第二章 Lyapunov 穩定理論
2.3 穩定性的定義
2.4.1 非時變系統的 Lyapunov 穩定理論
若一函數φ:ℜ+ →ℜ+為連續的且滿足下列條件，則稱φ 為 K 類函數（class K function）；記做φ∈K[11][14]。
（1）φ(0)=0；
（2）φ(p)>0, ∀p>0；
（3）φ為非遞減的
定義 2.13 :
滿足下列三項條件的函數V(x)稱為局部正定（locally positive definite）函數：
（1）V(x)具連續性；
（2）V(0)=0；
（3）存在r >0和函數α∈K 使得
( )
x x Brx
V( )≥α , ∀ ∈
其中Br代表狀態空間中滿足 x <r的球狀區域，亦即
{
x R x r}
Br = ∈ n <
同理，若是−V(x)滿足上述的條件，則稱V(x)為局部負定（locally negative definite）函 數[11][14]。
定義 2.14 :
滿足下列三項條件的函數V(x)稱為正定(positive definite)函數：
（1）V(x)具連續性；
（2）V(0)=0；
（3）存在函數α∈K 使得
( )
x ≤V(x), ∀x∈Rnα
同理，若是−V(x)滿足上述的條件，則稱V(x)為負定（negative definite）函數[11][12][14]。
範例 2.7[11] :
判別下列V(x)函數
（1） 1 2 2 22
(
1 cos 1)
2 ) 1 ,
(x x MR x MR x
V = + −
（2）V(x1,x2)=x12+x22 解：
（1）為局部正定，因為當x≠0且 x1 <2π，V(x)>0；但V(2π,0)=0。
（2）為正定，V(0)=0，且V(x)>0，∀x≠0。
由正定函數的定義可以得知，若V(x)為正定，則V(x)是在原點“ 0 ”處有唯一的極小 值的函數。
現在探討正定函數的幾何意義。考慮一個正定的函數V(x)包含兩個狀態變數x1以及 x2。在三維空間上畫出V(x)，可以得到一個看起來為一個開口向上的碗狀圖形，如圖 2.6，而碗的最低部即為原點。
V
x2
x1
0
V3
V
=
V2V
=
V1V
=
1 2
3 V V
V
> >
圖 2.6：正定函數V(x1,x2)典型圖[11]
再從二維的觀點來看函數V(x)的幾何意義。如圖 2.7，以x1及x2為平面上為卡迪兒 座標的座標軸，則V(x1,x2)=Vα為繞著原點的弧形曲線所成的集合，而且每一條弧形曲 線都代表著一個大於 0 的V 值，這些弧線通常稱為輪廓線，這些輪廓線可以視為把圖α 2.6 的三維圖對(x1,x2)平面投影所得的結果，而且這輪廓線並不會彼此相交，因為給定 任意一組(x1,x2)值，所得到的V(x1,x2)是唯一的。
x1
x2
V2
V
=
V3V
=
V1
V
=
3 2
1 V V
V
< <
0
圖 2.7：正定函數V(x1,x2)之二維輪廓線圖[11]
定義 2.15 :
若在一個 ball Br內，存在函數V(x)滿足下列的條件，則稱函數V(x)為系統
( )
2.1 的 Lyapunov 函數[11][12][14]：（1）V(x)是正定的
（2）V(x)的偏導數是連續可微的
（3）V(x)沿著系統
( )
2.1 的任意軌跡對時間所做的微分是半負定的（semi-negative definite），亦即V&(x)≤0
對於上述的 Lyapunov 函數可以用簡單的幾何意義來解釋。以圖 2.8 來看，V(x1,x2) 的值是朝著碗底來移動。若以圖 2.9 來看，V(x1,x2)的變化是由外圍向內圍逐漸變小。
V
x2
( )
t xx1
圖 2.8：定義 2.15 之示意圖[11]
x1
x2
V2
V
=
V3V
=
V1
V
=
3 2
1 V V
V
< <
0
圖 2.9 定義 2.15 之示意圖[11]
經由 Lyapunov 直接法，可以從 Lyapunov 函數和系統的穩定之間得到一些關於穩定 性的定理，這些定理可分為局部（local）以及全域（global）的。局部方面考慮的範圍 是在平衡點附近，通常包含了局部正定函數。
定理 2.1 :
Lyapunov 局部穩定定理：若在一個 ballBr內，存在一個連續的一階偏導數函數V(x) 滿足下列的條件，則平衡點“ 0 ”是穩定的：
（1）V(x)是正定的（局部在 ballBr內）
（2）V&
( )
x 是半負定的（局部在 ballBr內）如果V&
( )
x 在 ballBr內是局部負定的，則平衡點“ 0 ”是局部漸近穩定的[11][12][14]。應用上述定理來分析一個非線性系統穩定的方法，可分為下列兩個步驟：
（1） 先找出一個正定函數V(x)。
（2） 對此正定函數沿著非線性系統的路徑做微分，且滿足
( )
dt x
dV 為半負定函數。
範例 2.8[11] :
考慮一個單擺系統，其動態方程式如下：
0 sin = +
+θ θ
θ&& &
( )
2.2 首先考慮下面的函數( )
cos 2 1 ) (
θ2
θ θ = − + &
V
( )
2.3( )
2.3 式明顯的是一個局部正定的函數。事實上，( )
2.3 式為單擺系統的能量方程式，裡面 包含了系統的位能以及動能。( )
2.3 式對時間的微分為V&(θ)=θ&sinθ +θ&θ&&=−θ&2 ≤0
由定理 2.1 可以得知，“ 0 ”為系統
( )
2.2 的一個穩定平衡點。然而，透過定理 2.1 並無法 得知系統( )
2.2 是否為漸近穩定的，因為V&(θ)只有半負定而已。範例 2.9[11] :
決定下列非線性系統的穩定性：
( )
1 222 2 2 1 1
1 x x x 1 6x x
x& = + − +
( )
22 1 2
2 2 1 2
2 x x x 1 6x x
x& = + − −
解：
找到一正定函數
V(x1,x2)=x12 +x22
沿著系統的軌跡得到V(x1,x2)的微分為
(
,)
2( )(
22 1)
2 1 2 2 2 1 2
1 x = x +x x +x −
x V&
所以V&
(
x1, x2)
是局部負定的（其負定的範圍是在x12+ x22 <1的區域內）。因此，由 定理 2.1 可以得知平衡點“ 0 ”是漸近穩定的。定理 2.1 對於穩定的分析是局部的，如果要使系統為全域穩定的話，必須使定理 2.1 中的 ballBr能夠擴展到整個狀態空間。除此之外V(x)必須為 radially unbounded，亦即當
∞
→
x 時，V
( )
x →∞，則可以得到定理 2.2定理 2.2 :
Lyapunov 全域穩定定理：若存在一個連續的一階偏導數函數V(x)滿足下列的條 件，則其平衡點“ 0 ”是全域穩定的：
（1）V(x)是正定的
（2）V&
( )
x 是半負定的（3）當 x →∞時，V
( )
x →∞如果V&
( )
x 是負定的話，則平衡點“ 0 ”是全域漸近穩定的[11][12][13][14]。要保證V(x)的輪廓線為封閉的話，必須限制 x →∞時，V
( )
x →∞。如果V(x)=Vα 的輪廓線不是封閉的，即使系統的軌跡是朝越來越小的V(x)移動，系統的狀態軌跡有可 能遠離平衡點。例如，取一正定函數：( )
222 1 2 1
1
x x x x
V +
= +
當Vα >1時，V(x)=Vα的輪廓線並不是封閉的。如圖 2.10，系統的狀態是朝著越來越小 )
(x
V 移動，但是系統卻是發散的，並非一個穩定的系統。
)
1(
x VV
=
V(
x) =
V2)
3(
x V V=
3 2
1 V V
V
> >
x2
x1
( )
t x圖 2.10：非 radially unbounded 的狀態[11]
範例 2.10[11] :
考慮一個非線性系統 0 ) ( = + xc x&
其中函數c(x)是連續的，而且c(x)與x是同號的，亦即 0
0 )
(x > ∀x≠ xc
考慮的 Lyapunov 函數為
V 是 radially unbounded，其對時間微分為 )
( 2 2xx xc x V& = &=−
所以只要x≠0，則V& <0，由定理 2.2 可得知x=0是一個全域漸近穩定的平衡點。
x
( )
x c圖 2.11：函數c(x)[11]
範例 2.11[11] :
考慮一動態非線性系統
(
22)
2 1 1 2
1 x x x x
x& = − +
(
22)
2 1 2 1
2 x x x x
x& =− − +
“ 0 ”為系統的一個平衡點，選擇的 Lyapunov 函數為
2 2 2
) 1
(x x x
V = +
其微分為
(
22)
22 1 2
2 1
1 2 2
2 )
(x x x x x x x V& = & + & =− +
明顯的，V& 是負定的而且V 是 radially unbounded。所以，“ 0 ”是全域漸近穩定的平衡點。
因為是全域穩定的，所以“ 0 ”是系統唯一的平衡點。
從以上的定理可以知道，只要選擇一個適當的 Lyapunov function，不必去求系統的 狀態方程式的解就可以判斷系統的穩定性。
2-4-2 時變系統的 Lyapunov 穩定理論