第二章 Lyapunov 穩定理論
2.6 控制系統中常見的非線性子
生的非線性子都是由系統硬體和機械裝置所產生，例如旋轉裝置的向心力、接觸平面的 庫倫摩擦力（Coulomb friction）。這些非線性子通常都對系統有不良的影響，所以控制 這類系統必須準確的去校正他們。另一方面，人為的非線性子是由於系統設計師為了使 系統達到其目的，所引進到系統裡的，例如適應性控制法與 bang-bang 最佳化控制法都 是典型的人為非線性子[11][15]。
考慮傳統控制系統方塊圖如圖 2.12，它是由受控體（plant）、感測器（sensors）、驅 動器（actuators）、控制器（controller）四個部分所組成。然而非線性子會發生在系統中 的任何部分，以致使整個系統變成為非線性控制系統。
controller actuators plant
sensors sensors
+
-( ) t
( ) t y u
圖 2.12：控制系統方塊圖[11]
下面我們將討論一些重要的非線性子之特性與其對系統的影響。
2.6.1 飽和（Saturation）
飽和大概是控制工程中最常遇到的非線性子。飽和非線性子通常是由於零件大小、
材料特性以及有效功率的種種限制所引起，且與控制系統中的放大器和驅動器相關聯。
以電晶體放大器為例，只有在較小振幅輸入的同時，輸出曲線會隨著輸入曲線作線性變 化。當輸入振幅超出放大器的線性範圍時，輸出的變化量會變小甚至停留在最大值，導 致飽和現象發生。飽和非線性子的特性曲線如圖 2.13，實線部分為真實的飽和非線性 子，虛線部分為理想化的飽和非線性子。
linear saturation
( )
t u( )
t y圖 2.13：飽和非線性子[15]
然而，大部分的驅動器也會產生飽和的特性，例如雙相伺服馬達的輸出力矩不可能 無限大的增加，而會因為磁性材料的特性趨向於飽和。同樣地，閥門控制的液壓伺服馬 達也會因為最大流速的限制而飽和。
在控制系統工作中，飽和有其複雜的影響力。粗劣地說，當系統輸入訊號持續增加 時，飽和的發生總是在消減系統中元件的增益。同樣的，如果有一個系統在其線性區間 呈 現 不 穩 定 ， 它 的 發 散 行 為 會 由 於 飽 和 所 產 生 的 抑 制 力 而 轉 變 成 自 我 持 續 振 盪
（self-sustained oscillation）。另一方面，對於線性穩定的系統，飽和會降低有效增益以 致減慢系統反應。
2.6.2 死區（Dead-zone）
在現實生活中，許多的物理元件在輸入未超過某一”特定值”前，輸出會一直保持為”
零”的狀態。例如直流馬達，在理想的情況下，只要提供電壓給馬達，馬達就會轉動。
但事實並非如此，因為馬達轉軸有靜摩擦力，唯有提供足夠大的力矩，馬達才會轉動。
這種現象被稱作死區（Dead-zone）。相同的，死區現象也常發生在有閥門控制的氣體驅 δ
y
u
y
0 u
k
δ δ
−
圖 2.14：死區非線性子[15]
一般來說，對於一個控制系統，死區非線子可能發生在感測器、放大器、驅動器。
而它對系統可能的影響也相當的多，最常見的就是降低了穩態輸出的準確性。這些影響 也可能導致極限循環（limit cycles）與系統不穩定的產生。然而，在某些例子中，死區 非線性子可以穩定系統或抑制系統的自我振盪。以帶有死區的理想繼電器為例，死區現 象可使繼電器的接點避免因震盪產生的火花與磨損。
2.6.3 量化致動器 (Quantization actuator)
量化非線性子其輸入、輸出如圖 2.15 所示，常見之量化非線性子元件如 A/D 轉換器。
slope=k
u u r1 u
r2
) (u uφ
−q q
−2 q 2
q y
u
圖 2.15：量化致動器 (Quantization actuator)[15]
2.6.4 扇型致動器 (Sector actuator)
扇 型 非 線 性 子 代 數 表 示 為 滿 足 不 等 式r1u2 ≤uφ(u)≤r2u2之 函 數φ(u) ， 其 中
1 >0
≥ r
r2 ，其輸入、輸出，特色就是在圖形中斜線扇形區間內所有運算子。如圖 2.16 所示。
) φ(u
圖 2.16：扇形致動器 (Sector actuator)[15]