第二章 微米捲管形成與光學原理
2.1 半導體捲管形成原理 [12]
半導體微米捲管的形成是由兩個重要的部分所決定，一是成長於同一基板(substrate) 上的應變雙層薄膜(strained bilayers)，二是成長於基板和應變雙層薄膜之間的犧牲層。其 中應變雙層薄膜是由兩種晶格常數(lattice constant)不匹配的材料所組成，接著利用具有 高度選擇性的蝕刻溶液將犧牲層蝕刻掉，應變雙層薄膜即會釋放應力自發性的捲曲，形 成半導體捲管。
本研究中的應變雙層薄膜以三五族半導體 GaAs 以及 InGaAs 兩種材料為主，此兩 種材料的晶格常數可參考圖 2.1.1。GaAs 的晶格常數約為 5.65325Å，而 InxGa1-xAs 在 x=0.2 時晶格常數約為 5.73426Å ，由此可知應變雙層薄膜的晶格不匹配量(lattice mismatch)約 為Δa/a=1.43%。而犧牲層則是使用 AlAs，其晶格常數為 5.6611 Å 。
圖 2.1.1 半導體的晶格常數及能隙圖
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半導體微米捲管的形成機制則如圖 2.1.2 所示。首先於 GaAs 基板上成長晶格常數相 匹配的 AlAs 犧牲層，再成長由 GaAs 以及 InGaAs 這兩種晶格不匹配的材料所組成的應 變雙層薄膜於其上。此時因為 InGaAs 的晶格常數較 GaAs 大，因此 InGaAs 薄膜會受到 壓縮(compressive)的應力，反之應變雙層薄膜中的 GaAs 薄膜則會受到一伸張(tensile)的 應力。接著使用具有高度選擇蝕刻比(> 109)的氫氟酸(hydrofluoric acid, HF)溶液蝕刻掉 AlAs 犧牲層，而不會蝕刻 GaAs/InGaAs 薄膜，則受到應力的雙層薄膜會被釋放離開基 板。此時原本受壓縮應力的 InGaAs 層會產生向外延展的力量 F1，同時原本受到伸張應 力的 GaAs 層則會產生向內收縮的力量 F2，如此便會產生一作用在 GaAs/InGaAs 雙層 薄膜上的力矩 M，促使雙層薄膜捲曲而形成微米捲管，以平衡應變雙層薄膜間所受的應 力，這是製作微米捲管時最重要的步驟。蝕刻速率與品質的控制將是決定半導體微米捲 管形成與否的關鍵。
圖 2.1.2 半導體微米捲管形成機制示意圖 [12]
(a)磊晶前各薄膜層的晶格常數，其中 GaAs 層與 InGaAs 層不互相匹配 (b)經分子束磊晶後 GaAs/InGaAs 間受到應力而互相匹配的樣品
(c)選擇性蝕刻犧牲層後釋放應力而捲曲的應變雙層薄膜 (d)應變雙層薄膜捲曲完後形成捲管
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2.2 半導體捲管直徑推估[13]
半導體捲管的直徑可用理論估計，其與雙層應變薄膜的內建應變量(built-in strain)、
雙層應變薄膜的總厚度及其厚度比例有關。
圖 2.2.1 (a)圓柱狀捲曲結構示意圖，其中捲管的切線方向 t、軸向 y 以及徑向 r (b) 薄膜內的徑向座標 r 的座標關係圖。[13]
假設捲管為一圓柱狀結構如圖 2.2.1 所示，徑向(r)的應力鬆弛且為零，而由後續推 導可知，不論捲管軸向(y 軸)應力是否鬆弛，皆不會對捲管曲率半徑造成影響。以 at、ay 分別表示在平面切線方向以及軸向的晶格常數，以 ar表示徑向的晶格常數，εt、εy及εr
則為相對應的應變量。其中 at和 ar皆與徑向座標 r 有關。若薄膜厚度為 d，則在薄膜的 內、外表面徑向座標分別設為 r=0 和 r= d。若薄膜內表面的曲率半徑及晶格常數分別為 R 和 a，則切線方向晶格大小可視為隨半徑大小線性變化: i at(r) = ai(1 + r R⁄ )。ai和 R(和 ay)由應變鬆弛的情況所決定，而 εr(和 ar)則和雙軸鬆弛有關，即徑向應力 σr=0。
利用連續彈性理論(continuous elasticity theory)，我們能夠解釋捲管偏好沿〈100〉方 向捲曲的原因來自於捲管在不同晶格結構、方向及對稱性等因素下所相對應的應變能 (strain energy) [13]。
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其中C11、C12為晶體的彈性剛性常數(elastic stiffness constant)。
微米捲管向不同於[100]方向捲曲時，其應變能會有所不同。若(001)方向的薄膜沿
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為雙層薄膜總厚度，m= d1/d2是兩種薄膜的厚度比，n= Y1/Y2為兩種薄膜的楊氏係數 (Young’s modulus )比，以及由於兩層薄膜之間的晶格不匹配(lattice mismatch)所產生的平 面雙軸向應變量(in-plane biaxial strain) ε =a2a−a1 成一個具有光學活性的主動區 (optically active region)。此外，由於量子點(或量子井)周 圍的半導體材料以及空氣其等效折射率 neff較低，因此便形成了一個有效的波導結構。 管環形共振腔的光學共振模態(Optical Resonance Modes, ORMs)。
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圖 2.3.1 光波在微米捲管管壁中全反射示意圖
根據文獻[16]的研究結果，以及我們所做的偏極化量測可得知，侷限於捲管中的光 波其電場主要是平行分布於捲管管壁的(TE mode)。這是因為我們所使用的主動層為量 子點，其電子電洞對復合，電子躍遷所發出的光本身就是 TE mode 的光，因此我們可以 利用等效的二維平面波導模型(planar dielectric waveguide model)來分析捲管的光學共振 模態[17]。圖 2.3.2 即為等效二維平面波導模型的示意圖，模型中的 y 及 l 方向分別為捲 管的軸向以及沿著捲管圓周的方向。
圖 2.3.2 等效二維平面波導模型示意圖 [18]
由純量的亥姆霍茲方程式(scalar Helmholtz equation)可得到下式：
−n 1
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即將電場分布近似為 E(𝑙, y) = φ(y)eiβ𝑙，將其代入上式可得到公式(2.4)。由於公式(2.4) 的形式類似於薛丁格方程式，因此稱為 photonic quasi-Schrödinger equation，利用此公式 並配合數值解可以求得捲管的光學共振軸向模態(axial modes)。
−∂2∂yφ(y)2 − neff(y)2k2φ(y) = −β2φ(y) (2.4) 而另一方面，方位角的共振條件(azimuthal resonance condition)，即為環繞捲管圓周 方向的主要共振模態條件，如公式(2.5)所示：
neff(y) ∙ πD = mλ (2.5) 其中 m 為 azimuthal 模數。當 m 值很大的時候，共振模態之間的間距可以表示為:
∆λ = λ𝑚− λ𝑚+1= neff∙ πD ∙ (1
𝑚− 1
𝑚 + 1) ≅neff∙ πD 𝑚2 我們可以接著推導出公式(2.6):
∆λ = λ2/πD ∙ neff (2.6) 在共振的情況下，捲管中的光波會滿足上面兩個式子，其中 neff為半導體捲管材料 的等效折射率(effective index of refraction)，D 為捲管直徑，共振腔長度=捲管圓周長= πD，
m 為方位角模數(azimuthal mode number)，λ 為在捲管中的光波波長。
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