第四章 數值資料結果
4.1 收斂性分析
本研究於允許函數序列中引入角函數，以描述由邊界條件所造成的彎
矩奇異性。為了解角函數對數值解收歛快慢之影響程度，本章節針對柏松 比(υ)=0.3、寬厚比(h/b)=0.1、0.2，斜角(β)= 、 及 ，之懸臂斜形厚
板 進 行 面 內 模 態 及 面 外 模 態 無 因 次 化 頻 率 之 收 斂 性 分 析( 參 看 表 4.1~4.13)，期望能在不良矩陣(ill-conditioning matrix)發生前，求得該等板自
然振動頻率之收斂解。本研究之數值結果是以 FORTRAN 程式語言撰寫而
得，為求得其精確之收斂解，茲採用四倍精確度(quadral position)之浮點計 算。
45o 60o 75o
表 4.1~表 4.3 乃寬厚比( )為 0.1 的懸臂平行四邊形斜板於斜角 、
、 面外無因次化頻率(
b
h / 45o
60o 75o ωa2 ρh D
o
)之收斂性分析，其 等於 1.0。表 4.4~表 4.6 乃寬厚比( )為 0.2 的懸臂平行四邊形斜板於斜角 、 、75
b a / b
h / 45o 60o
面外無因次化頻率(ωa2 ρh D)之收斂性分析，其 等於1.0。表 4.7~表 4.12 為表 4.1~表 4.6 中所有案例之面內無因次化頻率(
b a /
E a ρ
ω )之收斂性分析。
於所有案例中，所引用之角函數數目分別為 0 個、1 個、5 個、10 個和 15 個。表 4.1~表 4.6 中之( )代表式(3.22a)~式(3.22e)的 I 和 J 之大小，多項
式所引用之總項數為 1
J I ,
] )
1 [(
5× I − ⋅J +I − ；角函數之數目(No. of corner functions) 則 代 表 式(4.23a)~ 式 (4.23e) 各 所 引 用 之 項 數 ， 故 所 引 用 之 總 項 數 為
。此處對於表4.1~表 4.12 之收斂性分析係針對前五個
振態之無因次化頻率作為探討。表 4.13 為懸臂平行四邊形厚板不加角函
數、僅考慮多項式項次之收斂性分析。
nc
I J
I 1) ] 1 5 [(
5× − ⋅ + − +
從表 4.1 所得到的收斂性分析中，可以觀察到以下之現象：
a. 以第一振態為例，比較(4,4)不加角函數(多項式共 79 項)之頻率值為 4.574、(4,4)加 15 個角函數之頻率值為 4.396 以及(9,9)不加角函數(多項 式共404 項)之頻率值為 4.399，可以發現頻率值從 4.574 降至 4.396，僅 需於五個位移函數各加 15 個角函數(共 75 項)。但若是以增加多項式的 方式，則需增加 325 項多項式方可自 4.574 降至 4.399，但其值尚大於 4.396。由此可以知道角函數相較於多項式對於收斂性其效果較為明顯，
影響亦較大。
b. 第一振態中，(8,8)不加角函數與加 10 個角函數頻率降低之百分比為 0.5221％，而(8,8)不加角函數與(9,9)不加角函數之頻率值減少之百分比為 0.1362％，二者相差 0.3859％。以此類推第二~第五個振態頻率差值百分 比依次為0.2828％、0.3998％、0.2458％、0.0222％。於此五個振態中，
以前三振態之頻率差值最大，由此可以得知角函數對於低階振態的收斂 性較快，具有更佳之效果。
c. 觀察每ㄧ個振態中(8,8)加 10 個角函數以及(9,9)加 10 個角函數之頻率 值，可發現大部份之頻率値皆可達到至少三位有效位數之收斂。
而針對表4.7 之面內無因次化頻率所得到的收斂性分析中，可以觀察到 以下之現象：
a. 以第一振態為例，比較(4,4)不加角函數之頻率值為 2.290、(4,4)加 15 個 角函數之頻率值為2.150 以及(9,9)不加角函數之頻率值為 2.165，可以發 現頻率值從2.290 降至 2.150，僅需於五個位移函數各加 15 個角函數(共 75 項)。但若是以增加多項式的方式，則需增加 325 項多項式方可自 2.290 降至 2.165，但其值尚大於 2.150。由此可以知道角函數針對面內模態，
收斂性較諸多項式其效果亦較為明顯。
b. 第一振態中，可以觀察到當引用(6,6)加 5 個角函數，頻率值即收斂。第
二振態中，可以觀察到當引用(4,4)加 15 個角函數，頻率值即收斂。第三 振態中，可以觀察到當引用(5,5)加 10 個角函數，頻率值即收斂。第四振 態中，可以觀察到當引用(7,7)加 15 個角函數，頻率值即收斂。第五振態 中，可以觀察到當引用(5,5)加 10 個角函數，頻率值即收斂。相較於面外
之無因次化頻率，角函數明顯對於面內之無因次化頻率提供較佳之收斂 效果。
c. 觀察每ㄧ個振態中(8,8)加 10 個角函數以及(9,9)加 10 個角函數之頻率 值，可發現所有頻率値皆可達到四位有效位數之收斂。
於表 4.1~表 4.12 亦列 Liew 等人(1993)、McGee 等人(1994)以及 Huang 等人(2005)所作相關斜形板之結果。Liew 等人(1993)應用 Mindlin 板理論，
以 Ritz 法求解自然振動頻率。所引用之允許函數為多項式函數，其呈現之
解答在斜角 時包含 198 個自由度，而在 時則有 222 個自由度，
此處僅取 者。McGee 等人(1994)利用高階斜形板理論(HSDPT) 佐以
有限元素法求取自然振動頻率，其採用 64 拉格朗日等參數板元素(64
Lagrangian isoparametric plate elements)，總共包含 2448 個自由度。Huang 等人(2005)於 Mindlin 板理論中，利用 Ritz 法探討含有應力奇異點之振動行 為，採用之剪力修正因子為
30o
β ≤ β >30o
30o
β >
6
5，所採用之允許函數除完備集之多項式外，同
時加入可描述應力奇異行為之角函數。其中Liew 等人(1993)與 Huang 等人
(2005)雖採用相同之板理論，然因 Huang 等人(2005)於允許函數中加入角函 數，準確的描述應力奇異性，其結果較諸 Liew 等人(1993)更為準確。將本 論文與 Liew 等人(1993)、McGee 等人(1994)以及 Huang 等人(2005)所作之 結果相比較，本論文所得之收斂解皆與其他文獻相彷彿。
由表 4.1~表 4.3 中，針對 h/b=0.1、a/b=1、c/b=1 之懸臂平行四邊形板，
將其不同角度之第一振態頻率值，比較多項式(9,9)不加角函數以及(9,9)加 10 個角函數之頻率值。可以發現：
a. 斜角45o之斜形板，頻率值從4.399 降至 4.381，頻率值降低了 0.41％；
b. 斜角60o之斜形板，頻率值從5.094 降至 5.032，頻率值降低了 1.22％；
c. 斜角75o之斜形板，頻率值從5.966 降至 5.734，頻率值降低了 3.89％；
另外同樣比較表 4.4~表 4.6 中，針對 h/b=0.2、a/b=1、c/b=1 之懸臂平 行四邊形板，多項式(9,9)不加角函數以及(9,9)加 10 個角函數之頻率值，於 不同角度之第一振態頻率值。整理可以得到以下數據：
a. 斜角45o之斜形板，頻率值從4.196 降至 4.179，頻率值降低了 0.41％；
b. 斜角60o之斜形板，頻率值從4.792 降至 4.733，頻率值降低了 1.23％；
c. 斜角75o之斜形板，頻率值從5.586 降至 5.363，頻率值降低了 3.99％；
綜觀上述由表4.1~表 4.6 之比較可以得知，收歛與否，主要由兩個因素控制：
1. 允許函數之多項式引用項數之多少，當引用之多項式項次越多，所得到 之解會越趨近收斂，如表4.13 所示，當多項式增加至(16,16)時，所有的 數值皆達到三位有效收斂；
2. 角函數引用項數之多少，當引用之角函數項次越多，所得到之解會越趨 近收斂；
然兩者之影響有所差異。比較表 4.1 與表 4.13，以斜角β為 45 度的第一模 態為例，(9,9)加 15 個角函數所得之値為 4.381，而(16,16)則為 4.383；由此 可以得知：對於斜角較小之板，角函數對於增加其收歛性速度效果較不明 顯，僅須增加多項式之項數，亦可以得到效果不錯之收斂解。而當斜角愈 大時，比較表4.3 與 4.13 斜角β為75 度的第一模態，(9,9)加 15 個角函數所 得之値為 5.295，而(16,16)則為 5.778，增加角函數所造成頻率值降低的百 分比較大，而增加多項式反而對於加速其收斂無甚影響。由此可以知道，
斜角β的大小與收斂之特性有很大的關係；亦即當斜形板之斜角β愈大時，
奇異性愈強，需要引入較多之角函數方能得到較佳之解。但僅增加多項式 數量將會遭遇到數值上的困難(ill-conditioning)，如表 4.13 所示，增加多項
式數目最多可以到達(16,16)，當增加至(17,17)時則會出現病態矩陣而無法求 解。