應用對消法推導 ∑ ∞ 的一般式

1

1 10

1 ⁺

∞

∑

= ^⎜_⎝^{⎛ ⎟}_⎠^⎞k k

Fk

的值

在日文期刊有一篇文章，題目為「

89

1 的不可思議」，作者萱場 修利用無窮級數對消，推

證出89

1 可以以費氏數的無窮級數來表示。首先，利用電算機可計算出 89

1 的值為

...

5617977 0112359550

.

891 =0 。

此數字的小數第二位是 1，第三位是 1，而其第四位是 2，剛好是第二位與第三位的相加，而 第五位是 3，剛好也是第三位與第四位的相加，可以推測

89

1 可以用費氏數列的一種無窮級數

來表示：

0 1 1 2 3 5 9 5 5 0 5 6 1 7 9 7 F₁ 1

F₂ 1

F3 2

F4 3

F₅ 5

F₆ 8

F7 1 3

F8 2 1

F₉ 3 4

F₁₀ 5 5

F11 8 9

F12 1 4 4

F₁₃ 2 3 3

F₁₄ 3 7 7

F15 6 1 0

...

10 5 10 3 10 2 10 1 10 89 1

1 = × ⁻2 + × ⁻3 + × ⁻4 + × ⁻5 + × ⁻6 + 。 現在，我們將介紹此文章的推導方法[7]。我們定義一個 n 項的級數和

S =n

∑

。

= n + k

k kr F

1

1

為了利用對消法，我們將S_n做了以下的處理。

如此，我們出現了可以相消的項，將(2.2.1)式減(2.2.2)式後再減(2.2.3)式可得

(

1⁻r⁻r²

)

Sn ⁼ F₁r² +F₂r³−F₁r³ (2.2.4)

第三節 利用定義推導 ∑

^∞

的值

∑

^∞

利用性質 1.2.7，在公比 x 與 y 在-1 到 1 之間，當 n 趨近於無窮大時，利用無窮等比級數的公 式，可得總和為

n Sn

∞

lim→ = ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− y

y x

x r^b

1 5 1

= ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ +

−

− xy y x

y x r^b

) (

5 1 。

利用四則運算與F_a和L_a的定義可得x− y= 5F_ar^b， ，以及 ， 因此

b ar L y

x+ = xy=(−1)^ar^2b

n Sn

∞

lim→ = _⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− +

− _a ^{b a b}

b a b

r r

L

r r F

) 2

1 ( 1

5

5 。

則

∑

^∞

=

+ 1

) 1 (

k

k b akr

F = _{b a b}

a b a

r r

L r F

2 2

) 1 (

1− + − 。

第三章 費氏數的無窮級數

為了要產生費氏數列的奇數項，我們將(3.1.1)式減(3.1.3)式可得

(

1−r

)

Sn= ¹

( )

₂ ²

則用(3.1.5)式去減(3.1.1)式再去減(3.1.4)式可得

第二節 應用對消法推導 ∑

^∞

的一般式

此時，我們將(3.2.3)式加(3.2.1)式後再減(3.2.2)式，此時

∑

^{內的項會彼此相消可}

得

= (3.2.4)

n b a b

ar r S

L ( 1) ] 1

[ − + − ² F_ar^2b +F_2ar^3b −F_2ar^3b

+(−1)^aF_anr^b(n+3) −F_a(n+1)r^b(n+2)。 (3.2.5) 同理，若(5)式的值在 n 趨近於無窮大時為 0，可得

n n b a b

ar r S

L + − →∞

− ( 1) ]lim 1

[ ² =F_ar^2b。 則可得

∑

^∞

=

+ 1

) 1 (

k

k b akr

F = _{b a b}

a b a

r r

L r F

2 2

) 1 (

1− + − 。

然而並非所有的 r 都符合這個公式的，例如r >1的值，會使得定理 1 的左式 與右式不相等，但是−1<r <1左式與右式也不一定相等，這是因為當左式 收斂，定理 1 才會成立。在下一個章節我們將會推導 r 的收斂區間，

也就是推導 r 在什麼範圍內才會使得左式 收斂，進而使得定理 1 成 立。在此我們先提供一個 r 雖然介在-1 到 1 之間但是依然不合的例子作為此章節

∑

^∞

=

+ 1

) 1 (

k

k b akr F

∑

^∞

=

+ 1

) 1 (

k

k b akr F

的結束。例如將a=1，b=1，r =0.7，L₁ =1代入公式可得

∑

^∞

( )

=

+ 1

7 1

. 0

k

k

Fk =

19

− 49。

左 邊 都 是 正 的 數 字 相 加 ， 得 來 的 結 果 卻 是 負 的 ， 這 是 矛 盾 的 ! 可 以 知 道 當 1

1< <

− r ，這個式子並不一定成立，可以推測此式子的成立有更小的收斂區間。

第三節 收斂範圍

在推導定理 1 時，不論是利用林炳炎或是萱場 修的方法，這兩位都有在某 個條件成立的狀況下才可導出，並非所有的 r 都可成立。林炳炎的方法，在推導 過程中會出現兩個無窮等比級數，而無窮等比級數的和要收斂的充要條件就是其 公比要介在-1 到 1 之間；萱場 修的方法，推導中出現了這個式子，即第二章第 二節的(2.2.5)、(2.2.7)式

(

1⁻r⁻r²

)

Sn ⁼ F₁r² +F₂r³ −F₁r³ (3.3.1) 節的(3.2.4)、(3.2.5)式：

[ ]

n

況：

1. 當 a 為奇數時，(4)式可看成兩項相加後取負號，即 ] [ ^{( +3)} + _{( +1)} ^{( +2)}

− F_anr^{b n} F_{a n} r^{b n} 。

若此式要收斂為 0，則此式的兩項都要收斂為 0，而此兩項都要收斂為 0 的條件 是

0 lim ^{( +1)} =

∞

→

n b

n Fanr 。

2. 當 a 為偶數時，(3.3.4)式可看成兩項相減，即

) 2 ( ) 1 ( ) 3

( +

+ − _an+ ^bn n

b

anr F r

F 。 (3.3.5)

若(3.3.5)式要收斂為 0，則有兩種情況：第一種是兩項都發散。但是兩項都發散，

會使得 發散而不等於 0，依照性質 2.1.2，會使得我們原來要求的級數和

發散，但我們要計算的是其收斂的和，因此 (3.3.5)式的兩項都發散不 是我們要討論的範圍。另外一種情況是兩項都收斂。而兩項都收斂的條件是

) 1 (n+ b anr F

∑

= n + k

k kr F

1

1

0 lim ^{( +1)} =

∞

→

n b

n Fanr 。

綜合上述的兩點，我們可知當 ，會使得(3.3.5)式趨近於 0。利 用費氏數列定義，即性質 1.1.1，以及我們所令的兩個參數

0 lim ^{( +1)} =

∞

→

n b n Fanr

α與β 可得

( ) ( )

[ ]

⁰

5

lim − =

∞

→

b n n a

b a b

n r α r β r 。 (3.3.6)

現在，我們要來討論(3.3.6)式成立的條件。在a∈ ，N b∈ ，N β <1，r <1情況

下，我們可知−1<β^ar^b <1，利用性質 1.2.6，可以得知

(

^βarb

)

^{n在 n 趨近於無窮}

大時會趨近於 0；而(3.3.6)式出現了兩項相減，而其中一項已經收斂，所以另外一 項一定也要收斂，因此可得

1 1< <

− α^ar^b ，−1<β^ar^b <1。 因為β 小於零，可得

b a b

a

r ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

<⎛

⎟ <

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−⎛

α α

1

1 ，

b a b

a

r ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

<⎛

⎟ <

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−⎛

β β

1

1 。

因為αβ =1，可得

( )

β ^ba <^r<

( )

β ^ba

− ，−

( )

α ^ba <^r<

( )

α ^ba。

又因為α > β ，則同時成立的狀況是在比較小的範圍，故可得 r 的收斂範圍

( )

β ^ba <^r <

( )

β ^ba

− ，

b a b

a

r ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

<

⎟⎟ <

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

− 2

1 5 2

1

5 。

有了定理 2，就可以探討為什麼當a=1，b=1，r =0.7， 代入定理 1 會產生不合，我們將這些值代入定理 2 可得 r 的收斂區間：

1 =1 L

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

<

⎟⎟<

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

− 2

1 5 2

1

5 r 。

而 2 1 5−

此值為 0.618…，因此r =0.7超過了收斂區間，所以才會使得此不合理 的狀況。

在文檔中 費氏數之冪級數的分數值及其收斂範圍 (頁 22-34)