固定牆邊界條件

第六步：計算壓力邊界上的流量

第七步：重複第二步到第六步的步驟，直到給定的時間為止，並輸出結果。

第五章 微幫浦塊狀理論分析

5.1 塊狀系統理論分析(Lump-system analysis)

1998 年 Ullmann【22】提出一個數學模式，分析無閥式微幫浦的流場，並可估算出 腔體內的壓力變化及進出口的流量大小。其數學模式是依照流體流動的方向，將單腔無 閥式微幫浦一個週期的運作，分為三種模式作計算，分別為排水模式、吸水模式與過渡 模式，並定義流體流動方向向右為正。以下對其數學模式做介紹：

流體流經漸縮/漸擴管時，會因其幾何外形而造成壓力損失，其結合速度V 與壓力差 Δ 可表示成： P

K V² =ΔP 2

1 ρ (5.1)

將其改寫成流量 Q 與壓力差 PΔ 的形式為：

Q P K A

t

Δ

=

2

2 2

ρ (5.2)

上式中，A 為漸縮/漸擴管的喉部面積。K 為壓力損失係數，流體流向漸縮管(nozzle)時，_t Kn

K = ；流體流向為漸擴管時，K =K_d。

— 排水模式(P_c > P_out >P_in)：此模式中腔體內壓力大於進出口端壓力，流體經漸縮管 (nozzle)方向由腔體流到進口端；經漸擴管(diffuser)方向由腔體流到出口端。

_{in c in}

t

n Q P P

K A₂ ² = − 2

ρ (5.3A)

out c out t

d Q P P

K A₂ ² = − 2

ρ (5.3B)

(

^ft

)

f Q

Q_in + _out =∀_MAX ⋅2π sin 2π

− (5.3C)

— 吸水模式(P_out >P_in >P_c)：此模式中進出口端壓力大於腔體內壓力，流體經漸擴管 (diffuser)方向由進口端流進腔體內部；經漸縮管(nozzle)方向由出口端流進腔體內 部。

_{in in c}

t

d Q P P

K A₂ ² = − 2

ρ (5.4A)

c out out t

n Q P P

K A₂ ² = − 2

ρ (5.4B)

(

ft

)

f Q

Q_in − _out =∀_MAX ⋅2π sin 2π (5.4C)

— 過渡模式(P_out >P_c >P_in)：此模式中流體經漸縮管(nozzle)方向由腔體流到進口端；

經漸縮管(nozzle)方向由出口端流進腔體內部。

_{in c in}

t

n Q P P

K A₂ ² = − 2

ρ (5.5A)

c out out t

n Q P P

K A₂ ² = − 2

ρ (5.5B)

(

^ft

)

f Q

Q_in − _out =∀_MAX ⋅2π sin 2π

− (5.5C) 上述方程式中，∀_MAX為壓電薄膜水平向上掃過的最大體積。 f 為振動頻率。

5.1.1 單腔無閥式

從上述的方程組中可發現，Ullmann【22】提出的微幫浦理論，需依照流體流動的 方向，將方程式劃分為數種模式作討論，當微幫浦腔體數目增加時，就會增加劃分模式 的困難度，計算上也較為複雜。因此吳欣恩【26】提出一種方式，可將不同模式下的方 程式作合併，使其理論可套用在多腔體的微幫浦中。

吳欣恩【26】發現在(5.9)式到(5.11)式中，流體流動的方向會影響壓力損失係數K 與_n K 的選取，因此藉由流量正負變化的關係與 max 和 min 的指令，使其自動選取適合的d K_n 或K 值作運算，達成將三個方程組合併成為一個方程組的目的，其中_d Q 與_in Q_out為前一 個時間點的數值。

壓力損失係數與流量的關係，採用呂學霖【28】藉由模擬漸縮/漸擴管元件，Curve Fitting 出的關係式，表示如下：

K_d =1.315×10⁻⁷ ⋅Q^−0.921+0.5981 (5.6)

K_n =1.173×10⁻⁶⋅Q^−0.8112 +1.204 (5.7) 上列式子中， Q 為前一個時間點的數值。

文獻【26】提出微幫浦中流體流動的情形隨時間而變化，為非穩態的形式，故考慮

流體慣性項的影響，在穩態形式中加入慣性項，使分析後的流場情形能更貼近實際的物

在無背壓時，初始條件(initial condition)的設定如下：

m s

而Q 代表流經中間段漸縮/漸擴管(nozzle/diffuser)或直管(straight tube)的流量，依照單腔_c

初始條件(initial condition)的設定如下：

m s

藉由上述的聯立方程組，求解在Steady Model 與 Unsteady Model 下，Q 、_in Q 、_c Q 、_out

( )

( )

第六章 結果與討論

6.1 網格點測試

文中依據三腔逆向三相位蠕動形式，所計算出的淨流量值當作參考，測試網格數分 別為118332、152240、192808、228600 及 291264 的三腔微幫浦模型，其五個週期內的 淨流量值表示如(圖 6.1)，圖中可發現當網格數為 192808、228600 及 291264 時，其五個 週期內每一個週期的淨流量值都非常的接近，且超過第三個週期後，淨流量值皆非常的 穩定，不再有大幅的變動，而塊狀理論分析(圖 6.2)於非穩態模式在第二個週期後，幾乎 就為一個定值。(圖 6.3)利用網格數為 192808 及 291264 時，計算三腔逆向三相位在承受 不同背壓(0 pa、1180 pa、2950 pa、4720 pa、5900 pa)下，其淨流量的變化，發現其淨流

量值差異極小，因此文中利用 CFD 計算模擬三腔微幫浦的壓力及流量變化時，採用

192808 的網格數，二腔微幫浦的網格則依照上述架構作繪製，得到的網格數為 140558。

表 6.1 到表 6.7 所列出 CFD 模擬計算出的淨流量值，是採取第五個週期所計算模擬出 的結果，在模擬時將壓電薄膜振動一個週期(T)的簡諧運動，分為 600 個 time step。塊狀 理論分析是擷取第三個週期計算出的淨流量值。文中流量與時間的關係圖中，正值代表 流體的流向是由入口端往出口端流動，意即向右為正，負值即為反向流動。

6.2 各式蠕動相位的特性分析

於第一章文獻中提到常見的蠕動相位形式，皆是在探討高壓縮比的情形，高壓縮比 即代表薄膜有較大的振動幅度，當薄膜向上升起時，流體便能流進腔體內部，當薄膜往 下移動時，就擠壓流體使其往下一個腔體移動，若是薄膜的振動幅度等同於腔體的深度 時，薄膜將類似一個被動閥門開關的角色，阻隔各腔體間的流體相互流通，避免後一個 腔體內部的流體有回流的現象發生，具有強制性的將流體帶往下一個腔體之中的功能，

可參考(圖 1.5)及(圖 1.6)。若是屬於低壓縮比的蠕動式微幫浦類型，因薄膜振動幅度小，

影響微幫浦一個週期淨流量大小最主要的因素，將是各式蠕動相位的特性。

6.2.1 壓縮比(ε )

— stroke volume

( ) dead volume ε = 薄膜掃過的最大體積

腔體體積 未被薄膜掃過 (6.1) 由(2.5)式得知壓電薄膜由水平向上掃過的最大體積可計算如下：

— _{max 1}² ₀³ _{0 1}² ₁^{3 -11}

0 1

2 1 1 1

1.9897 10

6 2 3

MAX MAX

d r d r r r r

r r

π π^{⋅ ⎛ ⎞}

∀ = ⋅ + − ⎜⎝ − + ⎟⎠= × (6.2) 其中將最大位移量(d_MAX = 1 mμ )、腔體半徑(r = 3 mm)及壓電薄膜半徑(₀ r = 2 mm) 分別₁ 代進作計算。

得知壓電薄膜由最低點到最高點所掃過的最大體積為 3.9794×10^-11 m³，又腔體本身 的體積為5.6549×10^-9 m³，代入計算壓縮比的公式之中，可得出ε = 0.00706，故文中探 討的蠕動式微幫浦是屬於低壓縮比的類型，其影響微幫浦效率最重要的因素將是各蠕動 相位造成流向差異的特性。

6.2.2 蠕動相位介紹

Jang and Yu【21】製作壓電蠕動式微幫浦，並整理提出三種常見的蠕動相位形式，

分別為三相位、四相位與六相位(圖 1.3)，其中本文針對三相位的蠕動形式，嘗試提出一 個逆向的三相位蠕動方式作比較，而一般文獻中的三相位蠕動形式在本文中稱為順向三 相位的蠕動形式，因為上述相位形式其對應的腔體個數為三個，所以在相位名稱前加入 三腔的字樣以示區別，故三腔的蠕動相位形式分別有三腔順向三相位、三腔逆向三相 位、三腔四相位及三腔六相位共四種。在2003 年 Berg et al.【17】則提出兩種蠕動形式 應用於二腔的蠕動式微幫浦(圖 1.2)，分別為三相位及四相位，文中亦針對二腔三相位提 出另一種二腔逆向三相位的形式，故二腔的蠕動式微幫浦有三種蠕動形式，分別為二腔 順向三相位、二腔逆向三相位及二腔四相位共三種。

6.2.3 順向三相位與逆向三相位

由表 6.1、6.2、6.5、6.6 中可發現，不管是擁有二腔體或是三腔體的蠕動式微幫浦 中，逆向三相位蠕動形式產生的淨流量都遠大於順向三相位蠕動形式所產生的淨流量。

因此吾人觀察在低壓縮比，及薄膜的週期性振動下，造成連接腔體之間的漸縮/漸擴管中

流體的流動情形如(圖 1.7(A)、(B))及(圖 1.8(A)、(B))，黑色箭頭代表流體的流動方向，(圖 6.4)至(圖 6.11)為理論分析及 CFD 模擬結果。發現一個蠕動式微幫浦運作的週期中，順 向三相位的蠕動形式裡，每一個連接管中只有三分之一的週期流向右方即為出口端，另 外三分之二的週期流向左方即為進口端；然而文中提出的逆向三相位蠕動形式，每一個 連接管中有三分之二的週期流向右方即出口端，三分之一的週期流向左方即進口端，故 將流量變化加總求淨流量時，有較多時間流向出口端的逆向三相位蠕動形式，其淨流量 會大於順向三相位的蠕動形式。

本研究為了去除因漸縮/漸擴管造成壓力係數損失的影響，而使用直管來替代漸縮/

漸擴管來當連接腔體間的微流道，在塊狀理論分析上，有關直管的壓力損失係數，是假 設K_s =

(

K_n +K_d

)

2

1 ，這個簡單的假設是為了使流體流動的方向性，不會受壓力損失係

數的影響，而能表達直管當作微流道的情境。由表中計算出的淨流量值可發現，在扣除 漸縮/漸擴管的影響下，逆向三相位能產生一正的淨流量值，而順向三相位則為負的，此 一結果與上述論點相符。

6.2.4 對稱性的蠕動相位

由(圖 1.7(C))及(圖 1.8(C)、(D))中可觀察出，二腔四相位、三腔四相位及三腔六相 位皆屬於對稱性的蠕動形式，在每一個連接管中，都各有二分之一的週期的時間流向入 口端，另外二分之一週期的時間流向出口端。表6.3、6.4 及 6.7 中當連接管為直管時，

藉由塊狀理論所計算出的淨流量值，皆介於10^-12~10^-22之間，因考慮計算上浮點數造成 的誤差，故可視對稱相位蠕動形式其淨流量為0。(圖 6.12)至(圖 6.23)為對稱性的蠕動相 位其流量與壓力隨時間變化的情形。由流量的圖中可發現直管中，在二分之一週期的時

間為對稱點其值為0，每條流量隨時間的變化在其對稱點左右各對應二至三個高峰及低

谷，高峰及其對應的低谷的峰值極為接近，故將流量加總時會趨近於0，可知四相位及

六相位為對稱形的蠕動相位。

上述的論點適用於低壓縮比的蠕動式微幫浦，在振幅極小的情況下，蠕動相位的特 性，將決定微幫浦的效能。在高壓縮比下，Berg et al.【17】提出的二腔蠕動式微幫浦，

經實驗量測得三相位淨流量為0.098 μl/s，四相位為 0.107 μl/s。Jang and Yu【21】在給 定相同的驅動電壓下，得出三相位的淨流量為11.6 μl/min，四相位為 17.6 μl/min，六相 位為16.8 μl/min，可知在二腔體時四相位蠕動形式其效能高於三相位，在三腔體時四相 位蠕動形式的淨流量值最大，六相位居次，三相位最小。

6.3 塊狀理論分析

1998 年 Ullmann【22】認為流體流經漸縮/漸擴管時，因幾合外形的緣故，會導致壓 力損失，其關係式結合了速度與壓力，他利用體積流率的關係，將式子推導成壓力與流 量的關係式，並與流量的變化為薄膜振動掃過最大體積的關係式，作為聯立方程式求 解，便能簡易且快速的計算出單腔無閥式微幫浦，腔內壓力與流量隨時間變化的情形。

Tsui and Lu【27】計算模擬出當張角為 7°，流體流往漸縮或漸擴管時其壓力損失係數變

Tsui and Lu【27】計算模擬出當張角為 7°，流體流往漸縮或漸擴管時其壓力損失係數變

在文檔中 低壓縮比蠕動式微幫浦分析 (頁 35-0)