成功率

現在我們探討一個在現實情境中很有可能發生的情形：假設在我們所提出總 數有 n 個成員的架構中，含有 nα 個不誠實的成員參與我們建造金鑰的過程(在此 我們以α = −ε

2

1 為例)，然而誠實的成員有β 個(在此的n β = +ε 2

n 1 )，接下來我 們就來探討在此假設情境中，我們所提出的隨機稀疏矩陣架構能重建私密金鑰的 成功機率到底高不高；由我們在之前的敘述說明可知，我們的矩陣架構必須在矩 陣 E 為全秩(full rank)的情況之下，才能重建私密金鑰，因此以下的成功率之證 明就是要來探討針對我們的稀疏矩陣 E，在隨機刪除 k 行之後，是否依舊維持全 秩，以檢視我們所提出的架構在現實環境中能否實行之可行性。

證明：

(1)為了證明我們架構的成功率，我們將運用到 random bipartite graph、expander graph、perfect matching 及其與矩陣的全秩與否之間之關聯性，以下就是我們 將要證明的檢要流程概述：

(2)首先，我們先將我們所提出的隨機稀疏矩陣架構對應到我們在 3.1 小節所提的 random bipartite graph，我們將可發現以下的相互關連：

(a)假設矩陣中的每個非零元素以Eij來表示，則列的索引i值就可以對應到 random bipartite graph中左邊端點集合V₁中的端點編號。

(b)相同地，上述E_ij中，行的索引j值就可以視為random bipartite graph中右邊端 點集合V2中的端點編號。

(c)矩陣裡的列數m可應對到random bipartite graph中的| V1|，在此的V1也就是 bipartite graph中的左邊端點之集合。

(d)矩陣裡的行數n可應對到random bipartite graph中的|V₂|，在此的V2 也就是 bipartite graph中的右邊端點之集合。

(e)每列中d個非零值可應對到random bipartite graph中，左邊V1集合裡端點的 degree數。

(f)隨機刪去 k 個行數，也就是排除 k 個不誠實成員後，可視為對 random bipartite graph 隨機刪去 k 條相連的 edge 數。

(g)因此，我們有了成功率流程圖中的“a＂及“1＂之關聯結果。

(h)下圖是以一個尺寸為 4 x 8 且每列有三個非零值的隨機稀疏矩陣與 random bipartite graph 之間的對應關係之例子：

(3)有了上述隨機稀疏矩陣與 random bipartite graph 之間的對應關係之後，我們可 以推知以下關係：

(a)當我們對一個隨機稀疏矩陣“隨機地＂刪去 k 行之後，還是呈現一個隨機稀 疏矩陣。(也就是成功率流程圖中的“I＂)

(b)當我們對一個 random bipartite graph“隨機地＂刪去 k 條 edge 之後，還是呈 現一個 random bipartite graph。(也就是成功率流程圖中的“II＂)

(4)由 3.3 小節的敘述可知，我們的隨機稀疏矩陣經過應對後的 random bipartite graph 有幾乎趨近於“1＂的機率(約為 ³ 4) ³]²

( 4 [ 2

1− ^d−

e n )可以成為一個

2-expander bipartite graph；因此，證明流程圖中的“b＂及“2＂步驟即可推 知！

(5)當我們得出我們的矩陣架構有非常高的機率成為 2-expander bipartite graph 之 後，我們接下來便可以運用在本篇 3.5 小節所介紹的一個 bipartite graph 與 perfect matching 之間關聯性的 Hall Theorem，推導出我們所形成的 2-expander bipartite graph 也會形成一個由左端點集合到右端點集合的 perfect matching。

從 Hall Theorem 中可知，一個 bipartite graph 若要成為一個 perfect matching 之條件必須是|Γ (S)| |S|，也就是從左方任意端點之集合所連出的右方鄰居≥

端點集合之尺寸要大於等於左方端點之集合。而從本小節的第(4)點說明可 知，我們所形成的 2-expander bipartite graph 有“|Γ (S)| 2|S|＂的關係；因 此，我們可以得出我們架構形成的 bipartite graph 將會有 perfect matching，所 以證明流程圖中的“c＂及“3＂步驟亦可推知。

≥

(6)當我們得出一個 2-expander bipartite graph 將是一個 perfect matching 圖形之結 果後，我們就利用以下的方式來還原為矩陣型態，並進一步討論此被還原的 矩陣是否依舊維持全秩(full rank)：

(a)我們將此 perfect matching 的圖形之左端點集合中的端點相對應到矩陣的列 索引數，而圖形中的右端點集合中的端點對應到矩陣的行索引數，因此，

我們便可以將矩陣中的非零點標示出來。可由下頁圖例得知：

(b)又因為由 perfect matching 的性質可知，每個左端點接會與一個跟其他左端 點不重複的右端點相連，這就隱含著：在矩陣中的所有行中，將有 m 個行 與 m 列數一對一相連，也就是此行的最大獨立數將等於 m，也等於列的最 大獨立數，因為列數為 m，所以最後還原出的矩陣依舊是全秩(full rank) (c)值得注意的是，上述的(b)情況必須在“每個非零值之選取皆不重複＂之額外

條件之下才能成立，否則，只要將此矩陣透過高斯消去法的調整之後，必

然會有秩(rank)減少的情形發生；而從 5.1 小節的演算法可得知，因為我們 的稀疏矩陣E中的非零值之元素是從Zq之中所選出的，且q是一個很大的質 數值，所以兩個非零值會重複的機率非常的低。

(7)因此，我們推倒出成功率流程圖中的“d＂與“4＂之結果。

(8)透過上述一連串的推導過程，我們將得出：當我們將我們的隨機稀疏矩陣隨 機刪去 k 行之後，仍然有非常高的機率會維持全秩，也因此，能有非常高的 機率重建出私密金鑰！