本文首先介绍了ＭＯＥＡｓ评价指标的研究现 状，然后介绍了多目标优化的相关概念，综述了现有 的评价指标，并根据计数、收敛性、多样性、综合性这 四种类型划分评价指标，探讨了它们的优势与不足； 并选取了一些具有代表性的指标，分析了目标维度、 离群点、参考集、指标值四个方面对这些评价指标的 影响，给出了一些关于评价指标的定理．关于评价指 标还有很多方面有待进一步研究．
（１）无需先验信息的综合性指标．通用的综合 性指标大多需要设置参考集，即便是ＨＶ也需要知 道Ｐａｒｅｔｏ前沿在每个目标上的最大值以设置狕狉犲犳， 即需要知道真实Ｐａｒｅｔｏ前沿中边界点狓犲狓狋的先验 信息．但在部分实际问题中，真实Ｐａｒｅｔｏ前沿的信 息是未知的，因此有必要展开相关的研究．
（２）新型多元评价指标的研究．现有的指标大 多都是一元指标或二元指标［５０］，典型的一元指标如 ＩＧＤ、ＨＶ，典型的二元指标如Ｃ、Ｒ２．但随着多因子 优化［１１３］（ＭｕｌｔｉｆａｃｔｏｒｉａｌＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＭＦＯ）也称多 任务优化［１１４］（ＭｕｌｔｉｔａｓｋＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＭＴＯ）的提 出，新型二元及多元评价指标，如衡量任务间相关 性［１１５］的评价指标，亟待进一步地研究．
（３）高维目标评价指标的研究．尽管现有的不 少评价指标能在ＭａＯＰｓ中使用，但是随着目标维 数的增加问题会变得复杂［７５］，当解集的收敛性较差 时，综合性指标难以准确地衡量多样性也是一个待 解决的问题［１０６］，现阶段针对ＭａＯＰｓ评价指标的研 究成果仍然较少，如ＰＤ、Ｐ，有待进一步研究．
（４）大规模优化评价指标的研究．在大规模优 化中可以通过使用传统指标并统计时间开销的方式 衡量算法性能的优劣［１１６］，也存在基于评价指标的 大规模多目标进化算法［１１７］．现阶段关于大规模优 化的评价指标仍然侧重解集质量，关于决策变量分 组精确度以及算法优化速率的评价指标均存在一定 的研究空间．
（５）鲁棒性评价指标的研究．现有的许多评价 指标主要针对ＭＯＥＡｓ所求得的解集质量，鲜有评 价方式能够衡量ＭＯＥＡｓ的鲁棒性，评价指标的方 差只能反映ＭＯＥＡｓ在求解某个ＭＯＰｓ时的鲁棒 性，并不能反映ＭＯＥＡｓ在不同ＭＯＰｓ之间的鲁棒 性，也不能反映ＭＯＥＡｓ对于参数设置的敏感性，因 此迫切需要对ＭＯＥＡｓ的鲁棒性进行数学建模．
（６）ＰＭＯＥＡｓ评价指标的研究．缺乏能将决策 者偏好信息纳入考虑且无需人为指定偏好区域的综 合性评价指标，ＨＶＵＭ与ＩＧＤＣＦ通过简单地划 分偏好区域，能够衡量偏好区域内解集的质量，但并 不能衡量解集与决策者偏好之间的关系［３７］，如何通 过评价指标衡量这两者之间的关系是亟待研究的 问题．
（７）ＤＭＯＥＡｓ评价指标的研究．ＤＭＯＥＡｓ的 评价指标都是基于代数的伪动态评价指标，在基准 测试集ＦＤＡ［３５］、ＤＭＯＰ［１１８］、Ｆ［１１９］等系列测试函数 上表现稳定，但是这些测试函数的动态模式大多都 是有规律的、可预测的，而实际的动态问题更为复 杂，因此动态评价指标仍然有些路要走．
（８）ＭＭＯＥＡｓ评价指标的研究．由于目前 ＭＭＯＥＡｓ多应用于低维目标的ＭＯＰｓ［１２０］，其在目 标空间中解集的表现较好，因此多衡量决策空间中 解集质量，缺乏能够同时衡量解集犛在决策空间和 目标空间中综合性的指标．如何结合现有的综合性 指标和ＭＭＯＥＡｓ的专用指标，是需要考虑的问题．
（９）关于评价指标的数学性质研究．针对评价 指标的数学性质以及相关定理推导的显著性研究成 果主要集中在ＨＶ及其系列指标上，其它的评价指 标相关研究成果目前仍然较少．现阶段研究评价指 标的性质主要通过运行ＭＯＥＡｓ并对指标数值进行 对比分析，但ＭＯＥＡｓ存在一定的随机性，并不能严 格证明评价指标存在某些特性，因此需要进一步展 开评价指标在数学方面的相关研究．
参考文献
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３ １ ６ ８期 王丽萍等：多目标进化算法性能评价指标研究综述 １
《 计
算
机
学
报
》
［５］ＺｉｔｚｌｅｒＥ，ＬａｕｍａｎｎｓＭ，ＴｈｉｅｌｅＬ．ＳＰＥＡ２：Ｉｍｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅ
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［５７］ＤｅｂＫ，ＪａｉｎＳ．Ｒｕｎｎｉｎｇｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｍｅｔｒｉｃｓｆｏｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ
［８５］ＪｉａｎｇＳ，ＹａｎｇＳ，ＬｉＭ．Ｏｎｔｈｅｕｓｅｏｆｈｙｐｅｒｖｏｌｕｍｅｆｏｒｄｉｖｅｒｓｉｔｙ
［１１３］ＧｕｐｔａＡ，ＯｎｇＹＳ，ＦｅｎｇＬ．Ｍｕｌｔｉｆａｃｔｏｒｉａｌｅｖｏｌｕｔｉｏｎ： Ｔｏｗａｒｄｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙｍｕｌｔｉｔａｓｋｉｎｇ．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎ ＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１５，２０（３）：３４３３５７
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［１１７］ＨｏｎｇＷ，ＴａｎｇＫ，ＺｈｏｕＡ，ｅｔａｌ．Ａｓｃａｌａｂｌｅｉｎｄｉｃａｔｏｒ
ｂａｓｅｄｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｌａｒｇｅｓｃａｌｅｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， ２０１８，２３（３）：５２５５３７
［１１８］ＪｉａｎｇＳ，ＹａｎｇＳ．Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙｄｙｎａｍｉｃｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ：Ｂｅｎｃｈｍａｒｋｓａｎｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ．ＩＥＥＥ ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＣｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ，２０１６，４７（１）：１９８２１１
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［１２０］ＩｓｈｉｂｕｃｈｉＨ，ＰｅｎｇＹ，ＳｈａｎｇＫ．Ａｓｃａｌａｂｌｅｍｕｌｔｉｍｏｄａｌ ｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｔｅｓｔｐｒｏｂｌｅｍ／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ２０１９ＩＥＥＥ ＣｏｎｇｒｅｓｓｏｎＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ｗｅｌｌｉｎｇｔｏｎ，Ｎｅｗ Ｚｅａｌａｎｄ，２０１９：３１０３１７
附录犡．
定理６． 对于同一个解集犛，γ始终不小于ＧＤ． 证明． 即证：
∑
犖犻＝１犱犻
槡 ∑犻犖＝１犱犻２ （１３３）
其中犱犻０，即证犻∑
狀＝１犱犻槡
犻∑
狀＝１犱犻２（狀犖）成立．狀＝１时显然
成立，下面证明狀＝２时成立．根据三角不等式：
犱犻＋犱犻＋１
槡
犱犻２＋犱犻２＋１ （１３４） 其中槡
犱犻２＋犱犻２＋１可以看作直角三角形的斜边，当犱犻＝０或 犱犻＋１＝０时不等式（１３４）取到等号．将槡
犱犻２＋犱犻２＋１看作新的 犱犻，犱犻＋２看作新的犱犻＋１，代入不等式（１３４）得：犱犻＋犱犻＋１＋犱犻＋２
槡
犱犻２＋犱犻２＋１＋犱犻＋２
槡
（槡
犱犻２＋犱犻２＋１）２＋犱犻２＋２＝
槡
犱犻２＋犱犻２＋１＋犱犻２＋２ （１３５） 故当狀＝２时成立，假设狀＝犽（犽＜犖）成立，证明狀＝犽＋１ 时成立：∑
犽＋１犻＝１犱犻
槡 （ ） 槡 ∑犻犽＝１犱犻２＋犱犽＋１
槡 （ ） 槡 ∑犻犽＝１犱犻２＋犱犽２＝槡 ∑犽犻＋＝１１犱犻 （１３６）
根据数学归纳法，得证．当只有一个犱犻≠０时不等式取
到等号． 证毕．
定理７和定理８． 对于同一个解集犛，ＧＤ（犛，犘，犼） ＧＤ（犛，犘，犽），ＩＧＤ（犘，犛，犼）ＩＧＤ（犘，犛，犽），其中犼＜犽．
证明． 即证：
∑
犖犻＝１犱犼
（ ）
犻１犼（ ）
犻∑
犖＝１犱犽犻犽１ （１３７） 其中犱犻０，即证（ ）
犻∑
狀＝１犱犼犻１犼（ ）
犻∑
狀＝１犱犻犽１犽（狀犖）成立．狀＝１ 时显然成立，下面证明狀＝２时成立．不等式（１３７）的左边是以犼为变量的函数犉（犼），即证犉（犼）犉（犽），即证函数犉（狓）
（狓１）单调递减，即证犉′（狓）０．
设犱１＝犪，犱２＝犫，则犉（狓）＝（犪狓＋犫狓）１狓，令犉（狓）＝犲犌（狓）， 则犌（狓）＝ｌｎ（犪狓＋犫狓）
狓 ，即证犌′（狓）０．当犫＝０时，犌′（狓）＝０ 成立，当犫≠０时，有：
犌′（狓）＝ｌ
（ ）
ｎ（犪狓狓 ′＋犫狓）＝ｌ烄ｎ（犫）＋ｌｎ
（ ） （）
犫犪狓＋１烆 烌
烎
狓 ′（犫≠０）（１３８）
令犪
犫＝狆，狆∈（０，＋∞），即 犌′（狓）＝ｌ
（ ）
ｎ（狆狓 ′狓＋１）＝狆狓ｌｎ（狆）
狆狓＋１－ｌｎ（狆狓＋１） 狓２
＝狆狓ｌｎ（狆）－（狆狓＋１）ｌｎ（狆狓＋１）
狓２（狆狓＋１） （狓１）（１３９）
其中狓２（狆狓＋１）＞０，令犌′（狓）＝犎（狓） 狓２（狆狓＋１），则 当狆＝１时，显然犎（狓）＜０．
当狆∈（０，１）时，狆狓ｌｎ（狆）＜０，（狆狓＋１）＞０，ｌｎ（狆狓＋１）＞０， 故犎（狓）＜０．
当狆∈（１，＋∞）时，有狆狆狓（狓１），则
０＜ｌｎ（狆）ｌｎ（狆狓）＜ｌｎ（狆狓＋１） （１４０）
又有０＜狆狓＜狆狓＋１，故犎（狓）＜０．
故当狀＝２时成立，假设狀＝犽（犽＜犖）成立，证明狀＝犽＋１ 时成立：
∑
犽＋１犻＝１（犱犼犻）犼１犻
∑
犽＝１（犱犼犻）１犼＋犱犽＋１
（ ∑
犻犽＝１（犱犼犻）犼１＋犱犼犽＋１）
１犽＝∑
犻犽＋＝１１（犱犻犽）１犽（１４１）根据数学归纳法，得证．当只有一个犱犻≠０时不等式取
到等号． 证毕．
８ １ ６
１ 计 算 机 学 报 ２０２１年
《 计
算
机
学
报
》
犠犃犖犌犔犻犘犻狀犵，Ｐｈ．Ｄ．，ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ． Ｈｅｒｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｔｅｒｅｓｔｓｉｎｃｌｕｄｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅａｎｄｄｅｃｉｓｉｏｎ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．
犚犈犖犢狌，Ｍ．Ｓ．ｃａｎｄｉｄａｔｅ．Ｈｉｓｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｔｅｒｅｓｔｓ ｉｎｃｌｕｄｅｃｏｍｐｕｔｉｎｇｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅａｎｄｄｅｃｉｓｉｏｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．
犙犐犝犙犻犆犪狀犵，Ｍ．Ｓ．Ｈｉｓｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｔｅｒｅｓｔｉｓ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｃｏｎｔｒｏｌ．
犙犐犝犉犲犻犢狌犲，Ｐｈ．Ｄ．，ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ．Ｈｉｓｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎｔｅｒｅｓｔｓｉｎｃｌｕｄｅｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｃｏｎｔｒｏｌａｎｄｄｅｅｐｌｅａｒｎｉｎｇ．
犅犪犮犽犵狉狅狌狀犱
ＴｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｉｓｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＺｈｅｊｉａｎｇＰｒｏｖｉｎｃｉａｌ ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔ Ｎｏ．ＬＱ２０Ｆ０２００１４，ｔｈｅＺｈｅｊｉａｎｇＰｒｏｖｉｎｃｉａｌＫｅｙＲｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．２０１８Ｃ０１０８０， ａｎｄｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒ
ＧｒａｎｔＮｏｓ．６１４７２３６６，６１３７９０７７．
Ｔｏｓｏｌｖｅｖａｒｉｏｕｓｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｓｈｏｕｌｄｂｅｃｈｏｓｅｎｗｉｓｅｌｙｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｋｉｎｄｓ ｏｆｐｒｏｂｌｅｍｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ，ｔｈｕｓｈｏｗｔｏｃｏｍｐａｒｅｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆｔｈｏｓｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｈａｓｂｅｃｏｍｅａｎｅｎｄｕｒｉｎｇｔｏｐｉｃｉｎｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈｆｉｅｌｄｏｆｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈａｔｃａｓｅ，ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅｏｆｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｄｏｅｓｎ’ｔｎｅｅｄｔｏｂｅｏｖｅｒｅｍｐｈａｓｉｚｅｄ． Ｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｓｈｏｕｌｄｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｉｎｔｈｒｅｅａｓｐｅｃｔｓ：（１）Ｔｈｅｑｕａｌｉｔｙｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔ， ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅａｎｄｄｉｖｅｒｓｉｔｙ；（２）Ｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｉｍｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙａｎｄｃｏｓｔ；（３）Ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓｏｆａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ｒｅｆｌｅｃｔｉｎｇｔｈｅａｂｉｌｉｔｙｔｏｓｏｌｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｍａｉｎｌｙｔａｋｅｔｈｅｑｕａｌｉｔｙｏｆ ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔｉｎｔｏｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ．
Ｗｅｃａｔｅｇｏｒｉｚｅｔｈｅｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｉｎｔｏｆｏｕｒｇｒｏｕｐｓｂａｓｅｄｏｎ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎｍｅｃｈａｎｉｓｍ：ｃｏｕｎｔｉｎｇｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ，ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ，ｄｉｖｅｒｓｉｔｙｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ，ａｎｄｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ． Ｔｈｅｄｉｖｅｒｓｉｔｙｉｎｄｉｃａｔｏｒｓａｒｅｆｕｒｔｈｅｒｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ，ｓｐｒｅａｄｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ，ａｎｄｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｍｅａｓｕｒｉｎｇｂｏｔｈ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓａｎｄｓｐｒｅａｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｐｒｏｐｅｒｔｙ．Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｉｎｄｉｃａｔｏｒｓａｒｅｆｕｒｔｈｅｒｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｎｄｉｃａｔｏｒｓａｎｄ ｓｐｅｃｉａｌｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｆｏｒｓｐｅｃｉｆｉｃｐｒｏｂｌｅｍｓｂｙｓｃｏｐｅｏｆａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｗｅａｎａｌｙｚｅｓｏｍｅｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｆｒｏｍｆｏｕｒａｓｐｅｃｔｓ： ｍａｎｙｏｂｊｅｃｔｉｖｅａｄａｐｔａｂｉｌｉｔｙ，ｏｕｔｌｉｅｒｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ，ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓｅｔ ｒａｔｉｏｎａｌｉｔｙ，ａｎｄｖａｌｕｅｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ．
９ １ ６ ８期 王丽萍等：多目标进化算法性能评价指标研究综述 １