第四章 結果與討論
4.4 超過臨界值無法獲得非零解的可能原因
與 Dowell 的研究吻合。而吾人使用 Power Series 前兩項與 Legendre 函數相似，僅係數不同，所加上的第三項 y 方向函數非奇非偶，由 結果顯示並無特別作用。而 Model(1)~(3)雖然包含非線性項，卻並 未發生非線性的作用。單就數學上與其他非線性聯立方程式比較，
在某些條件下非線性作用未發生是合理的，原因可能來自於模型建 立的方式，包含 y 方向展開項數的不足以及展開函數的選擇。此方 向的研究，可以嘗試在在 y 方向使用不同的函數，或是 y 方向使用 更多展開項數，而在 x 方向同樣使用傅立葉展開，或許能在超越臨 界雷諾數的條件下，引發擾動方程式中非線性項的作用。
3.吾人嘗試利用與 Lorenz 相同的方式建立動力模型，但無法與 Lo -renz 一般，僅利用極少展開項即描繪出合理的物理現象。由前人文 獻可知，使用 Chebyshev 以及傅立葉函數對擾動方程式做雙重展 開，以及有限元素法仍為解普修流問題的較佳方式。利用動力模型 的方法雖可簡化計算過程，但準確性及是否能正確描繪物理現象在 本文沒有正面的答案。因此最後建議，使用如第二點的方式，期盼 能夠使此模型符合物理現象。
第 五 章 結 論
本文藉由 Lorenz 模型，輔以 Runge-Kutta 數值方法求解，再利用 時間級數圖觀察平面普修流流場的行為，綜合前一章的結果以及驗證 方式，吾人得到以下的結論：
1. Model(1)、(2)、(3)在低雷諾數以及臨界雷諾數( =5772.22)以下的 流場皆能與 Fortin(1994)的結果吻合，在較短的時間皆能收斂至固 定解，達到穩定的流場。
Rc
2. Model(1)、(2)、(3)在超過臨界雷諾數皆未能得到符合物理現象的 非零解，在求得線性化模型的特徵值皆為負值，以及牛頓法解得 穩態解皆為零解的驗證下，證明模型的數學上的正確性。單就數 學上而言，某些情形下非線性作用未發生是合理的，原因可能來 自模型建立的方式。
3. 超過臨界值無法得到合理現象的原因可能為展開項數不足以及展 開函數的選擇不適合，在 x 方向展開方式及項數與 Dowell 相似甚 至更多的合理條件下，本文的改進可嘗試以不同的 y 函數做展開，
以及增加 y 方向展開項數，或許能在臨界雷諾數以上引發擾動方 程式中非線性項的作用。
參 考 文 獻
Baker, G. L. and Gollub, J. P. 1990 Chaotic dynamics an introduction.
Cambridge university press.
Barenghi, C. F. and Jones, C. A. 1989 Modulated Taylor-Couette flow.
J. Fluid Mech. 208, 127-160.
Betchov, R. and Criminale, O. C., 1967 Stability of parallel flows. Academic Press
Chandrasekhar, S. 1961 Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability.
637-642.
Chock D.P. & Schechter R. S., 1972 Critical Reynolds number of the Orr-Sommerfeld equation. The Physics of Fluids. 16-2, 329
Davey, A. and Drazin, P.G. 1969 The stability of Poiseuille flow in a pipe.
J. Fluid Mech. 36, 209-218
Davis, S. H. 1976 The stability of time-periodic flows. Ann. Rev. Fluid Mech. 8, 57-74.
Donnelly, R. J., Reif, F. and Suhl, H. 1962 Enhancement of hydrodynamic stability by modulation. Phys. Rev. Lett. 9, 363-365.
Fortin A. and Jardak M., 1994 Old and new results on the two-dimensional Poiseuille flow. J. Computational Physics. 115, 455 George, W. D., and Hellums J. D., 1972 Hydrodynamic stability in Plane Poiseuille flow with finite amplitude disturbances. J. Fluid Mech.
51-4, 687
Georgescu, A. 1985 Hydrodynamic stability theory. Martinus Nijhoff Publishers
Grosch, C. E. and Salwen, H., 1968 The stability of steady and time-dependent plane Poiseuille flow. J. Fluid Mech, 34, 177
Jimenez, J. 1990 Transtion to turbulence in two-dimensional Poiseuille flow. J. Fluid Mech. 218, 265
Kuhlmann, H. 1984 Model for Taylor-Couette flow. Phys. Rev. A 32, 1703-1707.
Lessen, M., Fox, J. A., Bhat W. V. & Liu, T. Y. 1964 Phys. Fluids, 7, 1384.
Lin, C. C., 1955 The Theory of Hydrodynamic Stability. Cambridge Monographs On Mechanics And Applied Mathematics
Lorenz, E. N. 1963 Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 20, 130-141.
Nobutake Itoh, 1977 Nonlinear Stability of parallel flows with subcritical Reynolds numbers. Part 1. An asymptotic theory valid for small amplitude disturbance. J. Fluid Mech. 82-3, 455
Orszag, S. A. 1971 Accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability equation. J. Fluid Mech. 50, 689
Reid, W. H. and Ng,Bart S. 2002 On the spectral problem for Poiseuille flow in a circular pipe. Fluid Dynamics Research 33, Issue: 1-2 Shen, S. F. 1954 Calculated amplified oscillations in plane Poiseuille and
Blasius flows. J. Aero. Sci. 21, 62
Soibelman, I. and Merion, D., 1991 Finite-amplitude bifurcations in plane Poiseuille flow: two-dimensional Hopf bifurcation. J. Fluid Mech.
229, 389
Stewartson, K., 1971 A non-linear instability theory for a wave system in plane Poiseuille flow, J. Fluid Mech. 48, 529
Thomas, L. H., 1953 The stability of plane Poiseuille flow. Phys. Rev. 91, 780
Wolf, L. Jr,. and Lavan Z. and Nielsen H. J., 1978 Numerical Computation of the Stability of Plane Poiseuille Flow. Journal of Applied Mechanics. 45, 13-18
李鎰清 2001 圓柱之流場-一種改良 Lorenz 模型.
國立交通大學 碩士論文
.周煒超 2001 旋轉圓柱間流場之動力模型.
國立交通大學碩士論
文
.Re=10 Re=100 Re=1000 Re=5000
A –2.2542 + 0.6474i –0.2254 + 0.6474i –0.0225 + 0.6474i –0.0045 + 0.6474i B –2.2542 – 0.6474i –0.2254 – 0.6474i –0.0225 – 0.6474i –0.0045 – 0.6474i C –0.9625 + 0.4773i –0.0963 + 0.4773i –0.0096 + 0.4773i –0.0019 + 0.4773i D –0.9625 – 0.4773i –0.0963 – 0.4773i –0.0096 – 0.4773i –0.0019 – 0.4773i
E –1.05 –0.105 –0.0105 –0.0021
F –2.25 –0.225 –0.0225 –0.0045
Re=10000 Re=50000 Re=100000 Re=500000 A –0.0023 + 0.6474i –0.0005 + 0.6474i –0.0002 + 0.6474i –0.0000 + 0.6474i B –0.0023 – 0.6474i –0.0005 – 0.6474i –0.0002 – 0.6474i –0.0000 – 0.6474i C –0.0010 + 0.4773i –0.0002 + 0.4773i –0.0001 + 0.4773i –0.0000 + 0.4773i D –0.0010 – 0.4773i –0.0002 – 0.4773i –0.0001 – 0.4773i –0.0000 – 0.4773i
E –0.001 –0.0002 –0.0001 0
F –0.0022 –0.0004 –0.0002 0
表一 線性化之 Model(1)，各時間函數之特徵值
Re=10 Re=100 Re=1000 Re=5000
A –0.9875 –0.0988 –0.0099 –0.002
B –5.0125 –0.5012 –0.0501 –0.01
C –2.2542 + 0.6474i –0.2254 + 0.6474i –0.0225 + 0.6474i –0.0045 + 0.6474i D –2.2542 – 0.6474i –0.2254 – 0.6474i –0.0225 – 0.6474i –0.0045 – 0.6474i E –0.9625 + 0.4773i –0.0962 + 0.4773i –0.0096 + 0.4773i –0.0019 + 0.4773i F –0.9625 – 0.4773i –0.0962 – 0.4773i –0.0096 – 0.4773i –0.0019 – 0.4773i
G –2.25 –0.225 –0.0225 –0.0045
Re=10000 Re=50000 Re=100000 Re=500000
A –0.001 –0.0002 –0.0001 0
B –0.005 –0.001 –0.0005 –0.0001
C –0.0023 + 0.6474i –0.0005 + 0.6474i –0.0002 + 0.6474i –0.0000 + 0.6474i D –0.0023 – 0.6474i –0.0005 – 0.6474i –0.0002 – 0.6474i –0.0000 – 0.6474i E –0.0010 + 0.4773i –0.0002 + 0.4773i –0.0001 + 0.4773i –0.0000 + 0.4773i F –0.0010 – 0.4773i –0.0002 – 0.4773i –0.0001 – 0.4773i –0.0000 – 0.4773i
G –0.0022 –0.0004 –0.0002 0
表二 線性化之 Model(2)，各時間函數之特徵值
Re=10 Re=100 Re=1000 Re=5000
圖一 普修流示意圖
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖二 Model(1)，函數 E 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖三 Model(1)，函數 F 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖四 Model(2)，函數 F 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖五 Model(2)，函數 G 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖六 Model(3)，函數 E 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
(A) (B)
(C) (D)
(E)
圖七 Model(3)，函數 F 之時間級數圖 (A)Re=500 (B)Re=5000 (C)Re=6000 (D)Re=10000 (E)Re=50000
附 錄
3
H = 1 (4914AI +5040AI +5733FC +5733ED +18018BG 572G 286(3+4 )
I = 1 (11375D 5103E +5103F 11375C +2880J +6552J 468(4 +11)
J = 1 (1440I +3276I +11375CD +5103FE +10206BI +22750AG 234(4 +11)