第 4 章《無比例線新解》體例與卷上之內容分析

第 4 章《無比例線新解》體例與卷上之內容分析

第 4、5 章要討論的主要內容為《無比例線新解》與《幾何原本》第十卷（李 版）的內容分析與比較，筆者依吳起潛的數據作圖，輔以 Heath 版的說明，加上 筆者本身的意見，做綜合討論，最後再做個簡單的結論。

《無比例線新解》在序的後面，有以下的說明：

一 本書補幾何原本之不足，故用代數以明幾何。

二 本書題語，一循幾何原本，惟易□解。

三 本書中凡說理處，因用式顯明，用說糾葛，故略去圖解，專用代數式。

四 凡遇作法題，則兼用代數幾何，以求完備。

五 凡遇幾何原本中未備之法，均一一補入。

六 凡遇分數式，均從西例。置分子於上、分母於下。以與分子在左分母在 右之式合。且於仝數異冪之分數中，依指數定理之秩序，亦不可不如是 也。

七 於每卷之末，補設例題，以資學者演習。

八 於本書後附總雜問，以滙通代數幾何應用，無比例線新解全書中最為緊 要。

九 本書成時，算式文字，尚皆用天地人等，無用 x y z 者，故本書 亦延用之。今者風氣大開，算式文字已皆改用西字，而本書未改者，以 此為補幾何原本之缺，幾何原本中無用西字故也。

一開始便點出《無比例線新解》整個體例的大方向為「用代數已明幾何」 ， 但筆者不認為「本書中凡說理處，因用式顯明，用說糾葛，故略去圖解，專用代 數式。」便交代過去，倒是從卷上末的『增作法』的兩個作法，可看出吳起潛其 實有用心交代為何「用代數已明幾何」 ，其內容如下：

以下增作法二則，以補原題之不足：

補法一：求作 二 、 三 、 五 、 六 、……僅正方有等線。（如圖一）

1

筆者之文本，字跡嚴重不清，無法猜測。

呷

甲三

甲四

甲五 ^六

甲

圖一

先作單位線 為有比例線之一。

從 出直立線 ＝ 連 。則 ＝ 二 。

復引長 為 ＝ 。從 出直立線

＝ 。則 ＝ ＝ 三 。

復引長 為 ＝ 。從 出直立線

＝ 。則 ＝ ＝ 四 ＝二。

復引長 為 ＝ 。從 出直立線

＝ 。則 ＝ ＝ 五 。

復引長 為 ＝ 。從 出直立線

＝ 。則 ＝ ＝ 六 。

逐次如是，引長至無窮，得作 六 、 七 、 八 、……無窮僅正方有等線。

又法：如求作 七 ，則先作有等線 ＝四 為直徑，畫半圓周，

次從呷作 呷 ＝三。交圓周於 。連 。然則 ＝ 七 。

如求作 一三 線，則，先作有等線 為二，次從 呷 作直立 線 呷 ＝三。連 。則 ＝ 一三 。

【討論】僅正方有等（可公度量）之無理量的作圖方法，吳起潛提供了三種方式

2

單位長 1 的意思。

3

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 18b-19a。

圖二：底下又法。

圖三：底下求作

_一三

來作圖，以現今的角度觀之，皆可利用國中學過的尺規作圖完成，原理 便是「畢氏定理（商高定理） 」 ，補在上卷最後面，似乎有呼應前面所提 之方法。吳起潛先生，利用了「 （代）數論」這個方便的工具，來探討 歐幾里得幾何原本中的「無理量的概念」 。既然如此，便有必要在最後 交代，每一個平方根無理數，皆可作圖，如此才能「自圓其說」 。所以 還缺一個基礎無理量(數)，所以接著說：

補法二：求作 ^四 二 、 ^四 三 、 ^四 五 、 ^四 六 、……中線。（如圖四）

先設單位線 呷 ＝一。延長至 。令 ＝ 二 ，以 為 直徑，(作)半圓周，從呷出直立線 。則 ＝ ^四 二 。 復引長 為 ＝ 三 ，以 為直徑，作半圓周，

從呷出直立線 。則 ＝ ^四 三 。

復引長 為 ＝ 五 ，以 為直徑，作半圓周，

從呷出直立線 。則 ＝ ^四 五 。

復引長 為 ＝ 六 ，以 為直徑，作半圓周，

從呷出直立線 。則 ＝ ^四 六 。 逐次如是，可得作無窮中線。

乙 呷

圖四

圖五：底下又法。

又法 如作 ^四 六 ，則聯 呷 ＝ 二 ， ＝ 三 為一直線

，以為直徑，作半圓周，從呷作 。則 ＝ ^四 六 。

【討論】再補上中線，

便可將正方無等（平方不可公度量）的情況討論完畢，

也才可討論六和六較之無理線的情況。某種程度而言，能作出四次根號 的線段，也便可將十卷上，所有的情形轉換成（代）數論了。相信吳起 潛先生，便是體認到這兩個作圖題的重要，才將之補在十卷(上)最後，

也驚嘆當時能有人可以作出這麼深刻的體認。

從此之後，便可推知吳起潛在《無比例線新解》中，為何可以將無理量，一 直以無理數的型態演出，而以下的內容分析，筆者將焦點集中在《無比例線新解》

體例與《幾何原本》第十卷（李善蘭與偉烈亞力合譯，稱李版）比較，輔以今日 流行的 Heath 版的說明，再加上筆者逐題分析後的心得，來剖析或重建《無比例 線新解》與《幾何原本》第十卷（李版）的關聯。

4.1 界說與定義

《幾何原本》以界說出發，而《無比例線新解》則從定義開始，相信是經過 了數十年的第二次西學東漸後的調整，雖然名詞上略有不同但仍可從字面上的意 義看出其等價關係。其內容與 Heath 版並無不同，但並不像 Heath 版濃縮成四個 定義，而是以定義一~定義十一呈現，如：

「定義一（第一界）

《幾何原本》 凡幾何有他幾何可度，為有等幾何。

《無比例線新解》 如 卯甲 為有等幾何。

【今解】若線段可被其他線段度量的話，便叫做可公度的線段。

【例子】

4a 為有等幾何。

… 」

4

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 19b。

5

此「中線」應為比例中線。

6

以下在引號「…」內的內容為《幾何原本》 、 《無比例線新解》的內容比較， 【討論】對此題而 言，為 Heath 的註解與筆者的心得。

7

此處的卯為有理數。 「卯甲」應該還是量的思維。

4a

a

圖六

定義一~定義十一之討論：

這一卷，主要討論無理線段以及它們之間的關係，定義一~定義五主要給出哪些 是線段公度的、哪些是正方可公度的；定義六~定義十一主要給出四個概念，即 為有理線段、無理線段、有理面和無理面。

首先給定一個標準線段，把它叫做有理線段，記作 ρ ；把 ρ 上正方形叫做有 理面，用 ρ ² 表示。

由定義知，有理線段分為兩類：

1. 凡與 ρ 是長度可公度的線段叫做有理線段。

若一線段σ 是長度可公度的線段『有理的』表示，即 m

σ = n ρ ，其中 , m n 為正整數，那麼σ 就是有理線段。

2. 線段σ 與 ρ 是長度不可公度，但分別以σ 與 ρ 為邊的正方形（面）是可 公度的，把σ 也叫做有理的線段。更確切的說，叫做正方可公度的有理線 段。

若 ² m ²

σ = n ρ ，或

σ =

ρ ，其中 m n 為正整數， ,

n

不是『有理數』 ， 那麼 σ 就有僅正方可公度的線段。

顯然，長度可公度的兩線段，也是正方可公度的，當然正方不可公度的兩線 段，也必然是長度不可公度的。

無理線段：線段 ε 為邊的正方形和以 ρ 的正方形不可公度，那麼把 ε 叫做無 理線段。

有理面：與 ρ ² 可公度的面叫做有理面。

無理面：與 ρ ² 不可公度的面叫做無理面。

顯然與無理面相等的正方形的邊（或無理面的邊）是無理線段。

在分析的過程中，最大的不同，便在於 Heath 版中的定義跟李版的定義模式 有顯著的差異，李版與吳起潛的定義皆是條列成十一個定義，但在現今最流行的 Heath 版本卻只剩四個定義，如：

Definitions I Definition 1

Those magnitudes are said to be commensurable which are measured by the same measure, and those incommensurable which cannot have any common measure.

8

參考藍紀正、朱恩寬譯， 《歐幾里得幾何原本》，頁 287-288。

Definition 2

Straight lines are commensurable in square when the squares on them are measured by the same area, and incommensurable in square when the squares on them cannot possibly have any area as a common measure.

Definition 3

With these hypotheses, it is proved that there exist straight lines infinite in multitude which are commensurable and incommensurable respectively, some in length only, and others in square also, with an assigned straight line. Let then the assigned straight line be called rational, and those straight lines which are

commensurable with it, whether in length and in square, or in square only, rational, but those that are incommensurable with it irrational.

Definition 4

And the let the square on the assigned straight line be called rational, and those areas which are commensurable with it rational, but those which are

incommensurable with it irrational, and the straight lines which produce them irrational, that is, in case the areas are squares, the sides themselves, but in case they are any other rectilineal figures, the straight lines on which are described squares equal to them.

其實，無論是李版或 Heath 版，其實是異曲同工之妙的，都在定出有理量（線 段、正方）與無理量的差異，其實比較有趣的是，吳起潛在《無比例線新解》的 卷上的定義中，每一個定義的後面，都舉一個「數」的例子，如：

「定義七（第七界）

《幾何原本》 與此線長短正方俱無等，則謂之無比例線。

《無比例線新解》 如 ^四 乙 或 ^| |

乙 丙 為無比例線。」

某種程度而言，吳起潛呈現上，是以（代）數的觀點來看待《幾何原本》第 十卷的，雖然與歐幾里得在寫《幾何原本》時，規避無理數，而採無理量來呈現，

9

引自 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII） ，p.10。

10

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 1b。附錄四。

11

的結果大相逕庭，但此一時也彼一時也，在吳起潛的學習過程已然將無理數與 無理量合而為一了，更何況如前言所述，吳起潛已經可以將第十卷中每一個無理 量，以作圖的形式作出，那麼以無理數來呈現無理量便成為一個較輕鬆學習《幾 何原本》第十卷的方法了。

4.2 定理與問題

吳起潛的《無比例線新解》是將《幾何原本》第十卷（李版）的內容，逐題 論證或說明，較特別的是，將命題再做分類成定理一~定理三十六和問題一到問 題十二，如

「定理五（第七題）定理三之裏 X.7

《幾何原本》 無等幾何相比，非若數相比。（圖七）

解曰：甲乙兩無等之幾何。題言甲與乙比，非若數與數比。

甲

乙

論曰：設甲與乙比，若數與數比，則甲與乙為有等幾何。

惟非有等之幾何，故甲與乙比，非若數與數比。是以無等 之幾何相比，非若數與數相比。

《無比例線新解》

解 呷 兩無等數。（不同類數） 呷 = 甲 ， = 乙 ，

而 = 甲

乙 不能消去不盡根而為有理。

如以數明之，命 呷 = 三 ， = 七 ，則 = 三 七 ， 而 三

七 無法化之為有理。

」

「問題四（第二十八題）X.27

11

見本書第 2 章《幾何原本》的形成與傳入中國。

12

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 7b-8a。

13

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 1b。

圖七

圖八

《幾何原本》 求有比例矩形之兩邊，為僅正方有等兩中線。（圖九）

甲

乙 丙

丁

法曰：甲乙為僅正方有等之兩有比例線，甲乙間取中比例線 為丙。

令甲與乙比，若丙與丁比，

甲乙既為正方 有等線，則甲乙之矩形，即丙之正方形，

為中面，

故丙為中線，甲與乙比，既若丙與丁比，而甲乙僅正方 有等，則丙丁僅正方有等。

惟丙為中線，故丁亦為中線，

本卷二十四

則丙丁為僅正方有等兩中線，且其矩形必為有比例 面，蓋甲與乙比，既若丙與丁比，則更之，甲與丙比，若乙 與丁比。

惟甲與丙比，若丙與乙比，則丙與乙比，若 乙與丁比，所以丙丁之矩形，與乙之正方等。

惟乙之 正方有比例，所以丙丁之矩形亦有比例，即求得有比例矩形 之兩邊，為僅正方有等兩中線。

《無比例線新解》

法 先設僅正方有等二數 甲 、 乙 。求其中線得 ^四 甲乙 。

定理十九

為呷 。復從 : = :

三

四 四 乙

甲 乙 甲乙

甲 ，得中線

＝

三 四 乙

甲 （

）為所求。

如以數明之，先設 三 、 五 ，求得中線 呷 ＝ ^四 一五 ，

＝

三 一五 四

五 ＝ ^四 二七

五 。即所求。

」

由此二例知，吳起潛雖不致更動李善蘭的命題順序，但會做簡單的分類，將

14

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 30a-30b。

15

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 11a。

圖九

圖十

說理的命題講成『定理 X』 ，將應用的命題講成『問題 X』 ，這樣的體例也應用到 Lemma（引理）上，但只用『定理』與『問題』而沒有定理與問題的編號延續使 用下去，說穿了，只是將《幾何原本》第十卷（李版）的內容依順序，分成說理 與應用兩個部份。

4.3《無比例線新解》與《幾何原本》第十卷（李版）的內容分析

本小節要討論的主要內容為《幾何原本》第十卷（李版）與《無比例線新解》

的內容對照與比較，筆者依吳起潛的數據作圖，

輔以 Heath 版的說明與今譯，

做綜合討論。

4.3.1 不可公度量的理論起點

由第 2 章的論述知，在歐幾里得寫下《幾何原本》第十卷時，是以承認無理 量而不承認無理數的前提下寫出來的，幫助克服此概念的人便是前述的歐多克索 斯，所以第一個命題便成了整個不可公度量存在的理論基礎，在當時誠屬不易，

雖然以吳起潛來看它是容易的，但我們可以由以下二題來比較看看：

「定理一（第一題）X.1

《幾何原本》 兩無等幾何，遞次減去大幾何之大半，必至其餘小於小幾何。

丙

庚 己

甲 乙

戊 丁

辛 壬

解曰：置甲乙與丙兩不等幾何，甲乙大於丙，題言甲乙去大 半，餘甲辛，復去其大半，餘甲壬，如此，遞去之，必至所 餘小於丙。

論曰：累倍丙必至大於甲乙，如丁戊，分丁戊為丁己己庚庚 戊三分，甲乙去其大半乙辛，餘甲辛；又去其大半辛壬，如 此遞去之，至於甲乙之若干分，與丁戊之若干分等。即甲壬 壬辛辛乙若干分，與丁己己庚庚戊若干分等。丁戊大於甲乙，

去一分庚戊，甲乙中亦去大半乙辛，則所餘庚丁，大於辛甲。

庚丁既大於辛甲，而庚丁去半己庚，辛甲去大半辛壬，則餘 丁己大於甲壬。惟丁己等於丙，故丙大於甲壬，即甲壬小於 丙。所以大幾何甲乙遞次之減餘甲壬，必小於小幾何丙。

16

以下作圖之標號略，因其為以下命題之作圖。

17

主要為藍紀正、朱恩寬譯， 《歐幾里得幾何原本》。

丙

子 寅

庚 辛

甲 乙

丑 己

卯 壬

戊 丁

又論曰：甲乙與丙二不等幾何，丙小於甲乙，丙既為小幾何，

而累倍之，必至大於甲乙。設為丑己，分丑己為丑辛辛庚庚 己、諸分。甲乙去大半乙戊、戊甲去大半戊丁，如此遞去之，

至甲乙之若干分，與丑己若干分等。設乙戊、戊丁、丁甲，

為其諸分；又設壬子、子寅、寅卯，諸分，皆等於丁甲。令 壬卯中若干分，與己丑中若干分等。又乙戊既為甲乙之大半，

則乙戊大於戊甲，所以乙戊甚大於丁甲。惟寅卯等於丁甲，

故乙戊甚大於寅卯；又戊丁既為戊甲之大半，則戊丁大於丁 甲，為子寅等於丁甲，所以戊丁大於子寅；而丁乙大於子卯；

惟壬子等於丁甲，所以全線甲乙，大於全線壬卯。惟丑己大 於甲乙，故丑己甚大於壬卯。而卯寅、寅子、子壬，三分，

既具相等；丑辛、辛庚、庚己，三分，亦具相等。丑己之若 干分，與壬卯之若干分等，則壬子與己庚比，若壬卯與丑己 比。

惟丑己大於壬卯，故己庚大於壬子。

惟己庚 等於丙，壬子等於甲丁，故丙大於甲丁。

《無比例線新解》 解 兩線呷 無公約，而 呷＜ ，然則

。 其 ＞ ， ＞ ，…＞…

而 ＝ ⊤ 呷＜呷，

＝呷 ⊤ ＜ ，…＝…＜…

18

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 1a-2b。

無窮終不能盡。

」

【討論】這是一個很重要的命題，它是不可公度量存在的理論基礎（X.2） ，另外 也是歐多克索斯（408B.C.－355B.C.）窮竭法的理論基礎。有關窮竭法 的應用將在 XII 卷中看到。在 X.1 的證明中，歐幾里得引用了『一個量 的若干倍總可大於另一量』的論斷。雖然他在 V.定義 4 中也引用過，但 這是直觀的承認，這就是以後所謂的『阿基米德公理』 ，事實上在歐幾 里得之前，亞里斯多德（384B.C.－322B.C.）就說過用連續加一個有限 量，將超過任一確定的量，並且類似地用連續從它中減一個有限量，我 們將得到比它小的量。

而吳起潛於此，便輕描淡寫的利用除法的原理（數或代數）的操作模式，

讓讀者更容易上手。

「定理二（第二題）X.2

《幾何原本》 大小兩幾何，輾轉相減而所餘幾何，俱不度原幾何，則為兩 無等幾何。

戊

庚

丁 己 丙

乙 甲

解曰：甲乙、丙丁，兩幾何。甲乙小於丙丁。輾轉相減所餘 俱不度原幾何。題言甲乙、丙丁，為兩無等幾何。

論曰：若有等幾何，則有等幾何可度，設為戊。以甲乙減丙 丁，餘丙己，小於甲乙。以丙己累減甲乙，餘甲庚小於丙己。

輾轉累推，至所餘小於戊，即為甲庚。戊既度甲乙，而甲乙 度丁己，則戊亦度丁己。惟戊亦度丙丁，所以亦度丙己，而 丙己度乙庚，所以戊亦度乙庚。惟戊亦度甲乙，則亦度於甲 庚，乃以大度小，於理不合。故甲乙丙丁無幾何可度，而為 無等幾何。是以兩不等幾何輾轉相減，所餘俱不度原幾何，

則為無等幾何。

《無比例線新解》

解 如前題從 ⊤ 呷＝ 。而 不度呷及 。又從

19

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 2a-2b。

20

參閱藍紀正、朱恩寬譯， 《歐幾里得幾何原本》，頁 289-290。

21

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 2b-3a。

呷 ⊤ ＝ ， 復不度呷及 。如是無窮所餘數，俱不度 原數呷及 。即終無公約之理。故此為兩無等幾何。

如以數明之：任令 呷＝ 三 ， ＝ 七 則 七 Τ 三 ，

( ) ⁼

三 Τ 七 Τ 三 二 三 Τ 七 ，…俱不度原數 三 及 七 。 然則此二數，本無可以有公約明矣。

此題不同於原本七卷第一題，蓋兩不等數輾轉相減，餘一而 止，則完全數之無公約也。大小兩幾何轉輾相減所餘幾何，俱 不度原幾何，不盡根之無公約也。

」

【討論】這個命題是以求兩量的最大公度量的方法為依據，在 X.2 中，假設這個 過程沒有終了，而相繼的餘量成為越來越小而小於給定的量，要求證明 兩量 a , b（a＞b）再這種情況下不能有一個公度量。

否則，設 f 是一個公度量，並且假設這個過程到餘量 e 小於 f。

qc pb r d c

rd q e

於是，因為 f 量盡 a , b，它也量盡

⁻

( ) ⁼

^。

因為 f 量盡 b , c，它也量盡

⁻ ( ) ⁼

^。

又因為 f 量盡 c , d，它也量盡

⁻

( ) ⁼

：這是不可能的，因為 e < 。 f 歐幾里得把若 f 量盡 a , b，它也量盡

±

假定是自明的（m , n 是正 整數） 。

當然，實際上，要這個過程沒有終止，常常是不必要的，例如 “如果線 段 AB 在 C 點被分為中外比，

那麼 AC 與 BC 是不可公度的＂。

D

A B

C

設 AC＞CB，從 AC 中減去等於 BC 的 CD，則可證餘下的 AD＜DC，

22

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 2a-2b。

23

第七卷的內容是建立在數的基礎上，而非量的基礎上。

24

中點以外的比例線段。

且 AC 在 D 點被分為中外比，我們連續如此從大量中減去小量，每次仍 得到更小線段的中外比。如果 AC，BC 是可公度的，那麼這個過程能夠 停止，但它顯然不是，所以這兩個量是不可公度的。

承上討論，本題為不可公度量的理論基礎，而吳起潛於此題點出與第七 卷第一題不同，雖然皆利用了『輾轉相除法』這個方便的工具，但第七 卷提的是『兩數互質』的概念，而本題提的是『兩量不可公度』 ，雖相 似，實相異也。

有了這兩題的起頭後，後面才能有機會正式走入『不可公度量』的世界。

4.3.2 簡單的（正方）可公度量與（正方）不可公度量

第三題~第十四題的內容主要論述如何求出兩(三)線段的最大公度量、可公 度量的線段的比如同兩數的比的原、逆命題，而不可公度量的兩線段，當然為可 公度量的否命題的關係，其中第九題更陳述了線的可(不可)公度法則，如果線段 上的正方形的比是一個平方數比一個平方數，那麼它們是可公度的。比如正方形 對角線與正方形的邊是不可公度的，因為，它們的正方形比率是 2 :1 ，而 2 :1 不 是一個平方數比一個平方數。並且拿來應用，拿問題三（第十一題）X.10 為例：

「問題三（第十一題）X.10

《幾何原本》 有一線求作他兩線，一僅長短無等，一長短正方俱無等。

丙 乙 甲

丁 戊

法曰：有甲線，求兩線。一長短與甲無等，一長短正方與甲 俱無等。取兩非若平方數相比數乙丙，即非相似面數，先設 乙與丙比，若丁與甲之二正方比，

則丁甲之二正方有 等。乙丙之比，既非若二平方數比，則丁甲之二正方比，亦 非若二平方數比，故甲與丁長短無等。

甲丁間設戊為連 比例中率，則甲丁之比，若甲戊之兩正方比。

惟 甲丁無等，故甲戊之兩正方無等。

而甲與戊亦無等，是 以所設之有比例線甲，與丁僅正方有等；

與戊長短正 方俱無等，即求得與甲僅正方有等之有比例線丁，及無比例

25

參閱藍紀正、朱恩寬譯， 《歐幾里得幾何原本》，頁 291。

線戊。

《無比例線新解》

法 先設一線 叮＝丁， 則 叮 ^二 = 丁 ^二 。任取他一數甲，

從 =

二 二

二

丁 叮

甲 作呷。因 叮＝丁，故 呷 = 甲， 甲 ， 丁 不同類，故 叮，呷 長短無等。 又從 =

二 二

叮 叮

(一) 作 。因 ^二 ＝ 丁 甲 ，而 ＝ ^{二 四} 丁 甲 。從(一)之左 ^二 節已知為無等，故右節亦無等，而叮 長短正方俱無等。

如以數明之，命 叮＝二， 任取 甲＝五。則 呷 = 五 ， = ^四 二 。 五 ，及二 長短無等； O ^四 二 ，及二 長短正 O 方俱無等也。

」

【討論】這一個命題展示了定義 X.3 中的線段。取線段 d，於是 a 上的正方形比 d 上的正方形不是一個平方數比一個平方數，比如，如果 a 是一個正方 形的邊，d 是該正方形的對角線。那麼 a 上的正方形比 d 上的正方形的 比率是 1:2 ，這不是一個平方數比一個平方數。所以，d 與 a 是正方可公 度的（比率 d:a 是 2 的平方根） 。又，如果 e 是 a 和 d 的比率中項，那麼 e 與 a 是正方不可公度的（比率 e:a 是 2 的四次方根）。

吳起潛的如以數明之，於此比較題中發揮了淋漓盡致的功效。

李善蘭所譯之《幾何原本》將（第十一題）X.10 及（第十二題）X.11 兩題 互換。這樣看起來整個邏輯性便更強了。吳起潛也是沿用李版，(李與吳)並且增 加了一題第十三題：

「定理十（第十三題）

《幾何原本》 兩幾何一與他幾何有等，一與他幾何無等，則兩幾何相與亦 無等。

解曰：甲乙兩幾何，丙為他幾何，甲與丙有等，乙與丙無等，

題言甲乙亦無等。

26

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 12b-13a。

27

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 5a-5b。

甲

丙

乙

論曰：若云甲與乙有等，乃丙與甲本有等，則乙與丙亦有等。

本卷十二

與題不合，故甲與乙亦無等。

《無比例線新解》

解：呷 兩數及他數 。命 呷 =甲 卯 ， =乙 寅 ， =丙 卯 。則呷 為同類有等， 或呷 為不同類，

故無等。

如以數明之。命 呷 =四 三 ， =三 五 ， =二 三 。即 呷 ，有等； 、呷 俱無等。

【討論】為了以後記敘方便起見，我們把兩個量可公度用符號“ ⌢”表示；把兩個 量不可公度用符號“ ⌣”表示；如果兩線段不可公度而它們正方形可公 度，即 「僅正方可公度」（或僅長度不可公度）用符號“ ∼”表示。

若

: =

:

(1) 如果 a ⌢b，那麼

^{: =}

^: ，m，n 是正整數。

因此

: =

: ，所以 c ⌢d。

(2) 如果 a ⌣b，那麼

^{: ≠}

^: ，m，n 是正整數。

因此

: ≠

: ，所以 c ⌣d。

設 a ⌢c，b⌣c，則 a⌣b。如果 a ⌢ ^b，則 ∵a⌢c，∴b⌢c 矛盾，∴a⌣b。

28

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 14a。

29

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 5b-6a。

這一個命題除了李善蘭版的《幾何原本》與吳起潛的《無比例線新解》

中有，在後來的版本中便無看到了，因為似乎下一個命題與這個命題有 等價關係，無怪乎它不見了。

分析比較完這十一題後，不難看出簡單的可公度量與不可公度量之間的差 異，從兩量單純的比較開始，即將走入兩量相加減的比較。

4.3.3（正方）不可公度量到無理量的討論

從 X.14 的 Lemma 以後，李版與吳起潛用了五個命題（第十五題~第十九題） ，來 討論(不)可公度量特殊的平方與乘積之加減後是否為(不)可公度量，如

「定理十五（第十八題）X.17

《幾何原本》 有二不等線，大線上作矩形，少一正方形，與小線上正方四 分之一等，若大線之兩分有等，則大小二線上正方之較積方 邊，與大線有等，而小線上正方四分之一，與大線上矩形少 一正方形等，則大線二分有等。

解曰：甲及乙丙為兩不等線，乙丙上作少一正方形之矩形，

與小線甲上正方四分之一等，即與半甲線之正方等，設矩形 為乙丁丁丙二分所成，乙丁丁丙有等。題言乙丙及甲兩線上 正方較積方邊與乙丙有等。

己

甲

丁 戊

乙 丙

論曰：平分乙丙於戊，又任取丁己兩點，另戊己與丁戊等，

則餘丁丙與乙己等，乙丙既平分於戊，又任分之於丁，則乙 丁丁丙二線之矩形，及戊丁之正方形和，與戊丙之正方等。

二卷五

其四倍積亦等，故四箇乙丁丁丙之矩形，及四箇戊丁之 正方形和，與四箇戊丙之正方等。惟甲之正方，與四箇乙丁 丁丙之矩形等，因丁己倍丁戊故也，又乙丙之正方，與四箇 戊丙之正方等，因乙丙被戊丙故也，故甲及丁己之二正方和，

與乙丙之正方等，而乙丙與甲之二正方較，與丁己之正方等。

今欲明乙丁丁丙有等，則乙丙與丁己亦有等之理，蓋乙丁與 丁丙有等，則乙丙與丁丙亦有等。

惟丁丙與丙丁乙己 和有等，因丁丙乙己相等故也，

故乙丙與乙己丙丁和 有等，則餘己丁亦有等。

所以乙丁丁丙有等，則乙丙 及甲兩線上正方之較積方邊，與乙丙有等。

又解曰：乙丙及甲上兩正方之較積方邊，與乙丙有等，乙丙

上作乙丙丙丁矩形，少丙丁上正方形，與甲之正方形四分之

叮

一等。題言乙丁與丁丙有等。

論曰：準前論，知乙丙及甲上兩正方之較積，與己丁之正方 等，惟乙丙及甲上兩正方之較積，其方邊與乙丙有等，故乙 丙與己丁有等，而與餘乙己丁丙和亦有等。

惟乙己丁 丙和與丁丙有等，因乙己與丁丙相等故也，故乙丙與丁丙有 等，則乙丁與丁丙亦有等。

是以二不等線，大線上作 矩形，少一正方形與小線上正方四分之一等，若大線之兩分 有等，則大小二線上正方之較積方邊，與大線有等。

《無比例線新解》

解：二不等線。大線 呷 ＝ 二 甲 ，小線 ＝ 丙 。任分大 線為 呷叮＝ 甲 ⊤ 乙， 叮＝ 甲 ⊥ 乙 二分。

則其大

線上所作少一正方形之矩形為 ( 甲 ⊥ 乙 )( 甲 ⊤ 乙 )＝甲

⊤乙 (上例)＝ ^{一 丙}

四 。從題言 甲 ⊥ 乙 及 甲 ⊤ 乙 有 等，則不可不 甲 、 乙 為同類，而大小二線上正方之較積方 邊，為 四甲 丙 Τ = 四甲 四 甲 乙 二 乙 Τ ( Τ ) = 。故為與大線

二 甲 不得不有等也。又 ^一 丙

四 ＝甲 ⊤乙，則大小二線上正 方較積方邊為 二 乙。此既與大線 二 甲 有等，則 甲、 乙 為同類，故 甲 ⊥ 乙 、 甲 ⊤ 乙 亦不得不有等。

如以數明之，命 呷 ＝ 二 四八 ，而 呷叮＝ 四八 ⊤ 三 ，

30

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 18a-20a。

31

「 ⊥」為現今符號「＋」；「⊤」為「－」。應為李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代數學》引進的符

號。參閱自洪萬生， 〈《代數學》 ：中國近代第一本西方代數學譯本〉 ， 《孔子與數學》 ，頁 212。

叮＝ 四八 ⊥ 三 。 ^一

四 ＝四五。從 呷叮＝ 三 三 ， 叮＝ 五 三 有等數 三 。則 Τ = 一二 二 三 =

，與呷 ＝ 八 三 亦有等數 三 也。又以 ^一

四 ＝四五，

則 =二 三 Τ ，而此與 呷 ＝ 八 三 有等數 三 。故 呷叮＝ 三 三 ， 叮＝ 五 三 亦有等數 三 。

」

【討論】設兩線段 a、b（a＞b），且 ( ) ²

4 x a − x = b 。

(1)若(a － x) ⌢x，則

^{2 −}

² ⌢a；

(2)若

² −

² ⌢a 則(a － x) ⌢x。

證明如下：

由 II.5，有 ( ) ^{2 2}

2 4

a a

x a − x + ⎛ ⎜ ⎝ − x ⎞ ⎟ ⎠ = 即 ⁴ ( ) ^{4 2 2}

2

x a − + x ⎛ ⎜ ⎝ a − x ⎞ ⎟ ⎠ = a ，

∵ ( ) ²

4

x a − x = b ， ∴ ^{b 2 +} ( ^{a − 2 x} ) ^{2 = a 2 或 a 2 − b 2 =} ( ^{a − 2 x} ) ²

於是

² −

² = −

2

。

(1) ∵(a－x)⌢x，a⌢x。 （X.15）

但是 x ⌢2x， （X.6）

所以 a ⌢2x， （X.12）

a ⌢(a－2x)， （X.15）

於是 a ⌢

^{2 −}

² 。

(2) ∵a⌢

^{2 −}

² ，a ⌢(a－2x)

32

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 7b-8a。

因此 a ⌢2x （X.15）

但是 2x ⌢x （X.6）

所以 a ⌢x （X.12）

∴(a－x)⌢x。 （X.15）

以上結果可用以下方程式表示，

2

4 xy b x y a

⎧ =

⎪ ⎨

⎪ + =

⎩ (1)若 x ⌢y，則 a⌢

^{2 −}

² ， (2)若 a ⌢

^{2 −}

² ，則 x ⌢y。

4.3.4 導出「中項線」與「中項面」及其相關性質

「定理十七（第二十題）X.19 兩長短有等有比例線之矩形有比例。」 、 「定理 十八（第二十一題）X.20 前定理之逆有比例線上做有比例矩形，則矩(形)之餘邊 有比例，而與原邊亦有等。

」 ，探討兩(不)可公度量所形成的矩形是否有理，進 而導出第二十二題的中項線：

「定理十九（第二十二題）X.21

《幾何原本》 僅正方有等之兩線成矩形，無比例，則等此矩積正方之邊亦 無比例。命為中線。

解曰：甲乙乙丙僅正方有等之兩線，成甲丙矩形。題言甲丙 無比例，而等積之正方之邊亦無比例。謂之中線。

丁 乙 丙

甲

論曰：甲乙線上作甲丁正方，則甲丁有等，甲乙乙丙無等，

因所設為僅正方有等故也，而甲乙與乙丁等，故乙丁與乙丙 無等。惟乙丁與乙丙比，若甲丁與甲丙比，

所以甲丁與

33

參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII） ，pp.43-45。

34

(餘邊)×(原邊)＝矩形面積。

35

中線即為兩僅正方可公度的線段的比例中項線。

甲丙無等，惟甲丁有比例，故甲丙無比例，是以等甲丙正方 之邊亦無比例。

此正方既等於甲乙乙丙之矩形，則 其邊為甲乙乙丙連比例中率，故謂之中線。

《無比例線新解》

解 僅正方有等兩線。 呷 ＝ 甲 ， ＝ 乙 。 矩積

□呷 ＝ 甲乙 ，方邊 ^四 甲乙 ＝叮。準上定理，則叮無比例

而有關係。 甲 甲乙 : ^四 = ^四 甲乙 乙，即 叮＝ : ^四 甲乙，為 甲 、 乙 中率，為中線。

如以數明之。命 呷 ＝ 五 ， ＝ 三 。則叮＝

四 一五 。長短正方俱無等，名為中線。

【注意】中線為 ^四 甲乙 之形。

」

【討論】僅正方可公度的兩有理線段可表示為 ρ 和 k ρ （k 開方後不為 m

n 形式，m，

n 為正整數） 。

因而中項線為 ρ 和 k ρ 的比例中項，即

1

2 4

k ρ = k ρ 又 ρ ² : k ρ ² = ρ : k ρ 。

由 X.11， ρ ² 與 k ρ ² 是不可公度的，因而 k ρ ² 是一個無理面，由 X.定

義 4，

1

k

4 ρ 也是無理線段。

36

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 23b-24b。

37

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 9a。

38

見 4.1 界說與定義之論述。

39

參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3 （Books X-XIII） ，pp.49-50。

筆者認為吳起潛的『中線為 ^四 甲乙 之形』替中項線下了一個非常好 的註解，也與 Heath 的評論相呼應。

介紹了中(項)線之後，接著的引理與命題便圍繞在中(項)線相關命題上，主 要是要引出『中(項)面』 ：

「定理二十一（第二十四題）X.23

《幾何原本》 凡線與中線有等，則亦為中線。

解曰：甲為中線，乙與甲有等。題言乙亦為中線。

丙 丁 己 甲 乙 戊

論曰：丙丁為有比例線，丙丁上作丙戊矩形，與甲之正方等，

矩之餘邊為戊丁，則戊丁有比例，而與丙丁無等。

丁 丙線上又作丙己矩形，與乙之正方等，矩之餘邊為丁己，甲 與乙既有等，則甲之正方與乙之正方有等。

惟戊丙矩 形，與甲之正方等，而丙己矩形，與乙之正方等，故戊丙與 丙己兩矩形有等。惟戊丙與丙己比，若戊丁與丁己比，

所以戊丁與丁己長短有等。惟戊丁有比例，而與丁丙無等，

卷二十三

所以丁己亦有比例，而與丁丙無等，

故丙丁丁己 僅正方有等。凡僅正方有等有比例線之矩形無比例，其等積 正方之邊亦無比例，而為中線，

故等丙丁丁己之矩形 方邊為中線。惟乙之正方，與此矩積等，所以乙為中線。

系：觀此題而知凡面與中面有等，

亦為中面，蓋其積與僅正 方有等線之二正方同比，而一線為中線，所以餘一線亦為中 線。準有比例線之例，與中線長短有等之線，亦為中線，長 短正方皆有等，蓋長短有等，正方恆有等故也，而凡與中線 長短正方皆有等，則謂之長短正方有等之中線；若僅正方有 等，則謂之僅正方有等之中線。

《無比例線新解》

40

參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII） ，p.50。

41

中(項)面為中項線之正方。

42

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 25b-26b。

解 與中線 呷＝ ^四 甲乙 有等。則不可不 ＝ ^四 卯 甲乙 。 ^四 （問題一注意） 故 亦為中線。

（推論一）準此可知如

三 四 乙

甲 、

三 四 甲

乙 、 ^{四 甲 乙} ( ^{二 ⊥ 丙 二} ) ^、

四 ⊥

二 二

甲

甲 乙 、…等，皆為中線，蓋皆分類之同次不盡根也。

（推論二）準推論一，然則 卯 甲乙 、 ^二 乙 三

甲 、 甲 三

乙 、

( ^{二 ⊥ 二} )

甲 乙 丙 、

⊥

二 二

甲

甲 乙 、…等，皆為中面可知。

」

【討論】關於中項線，用在有理的情況下，同樣的方法可以解釋如下（X.18 之 後的引理） ，與一中項線是長度可公度的線段也稱為中項線，且不僅是 長度也是正方可公度的，因為，一般地，凡線段是長度可公度必然是正 方可公度。

但是，如果一些線段與中項線是正方可公度的，也是長度可公度的，則 稱這些線段是長度且正方可公度的中項線，但如果是僅正方可公度，則 稱它們是僅正方可公度的中項線。

以中項線為邊的正方形叫中項面。

對 X.23 我們用代數方法加以證明 對中項線為

1

k

4 ρ ，與它可公度的線段 x 分為：

(1) x ⌢

^{1 4} ρ ； (2) x ∼

^{1 4} ρ 。 在(1)情況下，x＝

1

k

4

λ ρ ，即

1 4 4

( )

x

= λ

ρ ，因而 x 為中項線；

在(2)情況下，x＝

1 1 2

4

λ ρ ，即

1 2 4

( )

x

= λ

ρ ，因而 x 為中項線。

43

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 10a-10b。

44

參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII） ，pp.53-55。

跟在後面的是『中(項)面』的相關性質，如「定理二十二（第二十五題）X.24 有等二中線之矩形，為中矩形」 、 「定理二十三（第二十六題）X.25 僅正方有等 二中線之矩形，或為有比例矩形，或為中矩形」 、 「定理二十四（第二十七題）

X.26 二中面之較積無比例」

4.3.5 應用與伏筆

《幾何原本》第十卷卷上第一階段的說理部分到此便告一個段落，接著便要 利用之前學到的概念，開始應用，筆者認為，雖然是應用，但實為『有目的的應 用』 ，為「論六和線」先留個伏筆， 「問題四（第二十八題）X.27 求有比例矩形 之兩邊，為僅正方有等兩中線」 、 「問題五（第二十九題）X.28 求中矩形之兩邊，

為僅正方有等兩中線」後，其中較特別的是在問題六（第三十題）X.29 前的兩 個引理，引理一的內容：

「問題（一例）Lemma1、系（推論）

《幾何原本》 求兩平方數，其和仍為平方數。

乙 丁 丙

甲

法：置甲乙乙丙兩數，或俱偶或俱奇，凡偶數去偶，奇數中 去奇，所餘皆餘偶，

則甲丙為偶，平分甲丙於丁，

令甲乙乙丙為相似面數，則甲乙乙丙之矩積，加丙丁之平方，

與乙丁之平方等，

而甲乙乙丙之矩積為平方數，蓋兩相 似面數乘得數，必為平方數也，

故乙丁之平方數，為二 平方數之和。

系：觀此而知甲乙乙丙為相似面數，則乙丁與丙丁之兩平方 數較，即甲乙乙丙之矩積亦為平方數，又若甲乙乙丙非相似 面數，則乙丁丙丁之兩平方數較，得甲乙乙丙之矩積，非平 方數。

《無比例線新解》法 任取二數 甲 、 乙 之較積 甲 ⊤乙 為第一數，倍矩形 二 甲乙 為第二數，則 (甲 ⊤乙) ^二 ⊥(二 甲乙 ) ^二 ＝(甲 ⊥ 乙) ^二 。

。 如以數明之，先任取 三 、 一二 ，則一數＝九，二數＝一 二，而其平方和 二二五＝(一五) ^二 。

45

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 31b-32a。

【推論】 甲 、 乙 為同類，則 二 甲乙 為有理，否則為 無理。

」

【討論】取兩數 mnp 、 ² mnq ，要求它們同時為偶數或同時為奇數，於是由 II.6 ² 可得出

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

2 2

mnp mnq mnp mnq

mnp mnq − +

⋅ + =

因而 m n p q 、 ^{2 2 2 2}

2 2

( ) 2

2 mnp − mnq

為之所求。

上述之兩數 mnp 、 ² mnq 似乎與吳起潛的《無比例線新解》的【推論】 ² 互相呼應。因為 mnp ² = mn p 、 mnq ² = mnq 為同類之無理數，因 而可造出二平方數，使其和也是平方數之數。

而在《無比例線新解》中的注，也做了一個比較，如何造出造出二平方 數，使其和也是平方數之數，他認為比元和李銳之術為之簡易的多。

緊接著「問題六（第三十題）X.29 求二僅正方有等有比例線上正方之較積 方邊，與大原線有等。」 、 「問題七（第三十一題）X.30 求二僅正方有等有比例 線上正方之較積方邊，與大原線無等。」 、 「問題八（第三十二題）X.31 求僅正 方有等，成有比例矩(形)之兩中線，其兩正方之較積方邊，與大原線有等。」 、 「問 題九（第三十三題）X.32 求僅正方有等成中矩形之兩中線，其兩正方之較積方 邊，與大原線有等。」 、 「問題十（第三十四題）X.33 求兩正方無等之線，其兩 正方之和為有比例面，而兩線之矩形為中面。」 「問題十一（第三十五題）X.34 求兩正方無等之線，其兩正方之和為中面，而矩形為有比例面。」 「問題十二（第 三十六題）X.35 求兩正方無等之線，其兩正方之和為中面，矩形亦為中面，而 與兩正方和無等。」其中在問題十（第三十四題）X.33 前的引理，對之後的問 題有提綱契領的作用，之後再來看看其中一個應用：

「定理（例）Lemma

《幾何原本》 設甲乙丙為直角三角形乙甲丙為直角，甲丁為甲角對邊之垂 線，則丙乙乙丁之矩形，與乙甲之正方等，乙丙丙丁之矩形，

與丙甲之正方等，乙丁丁丙之矩形，與丁甲之正方等，

乙 丙甲丁之矩形，與乙甲甲丙之矩形等。

46

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 11a。

47

參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII） ，pp.63-64。

48

此命題應為現行國中教材的「直角三角形的母子性質」 。

49

兩股之積等於斜邊乘上高。

己 戊

丁

乙 丙

甲

蓋甲丁既為直角，對邊之垂線，則甲乙丁、丙甲丁、丙乙甲，

俱為相似三角形，

甲乙丙形，既與丁乙甲形相似，則丙 乙與甲乙比，若甲乙與乙丁比，

故丙乙乙丁之矩形，

與甲乙之正方等，

乙丙丙丁之矩形，與甲丙之正方等，

理同，又直角三角形對邊之垂線，既為對邊二分之比例中率，

六卷八系

則乙丁與丁甲比，若丁甲與丁丙比，故乙丁丁丙之矩 形，與甲丁之正方等。

準前論，甲乙丙、甲乙丁，二形相似，則乙丙與丙甲比，若 乙甲與甲丁比，凡四率比例，首末二線矩形，等於中二線矩 形，

故乙丙甲丁之矩形，與乙甲甲丙之矩形等。試作 戊丙矩形，又作甲己矩形，則戊丙與甲己等積，因各倍甲乙 丙三角積故也。惟戊丙惟乙丙甲丁之矩形，而甲己為乙甲甲 丙之矩形，故乙丙甲丁之矩形，與乙甲甲丙之矩形等。

《無比例線新解》呷 直角三角形，呷為直角，而 呷叮 為其角頂向對邊 所作垂線，則 ， 叮之矩形，與 呷 之正方等，

、 叮之矩形，與 呷之正方等。 、呷叮之矩形，

與 呷 、呷 之矩形等。

解 於 ⎫

⎬ ⎭ ，

則 △呷 ∼△叮 呷，

而 叮：呷 ＝呷 ： ，故 × 叮＝

50

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 38a-39a。

51 Aˆ= ∠A

、味應為

。

叮

，又於 ⎫

⎬ ⎭ ，則 △呷 ∼△叮呷 ，而 叮 ：呷 ＝呷 ： ，故 × 叮＝ ， 又 ⎫

⎬ ⎭ ，故 呷 ×呷 ＝ ×呷叮。

」

【討論】此引理，於國中教材中稱之為『直角三角形的母子性質』 ，個人覺得，

吳起潛於《無比例線新解》中對相似形的理論實為精熟，所用的方法與 現今國中教材的母子性質的呈現方式如出一轍；而且利用直角三角形面 積的兩倍，也順便得到『兩股之積等於斜邊乘上高』 。

「問題十二（第三十六題）X.35

《幾何原本》 求兩正方無等之線，其兩正方之和為中面，矩形亦為中面，

而與兩正方和無等。

丁

己 乙 戊 丙

甲

法曰：作甲乙乙丙兩正方有等之中線，令其矩形為中面，又 令甲乙乙丙上兩正方之較積方邊，與甲乙長短無等，

甲乙上作甲丁乙半圓，一準前題，甲己與己乙既長短無等，

則甲丁與丁乙之兩正方必無等，甲乙之正方既為中面，則甲 丁丁乙之兩正方和亦為中面，甲己己乙之矩形，既與乙戊之 正方等，亦與丁己之正方等，則丁己與乙戊等，所以乙丙倍 於己丁，而甲乙乙丙之矩形，倍於甲乙己丁之矩形。惟甲乙 乙丙之矩形為中面，故甲乙己丁之矩形為中面。惟甲乙己丁 之矩形，等於甲丁丁乙之矩形，

故甲丁丁乙之矩 形亦為中面，甲乙乙丙兩線既長短無等，而丙乙與乙戊有等，

則甲乙與乙戊長短無等，故甲乙之正方，與甲乙乙戊之矩形 無等。

惟甲丁丁乙之兩正方和，與甲乙之正方等，

而甲乙己丁之矩形，與甲丁丁乙之矩形等，亦與甲乙乙戊之 矩形等，故甲丁丁乙之兩正方和，與甲丁丁乙之矩形無等，

即求得兩正方無等之線，兩正方和為中面，矩形亦為中面，

52

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 13b-14a。

而與兩正方和無等。

《無比例線新解》

法 先設僅正方有等，成中矩形兩中線，其兩正方較積方邊與 大原線無等者，為 呷 ＝ 二 ^四 ( 甲 乙 丙 ⊥ ) ， ＝

⊥

二

四 丙甲

二 甲 乙 ，

於 呷 上作 呷 半圓周，分

呷 於 。令 呷 ＝ ( ⊥ ) ⊥

⊥

二

四 四 乙 丙

甲 乙 丙

甲 乙 ， ＝

( ⊥ )

⊥

二

四 四 乙 丙

二 甲 乙 丙

Τ 甲 乙 ，從 作 呷 之垂線 ，

交圓周於 ，則 ＝ =

⊥

二

四 丙甲 一

甲 乙 二 。從 作 呷 ， ，得 呷 ＝ × ＝

， ＝ × ＝

。其 ⊥ ＝ ＝ 四 甲 乙 丙 ( ⊥ ) ， 呷 × ＝呷 ×

＝ 四丙甲 ，均為中面，而 甲 乙 、 甲 無等， ⊥

故二者無等。

如以數明之，先設兩中線 二 三十 、 ^{四 四} 九六

二 五 ，求得

⊥

二 三十 二 六 、 二 三十 二 六 Τ ，則其兩正方和

53

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 41b-42b。

叮

四 三十 ，為中面矩形， 二 二四 亦為中面，而四 三十 、 二 二四 無等。

」

【討論】取 X.32 第二部份所求得的兩中項線是

1

ρλ 4 、

1 4

1 k 2

ρλ

+ ，如果 x、y 是方

程式

1 4

2

4(1 2 ) x y

xy k

ρλ ρ λ

⎧ + =

⎪⎪ ⎨

⎪ = +

⎪⎩

(1)

的解，歐幾里得證明了滿足方程式

1

2 4

1

2 4

u x

v y

ρλ ρλ

⎧ = ⋅

⎪ ⎨

⎪ = ⋅

⎩

(2)

由(1)(2)解得

1 4

1 2

2 1

u k

k

= ρλ +

+ 、

1 4

1 2

2 1

v k

k

= ρλ −

+ 。

由吳起潛的作法不難看出，其代數與無理數的應用已臻成熟，輔以問題 九增與問題七便可湊出滿足條件的「兩正方無等之線」 。

看完了應用之後，便要看看《幾何原本》第十卷想要處裡的『六和六較線』

中的概念。

4.3.6 論六和線

何謂六和線呢？「定理二十五（第三十七題）X.36 兩僅正方有等有比例線 之和，無比例，命為合名線。」 、 「定理二十六（第三十八題）X.37 僅正方有等 之兩中線，其矩形為有比例面，則兩線之和無比例，命為第一合中線。」 、 「定理 二十七（第三十九題）X.38 僅正方有等之兩中線，其矩形為中面，則兩線之和 無比例，命為第二合中線。」 、 「定理二十八（第四十題）X.39 兩正方無等之線，

其兩正方之和有比例，而矩形為中面，則兩線之和無比例，命為太線。」 、 「定理 二十九（第四十一題）X.40 兩正方無等之線，兩正方之和為中面，其矩形為有 比例，則兩線之和無比例，命為比中方線。」 、 「定理三十（第四十二題）X.41 兩正方無等之線，兩正方之和為中面，其矩形亦為中面，而與兩正方和無等，則 兩線之和無比例，命為兩中面之線。」這六個定理清楚的交代六和線為何，舉例

54

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 15a。

55

參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII） ，p.82。

來說：

「定理二十五（第三十七題）X.36

《幾何原本》 兩僅正方有等有比例線之和，無比例，命為合名線。

丙 乙

甲

解曰：甲乙乙丙兩正方有等有比例線，其和甲丙，題言甲丙無 比例。

論曰：甲乙與乙丙長短無等，因僅正方有等故也，而甲乙與乙 丙比，若甲乙乙丙之矩形與乙丙之正方比，

則甲乙乙丙之 矩形與乙丙之正方無等，

而倍甲乙乙丙之矩形，與甲乙乙 丙之矩形有等，甲乙乙丙之兩正方和與乙丙之正方有等，

故倍甲乙乙丙之矩形，與甲乙乙丙之兩正方和無等，合之 倍甲乙乙丙之矩形，加甲乙乙丙之正方和，即甲丙之正方，

與甲乙乙丙之兩正方和無等。

惟甲乙乙丙之兩正方和 有比例，故甲丙之正方無比例，而甲丙線亦無比例，命之為合 名線。

《無比例線新解》

解 兩僅正方有等有比例線， 呷 ＝ 甲 ， ＝ 乙 ，

問題三

其和 呷 ＝ 甲 ⊥ 乙 兩部分為不盡根，則長短無 等，又 ＝甲 ⊥乙⊥二 甲乙 ，一部分為不盡根，則為無 比例面，故 甲 ⊥ 乙 無比例，名為合名線。

如以數明之，命 呷 ＝ 五 ， ＝ 三 ，則 呷 ＝ 五 ⊥ 三 無比例，為合名線。

」

【討論】此處開始涉及合成無理線段的首批六個命題，即用適合條件的兩個線段 之和而得出的六類無理線段。與此相對應的兩個線段之差所得出的另外 六類線段（X.73－X.78）我們在以後的命題中將得到有關無理線段以及 它們之間的關係，為了以後敘述方便，對於兩線段 x，y，我們總假定 x

56

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 42b-43a。

57

引自吳起潛， 《無比例線新解》 ，頁 15b。

為長線段。

設 x、y 分別為命題中 ρ 、

1

k

2 ρ 。要證明

+

是無理線段。

因為 x ∼y，於是 x⌣y，

又 x y : = x ² : xy ，於是 x ² ⌣ xy 。 但是 x ² ⌢ ( x ² + y ² ) ， xy ⌢ 2xy ； 所以 ( x ² + y ² ) ⌣ 2xy 。

因此 ( x ² + y ² + 2 xy ) ⌣ ( x ² + y ² ) 。

但是 x ² + y ² 是有理面，所以 x ² + y ² + 2 xy 是無理面。因而

+

是無理線 段。即

1

k

2

ρ + ρ 為無理線段。我們把它叫做二項線。

由吳起潛的說法，此定理的兩線可由問題三而得，

且利用此二線的平 方得到無比例面，進而得證無比例線的想法，最後在數字的例子加強連 結，實有其教育目的在的。

依樣畫葫蘆，第一合中線利用問題四的結果、第二合中線利用問題五的結 果、太線利用了問題十的結果、比中方線利用了問題十一的結果、兩中面之線利 用了問題十二的結果，其中比較有趣的是，李善蘭於此六個定理的後四個，分別 提出自己的看法，其中有一些有爭議的，於後文討論，

我們來看看沒有爭議的 例子：

「 （案）

《幾何原本》 本線之正方，與甲乙乙丙之兩正方和，及倍甲乙乙丙之矩形，

兩中面等，故為兩中面之線。

」

【討論】此案亦不見於 Heath 版中，應是李善蘭自己加上去的注解（亦或心得）。

照李善蘭的說法，此案便是在說明兩中面之線的名字由來，

筆者利用代數式，若

1 4

1 2

2 1

x k

k

= ρλ +

+ 、

1 4

1 2

2 1

y k

k

= ρλ −

+ 論之：

58 x>y

。

59

參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII） ，p.84。

60

問題三（第十一題）X.10：有一線求作他兩線，一僅長短無等，一長短正方俱無等。

61

於第 6 章討論。吳起潛對李善蘭之「案」提出批判。

62

引自李善蘭、偉烈亞力譯， 《幾何原本》第十卷，頁 48b。