第五章 光子晶體光纖的摸擬分析
5.1 模場分析
5.1.2 改變纖芯周圍空氣柱半徑
圖5.5 中顯示二種光子晶體光纖的H-field曲線圖，由圖中我們 可以發現梯度折射率光子晶體光纖在纖芯處的場值大小，是石英—空 氣三角排列光子晶體光纖的二倍。意即，在梯度折射率光子晶體光纖 中，利用前述的方式，我們可以預期在這種梯度折射率光子晶體光纖 下可以觀察到光纖內的非線性效應。
Y ( )
0 50 100 150 200 250 300 350 400
H-field
-0.0002 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012
triangular lattice silica-air PCF graded-index PCF
Δy
圖 5.5 經過 PCF 中心，沿著
y
方向的 H-field 分佈圖。其實線 是石英—空氣三角排列光子晶體光纖 H-profile，虛 線是梯度折射率光子晶體光纖的 H-profile.d
是 0.3Λ)，而圖(5.7)是我們變化纖芯周圍空氣柱的情形。令纖芯 周圍空氣柱的直徑為d1，我們將d1從 0.05Λ開始，每次增加 0.05Λ， 直到d1=0.95Λ。圖 5.6 石英—空氣三角排列 PCF 結構圖
d1=0.05Λ d1=0.5Λ
d1=0.95Λ
圖 5.7 纖芯周圍空氣柱半徑d1的變動情形
下面我們顯示d1=0.15Λ、d1=0.35Λ、d1=0.55Λ、d1=0.75Λ、
d1=0.95Λ的模場分佈圖型(我們選定βΛ=10)。
圖 5.8-a d1=0.15Λ的 2D 模場分佈圖
圖 5.8-b d1=0.15Λ的 3D 模場分佈圖
圖 5.9-a d1=0.35Λ的 2D 模場分佈圖
圖 5.9-b d1=0.35Λ的 3D 模場分佈圖
圖 5.10-a d1=0.55Λ的 2D 模場分佈圖
圖 5.10-b d1=0.55Λ的 3D 模場分佈圖
圖 5.11-a d1=0.75Λ的 2D 模場分佈圖
圖 5.11-b d1=0.75Λ的 3D 模場分佈圖
圖 5.12-a d1=0.95Λ的 2D 模場分佈圖
圖 5.12-b d1=0.95Λ的 3D 模場分佈圖
可以發現，當d1(纖芯周圍空氣柱的直徑)愈大時，能量越集中於 纖芯部分，d1愈小時，能量逐漸擴散到 PCF 的包層，這顯示當d1愈大
時，PCF 具有愈好的導波性質。下圖 5.12 顯示各種d1時，經過纖芯 中心沿 x 方向的 H-field 分佈圖。圖 5.13 顯示各種d1結構，當模場 達穩定態時，光纖中心場強的大小。
0 50 100 150 200 250 300 350 400
H -field
-0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
Λ
= 150. d1
Λ
= 350. d1
Λ
= 550. d1
Λ
= 750. d1
Λ
= 950. d1
x) ( Δ x
圖 5.12 各種d1時，經過纖芯中心沿 x 方向的 H-field 分佈圖
圖 5.13 顯示各種d1結構，當模場達穩定態時，光纖中心場強 的大小
我們發現，當光纖周圍空氣洞半徑d1愈大時，能量會愈集中於纖 芯部分，甚至當d1=0.95Λ的中心場強大小是原始結構(d1=0.30Λ)的 6 倍。所以當d1愈大時，可以提高 PCF 對光的侷限，減少光在傳播時 的泄漏損耗。
5.2 有效折射率(effective index)
傳統光纖是利用摻雜的技術，使得纖芯的折射率能些微的大於包層 的折射率(一般而言，傳統光纖纖芯的折射率是 1.47，包層的折射率
是 1.45)，使光在傳播時發生全反射的效應，將光限制在光纖中傳遞。
然而，通過摻雜所能產生的折射率變化是很小的。
光子晶體光纖的製造材料是石英，無須摻雜，因為它不是通過摻 雜量來調節包層和纖芯的相對折射率變化，而是借助改變包層空氣比 例，使其有效折射率發生相應改變。
空氣包層區域的折射率由空氣和玻璃的比率決定，可用有效折射 率
n
eff 來代表。由於n
eff 小於纖芯玻璃的折射率，所以形成全內反射 傳輸。有效折射率n
eff 的計算方法為，我們先入射一波源於光纖結構 中，並經由 FDTD 計算每一時刻的電磁場分佈。在模場穩定之後，在 空間中選定一參考點，記錄它隨時間變化的場值，並利用複立葉變換 可得到其相應的特徵頻率及特徵波長，如此我們就可以得到有效折射 率：k0
neff =β (5.3) 這裡k0是波在真空中的傳播常數。
我們以石英—空氣三角排列光子晶體光纖為例，取βΛ =20(Λ為 晶格常數)。選取參考點為光纖的中心點，記錄其場值隨時間的變化，
如圖 5.14 所示。
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 -1000
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000
參考點場值隨時間的變化圖
時間步階 n
H
圖 5.14 參考點場值隨時間的分佈圖
在模場穩定後(大約時間步階為 6000 時)，開始作訊號取樣，並 作複利葉轉換，可得到此結構在該傳播常數時的頻譜圖，如圖 5.15 所示
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1014 0
1 2 3 4 5
6x 107 Spectrum of FDTD field
frequency (Hz)
圖 5.15 石英—空氣三角排列 PCF 在βΛ=20時的頻譜圖
我們可以得到特徵頻率為1.7387×1014(Hz)，代入有效折射率計算 式，可得
n
eff =1.4410。仿照上面步驟，我們可以算出各個β所對應的neff，以描繪出
n
eff 的曲線圖。下圖 5.16 是石英—空氣三角排列光子晶體光纖與梯度折 射率光子晶體光纖，neff 對應βΛ的變化圖。0 10 20 30 40 50 60
effective index
1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47
矽-空氣三角排列PCF 梯度折射率PCF
β Λ
圖 5.16 石英—空氣三角排列光子晶體光纖與梯度折射率光子晶 體光纖，neff 對應βΛ的變化圖
由上圖可以發現，當βΛ越小時(即波長越大時)，二種 PCF 的
n
eff差值越小；相反的，βΛ越大時(即波長越小時)，二種 PCF 的
n
eff 差值越大。大約當βΛ=35 時，二者的
n
eff 變化不大。由於此二種 PCF 的包 層結構相同，只差中間的纖芯部分不同，這種現像可以解釋為，如有 二個物體 A 及 B，A、B 二者的構造幾乎相同，只有某一小個地方不同。若以一隻大手來摸這二個物體，可能無法將此區別。若以一隻小手來 摸，則可鑑別出二者間的不同。
下圖 5.17 是二種 PCF 有效折射率
n
eff 對波長的作圖，可以看出 有效折射率會隨著波長的增加而減少。0 1 2 3 4 5 6
ef fect ive i n d e x
1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47
矽-空氣三角排列PCF 梯度折射率PCF
) ( m μ λ
圖 5.17 二種 PCF 有效折射率
n
eff 對波長的作圖5.3 有效模場面積及非線性效應
模場面積也是設計光纖過程中的一個重要參數，對於光子晶體光 纖來說，由於孔間距Λ和孔徑大小d的選取，使模場面積具有很大的 變化範圍，可根據需要來設計具有很大或很小的模場面積，使之具有 弱或強的非線性效應。有效模場面積的定義為
∫ ∫
∫ ∫
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
∞ +
∞
− ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
dxdy y
x E
dxdy y
x E Aeff
4 2 2
) , (
) , (
(5.4)
而光纖的非線性效應依賴於光纖內的功率密度。愈高的功率密度 可以激發起愈強的非線性效應。功率密度可以用入射光功率與有效模 場面積Aeff 之比來表示。因此，對於固定的入射光功率，有效模場面 積Aeff 愈大，光纖產生的非線性效應愈小；有效模場面積Aeff愈小，光 纖產生的非線性效應愈強。非線性係數的定義如下：
eff
eff A
n cA
n
λ π γ = 2ω = 2 2
其中n2是非線性折射率係數。有效模場面積Aeff 是理解光子晶體 光纖中非線性效應的起點。
下圖圖5.18是我們計算二種PCF的模場面積與波長λ的關係曲線 圖。
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 3
4 5 6 7 8 9
原始PCF 梯度折射率PCF
) ( m μ λ
有效模場面積
圖5.18 二種PCF的模場面積與波長λ的關係曲線圖
從圖中可看出當結構固定時，有效模場面積隨波長的減少而減 少。而有效面積的減少可以提高對光的局限，減小光的洩漏損耗；也 可以增大纖芯截面上單位面積的光功率密度，使得光在這種光纖內傳 輸時，更易於產生各種非線性效應，如：四波混頻，受激拉曼散射，
自相位元調製，交叉相位調製等。和其他的材料相比，較小模場面積 PCF是產生超連續譜的理想材料，所研製的超連續譜脈衝光源在光纖 群速度測量、超短光脈衝產生和自頻率轉換、光譜檢測、光通信等方 面將大有作為。
5.3 光纖色散
實驗結果和數值分析[31~33]均表明，光子晶體光纖具有特殊的 色散特性。運用時域有限差分法，我們也可以描繪出光纖的色散特性 曲線。光纖的色散定義為
2
2
λ λ
d n d
D = − c
eff (5.5) 其中c是真空中的光速，neff 是光子晶體光纖的有效折射率，λ是光子 晶體光纖中光波的工作波長。我們首先在不同的傳輸常數β下，計算 光波的工作波長λ，以求出相應的有效折射率neff。將有效折射率neff 和 波長λ的變化關係neff(λ)= f(λ)擬合成曲線，然後照公式(5.5)計算出 光子晶體光纖的色散，如圖5.19所示。我們也在圖中附上了傳統光纖 的色散曲線圖(黑色曲線)。從圖5.19可以看出，光子晶體光纖相對於 傳統光纖具有較大的色散。傳統光纖的色散在波長小於1.3μm為負 值，而光子晶體光纖在這個區域的色散有正有負，這表明光子晶體光 纖在色散補償中將發揮重要的作用。另外可以發現，梯度折射率PCF 的零色散點所對應的波長，較石英-空氣三角排列PCF的零色散點所對 應的波長小。圖 5.19 傳統光纖、石英-空氣三角排列 PCF 及梯度折射率 PCF 的色散曲線圖。
第五章 結論
自二十世紀七十年代光纖誕生以來，光纖通信技術一直在快速的 發展。而光子晶體光纖以其獨特的傳輸特性，突破了傳統光纖的許多 限制，為光纖應用技術領域帶來新的革命。
至此我們已經成功的以FDTD法模擬電磁波在光子晶體光纖中的 傳遞過程，並分析光纖的各種光學特性。經過數值模擬發現，我們所 設計的梯度折射率光子晶體光纖較一般的光子晶體光纖，對光具有更 強烈的局限能力，即有更好的導光能力。而由模場面積的比較，梯度 折射率光纖亦具有更小的模場面積，所以它在纖芯會有更強的光功率 密度，使得光在傳播時能有更強的非線性效應。
而我們所設計的梯度折射率PCF的價值在於，此PCF是把二種光纖 作結合(包層的部分是使用石英-空氣三角排列PCF，纖芯的部分是使 用傳統梯度折射率光纖)，這二種光纖是現有且市面上已經可以購買 的到的。所以只要花些許的投資，就能製作出我們所設計的梯度折射 率光子晶體光纖。
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