《幾何原本》第十卷卷上第一階段的說理部分到此便告一個段落，接著便要 利用之前學到的概念，開始應用，筆者認為，雖然是應用，但實為『有目的的應 用』，為「論六和線」先留個伏筆，「問題四（第二十八題）X.27 求有比例矩形 之兩邊，為僅正方有等兩中線」、「問題五（第二十九題）X.28 求中矩形之兩邊，
為僅正方有等兩中線」後，其中較特別的是在問題六（第三十題）X.29 前的兩 個引理，引理一的內容：
「問題（一例）Lemma1、系（推論）
《幾何原本》 求兩平方數，其和仍為平方數。
乙 丁 丙
甲
法：置甲乙乙丙兩數，或俱偶或俱奇，凡偶數去偶，奇數中 去奇，所餘皆餘偶，九卷二十四二十六則甲丙為偶，平分甲丙於丁，
令甲乙乙丙為相似面數，則甲乙乙丙之矩積，加丙丁之平方，
與乙丁之平方等，二卷六而甲乙乙丙之矩積為平方數，蓋兩相 似面數乘得數，必為平方數也，九卷一故乙丁之平方數，為二 平方數之和。
系：觀此而知甲乙乙丙為相似面數，則乙丁與丙丁之兩平方 數較，即甲乙乙丙之矩積亦為平方數，又若甲乙乙丙非相似 面數，則乙丁丙丁之兩平方數較，得甲乙乙丙之矩積，非平 方數。45
《無比例線新解》法 任取二數 甲 、 乙 之較積 甲⊤乙 為第一數，倍矩形 二 甲乙 為第二數，則 (甲⊤乙)二⊥(二 甲乙 )二＝(甲⊥ 乙)二。如以此法作造整數勾股弦法。(無理數易有理)則元和李銳之術，為繁冗無謂可知。 如以數明之，先任取 三 、 一二，則一數＝九，二數＝一 二，而其平方和 二二五＝(一五)二。
45 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷，頁 31b-32a。
【推論】 甲 、 乙 為同類，則 二 甲乙 為有理，否則為
47 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），pp.63-64。
48 此命題應為現行國中教材的「直角三角形的母子性質」。
49 兩股之積等於斜邊乘上高。
己 戊
丁
乙 丙
甲
蓋甲丁既為直角，對邊之垂線，則甲乙丁、丙甲丁、丙乙甲，
俱為相似三角形，六卷八甲乙丙形，既與丁乙甲形相似，則丙 乙與甲乙比，若甲乙與乙丁比，六卷界說一故丙乙乙丁之矩形，
與甲乙之正方等，六卷十七乙丙丙丁之矩形，與甲丙之正方等，
理同，又直角三角形對邊之垂線，既為對邊二分之比例中率，
六卷八系則乙丁與丁甲比，若丁甲與丁丙比，故乙丁丁丙之矩 形，與甲丁之正方等。
準前論，甲乙丙、甲乙丁，二形相似，則乙丙與丙甲比，若 乙甲與甲丁比，凡四率比例，首末二線矩形，等於中二線矩 形，六卷十六故乙丙甲丁之矩形，與乙甲甲丙之矩形等。試作 戊丙矩形，又作甲己矩形，則戊丙與甲己等積，因各倍甲乙 丙三角積故也。惟戊丙惟乙丙甲丁之矩形，而甲己為乙甲甲 丙之矩形，故乙丙甲丁之矩形，與乙甲甲丙之矩形等。50
《無比例線新解》呷 直角三角形，呷為直角，而 呷叮 為其角頂向對邊 所作垂線，則 ， 叮之矩形，與 呷 之正方等，
、 叮之矩形，與 呷之正方等。 、呷叮之矩形，
與 呷 、呷 之矩形等。
解 於 ⎫
⎬⎭，51則 △呷 ∼△叮 呷，
而 叮：呷 ＝呷 ： ，故 × 叮＝
50 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷，頁 38a-39a。
51 Aˆ= ∠A、味應為90Ο。
叮
，又於 ⎫
⎬⎭，則 △呷 ∼△叮呷 ，而 叮 ：呷 ＝呷 ： ，故 × 叮＝ ， 又 ⎫
⎬⎭，故 呷 ×呷 ＝ ×呷叮。52」
【討論】此引理，於國中教材中稱之為『直角三角形的母子性質』，個人覺得，
吳起潛於《無比例線新解》中對相似形的理論實為精熟，所用的方法與 現今國中教材的母子性質的呈現方式如出一轍；而且利用直角三角形面 積的兩倍，也順便得到『兩股之積等於斜邊乘上高』。
「問題十二（第三十六題）X.35
《幾何原本》 求兩正方無等之線，其兩正方之和為中面，矩形亦為中面，
而與兩正方和無等。
丁
己 乙 戊 丙
甲
法曰：作甲乙乙丙兩正方有等之中線，令其矩形為中面，又 令甲乙乙丙上兩正方之較積方邊，與甲乙長短無等，本卷三十三
甲乙上作甲丁乙半圓，一準前題，甲己與己乙既長短無等，
則甲丁與丁乙之兩正方必無等，甲乙之正方既為中面，則甲 丁丁乙之兩正方和亦為中面，甲己己乙之矩形，既與乙戊之 正方等，亦與丁己之正方等，則丁己與乙戊等，所以乙丙倍 於己丁，而甲乙乙丙之矩形，倍於甲乙己丁之矩形。惟甲乙 乙丙之矩形為中面，故甲乙己丁之矩形為中面。惟甲乙己丁 之矩形，等於甲丁丁乙之矩形，本卷三十四題例故甲丁丁乙之矩 形亦為中面，甲乙乙丙兩線既長短無等，而丙乙與乙戊有等，
則甲乙與乙戊長短無等，故甲乙之正方，與甲乙乙戊之矩形 無等。六卷一本卷十惟甲丁丁乙之兩正方和，與甲乙之正方等，
而甲乙己丁之矩形，與甲丁丁乙之矩形等，亦與甲乙乙戊之 矩形等，故甲丁丁乙之兩正方和，與甲丁丁乙之矩形無等，
即求得兩正方無等之線，兩正方和為中面，矩形亦為中面，
52 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 13b-14a。
而與兩正方和無等。53
《無比例線新解》
法 先設僅正方有等，成中矩形兩中線，其兩正方較積方邊與 大原線無等者，為 呷 ＝二四(甲 乙 丙⊥ ) ， ＝
⊥
二
四 丙甲
二 甲 乙，問題九增於 呷 上作 呷 半圓周，分
呷 於 。令 呷 ＝ ( ⊥ ) ⊥
⊥
二
四 四 乙 丙
甲 乙 丙
甲 乙， ＝
( ⊥ )
⊥
二
四 四 乙 丙
二 甲 乙 丙
Τ 甲 乙 ，從 作 呷 之垂線 ，
交圓周於 ，則 ＝ =
⊥
二
四 丙甲 一
甲 乙 二 。從 作 呷 ， ，得 呷 ＝ × ＝ 二 甲 乙( ⊥ )⊥二 乙丙
， ＝ × ＝ 二 甲 乙 二 乙丙( ⊥ )Τ 。其 ⊥ ＝ ＝四 甲 乙 丙( ⊥ ) ， 呷 × ＝呷 ×
＝ 四丙甲 ，均為中面，而 甲 乙 、 甲 無等，⊥ 問題 七故二者無等。
如以數明之，先設兩中線 二 三十 、四 四九六
二 五 ，求得
⊥
二 三十 二 六、 二 三十 二 六Τ ，則其兩正方和
53 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷，頁 41b-42b。
叮
四 三十 ，為中面矩形， 二 二四 亦為中面，而四 三十 、
55 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），p.82。