感測器雜訊影響時的傳統錯誤鑑別處理方式











 









 











fault no Threshold

occur fault Threshold

m V

f C

f C

f C

f C

f C

l n l n col

n n col voting n

n col voting col

voting col

voting voting

) (

) (

) (

) (

) (

2 ) _(

2 _ _ 2

_ _ 2

2 2 _ _ 2

1 1 _ _





(2.9)

此法雖能作即時的檢測錯誤,但會造成鑑別錯誤的不準確,原因是以即時運算來看,其將每一時 間之等值方程式的剩餘值與臨界值作比較,所以臨界值勢必要設定“夠大”,意即須以雜訊的標準差 為範圍作設定。如此,有小於雜訊標準差範圍的錯誤訊號產生時,判別式會將此狀況視為無出錯,而造 成了鑑別不準。

第三章 即時錯誤鑑別及更正法 (Real-time Fault Identification and correction)

本章我們提出一種即時的錯誤鑑別法。改良傳統錯誤鑑別法邏輯判段估測不準和非即時估測的 缺點,在本方法中,我們提出輸出方程式(output equations)取代 parity 和 voting equations 邏輯判斷,並藉 由擴增卡曼濾波器(Extended Kalman Filter)及儲存記憶褪去法(Fading memory)的技巧建構適當的狀態 觀察器(state observer),比傳統錯誤鑑別法更能即時的估測出感測器的誤差量。其中擴增卡曼濾波器 (Extended Kalman Filter)只能估測非線性靜態系統,儲存記憶褪去法(Fading memory)加入擴增卡曼濾 波器(Extended Kalman Filter)可估測動態系統,此方法具即時的“偵錯及估測”的能力,將此狀態觀察 器再輔以狀態回授法(stat feedback)可將觀察器估測的錯誤狀態值乘以狀態回授增益回授至系統中, 直到系統中的錯誤狀態值補嘗至理想值。並可容許其它感測器出錯,形成多餘感測容錯系統。

3.1 統禦方程式(governing equation )

我們先定義出系統在測量的輸出訊號的統禦方程式,其中輸出訊號包含估測錯誤訊號狀態值的

3.2 非時變的錯誤偏差訊號(time-constant fault or drift)

測的狀態值d 視為定値量(constant),則對於這些狀態值的狀態方程式(state equations)可以寫成:

3.3 輸出方程式(output equations)

以系統的觀察性(observability)來看,我們需要一個秩為nl的觀察矩陣來觀測出nl 個狀態

l

) 估測出錯誤量(與 parity equations 及 voting equations 的限制條件一致)。由於本系統使用卡曼濾波器當 觀查器估測,Eq.(3.8)的輸出不能零向量表示,須加設一雜訊項,其原因矩陣不能為零矩陣因為要有反 矩陣(inverse matrix)運算,否則會有奇異性的問題產生。

為一虛設的雜訊向量 觀點處理觀察性(observability)問題, 因為 Eq.(3.2)是一個靜態(static)系統 (因系統狀態值為非時變訊 號d,所以d  0,狀態方程式為 0),所以觀察性矩陣僅由輸出方程式組成,非線性系統的觀察性矩陣

)

3.5 時變的錯誤偏差訊號(time-varying fault or drift)

之前我們是利用定值錯誤訊號(dc-offset)來解釋本論文提出的鑑別架構法則,然而對於隨時間變 化的錯誤訊號估測其實也適用於本方法。在 Eq.(3.2)中,是假設d_j為常數不變化,但是若這個錯誤訊 號會隨著時間而變化的話,我們以離散時間系統表示,使用 Eq.(3.3) d(k1) A(k)d(k)。此時A(k) 不是單位矩陣,而是隨時間變化,d_j也不再是常數,而是隨著每一取樣時間(sampling time)而改變,以兩 段取樣時間來看,在這個微小的取樣間隔裡,其訊號可視為一定值。即零階保持(zero-order hold)所以隨 時間變化的錯誤訊號雖不為常數,但我們可將其看作許多一小段不同的常數線性組合而成的, 數學 上稱之為一階差分方程式(first order difference equation),此時d(k1) A(k)d(k)仍然適用本方法來 作估測。以普通的擴增卡曼濾波器來說只適合用於系統動態性不變時,若系統動態隨時間改變,必須

加入適應性(adaptive)控制的概念,本論文是採用＂儲存記憶褪去法”(Fading memory)以達到即時估 測時變訊號。

3.6 儲存記憶褪去式擴增卡曼濾波器(Extened kalman filter with fading memory)

本節使用擴增卡曼濾波器當觀察器估測非線性靜態系統的錯誤訊號狀態值,但當系統為動態時, 擴增卡曼濾波器估測狀態值產生估測不準或發散問題,此時則需以儲存記憶褪去法(fading memory method)加入擴增卡曼濾波器中,才可估測動態系統狀態值準確。

3.6.1 卡曼濾波器(Kalman filter)

卡曼濾波器是一種最佳化的估測器,卡曼濾波器可減小估計誤差的偏差,可以得到最小化的均方 誤差(mean square error)。因此卡曼濾波器在嵌入式控制與導航系統領域中被大量的研究及應用。

卡曼濾波器是一種遞回的估計,即只要獲知上一時刻狀態的估計值以及當前狀態的觀測值就 可以計算出當前狀態的估計值,因此不需要記錄觀測或者估計的歷史信息。卡爾曼濾波器與大多數 濾波器不同之處,在於它是一種純粹的時域濾波器,它不需要像低通濾波器等頻域濾波器那樣,需要 在頻域設計再轉換到時域實現。

3.6.2 擴增卡曼濾波器(Extended Kalman Filter,EKF)

卡曼濾波器是適用於線性系統估測時處理,事實上,在工程中幾乎所有受控場(plant)的進程都是 非線性的。而“擴增型卡曼濾波器(Extended Kalman Filter,EKF)”即為解決非線性系統估測問題。

考慮以下的非線性離散時間系統的動態方程式(dynamical equation):

) 1 ( )) 1 ( , 1 ( ) 1 ( :

) ( )) ( ), ( , ( ) 1 ( :



















k w k

x k h k

z equation output

k v k u k x k f k

x equation state

(3.11)

其中, x(k)是時間k系統實際狀態值, u(k)是時間k系統輸入值, f()是x(k)到x(k1)的非線性 變換函數, v(k)是受控場的雜訊(plant noise),其據有符合平均值為 0,協方差矩陣為Q(k)的隨機常態 分佈的雜訊,z(k)是系統對實際狀態x(k)的測量值, h()是測量函數,它把實際狀態值x(k)映射成測 量值z(k),w(k)是測量雜訊(measurement noise),其據有符合平均值為 0,協方差矩陣為R(k)的隨機常 態分佈的雜訊。

Jacobian 矩陣,求法如下:

擴增卡曼濾波器的設計方法分為兩個主要步驟:1.狀態的預測(prediction of states) 2.狀態的修正 (correction of states)。第一個步驟”狀態的預測 ”是指從當前狀態的觀察值及輸入來估測下一刻時 間的狀態值。第二個步驟“狀態的修正”是濾波器利用目前的量測值做最佳化,修正前一個步驟所

2. 狀態的修正(correction of states):

) filter Kalman (

3.6.3 儲存記憶褪去法(fading memory)

當系統動態發生改變時(3.5 節),由於濾波器本身當初設定系統矩陣 A(k)並不會因真實系統改

控制(adaptive control)的方法在控制同時利用可量測的系統訊號進行系統未知狀態值估測,此時採用 的適應性控制(adaptive control)的方法為儲存記憶褪去法來輔助卡曼濾波器的設計。因而稱此為儲存 記憶褪去式卡曼濾波器(kalman filter with fading memory)。

利用褪去狀態累積記憶資訊的作法便是加入一個褪去因子(forgetting factor) (k1),加入褪去 因子後的卡曼濾波器只需改變 prediction equation:

(k) (residual covariance matrix):

 

將 Eq.(3.21)等式兩邊取跡(trace),則最佳化褪去因子(k1)可被計算為:







 

   



 1 ( 1) 1( 1)

, 1 max 1)

(k trace N k M k

 m (3.22)

當我們在做模擬運算時,Eq.(3.22) 對M(k1)做反矩陣增加運算的複雜度,為加快即時鑑別的 速度,則避免反矩陣M(k1)的運算,直接對 Eq.(3.20)方程式兩邊取跡(trace).,則可得下式:



^{1, [ ( 1)]/ [ ( 1)])}



max 1)

(k  trace N k  trace M k 

 (3.23)

由 matlab 電腦模擬印證出 Eq.(3.23)也可滿足褪去因子的選擇性。

加入儲存記憶褪去法後的 EKF 的流程圖:

圖 3.2 儲存記憶褪去式卡曼濾波器流程圖

3.7 使用卡曼濾波器應用於即時錯誤鑑別系統

介紹完卡曼濾波器後,將其當成本系統的觀察器,作法如下:

 我們在 Eq.(3.3)裡把系統(受控廠 plant)待估測的狀態值,〝錯誤訊號〞,以d(k1) A(k)d(k)表 示,將觀察器的預測系統狀態值以dˆ(k 1k)  A(k)dˆ(kk)當作觀察器系統所估測到的錯誤

值。dˆ(k k)為錯誤訊號的估測值,dˆ(k 1k)為更新前錯誤訊號估測值。

 因為系統(受控廠 plant)的狀態值d(k)是不可量測,但觀察器可透過電路實現可測量dˆ(kk),觀

察器設計的目的為想要將估測狀態值dˆ(kk)近似為系統狀態值d(k)。

 以多餘感測的配置關係求出如 3.3 節輸出方程式為 



 







 

 ( 1)

) 1 ) (

1

( z k

k k z

z

aux

p 。

 輸出測量矩陣H(k 1)由

) 1 ˆ(

) 1 (

k k d

d d

k z



 



 求出。

 輸出方程式殘餘值

) 1 ˆ( ) 1 ( ) 1 (

) 1 ( ˆ ) 1 ( )) 1 ˆ( , ) (

1 (

) 1 ) (

1 (

k k d k H k

z

k k z k

z k k d k k z

z k k z

r residual

aux p

























 







 





。

 修正估測狀態值dˆ(k1k1)dˆ(k1k)K(k1)r(k1),dˆ(k  k1 1)為更新後錯誤訊號 的估測值。

 其流程方塊圖如圖 3.3 所示。

delay

delay

圖 3.3 卡曼濾波器使用於本系統上之流程方塊圖

3.8 錯誤訊號的更正(Fault signal correction)

本節介紹狀態回授法(state feedback method)目的及原理,以分離原理說明卡曼濾波為觀察器結合 狀態回授的設計,並驗證此狀態回授系統是否符合穩定性(stability)設計,最後說明狀態回授法(state feedback method)加入我們提出的即時錯誤鑑別法中可更正補償系統錯誤訊號,使系統運作正常。

3.8.1

目的

在 3.3 節後半我們有提及到即時錯誤鑑別法在同一時間只能允許一個感測器錯誤發生,若是要 容許下一個感測器發生錯誤時觀察器能鑑別出就必須使第一個出錯感測器即更正到理想狀態,則系 統中任一感測器出錯均可即時更正而不會影響系統的運作,搭配我們提出的即時錯誤鑑別法形成一 可運行的多餘感測容錯系統。

3.8.2 狀態回授法(state feedback) 3.8.2.1 狀態回授簡介

由觀察器所預測到的狀態值就是感測器上的錯誤訊號值,而我們把這些估測狀態值回授到輸入, 使得回授與輸入訊號相加或相減合成訊號進入到系統,再從系統的感測器量測輸出值(即 Eq.(3.1)之 mj),使得具有錯誤的輸出值m_j能夠藉由狀態回授增益的補償讓錯誤值更正,修正到輸出值為 Eq.(3.1) 之理想值m_{real_j}。其控制原理為若系統是可控制的,則可經由狀態回授任意設定閉迴路的特徵值(極 點),使閉迴路穩定。

3.8.2.2 分離原理(Separation principle)

利用觀察器估測的狀態值做狀態回授設計,以卡曼濾波為觀察器結合狀態回授的系統方塊流程 如圖 3.4 所示:

delay

delay

圖 3.4 狀態回授法使用於本系統上之流程方塊圖

狀態回授與觀察器之合成設計,主要根據分離原理(Separation principle):假設開路系統為完全狀 態可控制及可觀察。當控制系統引用狀態觀察器(state observer)來達成狀態回授(state feedbeck)之閉迴 路設計時,若開路系統的參數矩陣A(k),H(k 1)完全已知時,則狀態觀察器與狀態回授器可以分離 設計。此理論稱為分離原理。狀態回授與觀察器之合成的設計步驟如下:

1.檢查開路系統的控制性與觀察性。

態回授控制方式為一簡單的比例控制動作(proportional control),電路上用一比例放大器即可實現此狀 態回授控制器。所以 Eq.(3.24)可以改寫成:

5.根據分離原理(Separation principle),求解狀態觀察器與狀態回授增益。

都已知的狀況下,依照分離原理(Separation principle),狀態觀察器與狀態回授可以分離設計。如圖(3.5)

3.8.2.3 離散時間系統的穩定度(stability)

狀 態 回 授 後 的 系 統 穩 定 度 決 定 於 此 系 統 的 特 徵 方 程 式 (characteristic equation) 的 特 徵 值 (eigenvalues)(極點)是否位於z平面的單位圓(unit circle)內。因為由 Eq.(3.32)系統錯誤值的動態方程式 是穩定的充分必要條件是 :

將 Eq.(3.26-1)代入 Eq.(3.26-2)

0

Eq.(3.29)同理可證得

由 Eq.(3.34),Eq(3.35)可由疊代(iteration)關係推導出

)

若將經過狀態回授補償後的狀態值,〝Eq.(3.36)〞代入 Eq(3.37)則可得經過狀態回授補償後的量測值 向量,我們以m_com(k 1)表示如下:

第四章 即時錯誤鑑別及更正實例模擬與分析

為了驗證我們提出即時錯誤鑑別法及狀態回授更正演算法,將此演算法寫成 Matlab 程式模擬而 繪出相關的模擬圖。我們假定一個簡單的馬達轉動量測系統,它運用一個感測器(加速規)來量測馬達 (系統)的轉速(狀態),而再外加兩個感測器形成一個多餘感測元件的系統。取樣頻率為 100Hz 搜集加 速規訊號,此外給定感測器一高斯分佈的隨機雜訊,其標準差為 0.01 量測單位。

4.1 即時錯誤鑑別系統模擬與分析

4.1.1 奇異值分解 (singular value decomposition)判定觀察性

在 3.4 節我們利用觀察性矩陣來判定系統的觀察性。另外,也可由奇異值分解 (singular value decomposition) 算出奇異值(singular value)來看觀察性。假設系統有nl個狀態值,要使系統完全狀態 可觀察就必須有nl大於 0 的奇異値。此觀察性矩陣的秩(rank)也等於nl。在本模擬中,設三個感 測器的錯誤訊號理想值分別為(d₁,d₂,d₃) (1,0,0),我們先猜測以卡曼濾波器為觀察器的錯誤訊 號估測值為(dˆ₁,dˆ₂,dˆ₃)(5,7,8),以此及 4.1 資訊代入 matlab 電腦模擬錯誤鑑別法及卡曼濾波器運 算,如圖 4.1 可得出 3 個 3 個大於 0 的奇異値。

0 5 10

0 1 2 3 4 5

sec

SV1 value

singular of 3 sensors

singular of 3 sensors

在文檔中 容錯多餘感測系統之即時錯誤鑑別及更正 (頁 22-0)