費波納契數列

十三世紀初，義大利的一位名為費波納契(Leonardo Pisano Fibinacci)的數學家，在一本題 為「算盤書」的數學著作中，提出了下面一個有趣的題目：

兔子出生以後兩個月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對(一雄一雌)。 假如養了 出生的小兔一對，試問一年以後共可有多少對兔子(假如生下的小 兔都不死的話)？

我們可以得知，第一個月與第二個月都只有一對兔子，在第三個月時，會生出一對兔子，

此時共有兩對兔子，第四個月時會有三對兔子，第五個月會有五對兔子...，我們可以發現到 以下的結果

月份 1 2 3 4 5

兔子數(對) 1 1 2 3 5

可以發現，第三個月是第一個月與第二個月的相加，而第四個月是第二個月與第三個月的相 加，第五個月是第三個月與第四個月的相加...，因此此數列會有一個遞迴關係：

1 =1

F ，F₂ =1，F_n =F_n−1+F_n−2，n∈ 。 N

此數列稱為費波納契數列(以後簡稱費氏數列)，而數列的每一項我們稱為費波納契數(以後簡 稱費氏數)。

我們如果想求F₆，我們只要計算F₄ +F₅等於多少就可以，但是若是 ，這樣逐項的相 加似乎就有點沒效率，因為有這樣的遞迴關係，我們可以利用這個關係來求出 與 n 的關係。

F200

Fn

性質 1.1.1： 若F₁ =1，F₂ =1，F_n =F_n−1 +F_n−2，n>3，n∈ ，則 N

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

−⎛ −

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛ +

n n

Fn

2 5 1 2

5 1 5

1 。

pf： 我們參閱了林琦焜的想法來推導[1]，先假設兩個數字α與β ，而

=1 +β

α ，αβ =−1。 將F_n的遞迴關係式做下列的變換

(

+

)

−1 −

( )

−2

= _{n n}

n F F

F α β αβ 。

利用移項，可形成下列兩個式子

(

1 2

)

1 − −

− = −

− _{n n n}

n F F F

F α β α 。 (1.1.1)

(

_{1 2}

)

1 − −

− = −

− _{n n n}

n F F F

F β α β 。 (1.1.2)

於是形成兩個等比數列。對(1.1.1)式而言，其第 n+1 項為F_n −αF_n−1，第 n 項為F_n−1−αF_n−2， 形成一個公比為β 的等比數列的遞迴關係，其第三項為F₂ −αF₁，於是(1.1.1)式可改寫為

(

2 1

)

²

( )

²

1 ⁻ 1 ⁻

− = − = −

− _n ^{n n}

n F F F

F α α β α β 。 (1.1.3) 同理，(1.1.2)式也可以改寫為

(

2 1

)

²

( )

²

1 ⁻ 1 ⁻

− = − = −

− _n ^{n n}

n F F F

F β β α β α 。 (1.1.4)

為了要消除掉F_n−1此項，我們將(1.1.4)式乘以α，去減掉(1.1.3)式乘以β ，可得

(

^{α −β}

)

Fn ^=αn−1

(

^1−β

)

^−βn−1

(

^1−α

)

。 因為α +β =1，因此

α β =

−

1 ，1−α =β。 故可得

(

α −β

)

Fn =αⁿ −βⁿ。

則可推得

( ) (

^{n n}

)

Fn α β

β

α− ⁻

= 1

。 (1.1.5)

因為α +β =1，αβ =−1，所以此兩數字必為 的兩根，利用一 元二次方 程式公式解可得

0

2 − x−1= x

2 5 1+

α = ，

2 5 1−

β = 。 將此兩個值代入(1.1.5)式，可得費氏數列的一般項為

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

−⎛ −

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛ +

n n

Fn

2 5 1 2

5 1 5

1 。

如此我們可以得知 的表示方法，然而 並不是只有這樣的表示方法，例如 也可以

第二節 無窮級數的收斂

無窮級數，在數學史上扮演著重要的角色。在古希臘時代，亞里斯多德(Aristotle)已經會 用公比 的無窮等比級數。15 世紀後，無窮級數被廣泛的運用在數學上，而微積分積 分的推導，也是利用將不規則面積切割成很小的面積再累加而計算，其中也用到了無窮級數 的概念。當時，無窮級數最常被拿來使用解題的想法有兩個，第一個就是「無窮級數可以拿 來當做一個數的近似值」，例如萊布尼茲(Gottfried Wilhelm von Leibniz)在 1674 年發現

1 0< r<

π/4 可 以用一個無窮級數表示，即

7 ...

1 5 1 3 1 1

4 = − + − +

π 。

第二個就是要將函數微分或積分時，可以先將函數轉成無窮級數，再對此無窮級數做積分或 微分，例如

3 ...

1 2 ) 1

1

ln( +x = x− x² + x³+ 。 如此可得

dx x

x x dx

x ...

3 1 2 ) 1

1

ln( + =

∫

− ² + ³+

∫

^。

雖然無窮級數在 15 世紀後被廣泛的使用，但是在剛開始時，因為數學家們還沒有無窮級 數收斂發散的概念，因此產生了許多的矛盾。例如歐拉(Leonhard Euler)在 1730 年利用無窮等 比級數公式證明了這個矛盾的式子

...

1 1 1 2 1

1 = − + − + 。

當時，許多的數學家為了這個無窮級數的值，產生了許多的見解與看法。後來數學家們漸漸 重視到無窮級數的斂散性概念，直到十九世紀時無窮級數的斂散性觀念被完整化，無窮級數 的理論才完整成型。在此，我們要介紹一些判別無窮級數收斂的方法。

1. 級數的發散

判別無窮級數是否發散，最常用的方法為以下的性質：

性質 1.2.1： 若 =

∞

→ n

n S

lim

∑

^∞

=1 k

ak 收斂，則lim =0

∞

→ n

n a 。

pf： 因為S_n收斂，所以 _n= ，而

n S

∞

lim→ lim ₋₁

∞

→ n

n S a_n =S_n −S_n−1，故lim =0

∞

→ n

n a 。

有了這個性質，我們可以得知當lim ≠0

∞

→ n

n a 時，則 =

∞

→ n

n S

lim

∑

^∞

=1 k

ak 發散，即下面的敘述。

性質 1.2.2： 若lim ≠0

∞

→ n

n a ，則 =

∞

→ n

n S

lim

∑

^∞

=1 k

ak 發散。

pf： 利用性質 1.2.1 的邏輯對偶命題，我們可以得知若lim ≠0

∞

→ n

n a ，則

∞ =

→ n

n S

lim

∑

^∞

=1 k

ak 發散。

2. 無窮等比級數的收斂

在無窮級數的領域中，無窮等比級數是一個非常重要的級數，我們常利用無窮等比級數 的收斂半徑，來推導出許多公式與判別收斂與否的方法，在此我們要來推導無窮等比級數的 收斂區間，在推導之前，我們先給予三個定義，分別敘述如下。

定義 1.2.3： 若對每一ε >0，存在一正整數 N，使得當 n > N 時，

ε

<

− L a_n

恆成立，則稱數列{a_n}有極限 L，或收斂於 L，記作 L

a_n

n =

∞

lim→

若這數 L 不存在，則稱此數列沒有極限，或發散。

定義 1.2.4： =∞意指對每一正數 P，存在一正整數 N，使得 n > N 時， 。

∞

→ n

n a

lim a_n >P

定義 1.2.5： 等比數列的遞迴關係為：a_n =a_n−1r，a₁ ≠0，n∈ ，N r∈R。

利用這個定義 1.2.3 與定義 1.2.4，我們可以推導下面的這個性質。

性質 1.2.6：

(1) 若r <1時，lim =0。

∞

→ n

n r

(2) 若r >1時， =∞。

∞

→ n

n r

lim

pf： 我們參考了 Swokowski 微積分[3]這本書的方法，來推導性質 1.2.6。

(1) 當r <1，可知lnr <0，我們取0<ε <1，則lnε <0。此時我們令

N r ln lnε

= ，可知 N > 0，當 n > N 時，我們可以得知

n r ln lnε

> 。 利用不等式的運算我們可以得知

ε

<

− 0

rn 。

再來，我們若取ε ≥1，則lnε ≥0，因此 0 ln ln ≤

r

ε ，如此，當 n > N 時且 n 為正數，我們依然

可得到

n r ln lnε

> 。 同理我們可以得到同樣的關係

ε

<

− 0

rn 。

綜合上面的敘述，再利用定義 1.2.3，我們可以得到若 r <1時，lim =0。

∞

→ n

n r

(2) 當r >1，可知lnr >0，我們取 0 < P < 1，可知lnP<0，因此可知 0 ln ln <

r

P ，則當 n > N

且 n 為正數時，我們可得

r n P

ln

> ln 。

如此可得

P rⁿ > 。 同理若我們取P≥1，可知 0

ln ln ≥

r

P ，令N = r P ln

ln ，當 n > N 時，我們可得

r n P

ln

> ln 。

同理我們可得

P rⁿ > 。 利用定義 1.2.4，我們可以得知若 r >1時， =∞。

∞

→ n

n r

lim

再來，我們要來推導無窮等比級數的收斂，其敘述如下：

性質 1.2.7： 若a_n =a_n−1r，a₁ ≠0，n∈ ，N r∈R，令

∑

，則

=

= ⁿ

k n

n a

S

1

(1) 若r <1， _n收斂於

n S

∞

lim→

r a

− 1

1 。

(2) 若r ≥1， _n發散。

n S

∞

lim→

pf： 我們假設一級數S_n，

S = n a₁+ a₁r+a₁r² +...+a₁rⁿ⁻² +a₁rⁿ⁻¹。 為了利用對消法，我們對S_n做下列的處理

rS = n a₁r+a₁r² +...+a₁rⁿ⁻² +a₁rⁿ⁻¹ +a₁rⁿ， 如此兩式相減就只會剩下頭尾兩項，可得

Sn

r) 1

( − = a₁ −a₁rⁿ，

S = n

r r

a ⁿ

−

− 1

) 1

1( 。

(1) 若r <1，利用性質 1.2.6，我們可以得知lim =0，因此我們可以得知

∞

→ n

n r =

∞

→ n

n S

lim

r a

− 1

1 。

(2) 若r >1，利用性質 1.2.6，我們可以得知 =∞，因此我們可以得知 發散。若

∞

→ n

n r

lim _n

n S

∞

lim→

=1

r ，當 r = 1 時，

= +

Sn a₁ a₁ +a₁ +...+a₁ +a₁。 利用性質 1.2. 2，我們可以得知 _n發散。當 r = -1，

n S

∞

lim→

= 。 Sn a₁− a₁ +a₁−a₁ +...+(−1)ⁿ⁻¹a₁

此為交錯級數，我們會在後面証明其為發散。統合上述的結果，我們可以得知 _n發散。

n S

∞

lim→

3. 交錯級數的斂散性

在十七、十八世紀，數學家還沒有收斂範圍的概念，他們認為無窮級數的等式在任何實 數中都是相等的，因此在那時候，出現了許多的爭議。例如在 17 世紀時，對於 1-1+1-1+1-1+…

等於多少的這個問題，產生了許多的爭議，許多的數學家，大概都利用了一個無窮級數的等 式，再找一個合適的值代入，得到

1-1+1-1+1-1+…

2

=1。

根據數學史的研究[4]，最早提出這個答案的是詹姆士-白努利(James Bernoulli)，其利用這 個等式

n m

l

+ = (1+ )⁻¹ m

n m

l ，

再利用等比級數的展開方法展開左式而得

n m

l

+ = [1− +( )² −...]

m n m

n m

l 。

當 m=n 時，可看成

...

1 1 1 1 1 2 1

1= − + − + − + 。

那時，許多數學家也有類似的想法，其利用等比級數的展開方法可得 ...

1 1

1 = − + 2− 3+

+ x x x

x 。

當 x=1 代入可得

...

1 1 1 1 1 2 1

1= − + − + − + 。

萊布尼茲贊同 1 1 1 1 1 1 ...

2

1= − + − + − + ，其解釋方法為：假設 為 n 項的和，因為 為 1，

0，1，0，1，…的數列，故取其平均數。

Sn <S_n >

1-1+1-1+1-1+…，或者是 ...

4 1 3 1 2

1−1+ − + ，這些級數通稱為交錯級數。對於交錯級數的 斂散性，我們利用在西元 1713 年，萊布尼茲所提出交錯級數的收斂來證明其這兩個問題，交

錯級數的收斂敘述如下。

4. 積分試驗法

在十七、十八世紀，也常常會使用發散的級數做一些四則運算，而得到一些等式，雖然 有可能可以得到一個正確的等式，如兩個發散的級數相減，在某種條件下會收斂，但是大部

分的操作都是會有問題的，如詹姆士-白努利在推導 ...)

5 1 3 1 1 ( 2 3 ...

1 2

1+1+ + = + + + 過程中，利用

2 4 ...

1 2

1+1+ + = ，

3 ...) 2 4 1 2 1 1 3(

1 + + + = ，

5 ...) 2 4 1 2 1 1 5(

1 + + + = …。

此技巧利用此項--奇數* --當奇數不一樣的時候，絕對不會有相同的項，其利用任何一項都

可用 來轉換，而不同的 b，c，…對應不同的奇數，因此包含了所有的

正整數。他將所有式子相加起來可得 2n

...

* 11

* 7

* 5

* 3

*

2^{a b c d e}

5 ...) 1 3 1 1 ( 2 3 ...

1 2

1+1+ + = + + + 。

因此其推論奇數項的和是全部的一半。但因為左式是發散的，右式亦為發散，故才能有這樣 的結果。

3 ...

1 2

1+1 + + 這個級數我們稱為調和級數，我們利用麥克勞倫(Colin Maclaurin)與柯西

(Augustin Louis Cauchy)分別提出的積分試驗法來證明其斂散性，積分試驗法的敘述如下。

性質 1.2.9：若 ^f

( )

^x 在x≥1時恆為正值、連續且遞減，則 (1) 若

∫

1^∞ f

( )

x dx收斂，則

∑

^∞

( )

收斂。

=1 n

n f

(2) 若

∫

1^∞ f

( )

x dx發散，則

∑

^∞

( )

發散。

=1 n

n f

pf： 我們將 ^f

( )

^x 從 x = 1 到 x = n 這段區域，做間距為 1 的黎曼(Riemann)切割，可以得知

( ) ( )

^{+ f + + f}

( )

^{n ≤}

∫

^{n f}

( )

^{x dx≤ f}

( ) ( )

^{+ f + + f}

(

ⁿ⁻

)

f 2 3 ... 1 1 2 ... 1 。

令S_n = f

( ) ( ) ( )

1 + f 2 + f 3 +...+ f

( )

n ，則上式可寫為

( )

^≤

∫ ( )

^{≤ −}

− ⁿ _n

n f f x dx S

S 1 1 1。

因為^{Sn − f}

( )

1 ^≤

∫

1^{n f}

( )

^{x dx}，即^{Sn ≤}

∫

1^{n f}

( )

^{x dx+ f}

( )

1，則當

∫

1^∞ f

( )

x dx收斂時，會使得 _n收斂。

n S

∞

lim→

因為

∫

1^{n f}

( )

^{x dx≤Sn−}1，則當

∫

1^∞ f

( )

x dx發散時，會使得lim ₋₁發散進而使得 發散。

∞

→ n

n S _n

n S

∞

lim→

我們利用性質 1.2.9 來證明調和級數發散。調和級數

∑

^∞

=

= + + + +

1

... 1 4 1 3 1 2 1 1 1

k k 。

我們令 f x 1x )

( = ，則利用積分試驗法可知

∫

^∞ = →∞

1 1 limln

x xdx ^x 。

而我們知道當 x 趨近於無窮大時，ln x 會發散，因此此積分值發散，如此我們可知調和級數 發散。

5. 比值試驗法(ratio test)與根值試驗法(root test)

在証明比值試驗法與根值試驗法之前，我們要給予一個定義與一個性質，分別敘述如下。

定義 1.2.10：

∑

^an 為絕對收斂的定義是

∑

^{a 收斂。 n}

.

性質 1.2.11：若

∑

^{an 為絕對收斂，則}

∑

^{a 收斂。 n}

pf： 令b_n =a_n + a_n，因為− a_n ≤a_n ≤ a_n，所以0≤b_n ≤2a_n。若

∑

^{a 為絕對收斂，可知n}

∑

^an

收斂，因此

∑

^{2an 收斂，又因為0≤bn ≤2an ，因此}

∑

^{b 收斂。 n}

因為b_n =a_n + a_n ，所以a_n =b_n − a_n ，又因為

∑

^{a 與n}

∑

b 都收斂，因此我們可以得知ⁿ

∑

^an

收斂。

再來，我們利用 Witold Kosmala 所著的「Advanced Calculus」一書中的方法[5]來證 明比值試驗法。

性質 1.2.12：若 L a a

n n

n ⁺ =

∞

→

lim 1 ，令S_n為a₁ + a₂ + a₃ +...+ a_n ，則

(1) 當L<1時，S_n為收斂。

(2) 當L>1時，S_n為發散。

(3) 當L=1時，S_n不能確定其收斂或發散。

pf： (1) 當L<1，故必存在一數字 r，使得0≤L<r <1，而因為 L a a

n n

n ⁺ =

∞

→

lim 1 ，因此我們可知

a r a

n

n⁺¹ < ，因此可得a_n+1 < a_n r，而我們將 n = 1，2，3，…代入可得

r a

a₂ < ₁ ，a₃ < a₂ r < a₁ r²，a₄ < a₃ r < a₁ r³，…。

因此我們可以知道

...

... _{1 1 1} ²

3 2

1 + a + a + < a + a r+ a r +

a 。

利用性質 1.2.7，當 0 < r < 1 時右式會收斂，而左式小於一個收斂的值，因此 _n會收斂。

n S

∞

lim→

(2) 當L>1，故必存在一數字 r，使得1<r <L且 r a a

n

n⁺¹ > ，如此可得a_n+1 > a_n r，我們將 n

= 1，2，3，…代入可得 r a

a₂ > ₁ ， a₃ > a₂ r > a₁ r²，a₄ > a₃ r> a₁ r³，…，

因此我們可以知道

...

... _{1 1 2} ²

3 2

1 + a + a + > a + a r+ a r +

a 。

利用性質 1.2.7，當 r > 1 時右式會發散，而左式大於一個發散的值，因此 _n會發散。

n S

∞

lim→

(3) 當 L = 1 時，我們可以找到發散與收斂的級數，因此無法確定一定發散或收斂，如此得證。

有了性質 1.2.11 與性質 1.2.12，我們證明級數是否收斂，就可以先利用性質 1.2.12 證明 其絕對收斂，再利用性質 1.2.11 得知其收斂。再來我們要證明根值試驗法，根值試驗法的敘 述如下。

性質 1.2.13：若 ⁿ a_n L

n =

∞

lim→ ，令S_n為a₁ + a₂ + a₃ +...+ a_n ，則 (1) 當L<1時，S_n為絕對收斂

(2) 當L>1時，S_n為發散

(3) 當L=1時，S_n不能確定其收斂或發散。

pf： (1) 當L<1，故必存在一數字 r，使得0≤L<r<1，而因為 ⁿ a_n L

n =

∞

lim→ ，因此我們可知 r

a

n n < ，因此可得 a_n <rⁿ。我們將 n = 1，2，3，…代入可得 r

a₁ < ，a₂ < ，r² a₃ <r³，…。

因此我們可以知道

...

... ^{2 3}

3 2

1 + a + a + <r+r +r +

a 。

利用性質 1.2.7，當 0 < r < 1 時右式會收斂，而左式小於一個收斂的值，因此 _n會收斂。

n S

∞

lim→

(2) 當L>1，故必存在一數字 r，使得1<r <L，而因為 ⁿ a_n L

n =

∞

lim→ ，因此我們可知ⁿ a_n > ，r 因此可得a_n >rⁿ。我們將 n = 1，2，3，…代入可得

r

a₁ > ，a₂ >r²，a₃ >r³，…，

因此我們可以知道

...

... ^{2 3}

3 2

1 + a + a + >r+r +r +

a 。

利用性質 1.2.7，當 r > 1 時右式會發散，而左式大於一個發散的值，因此 _n會收斂。

利用性質 1.2.7，當 r > 1 時右式會發散，而左式大於一個發散的值，因此 _n會收斂。

在文檔中 費氏數之冪級數的分數值及其收斂範圍 (頁 6-0)