 分 C． 0 ( ) ( ) lim     h f a h f a h h 存在； D． 0 ( ) ( ) lim    h f a f a h h 存在． 4．求下列函数 f x 的( ) f(0)、 f(0)及 f (0)是否存在： （1） ( ) sin 0 ln(1 ) 0       ， ， ， ≥ ； x x f x x x （2） ( ) _{1 e}1 0 0 0          ， ， ， . x x x f x x 5．讨论函数 1 sin 0 ( ) 0 0 x x f x x x       _  ， ， 在x 0处的连续性与可导性． 6．求下列函数的导数： （1） 2sec₂ 1   x y x ； （2）yarcsin(sin )x ； （3） 2 1 1     x x y x ； （4）yx(sinx1) cscx ； （5） 1 x yx ； （6） 1 1 1 1     y x x ； （7） 1 tan e x y  ； （8）ytan (1 2 )3  x ． 7．求下列函数的二阶导数： （1） 2 cos ln y x x； （2） 2 1 x y x   ； （3） 2 ln  y x x． 8．求下列函数的 n 阶导数： （1）ym1x； （2） 1 1    x y x． 9．求由下列方程所确定的隐函数的导数d d y x： （1） ex ln 1 y  y ； （2） 2 2 arctan yln x y x ． 10．求下列参数方程所确定的函数的一阶导数d d y x及二阶导数 2 2 d d y x ：

86 高 等 数 学 （ 上 册 ） （1） 3 3 cos sin        ， ； x a y a   （2） 2 ln 1 arctan . x t y t         ， 11．求曲线 2e e t t x y         在t 0相应的点处的切线方程及法线方程． 12．求由方程y 1 xey所确定的隐函数的二阶导数 2 2 d d y x ． 13．利用函数的微分代替函数的增量求31.02 的近似值．

数学家简介——牛顿

自然与自然规律为黑暗隐蔽， 上帝说，让牛顿来！ 一切遂臻光明． ——英国诗人蒲柏（杨振宁译） 牛顿（Isaac Newton）（1643～1727）是英国数学 家、物理学家、天文学家．1643 年 1 月 4 日牛顿生于 英格兰林肯郡的伍尔索普；1727 年 3 月 31 日卒于伦 敦．牛顿出身于农民家庭，幼年颇为不幸：他是一个 遗腹子又是早产儿，3 岁时母亲改嫁，把他留给了外祖 父母，从小过着贫困孤苦的生活．他在条件较差的地 方学校接受了初等教育，中学时也没有显示出特殊的 才华．1661 年牛顿考入剑桥大学三一学院，由于家庭 经济困难，学习期间还要从事一些勤杂劳动以减免学 费．由于他学习勤奋，并有幸得到著名数学家巴罗教 授的指导，认真钻研了伽利略、开普勒、沃利斯、笛卡儿、巴罗等人的著作，还 做了不少实验，打下了坚实的基础，1665 年获学士学位．1665 年，伦敦地区流行 鼠疫，剑桥大学暂时关闭．牛顿回到伍尔索普，在乡村幽居的两年中，终日思考 各种问题，探索大自然的奥秘．他平生三大发明，微积分、万有引力定律、光谱 分析，都萌发于此，这时他年仅 23 岁．后来牛顿在追忆这段峥嵘的青春岁月时， 深有感触地说：“当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致 志于数学和科学．”并说：“我的成功当归功于精力的思索．” “没有大胆的猜想 就作不出伟大的发现．”1667 年，牛顿回到剑桥攻读硕士学位，在获得学位后，成 为三一学院的教师，并协助巴罗编写讲义，撰写微积分和光学论文．牛顿的学术 成就得到了巴罗的高度评价，巴罗在 1669 年 7 月向皇家学会数学顾问柯林斯 （Collins）推荐牛顿的《运用无穷多项方程的分析学》时，称牛顿为“卓越天才”．巴

第 2 章 导 数 与 微 分 罗还坦然宣称牛顿的学识已超过自己，并在 1669 年 10 月把“卢卡斯教授”的职 位让给了牛顿，牛顿当时年仅 26 岁． 牛顿发现微积分，首先得助于他的老师巴罗，巴罗关于“微分三角形”的深 刻思想，给他极大影响；另外费马作切线的方法和沃利斯的《无穷算术》也给了 他很大启发．牛顿的微积分思想（流数术）最早出现在他 1665 年 5 月 21 日写的 一页文件中．他的微积分理论主要体现在《运用无穷多项方程的分析学》、《流数 术和无穷级数》及《求曲边形的面积》三部论著里． 牛顿上述三个论著是微积分发展史上的重要里程碑，也为近代数学甚至近代 科学的产生与发展开辟了新纪元．正如恩格斯在《自然辩证法》中所说：“一切 理论成就中未必再有像 17 世纪后半期微积分的发明那样可以被看作人类精神的 最高胜利了．” 由于牛顿对科学作出了巨大贡献，因而受到了人们的崇敬：1688 年当选为国 会议员，1689 年被选为法国科学院院士，1703 年当选为英国皇家学会会长，1705 年被英国女王封为爵士．牛顿的研究工作为近代自然科学奠定四个重要基础：他 创建的微积分，为近代数学奠定了基础；他的光谱分析，为近代光学奠定了基础； 他发现的力学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现的万有引力定律，为近 代天文学奠定了基础．1701 年莱布尼茨说：“纵观有史以来的全部数学，牛顿做了 一半多的工作．”而牛顿本人非常谦虚并在临终前说：“我不知道世人对我怎样看 法，但是在我看来，我只不过像一个在海滨玩耍的孩子，偶尔很高兴地拾到几颗 光滑美丽的石子或贝壳，但那浩瀚无涯的真理的大海，却还在我的前面未曾被我 发现．” 牛顿终生未娶．他死后安葬在威斯敏斯特大教堂之内，与英国的英雄们安葬 在一起．当时法国大文豪伏尔泰正在英国访问，他看到英国的大人物们都争抬牛 顿的灵柩时感叹地评论说：“英国人悼念牛顿就像悼念一位造福于民的国王．”牛 顿是对人类科学做出卓越贡献的巨擘，得到了世人的尊敬和仰慕．牛顿墓碑上拉 丁语墓志铭的最后一句是：“他是人类的真正骄傲，让我们为之欢呼吧！”