指标分析

对评价指标进行数学分析能够帮助判断一个策 略的提出是否真的提升了ＭＯＥＡｓ的求解性能，如 当３维空间中的Ｐａｒｅｔｏ前沿为凹曲面时^，通过修改 权重向量分布的方式以获得更大的ＨＶ值^，并不意 味着解集的多样性得到了提升，而是更加迎合了 ＨＶ的计算方式^［１８］．

此外^，使用不同的评价指标得出了不一致的结 论时，更需要对评价指标进行深入分析．假设存在一 个ＭＯＰｓ^，两种算法分别求得解集犛^１和犛^２，使得 ＩＧＤ^（犛^１）＜ＩＧＤ^（犛^２）的同时存在ＨＶ^（犛^１）＜ＨＶ^（犛^２），

此时仅使用一种评价指标对比算法优劣是不够严谨 的，但这并不意味着两种算法无法比较．

本节从高维目标适应性、离群点敏感性、参考集 合理性^、指标值最优性四个方面对部分具有代表性 的评价指标进行分析与比较．

４１　^{高维目标适应性}

高维的目标空间中解集会变得非常稀疏^{［１１０］，} 有限的解集难以覆盖整个Ｐａｒｅｔｏ前沿^［７９］．本文划分 高维适应性指标的标准是^：若一个评价指标只适用 于某些维度的目标空间，则称为非适应性指标；若一 个评价指标适用于任何维度的目标空间^，但在高维 目标空间上的表现偏差较大^，则称为弱适应性指标^； 若一个评价指标在高维目标空间上仍有较好的表 现^，则称为强适应性指标．如表２所示．

表２　评价指标高维目标适应性表

强适应性指标 弱适应性指标 非适应性指标 计数指标 无 全部计数指标 无 收敛性指标 ＧＤ^，ＭＥ 犐ε，犐ε＋ ＳＰＡＤ 分布性指标 ＰＤ ＳＰ^，Δ^ Δ′^，Δ 综合性指标 ＩＧＤ^，Δ^狆 ＨＶ 无

ＳＰＡＤ是非适应性指标是因为参考点数量太 少^；Δ′^、Δ则是因为计算了连续解之间的距离^，而在 高维目标空间之中难以定义两个解之间的连续关 系．计数指标是弱适应性指标是因为随着目标维度 的增加^，非支配解的比例将大幅增加^，但这并不代表 解集的质量也因此提升；γ^、犕^１、ＳＰ^、Δ^是弱适应性 指标是因为欧式距离在高维的空间中存在维数灾 难^{［１１１］}，即解之间的距离趋向于相等．ＧＤ^、ＭＥ^、ＩＧＤ^、 Δ^狆均存在参数可以控制距离的类型，故为强适应性

指标^；ＨＶ是弱适应性指标是因为在高维空间中^，仅 有极少部分非支配解参与指标值的运算，难以如实

地反映整个解集的优劣．

随着目标维度的增加，评价指标的计算代价会 随之提高^，但除了ＨＶ系列指标等部分指标外^，其 他指标无需过多考虑计算代价，因为这些评价指标 与算法的计算复杂度均随着目标维度线性增长^，如 ＩＧＤ的计算复杂度为犗^（犿｜犛｜^·｜犘｜^），ＮＳＧＡＩＩ的

计算复杂度为犗^（犿｜犛｜^２）．

此外，ＨＶ在ＭａＯＰｓ上计算方差时会出现一定 的误导性^，ＨＶ的方差存在随着目标维度的增加先 增大后减小的可能，因为解集的收敛性随着目标维 度的增加而变差^，导致ＨＶ的值急剧缩小^，因此ＨＶ 的方差也随之变小，但这实际上并不代表所求得的 解集更加稳定．在ＷＦＧ系列测试问题^{［１１２］}上不存在 这种情形，因为随着目标维度的增加其Ｐａｒｅｔｏ边界 点距离原点的距离也在增加^，其他Ｐａｒｅｔｏ边界点与 原点的距离随着目标维度发生变动的可扩展系列测 试问题也不存在这种情形．

因此在应对ＭａＯＰｓ时^，尤其是维数较高的 ＭａＯＰｓ^，建议使用ＩＧＤ^、ＧＤ等强适应性指标．在高 维的目标空间中综合性指标会更侧重解集的收敛 性^，因为当一个解集收敛性较差时其多样性对指标 值的影响甚微^{［１０６］}．又因为维数灾难的存在，传统的 多样性指标也难以在高维的目标空间中准确地衡量 多样性，所以如何在高维目标空间中更好地衡量解 集的多样性是评价指标的一个挑战．

４２　^{离群点敏感性}

ＭＯＰｓ的离群点尚未有精确的定义^，一般认为 距离真实Ｐａｒｅｔｏ前沿较远的点都可以算作离群 点^［２８］．本文给出关于离群点的相关定义如下^：

定义１９．　离群点．解集犛中的解狓在某个目标 上的值较大^，则称该解为离群点^（Ｏｕｔｌｉｅｒｓ^），记为狓^狅．

犳^犻（狓^狅）＞犕^，犻∈^｛１^，…，犿^{｝ （}１２１^） 其中犕是一个人为给定的大正数．

定义２０．　离群点敏感性．向解集犛中加入一 个离群点狓^狅′，若评价指标的数值犐与犕存在关系

ｌｉｍ

犕→＋∞犐^（犛^）＝＋∞^（该评价指标的数值犐越小则表明 ＭＯＥＡｓ性能越好，反之则极限为０^），则称该评价指 标具有离群点敏感性^，简称敏感性．

其中离群点狓^狅′为人为定义的特殊离群点，并 非算法实际求解获得的离群点狓^狅，即存在犕使得 狓^狅′Ω^，犳^犻（狓^狅′）^!犿的情况．引入特殊离群点狓^狅′是 为了说明评价指标的离群点敏感性^，因此去寻找狓^狅′ 对应的决策空间是没有意义的．

通俗地理解评价指标的敏感性即为指标值犐受

０ １ ６

１ 计　　算　　机　　学　　报 ２０２１年

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报

》

离群点狓^狅的影响程度．根据评价指标对离群点的敏 感性对部分评价指标进行划分，如表３所示．

表３　评价指标离群点敏感性表 非敏感性指标 敏感性指标 计数指标 全部计数指标 无 收敛性指标 ＳＰＡＤ ＧＤ^，犐ε，犐ε＋，ＭＥ 分布性指标 无 ＳＰ^，Δ′^，Δ^，Δ^，ＰＤ 综合性指标 ＩＧＤ^，ＨＶ Δ狆

计数指标均为非敏感性指标，因为计数指标 的计算方式与解狓在目标空间对应的犉^（狓^）无关． ＨＶ为非敏感性指标^，因为离群点狓^狅在各个目标上 都大于最低点狕^狀犪犱，故离群点狓^狅不参与ＨＶ的计 算．ＩＧＤ为非敏感性指标^，因为Ｐａｒｅｔｏ近似前沿中 存在参考点狆与解狓的距离小于参考点狆与离群 点狓^狅的距离^，故离群点狓^狅也不参与ＩＧＤ的计算．收 敛性指标中除了ＳＰＡＤ均为敏感性指标^，这是因为 ＳＰＡＤ的计算方式与ＩＧＤ相似^，故ＳＰＡＤ也为非敏

感性指标．

性质８．　若一个非计数指标是敏感性指标^，则 解集犛中的所有解都参与指标运算．

通常情况下^，若一个评价指标不具有敏感性^，则 该评价指标具有更好的稳定性^（评价指标的稳定性并 非ＭＯＥＡｓ的鲁棒性），但这并不意味着一个评价指 标具有敏感性就是不好的^，比如对于ＷＦＧ系列问 题^{［１１２］}容易出现解集犛中大部分解收敛性较好^，而 部分边界点狓^犲狓狋收敛性极差的情况^，此时使用敏感 性指标更容易区分出解集的优劣，以反映ＭＯＥＡｓ 的性能差异．

对于ＩＧＤ^（犘^，犛^，狇^），其离群点敏感性可以通过 改变距离类型控制，即设定不同的狇值^，狇越大离群 点敏感性越高^，反之越低．当狇→∞时^，ＩＧＤ的值仅 取决于离群点．ＧＤ等其他可以通过参数控制距离 类型的评价指标也有类似结论．

对于一个给定的ＭＯＰｓ^，是否选择敏感性指 标对比ＭＯＥＡｓ的性能优劣应从两个方面考虑^：

（１^）ＭＯＥＡｓ求解完成后是否需要关注离群点，对于 某些实际问题决策者并不关心离群点^，此时建议使用 非敏感性指标避免离群点的影响；（２^）求解ＭＯＰｓ时 是否容易出现离群点，针对本身难以优化或部分边 界点难以收敛的ＭＯＰｓ^，建议使用敏感性指标加大 ＭＯＥＡｓ的区分度．

４３　^{参考集合理性}

参考集合理性分析评价指标的参考集取值范 围，主要讨论ＨＶ^、ＩＧＤ和ＧＤ．

对于Ｐａｒｅｔｏ前沿为犳^１＋犳^２＝１的测试函数^，显 然我们希望所得解集犛中包含Ｐａｒｅｔｏ边界点集 犘犅犛＝^｛（１^，０^），（０^，１^）｝，即有最优解集犛^为

犛^＝狓｜狓＝犻－１ 犖－１^，犖－犻

（

）

｛

｝

将ＨＶ的参考点狕^狉犲犳设为狕^狀犪犱的最大问题在 于无法衡量解集犛中边界点狓^犲狓狋的ＨＶ值^，即有 ＨＶ^（狓^犲狓狋，狕^狀犪犱）＝０^，故ＨＶ的最优解集犛^ＨＶ为 　犛^ＨＶ＝

｛

（ ）

｝

显然犛^ＨＶ中不包含犘犅犛．故需要设置ＨＶ的参 考点狕^狉犲犳略劣于狕^狀犪犱．则令^：

狕^犻狉犲犳＝δ狕^{狀犻犪犱，}δ∈^（１^，＋∞^{） （}１２４^） 有ｌ_δ→＋∞ｉｍ犞犪狉^（ＨＶ^（犛^，狕^{狉犲犳））}＝０^，即当δ较大时 ＨＶ的方差为零^，故建议δ１０．

解集犛中的解狓所支配且不被其他解支配的 空间大小为犛^狓＝ １

（ ）

故建议δ１＋１犖－１．若难以求解一个ＭＯＰｓ的 Ｐａｒｅｔｏ最优解，建议增大δ^，反之建议减小δ．

对于ＩＧＤ^，为了保证计算的准确性^，Ｐａｒｅｔｏ近似 前沿犘中参考点数量不能太少．由于在维度大于等 于２的空间中至少需要两个点才能够确定一个点， 使这个点到那两个点欧式距离的平方和最小，故在 计算每一个非边界点的ＩＧＤ值时至少需要两个参 考点，计算每个狓^犲狓狋只需要一个参考点．因此得到

｜犘｜的下限２犖－犿．ＭＯＥＡｓ实际运行时^，ＩＧＤ的参 考点数量越多越好，但不能影响ＭＯＥＡｓ的运行时 间^，故认为｜犘｜的上限以犖^犿为宜．

对于ＧＤ^，与ＩＧＤ的不同之处在于当ＭＯＰｓ的 目标数量增大时，｜犘｜的下限不能太小，这是因为当 解狓落在两个参考点之间与正好落在参考点上时^， 对ＩＧＤ数值的影响不大^，对ＧＤ影响较大．故建议

｜犘｜的下限为２^犿犖^，因为参考点的数量与目标维度 的幂次方有关，上限同为犖^犿．

给出参考集的建议表如表４所示．

表４　^{参考集的建议表}

指标 建议选取的参考集范围 ＨＶ 狕犻^狉犲犳＝δ狕犻^狀犪犱，δ∈１

［ ］

ＧＤ ｜犘｜∈^［２^犿犖^，犖^犿］

１ １ ６ ８期 王丽萍等：多目标进化算法性能评价指标研究综述 １

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通过对参考集合理性的分析可以发现^，在设置 ＨＶ的参考点时^，为了确保边界点ｘ^犲狓狋的ＨＶ值不 为０^，建议δ１＋１犖－１如在ＰｌａｔＥＭＯ^［９３］中设置了 δ＝１．１^；设置ＧＤ^、ＩＧＤ的参考集时^，在不影响ＭＯＥＡｓ

运行时间的前提下，设置更多的参考点能得到更精 确的结果．

４４　^{指标值最优性}

本节讨论的是关于部分评价指标数值的一些数 学定理^，以及Ｐａｒｅｔｏ最优解集犘犛与有穷的解集犛 在计算指标值犐时所能达到最优值．通过对指标值 最优性的分析^，能够对指标数值上的极限有更深入 的认识，增强对指标数值的分析能力．

定义２１．　指标值最优解集．当一个解集犛使 得某个评价指标在给定ＭＯＰｓ上取到最优值犐^，称 该解集为指标值最优解集，简称最优解集，记为犛^．

对于两个不同的指标^，其指标值最优解集不一 定相同，比如在凹曲面上存在犛^ＩＧＤ≠犛^ＨＶ，但在直线 或平面上存在犛^ＩＧＤ＝犛^ＨＶ．

定理４．　Ｃ^（犛^１，犛^２）和Ｃ^（犛^２，犛^１）存在如下关系^：

定理４．　Ｃ^（犛^１，犛^２）和Ｃ^（犛^２，犛^１）存在如下关系^：