第二章 數學模式
2.4 擾動方程式之建立
方程式(2.11)為描述擾動量之動量方程式，其邊界條件如下：
2.5 Lorenz 模型之建立
2
3 3
2.5.2 Power Series 展開法
運算，作如下之運算:
3 3
第 三 章
3.1 Runge-Kutta Method
Runge-Kutta method 為人們用以求解微分方程組的解法之一，是
運算方式如下:
A
1,n+1= A
1,n+ ( k
11+ 2 k
12+ 2 k
13+ k
14) / 6
此即為 Lorenz 方程式之解。對於十項展開[Model(3)]以及 Power Series 所得到之方程式(2.33) [Model(2)]同樣以此法求解，不同之處僅為方程
1 1 1
第 四 章
( =5772.22)之上，即 Re=6000，試圖觀察流場是否出現與 Fortin 文 中符合的擬週期性的流動情形。而所得到的結果顯示時間函數僅較雷 諾數為 5000 時需要更長的時間達到收斂值，所得到時間函數的解與 Fortin 所解出之 limit cycle 解不符合，意即流場在經過足夠長的時間 依舊會達到穩定，並未產生不穩定。此與實際的物理現象不符合，吾間再向後延長。
在 Model(1)無法得到預期的結果後，吾人嘗試以同樣展開方式並 增加展開項數至十項，得到 Model(3)，如附錄所示，探究是否因為展 開項數數量不足，而無法得到合理的物理現象。在展開項中取出 E、
F 兩項時間級數作圖，如圖(六)、(七)所示。所得到圖形與圖(二)、(三) 雷同，低雷諾數的條件下時間函數在較短的時間達到收斂，而隨著雷 諾數增加，時間函數收斂的時間亦加長，並未產生不穩定流場，顯示 以 Legendre 正交函數展開無法得到所預期能與物理現象符合的結果。
吾人嘗試不同的 y 方向展開式 Power Series 做展開[Model(2)]，
所得到方程式為(2.33)式。取出時間函數 F、G 作圖，如圖(四)、(五) 所示。結果與 Model(1)、(3)相似，改變 y 方向展開式尚無法得到與 物理現象符合的結果。
4.2 以線性化模型判斷解的正確性
吾人以 Runge-Kutta 法無法得到預期的結果，為驗證所建立的模 型在數學上的正確性，吾人將三組模型線性化，意即將非線性項去 除，並將方程式各時間函數化為矩陣型式，利用 Matlab 內建的
”eig”指令求取矩陣的特徵值值，並改變雷諾數以觀察線性模型發生不 穩定解的臨界雷諾數所在。在第一章已介紹 Orszag(1971)利用此法得 到線性方程組最精確的解。吾人利用該方法判斷結果是否與 4.1 節符 合。
表(一)、(二)、(三)分別代表線性化之 Model(1)、(2)、(3)在不同
4.4 超過臨界值無法獲得非零解的可能原因
與 Dowell 的研究吻合。而吾人使用 Power Series 前兩項與 Legendre 函數相似，僅係數不同，所加上的第三項 y 方向函數非奇非偶，由 結果顯示並無特別作用。而 Model(1)~(3)雖然包含非線性項，卻並 未發生非線性的作用。單就數學上與其他非線性聯立方程式比較，
在某些條件下非線性作用未發生是合理的，原因可能來自於模型建 立的方式，包含 y 方向展開項數的不足以及展開函數的選擇。此方 向的研究，可以嘗試在在 y 方向使用不同的函數，或是 y 方向使用 更多展開項數，而在 x 方向同樣使用傅立葉展開，或許能在超越臨 界雷諾數的條件下，引發擾動方程式中非線性項的作用。
3.吾人嘗試利用與 Lorenz 相同的方式建立動力模型，但無法與 Lo -renz 一般，僅利用極少展開項即描繪出合理的物理現象。由前人文 獻可知，使用 Chebyshev 以及傅立葉函數對擾動方程式做雙重展 開，以及有限元素法仍為解普修流問題的較佳方式。利用動力模型 的方法雖可簡化計算過程，但準確性及是否能正確描繪物理現象在 本文沒有正面的答案。因此最後建議，使用如第二點的方式，期盼 能夠使此模型符合物理現象。
第 五 章 結 論
本文藉由 Lorenz 模型，輔以 Runge-Kutta 數值方法求解，再利用 時間級數圖觀察平面普修流流場的行為，綜合前一章的結果以及驗證 方式，吾人得到以下的結論：
1. Model(1)、(2)、(3)在低雷諾數以及臨界雷諾數( =5772.22)以下的 流場皆能與 Fortin(1994)的結果吻合，在較短的時間皆能收斂至固 定解，達到穩定的流場。
Rc
2. Model(1)、(2)、(3)在超過臨界雷諾數皆未能得到符合物理現象的 非零解，在求得線性化模型的特徵值皆為負值，以及牛頓法解得 穩態解皆為零解的驗證下，證明模型的數學上的正確性。單就數 學上而言，某些情形下非線性作用未發生是合理的，原因可能來 自模型建立的方式。
3. 超過臨界值無法得到合理現象的原因可能為展開項數不足以及展 開函數的選擇不適合，在 x 方向展開方式及項數與 Dowell 相似甚 至更多的合理條件下，本文的改進可嘗試以不同的 y 函數做展開，
以及增加 y 方向展開項數，或許能在臨界雷諾數以上引發擾動方 程式中非線性項的作用。
參 考 文 獻
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國立交通大學碩士論
文
.Re=10 Re=100 Re=1000 Re=5000
A –2.2542 + 0.6474i –0.2254 + 0.6474i –0.0225 + 0.6474i –0.0045 + 0.6474i B –2.2542 – 0.6474i –0.2254 – 0.6474i –0.0225 – 0.6474i –0.0045 – 0.6474i C –0.9625 + 0.4773i –0.0963 + 0.4773i –0.0096 + 0.4773i –0.0019 + 0.4773i D –0.9625 – 0.4773i –0.0963 – 0.4773i –0.0096 – 0.4773i –0.0019 – 0.4773i
E –1.05 –0.105 –0.0105 –0.0021
F –2.25 –0.225 –0.0225 –0.0045
Re=10000 Re=50000 Re=100000 Re=500000 A –0.0023 + 0.6474i –0.0005 + 0.6474i –0.0002 + 0.6474i –0.0000 + 0.6474i B –0.0023 – 0.6474i –0.0005 – 0.6474i –0.0002 – 0.6474i –0.0000 – 0.6474i C –0.0010 + 0.4773i –0.0002 + 0.4773i –0.0001 + 0.4773i –0.0000 + 0.4773i D –0.0010 – 0.4773i –0.0002 – 0.4773i –0.0001 – 0.4773i –0.0000 – 0.4773i
E –0.001 –0.0002 –0.0001 0
F –0.0022 –0.0004 –0.0002 0
表一 線性化之 Model(1)，各時間函數之特徵值
Re=10 Re=100 Re=1000 Re=5000
A –0.9875 –0.0988 –0.0099 –0.002
B –5.0125 –0.5012 –0.0501 –0.01
C –2.2542 + 0.6474i –0.2254 + 0.6474i –0.0225 + 0.6474i –0.0045 + 0.6474i D –2.2542 – 0.6474i –0.2254 – 0.6474i –0.0225 – 0.6474i –0.0045 – 0.6474i E –0.9625 + 0.4773i –0.0962 + 0.4773i –0.0096 + 0.4773i –0.0019 + 0.4773i F –0.9625 – 0.4773i –0.0962 – 0.4773i –0.0096 – 0.4773i –0.0019 – 0.4773i
G –2.25 –0.225 –0.0225 –0.0045
Re=10000 Re=50000 Re=100000 Re=500000
A –0.001 –0.0002 –0.0001 0
B –0.005 –0.001 –0.0005 –0.0001
C –0.0023 + 0.6474i –0.0005 + 0.6474i –0.0002 + 0.6474i –0.0000 + 0.6474i D –0.0023 – 0.6474i –0.0005 – 0.6474i –0.0002 – 0.6474i –0.0000 – 0.6474i E –0.0010 + 0.4773i –0.0002 + 0.4773i –0.0001 + 0.4773i –0.0000 + 0.4773i F –0.0010 – 0.4773i –0.0002 – 0.4773i –0.0001 – 0.4773i –0.0000 – 0.4773i
G –0.0022 –0.0004 –0.0002 0
表二 線性化之 Model(2)，各時間函數之特徵值
Re=10 Re=100 Re=1000 Re=5000
圖一 普修流示意圖
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖二 Model(1)，函數 E 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖三 Model(1)，函數 F 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖四 Model(2)，函數 F 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖五 Model(2)，函數 G 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖六 Model(3)，函數 E 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖七 Model(3)，函數 F 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
附 錄
3
H = 1 (4914AI +5040AI +5733FC +5733ED +18018BG 572G 286(3+4 )
I = 1 (11375D 5103E +5103F 11375C +2880J +6552J 468(4 +11)
J = 1 (1440I +3276I +11375CD +5103FE +10206BI +22750AG 234(4 +11)