應用範例模擬之比較與分析 應用範例模擬之比較與分析
4.3 收斂區間之估計 收斂區間之估計 收斂區間之估計 收斂區間之估計
fixed point
(0,0,0)
( )
的原點是漸近穩定的。針對降階系統(4-19)的Lyapunov function，我們可藉由下 列的Lyapunov equation(4-21)中獲得一正定矩陣P。接著我們得到一Lyapunov function，
V[k]=x[k]T ⋅P⋅x[k] (4-22)
此Lyapunov function的變化為
] [ ]
[ -] 1 [ ]
1 [
] [ ] 1 [ ] [
k P k k
P k
k V k
V k V
T
T x x x
x + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
− +
=
∆ (4-23)
現在我們找到一個open ball
{ 2.227}
2
2 < =
ℜ
∈
= r
D x x (4-24)
使得∆V[k]在D內是負定的。因此我們可以找到此收斂區間的估計為
Ωc ={x∈ℜ2 V[k]≤c} (4-25)
其中c=7.74<λmin(P)⋅r2
現在我們知道了降階系統(4-19)的收斂區間估計Ωc，因此我們也可以得到拖車系 統在順滑變數s[k]=0時之整個狀態空間的收斂區間估計
Ω0 ={[x1 x2 x3]T ∈ℜ3 V[k]≤c&s[k]=0} (4-26)
，如圖4.19所示。
-2
0
2 -2
0 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
x1[k](rad) x2[k](rad)
x 3[k](m)
s[k]=0
fixed point(0,0,0) fixed point(-3.1416,0,2.9024)
圖4.19 拖車系統在順滑變數s[k]=0時之整個狀態空間的收斂區間估計
現在我們已經知道拖車系統在順滑變數s[k]=0時之收斂區間估計Ω0，然後我 們假設想要的順滑變數軌跡sd[k]如圖4.20所示。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
然後我們將動態(4-27)的第一個方程式兩邊同時減上s[k]，接著我們可以得到下
s[k]=1s[k]=2 s[k]=3
圖4.21 收斂區間估計Ω0、Ω 、1 Ω 以及2 Ω3之圖形
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4
-3 -2 -1 0 1 2 3
x1[k](rad) x 2[k](rad)
s[k]=0
s[k]=1
s[k]=2
s[k]=3
圖4.22 收斂區間估計Ω0、Ω1、Ω 以及2 Ω3投影在x −1 x2平面之圖形
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
x1[k](rad) x 3[k](m)
s[k]=0
s[k]=1 s[k]=2
s[k]=3
圖4.23 收斂區間估計Ω0、Ω1、Ω 以及2 Ω3投影在x −1 x3平面之圖形
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.8
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
x2[k](rad)
x 3[k](m) s[k]=0
s[k]=1
s[k]=2
s[k]=3
圖4.24 收斂區間估計Ω0、Ω1、Ω 以及2 Ω3投影在x −2 x3平面之圖形
對於拖車系統(不考慮雜訊時)的類滑模控制，其初始值設為[−0.5 0 3.2336]T (滿足順滑變數s[k]=3且在Ω3以外) 、x4[0]=3，，我們可以得到模擬結果如圖 4.25到圖4.30所示，其中我們將非線性迫近控制器的模擬圖標記為QSMC1，修 正型非線性迫近控制器的模擬圖標記為QSMC2，從圖4.25到圖4.30中，我們可 以得知當初始值在收斂區間的估計Ω3以外且滿足順滑變數s[k]=3時，系統狀態 的確不會收歛而是跑到圖 4.18 中的一個固定點。所以在後續只要我們得知此類 滑模控制系統的收斂區間後，當初始值落在收斂區間外時，我們可先採用另一控 制法則，使得系統軌跡先進入到收斂區間內，接著再採用類滑模控制器去控制系 統以達到我們所希望的性能。
目前類滑模控制器的設計以及收斂區間的估計都是針對拖車系統在不考慮干 擾雜訊的時候，但類滑模控制器最主要的就是要展現其穩健性，因此在下ㄧ節 中，我們將會針對拖車系統在干擾雜訊的影響之下，去分析非線性迫近控制器、
修正型非線性迫近控制器以及模糊控制器(fuzzy controller)[22]的性能。
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -2.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0
k x 1[k](rad)
QSMC1&QSMC2
圖4.25 當不考慮雜訊且初始值不在Ω3內時，拖車系統狀態x1[k]之軌跡圖
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0 1 2 3 4 5 6 7
k x 2[k](rad)
QSMC1&QSMC2
圖4.26 當不考慮雜訊且初始值不在Ω3內時，拖車系統狀態x2[k]之軌跡圖
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 3
3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
k x 3[k](m)
QSMC1&QSMC2
圖4.27 當不考慮雜訊且初始值不在Ω3內時，拖車系統狀態x3[k]之軌跡圖
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k
u[k](rad) QSMC1&QSMC2
圖4.28 當不考慮雜訊且初始值不在Ω3內時，控制器u[k]之軌跡圖
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
k
s[k]
QSMC1&QSMC2
圖4.29 當不考慮雜訊且初始值不在Ω3內時，順滑變數s[k]之軌跡圖
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
x4[k](m) x 3[k](m)
k=0 k=4 k=8
Truck
Trailer
圖4.30 當不考慮雜訊且初始值不在Ω3內時，拖車實際運作之軌跡圖
4.4 當考慮干擾雜訊時 當考慮干擾雜訊時 當考慮干擾雜訊時 當考慮干擾雜訊時， ， ，拖車系統使用模糊控制 ， 拖車系統使用模糊控制 拖車系統使用模糊控制、 拖車系統使用模糊控制 、 、非線性迫 、 非線性迫 非線性迫 非線性迫 近控制 近控制
近控制 近控制、 、 、修正型非線性迫近控制之模擬比較 、 修正型非線性迫近控制之模擬比較 修正型非線性迫近控制之模擬比較 修正型非線性迫近控制之模擬比較
為了證明非線性迫近控制和修正型非線性迫近控制的穩健性，以及探討採用 修正型非線性迫近控制的類滑模帶寬(quasi-sliding-mode band width)的確會比採 用非線性迫近控制的類滑模帶寬更小，因此我們假設d[k]=0.1sin(0.1k)。從這 假設的雜訊中，我們可以得到下列參數，
dl =−0.1，du =0.1，d0 =0，δd =0.1，∆d =0.01 (4-35)
我們將模糊控制器、、、非線性迫近控制器以及修正型非線性迫近控制器各別應用、 於拖車系統(考慮雜訊時)，其模擬結果如圖4.31到圖4.35。然後從圖4.31到圖4.33 中，我們可以得知由於雜訊的影響，所以系統狀態的狀態都有呈現出震盪的現 象；然而我們卻可以清楚的得知，採用類滑模控制器震盪的振幅明顯的比模糊控 制器的小上很多，這也說明了類滑模控制器的穩健性。
對 於 這 三 種 控 制 器 ， 我 們 比 較 其 收 斂 時 間 ( x ≤0.1) 以 及 誤 差 總 和(total error=
∑
⋅k
T ek
k
e[ ] [ ]
: ，其中e[k]=
[
x1[k] x2[k] x3[k]]
T)，各別如表4.2以及表4.3所示。從表4.2以及表4.3中，我們可以看出修正型非線性迫近控制器的收斂速度最快以 及誤差總和是最小的。
表4.2 當考慮雜訊時，狀態收斂至 x ≤0.1的時間
收斂至 x ≤0.1的時間
模糊控制器 不存在
非線性迫近控制器 28秒
修正型非線性迫近控制器 24秒
表4.3 當考慮雜訊時，系統之誤差總和
誤差總和
模糊控制器 99.5284
非線性迫近控制器 31.6921 修正型非線性迫近控制器 31
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
k x 1[k](rad)
Fuzzy
QSMC1
QSMC2
圖4.31 當考慮雜訊時，拖車系統狀態x1[k]之軌跡圖
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -1
-0.5 0 0.5 1 1.5 2
k x 2[k](rad)
Fuzzy
QSMC1
QSMC2
圖4.32 當考慮雜訊時，拖車系統狀態x2[k]之軌跡圖
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k x 3[k](m)
Fuzzy
QSMC1
QSMC2
圖4.33 當考慮雜訊時，拖車系統狀態x3[k]之軌跡圖
從圖4.34中，對於這三種控制器，我們比較其 u ∞以及
u 2，如表4.4所示。
其中 u : maxu[k]
= k
∞ ， =
∑
k
k u
u : 2[ ]
2
從表4.4中，我們可以得知當拖車系統面臨到干擾雜訊時，類滑模控制器的能量 消耗量(energy consumption)明顯的優於模糊控制器[22]
表4.4 當考慮雜訊時，控制器之 u ∞以及 u 2
u ∞ u 2
模糊控制器 0.4775 2.9711
非線性迫近控制器 0.4261 2.0015 修正型非線性迫近控制器 0.4143 1.961
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
k
u[k](rad)
Fuzzy
QSMC1
QSMC2
圖4.34 當考慮雜訊時，控制器u[k]之軌跡圖
圖4.35(a)代表採用QSMC1以及QSMC2的順滑變數軌跡，圖4.35(b)則代表順滑 變數軌跡之放大比例圖，從圖4.35中，我們可以很清楚的看出QSMC2的類滑模帶 寬明顯的比QSMC1的類滑模帶寬小上很多，其中QSMC1的類滑模帶寬為
1 .
≈0
δd ，QSMC2的類滑模帶寬為∆d = d[k]−d[k−1] ≈0.01，這也證明了模擬的 數據與第三章中所提到的理論結果是一致的。除此之外，由於我們採用的類滑模 定義[9]與Gao的定義[12]不同，所以系統軌跡在每個取樣的時間點，並不需要來 回的穿越順滑面，而是維持在類滑模帶寬內就好，因此切跳現象可以大大的降低。
由上述之模擬結果，最後我們可以得知當拖車系統面臨到干擾雜訊時，類滑模 控制器的穩健性(rboustness)、收斂速度、誤差總和以及能量消耗量(energy
consumption)明顯的優於模糊控制器[22]，此外也證明了當干擾雜訊d[k]變化的
不激烈時，修正型非線性迫近控制器的穩健性、收斂速度、誤差總和以及能量消 耗量又更加優於非線性迫近控制器。
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
(a) k
s[k]
QSMC1 QSMC2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
(b) k
s[k]
圖4.35 當考慮雜訊時，順滑變數s[k]之軌跡圖