支付一期隨機連續型股利率近似離散型股利的數學模型基礎假

我們假設股價隨機過程服從對數常態分配，並將支付一期離散型股利的股價 過程分為配息前後兩段不同的隨機過程，在配息前，我們假設股價服從(2.2.2)：

t+ (W(t)-W(0))

S(t) = S(0)e^{ } , 0 t t1 (3.1.1) 其中 r 0.5²，t₁為除息日，在配息後我們使用模型四的假設(2.2.6)，隨機 連續股利率近似離散型股利，如下：

1 1 1

( /T)T ( (t )- (0))+ ( ( ) (0))

( ) (0)e ^{k k W W W T W} , 1 (3.1.2) S t S ^{    } t  t T

如圖 3.1，實線為實際股價過程，虛線為使用隨機連續型股利近似離散型股 利後的股價過程，其中，(3.1.1)的股價過成為圖中實線，(3.1.2)為圖中虛線。

在0 t t₁，股價過程服從(3.1.1)，為了推導布朗運動的聯合機率分配，我 們使用定理 2.3 轉換測度，將W t( )轉換至 ( )W t ：

圖 3.1 模型假設股價路線圖

其中S'(0)S(0) exp(k₁(t₁1))。由(3.1.4)以及(3.1.8)，經過定理 2.3 轉換測

藉由 Steven E. Shreve(2004)中的 Lemma 5.2.1，結合(3.2.2)與(3.2.3)，推得

選擇權的 payoff。根據第二章第三節所述，上方出局買權障礙選擇權在存續期

因此，考慮支付一期離散型股利的上方出局股票障礙選擇權在到期日的價值

圖 3.3 ₁ ₁

1 1

(M T t W T t(  ), (  ))積分區域

圖 3.4  

1 1

( ( ), ( ))M t W t 積分區域 w1

w1

1 1

w m

b1 m₁

w1

w1

1 1

w m

b1

m1 m₁

b m

wm

Panel (a) Panel (b)

3. 計算考慮支付一期離散型股利的上方出局股票障礙選擇權期初價格

其中

根據(3.2.14)，積分式I(1)中的係數為 ( ₁) ^{1 2}( ₁)

1 1

由於公式(3.2.15)一次積分式我們無法積分，故我們使用 matlab 中的數值積分 辛普森法對(3.2.15)做積分。

經過整理後，依序股價過程如下：

藉由(3.1.3)、 (3.1.7) 以及(3.3.2)，將(3.3.1)改寫成如下：



格。

藉由 Steven E. Shreve(2004)中的 Lemma 5.2.1，結合(3.3.4)與(3.3.5)，推得 在測度P下聯合機率分配如下：

利用(3.2.1)、 (3.2.4) 以及(3.3.6)聯合機率分配，推算近似兩期離散型

擇權在存續期間標的物股價必頇並無觸碰到障礙價格，另外到期日標的物價格必

iv. 到期日標的物價格必頇大於執行價格K，(3.3.3)式視為標的物到期日

因此考慮支付兩期離散型股利的上方出局股票障礙選擇權在期初的價值如下：

根據(3.2.14)，積分式J(2)中的係數為 ( ₂) ^{1 2}( ₂)

由於公式(3.3.13)兩次積分式我們無法積分，故我們使用 matlab 中的數值積分 辛普森法對(3.3.13)做積分。

第四章 模型模擬數值分析結果與財務議題探討

本章節討論模型模擬數值分析以及財務議題探討，第一節討論特殊情況股利 為零時，本文推導支付隨機連續股利率近似離散型股利之上方出局股票障礙選擇 權公式結果是否與(2.3.11)結果相同，第二節利用敏感度分析圖分析各參數之間 關係是否符合真實情況，第三節討論本文數值結果與蒙地卡羅數值結果比較。

第一節 特殊情況

1. 當支付一期離散股利為零時，我們驗證本文支付隨機連續股利率近似離散型 股利之上方出局股票障礙選擇權公式(3.2.15)是否與上方出局選擇權封閉解 (2.3.11)相同，而本文使用 Matlab 中的數值積分辛普森法計算(3.2.15)，如表 4.1 所示，當r0.03、 0.2、K 50、B65、T 1、t₁ 0.5、c₁ 0，期

初股價S(0) {44, 46, 48,50,52} ，則封閉解減去數值積分的誤差大約為10^6。

期初股價 44 46 48 50 52

封閉解 1.00632706 1.251835 1.459959 1.601375 1.653843 數值積分 1.006327205 1.25184 1.459957 1.601373 1.653842 誤差 -1.44794E-07 -4.6E-06 1.61E-06 1.81E-06 9.21E-07

表 4.1 一期股利特殊事件封閉解與數值積分

2. 當支付兩期離散股利為零時，我們驗證本文支付隨機連續股利率近似離散型 股利之上方出局股票障礙選擇權公式(3.3.13)是否與上方出局選擇權封閉解 (2.3.11)相同，而本文使用 Matlab 中的數值積分辛普森法計算(3.3.13)，如表 4.1 所示，當r0.03、 0.2、K 50、B65、T 1、t₁ 0.5、c₁ 0，期

初股價S(0) {47, 49,51,53,55} ，則封閉解減去數值積分的誤差大約為10^5。

期初價格 47 49 51 53 55 封閉解 0.582992565 0.555573539 0.512992197 0.45750672 0.391711479 數值積分 0.582967948 0.555530534 0.51298405 0.457507056 0.391714897 誤差 2.4617E-05 4.30048E-05 8.14725E-06 -3.35845E-07 -3.41852E-06

表 4.2 兩期股利特殊事件封閉解與數值積分

3. 判斷可能誤差原因有二：

i. 數值積分辛普森法所造成的誤差。

ii. 計算機小數點進位誤差。

第二節 模型參數比較

1. 使用敏感度分析比較期初股價與股利的關係，當r0.03、 0.2、K50、 65

B 、T 1、t₁0.5，股利設定為c₁{1, 2,3}，期初股價設定為 (0) {45,50,55, 60, 64}

S  ，如圖 4.1 所示，在固定到期日的情況下，當期初價格偏離

障礙價格越遠，選擇權價格越低，並且隨著股利越高，選擇權價格也越低，這符 合當股價越低，買權價格越小的性質，而期初股價高過 55 時，選擇權價格開始 下降，並且當股價接近障礙價格 65 時，三種股利的選擇權價格相當接近，這符 合當期初股價越靠近障礙價格，上方出局障礙選擇權價格越小以及受到股利變動 影響也越小。

2. 使用敏感度分析比較存續期間與股利的關係，當r0.03、 0.2、K50、 65

B 、S(0)50、t₁0.5，股利設定為c₁{0.6, 2.4}，存續期間設定為 {1, 2, 3}

T  ，如圖 4.2，存續期間與選擇權價格關係與事實相符，存續期間越長，

選擇權股價越低；然而股利高者在存續期間為 1 時選擇權價格比起股利低者較 低，而與存續期間為 3 時相反，推測原因是因為短期間內股價受到股利影響較 大，故股利高者選擇權價格較低，而當存續期間拉長，在期間內股利低者的股價

0

第三節 本文數值結果與蒙地卡羅數值結果比較

股票價格敏感度分析

1 1.2 1.4 1.6

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

期初股價

選擇權價格

quad MC MCCILB MCCIUB

圖 4.4 期初股價變動比較本文數值結果與蒙地卡羅數值結果 X 軸為期初股價，Y 軸為選擇權價格

參數設定：r0.03、 0.2、K50、B65、c₁ 1、t₁0.5，T 1

3. 使用執行價格變動之敏感度分析比較本文數值結果與蒙地卡羅數值結果，

當r0.03、0.2、S(0)50、B65、c₁1、t₁ 0.5，T 1，執行價設定

為K {47, 49, 51, 53, 55, 57}，如圖 4.5 所示，因為執行價越高，買權價值越低，

當執行價格逼近障礙價格，選擇權價格逼近零，並且本文數值結果落在蒙地卡羅 信賴區間內。

4. 使用障礙價格變動之敏感度分析比較本文數值結果與蒙地卡羅數值結果，

當r0.03、0.2、K50、S(0)50、c₁1、t₁ 0.5，T 1，障礙價格設

定為B{57, 59, 61,..., 73, 75}，如圖 4.6 所示，因為障礙價格越接近期初價格，越

容易使得契約失效，而當障礙價格逼近期初股價時，選擇權價格接近零，另外，

本文數值結果落在蒙地卡羅信賴區間內。

執行價格敏感度分析

5. 使用無風險利率變動之敏感度分析比較本文數值結果與蒙地卡羅數值結 果，當B65、 0.2、K50、S(0)50、c₁1、t₁ 0.5，T 1，無風險利 率設定為r{0.014, 0.018, 0.022,..., 0.046, 0.05}，如圖 4.7 所示，利率上升，蒙地 卡羅結果以及無發放股利上方出局股票選擇權價格皆上升，與本文數值結果相 同，另外，本文數值結果落在蒙地卡羅信賴區間內。

利率敏感度分析

1 1.2 1.4 1.6 1.8

0.014 0.018 0.022 0.026 0.03 0.034 0.038 0.042 0.046 0.05 無風險利率

選擇權價格

quad MC MCCILB MCCIUB

圖 4.7 無風險利率變動比較本文數值結果與蒙地卡羅數值結果 X 軸為無風險利率，Y 軸為選擇權價格

參數設定：B65、 0.2、K50、S(0)50、c₁ 1、t₁0.5，T 1

6. 使用波動度變動之敏感度分析比較本文數值結果與蒙地卡羅數值結果，當 0.03

r 、B65、K50、S(0)50、c₁1、t₁ 0.5，T 1，波動度設定為 {0.1, 0.2, 0.3,..., 0.9,1}

v ，如圖 4.8 所示，因為波動度越大，股價區間越大，下方

越容易低於執行價，上方越容易高於障礙價格，另外，本文數值結果落在蒙地卡 羅信賴區間內。

波動度敏感度分析

除息日敏感度分析

第五章 結論以及後續研究

第一節 結論

傳統支付離散股利之股票障礙選擇權並沒有精確解，本文推導支付隨機連續 型股利近似離散股利之上方出局股票障礙選擇權公式，使用數值積分得到精確 解，本文模型結果符合財務意涵，並且敏感度分析的結果皆落於蒙地卡羅信賴區 間之內，證明我們推導公式相當穩定且精確。

第二節 後續研究

1. (3.2.15)無封閉解，使用數值積分辛普森法會造成計算上的誤差，為了使誤 差降至可容忍的範圍，可以考慮對(3.2.15)指數項展開泰勒展開式，使得控制誤 差在合理範圍，另外一種作法是對常態累積分配函數做五項近似展開，但以上兩 種計算上皆為複雜，較難以計算。

2. 可將模型四延伸至其他支付離散股利路徑相關選擇權上應用，譬如回顧選擇 權…等等。

參考文獻

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