中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：梯度折射率光子晶體光纖的電磁模擬

系 所 別：電機系光電組碩士班 學號姓名：劉建鴻 M09301049 指導教授：吳俊傑 博士

中華民國 95 年 8 月

摘要

光子晶體光纖的發現表示著一類新型光纖的誕生，由於它具有傳 統光纖所無法比擬的特殊的光學特性，在近幾年裡迅速發展，成為光 纖研究領域的一個熱點。有些科學家預言它將成為下一代光通信的核 心。

本論文介紹了光子晶體光纖發展過程及現狀，和時域有限差分計 算模型的建立，通過有時域有限差分法對光子晶體光纖的特性參數進 行數值計算模擬，進而系統地討論光子晶體光纖的光學特性，包括對 光子晶體光纖的模場分佈，基模有效折射率，波導色散，模場面積等 一系列特性參數進行了分析。

另外我們也設計了新型的光子晶體光纖(梯度折射率光子晶體光 纖)，給出了其設計模型。藉由時域有限差分法，我們對這兩類光纖 的光學特性進行深入的探討。

Abstract.

As a new type optical fiber, because of it＇s particular optical property, photonic crystal fibers (PCF) developed so rapidly that PCF has been a focus in optical fiber field in recent years. Some scientists predict that it will be a center for next generation of optical communication.

This paper introduced the development of PCF and discussed Finite difference Time Domain mathematical model. Using the Finite difference Time Domain method, PCF's characteristic parameters was calculated and simulated. The characteristics were analyzed, including modal field distribution，effective r index of fundamental mode, waveguide dispersion and mode field area.

Then we design a new type PCF (graded-index PCF), and provided their models. Their optical characteristics were discussed by Finite difference Time Domain method.

誌謝

本論文之所以能順利完成，端整多位師長、同學與朋友的支持 與協助。首先得感謝指導老師吳俊傑博士，在這兩年研究生涯中，

給予我悉心指導與幫助，使得我能得以順利完成碩士學位。

其次，我也要感謝楊宗哲老師及趙遠鳳老師的教導與幫助，解 決了許多我在研究上的疑惑。

最後我要感謝的是，我的家人、同學、朋友們，在我求學的期 間給我支持與鼓勵，使我能夠安心度過這兩年的研究生涯。最後，

僅將此論文獻給所有關心我的人。

目錄

中文摘要. . . I 英文摘要. . . II 誌謝. . . III 目錄. . . IV 圖目錄. . . VII

第一章 引言. . . .1

1. 1 光子晶體簡介. . . .1

1. 2 光子晶體光纖發展現狀及應用前景. . . .4

1.2.1 全內反射光子晶體光纖. . . 6

1.2.2 帶隙型光子晶體光纖. . . 8

第二章 時域有限差分法. . . .20

2.1 時域有限差分法簡介. . . 11

2.2 差分近似. . . .13

2.3 Maxwell 方程的差分推演. . . 14

2.4 Yee 網格. . . 16

2.5 三維FDTD方程. . . 19

2.6 數值穩定性. . . 24

2.6.1 單胞間隔的穩定性要求. . . .24

2.6.2 時間間隔的穩定性要求. . . .25

2.7 入射波源的選擇. . . 27

第三章 吸收邊界. . . 30

3.1 吸收邊界. . . .30

3.2 完美匹配層的吸收邊界. . . .31

3.3 PML 層的電磁場演算. . . . .34

第四章 光子晶體光纖的 FDTD 計算模型. . . .36

4-1 計算流程. . . .36

4.2 FDTD 在 PCF 中計算公式的推導. . . 39

4.3 時間步長與單胞間距的選取. . . 41

4.4 波源設定. . . .42

第五章 光子晶體光纖的摸擬分析. . . .43

5.1 模場分析. . . .43

5.1.1 改變纖芯結構. . . 43

5.1.2 改變纖芯周圍空氣柱半徑. . . .47

5-2 有效折射率. . . 55

5-3 有效模場面積及非線性效應. . . 60

5-4 光纖色散. . . 63

第六章 結論. . . 65

參考文獻. . . 66

圖目錄

圖 1.1 左至右依序為一維光子晶體、二維光子晶體、三維光子晶體

. . . .3

圖 1.2 全 內 反 射 光 子 晶 體 光 纖 及 帶 隙 型 光 子 晶 體 光 纖 構造圖. . . 6

圖 1.3 光纖結構構參數示意圖. . . 8

圖 2.1 中間差分的示意圖. . . .14

圖 2.2 FDTD 離散的 Yee 單胞. . . .17

圖 2.3 FDTD 電磁場時間分布圖. . . .18

圖 3.1 PML 層配置圖. . . 33

圖 4.1 . . . 40

圖 5.1 (a)矽—空氣三角排列光子晶體光纖的數值計算模型.(b) 漸變折射率光子晶體光纖的數值計算模型. . . 44

圖 5.2 (a)矽—空氣三角排列光子晶體光纖經過中心延 x 方向的 折射率分佈. . . 44

圖 5.2 (b)漸變折射率光子晶體光纖經過中心延 x 方向的折射率 分佈. . . 45

圖 5.3 矽—空氣三角排列光子晶體光纖的 H-field 分. . . 46 圖 5.4 梯度折射率光子晶體光纖的 H-field 分佈，其中 Λ=0.3 um,

d=0.3Λ,βΛ=8.漸變折射率的半徑

a

圖 5.5 經過 PCF 中心，沿著 y 方向的 H-field 分佈圖。其中實線是 矽—空氣三角排列光子晶體光纖 H-profile，虛線是梯度折射率光子 晶體光纖的 H-profile. . . 47

圖 5.6 矽—空氣三角排列 PCF 結構圖. . . .48

圖 5.7 纖芯周圍空氣柱半徑d₁的變動情形. . . .48

圖 5.8-(a) d₁=0.15Λ的 2D 模場分佈圖. . . 49

圖 5.8-(b) d₁=0.15Λ的 3D 模場分佈圖. . . 49

圖 5.9-(a) d₁=0.35Λ的 2D 模場分佈圖. . . 50

圖 5.9-(b) d₁=0.35Λ的 3D 模場分佈圖. . . 50

圖 5.10-(a) d₁=0.55Λ的 2D 模場分佈圖. . . .51

圖 5.10-(b) d₁=0.55Λ的 3D 模場分佈圖. . . .51

圖 5.11-(a) d₁=0.75Λ的 2D 模場分佈圖. . . .52

圖 5.11-(b) d₁=0.75Λ的 3D 模場分佈圖. . . .52

圖 5.12-(a) d₁=0.95Λ的 2D 模場分佈圖. . . .53

圖 5.12-(b) d₁=0.95Λ的 3D 模場分佈圖. . . .53

圖 5.12 各種d₁時，經過纖芯中心沿 x 方向的 H-field 分佈. . 54

圖 5.13 顯示各種d₁結構，當模場達穩定態時，光纖中心場強的大 小. . . 55

圖 5.14 參考點場值隨時間的分佈圖. . . 57 圖 5.15 矽—空氣三角排列 PCF 在βΛ =20時的頻譜圖. . . . .58 圖 5.16 矽—空氣三角排列光子晶體光纖與梯度折射率光子晶體 光纖，n_eff 對應βΛ的變化圖. . . 59

圖 5.17 二種 PCF 有效折射率

n

第一章 引言

光子晶體(photonic crystal)最初由E. Yablonovitch和S. John於 1987年各自提出的[1~3]，它是一種介電常數呈週期性分佈，其變化 週期是光波長的數量級，具有光子頻率禁帶的特殊光學材料。而光子 晶體光纖(photonic crystal fiber; PCF)的概念最早則是由P. St. J.

Russel l等人於1992年提出。1996年在OFC會議上，英國Bath大學的J. C.

Knight等學者作了關於PCF的報告，標誌著這種新型光纖的誕生，由 於它特殊的光學特性，在此後的幾年裏，其迅速發展，成為光纖光學 領域的一個亮點，引起廣大學者的興趣。

1. 1 光子晶體簡介

眾所皆知，電子在週期勢場中傳播時，由於電子波會受到週期 勢場的布拉格散射影響，會形成能帶結構，帶與帶之間可能存在帶 隙。電子波的能量如果落在帶隙中，傳播是禁止的。其實，不管任何 波，只要受到週期性調制，都有能帶結構，也都有可能出現帶隙。能 量落在帶隙中的波是不能傳播的，電磁波或者光波也不會例外。不過 人們真正清楚其物理涵義已經是八十年代末了。

光子晶體是不同介電常數的材料週期排列構成的人工微結構，

電磁波在其中傳播時由於布拉格散射，電磁波會受到調制而形成能帶 結構，這種能帶結構叫做光子能帶。光子能帶之間可能出現帶隙，即

光子帶隙或光子禁帶。光子晶體的基本特徵是具有光子帶隙、頻率落 在帶隙中的電磁波是禁止傳播的。因為帶隙中沒有任何態存在。光子 帶隙的存在帶來許多新物理現象和新應用。

1987年Yabnolovitch在討論如何抑制自發輻射時提出了光子晶體 這一新概念。幾乎同時，John在討論光子局域時也獨立提出。如果將 不同介電常數的介電材料構成週期結構，電磁波在其中傳波時由於布 拉格散射，電磁波會受到調制而形成能帶結構，這種能帶結構叫做光 子能帶(photonic band)。光子能帶之間可能出現帶隙，即光子帶隙 (photonic bandgap，簡稱PBG)。具有光子帶隙的週期性介電結構就是 光子晶體(photonic crystals)，或叫做光子帶隙材料(photonic bandgap materials)，也有人把它叫做電磁晶體(electro-magnetic crystals)。光 子晶體簡單來說，就是一種介電常數在空間中呈現週期性變化的新型 微小光學元件，假設有一全頻波入射這樣的元件後，我們會發現某些 頻段的波無法穿越這樣的物件，或是在某些特定的角度上會看見不同 波長的反射光，而這樣的元件我們稱之為--光子晶體。

光子晶體按照折射率週期性變化的空間緯度可以分為三類，即 一維光子晶體：折射率單在空間一維呈週期性列，其他兩維上均勻，

光子禁帶將出現在該方向上；二維光子晶體：折射率在空間二維均呈 週期性排列，第三維上均勻，光子禁帶將出現在二維平面內各個方向

上；三維光子晶體：折射率在空間三維均呈週期性排列，光子禁帶將 出現在各個方向上。圖 1.1 給出三類光子晶體的結構。

1-D 的光子晶體既為光學上的多層膜，目前多運用在光學鏡頭 上，其功效則是能夠使得某些頻段的光無法穿越鏡頭，而達到高效能 的反射。之後，重視的將會是2-D 及3-D 的晶體運用，其運用大部分 會是在光通訊產業上。因為其元件微小又必須具備精準的週期性變化 的情況下，在製造以及設計上，皆必須先仰賴模擬的方式，以縮短時 程，減少製造以及測試的成本，所以在學術界上，發展模擬的工具，

使得之後有足夠的能力探討光子晶體的傳播特性。

圖1.1 左至右依序為一維光子晶體、二維光子晶體、三維光子晶體 光子晶體是八十年代末提出的新概念和新材料。這種材料有一個 顯著的特點，即它可以任意地控制光子的運動，是光電集成、光子集

成、光通訊、微波通訊、空間光電技術等現代高新技術的一種新概念 材料，也是為相關學科發展和高新技術突破帶來新機遇的關鍵性基礎 材料。由於其獨特的特性，光子晶體可以製作全新原理或以前所不能 製作的高性能光學器件，在光通訊上也有重要的用途，如用光子晶體 器件來替代傳統的電子器件，其資訊通訊的速度快得將無法想像。

操縱光波的流動是人類多年的夢想和追求，全球高新技術領域的 科學家與企業家都期待著新的帶隙材料對光波的操縱。從科學技術的 角度可以預言，這一目標一旦實現，將對人類產生不亞於微電子革命 所帶來的深刻影響。因此，光子晶體也被科學界和產業界稱為“光半 導體＂或“未來的半導體＂，光子晶體將引發一場二十一世紀的光子 技術革命。

1. 2 光子晶體光纖發展現狀及應用前景

光子晶體光纖為近年來新發展出來的光學元件，鑑於其具有很多傳 統光纖所無法比擬的特點，吸引了世異各國研究機構和大學的關注，

近幾年成為光通信領域的一個研究熱點。目前，光子晶體光纖在降低 傳輸損耗等面向實用化的研究已經取得成果。在2003年的OFC會議 上，日本NTT公司實驗室所研制的單模PCF在1550nm波長的損耗達到

0.37dB/km，色散為76ps/nm/km，零色散波長為950nm。成功地進行了 8波長DWDM系統的傳輸實驗，每波長速率10Gb/s，傳輸距離10km。主 要創新為改進了拋光和腐蝕技術，使微孔表面粗糙度所告成的瑞利散 射大為減小，這為PCF將來用於長途通信鋪平了道路。利用光子晶體 光纖的優異性能，如短波長零色散、大模場面積、高非線性等已研制 出許多新型光纖器件，包括光纖激光器、放大器、光開關、濾波器、

波長變換器、孤子發生器等。隨著光子晶體光纖進一步地研究，及更 成熟的製作技術，它很有可能成為未來傳輸用光纖和許多光學元件的 核心部份。

光子晶體光纖是在石英光纖中沿軸向均勻排列著空氣孔，從光纖 端面看，存在週期性的二維結構，如果其中一個孔遭到破壞和缺失，

則會出現缺陷，光將能被限制在缺陷內傳播。與普通單模光纖不同，

PCF是由具有週期性排列空氣孔的單一石英材料構成，又稱為多孔光 纖(holey fiber)或微結構光纖(micro-structured fiber)。按其導光方式可 分 成 全 內 反 射 光 子 晶 體 光 纖 (TIR-PCF) 和 帶 隙 型 光 子 晶 體 光 纖 (PBG-PCF)兩類。

(a)全內反射光子晶體光纖 (b)帶隙型光子晶體光纖 圖1.2 全內反射光子晶體光纖及帶隙型光子晶體光纖 構造圖

1.2.1 全內反射光子晶體光纖

全內反射光子晶體光纖是另一種類型的光子晶體光纖，這種光纖 是由純石英纖芯和具有石英－空氣基質的包層材料組成（如圖 1.2-a 所示），包層與纖芯相比具有較小的有效折射率。其導光原理與傳統 光纖一樣也是基於全內反射效應。空氣包層區域的折射率由空氣和玻 璃的比率決定，可用有效折射率 Neff 來代表。由於 Neff 小於纖芯玻 璃的折射率，所以形成全內反射傳輸，其二維光子晶體包層使其波導 結構更為複雜。包層區域具有週期性折射率調制和六角形對稱性，滿 足一定條件時可以形成光子禁帶，具有增強纖芯的光傳導能力的作 用。其缺點是：由於實芯的吸收作用，其傳輸功率受到了限制；由於 纖芯和包層之間的有效折射率差比較小，使得光纖的損耗對彎曲較敏 感。

光纖包層的折射率是石英和空氣的體平均折射率，因而空氣孔排 列的週期性並不起作用，對於包層中無規排列的空氣孔的情況，同樣 可以在很寬頻的範圍內現單模傳光。以導光方式來看其與普通光纖相 似，也是通過全內反射來傳輸光。但傳統的光纖是通過在玻璃中參雜 不同物質來控制包層和纖芯之間的折射率，其折射率差值不大。相比 之下，折射率引導型 PCF 完全可以由一種材料構成，其纖芯和包層 的折射率差值可以通過改變空氣孔在包層中所佔的比率來控制，折射 率差值可以做到很大。

另外當空氣孔足夠大時，在這類光纖中也會出現帶隙效應，若選 擇合適的晶體結構完全可以 PBG 導光和全反射型導光共存於一 PCF 中。

結構上的差異使得折射率引導型 PCF 和傳導光纖相比具有其自 身的一些特點，可以通過改變光纖的波導結構參數，如圖 1.3 所示，

我們假設空氣孔直徑 d，空氣孔間距Λ，以及 2D 的三角形排列包層設 計，用以實現對色散、傳輸模式和偏振的控制。無限的單模設計，大 模場面積設計，小模場面積設計，大數值孔徑設計，在可見光波段時 現零色散射計，高偏振設計等等。

圖1.3 光纖結構構參數示意圖

目前這類光纖的製作比較成熟，已有一些公司作為商品推入市 場。大多數的研究和應用也都是對這種類型的光纖。本論文中探討的 光纖特性與應用也主要以這類光纖為主。

1.2.2 帶隙型光子晶體光纖

帶隙型光子晶體光纖是一種具有石英－空氣光子晶體包層的空 芯石英光纖，光纖包層由空氣穴的三角形陣列組成，具有由垛堆圖形 毛細管形成的間隙孔，纖芯中心處是一空氣孔（孔的直徑為 1～7 個 週期長度），如圖 1.2-b 所示，這種光纖是利用 Bragg（布拉格）光 子禁帶來傳導光的，故又稱為 PBG 光纖，其在整個可見光譜區且延 伸到紅外區可以實現單模傳輸。由於光能集中在光纖中心的空氣孔 中，因此這種光纖預期可以承受特別高的功率密度，當光被耦合進入 空芯波導光纖中沒有菲涅耳反射（因為外界和纖芯材料一樣均是空 氣），這種光纖可以作為高效率光耦合器件，使光通信中的連接器更 新換代，與傳統光纖的全內反射原理不同，這種光纖允許出現大於直

角的光路彎曲，甚至可以在彎曲曲率半徑小於波長的條件下傳播，因 而可以在光系統中極大地降低彎曲損耗，提高彎曲狀態下的傳光（能 量）效率。光場主要在空芯中傳輸，這種光纖的工作過程很少受到傳 導光與纖芯中固態材料之間互相作用（吸收或非線性）的限制，一方 面，這種新型光纖可以有效地減少傳輸的光能損耗，允許傳輸更高的 功率密度：另一方面，可以消除傳統光纖所存在的材料色散與波導色 散，它可以在更寬的頻率範圍內進行單模進行；這種光纖將在遠距 離、寬頻帶全波光纖通信領域產生革命。通過改變光纖包層空氣填充 率和幾何結構可以有效地增強和控制光纖中的非線性光學過程，這種 方法對於脈衝壓縮、光孤子的形成和受機拉曼散射是極其有用的，其 允許傳導傳統光纖中不可能的傳導波長範圍和功率水準，它不僅導致 對於受激拉曼、布裏淵和色心效應的邊界功率的極大的增加，而且可 以極大地推動各個波段上其他相關光電子器件的發展（如：鐳射光 源、光放大器等），對於進一步實現真正的全光通信等方面展示出了 廣闊的應用前景。

PCF最吸引人的特點是，合理的結構設計能使PCF具備在所有波 長上都支援單模傳輸的能力，即所謂的無休止單模特性。其特性與絕 對尺寸無關，光纖截面放大或縮小照樣可以保持單模傳輸，這就意味 著可以根據需要來設計光纖模場面積，PCF模場面積可以是傳統光纖

的10倍，這樣傳輸高功率光時無須擔心非線性效應，反之，可以通過 改變空氣孔的空間距，來減小PCF的模場面積，使PCF具備強非線性 效應和快速響應的特性，可以使目前的非線性光纖元件在長度上減小 兩個數量級，這是普通單模光纖所無法比擬的。另外還可用於產生超 寬頻連續譜、光再生器及波長可變脈衝光源，它是一種很有應用價值 的光纖。

第二章 時域有限差分法

2.1 時域有限差分法簡介

自1873年Maxwell建立電磁場基本方程以來，電磁場理論和應用 的發展已經有一百多年的歷史了。目前，對電磁場的研究已深入到各 個領域，實驗和理論分析計算是研究中相輔相成的重要手段。應當 說，通過理論分析計算，若能獲得精確的解析解，對分析電磁結構的 特性具有重要的指導意義，然而，在很多現代電磁場工程中，由於問 題的複雜性，要求得到封閉式的解析解已經不可能，就是半解析解的 近似方法也只能在個別問題中得到有限的應用。能夠較廣泛發揮作用 的，唯有各種數值計算方法。數值計算方法在電磁場研究中是一種非 常有效的方法，它可以結合研究物件及其周圍環境的電磁參數，賦以 相應的邊界條件，在頻域或者時域求解Maxwell方程初值問題。因此，

數值計算方法是理論分析計算的重要工具，可以為設計提供很有價值 的參考。

20 世紀60 年代以來，隨著電腦技術的發展，一些電磁場的數值 計算方法逐步發展起來，並得到廣泛應用。目前已經出現了很多求解 Maxwell 方程的數值計算方法，例如矩量法MOM、有限元法FEM、

邊界元法BEM、以及時域有限差分法Finite-Difference Time-Domain method FDTD 等，其中FDTD 是一種已經獲得廣泛應用並且有很大

發展前景的時域數值計算方法。早在1966 年K. S. Yee在他發表的著 名論文[8]中，用後來被稱作Yee氏網格的空間離散方式，把含時間變 量的Maxwell 旋度方程轉化為差分方程，並成功地模擬了電磁脈衝與 理想導體作用的時域回應。這就誕生了後來被稱作時域有限差分法的 一種全新的電磁場時域數值計算方法。但是由於當時理論的不成熟和 電腦軟硬體條件的限制，該方法並未得到相應的發展。20 世紀80 年 代中期以後，隨著上述兩個條件限制的逐步解除，FDTD便憑藉其特 有的優勢得以迅速發展。它能方便、精確地預測實際工程中的大量複 雜電磁問題，應用範圍幾乎涉及所有電磁領域，成為電磁工程界和理 論界研究的一個熱點。目前FDTD 日趨成熟，並成為分析大部分實際 電磁問題的首選方法。

時域有限差分法(FDTD)為一種純數值計算方法。該方法是將含 有時間變數的馬克斯威爾的兩個旋度（curl）方程組直接轉化為差分 方程，差方格式中每個單胞(cell)上的電場(或磁場)分量僅與它相鄰 的電場或磁場分量及上一個時間步階(time step)點的場值有關。在每 一個時間步進計算單胞（cell）空間各點的電場或磁場分量，隨著時 間步進的推進，能直接模擬電磁波傳播及其與物體相互作用的過程。

該方法把各類問題都作為初值處理，直接反映電磁波的時域特性，不 失為解決複雜物理問題的良方益法。

2.2 差分近似

有限差分法是用變數離散的、含有有限個未知數的差分方程式近 似地替代連續變數的微分方程，因此首要任務是建構合理的差分格 式，使得它的解能保持原問題的主要性質，並有相當高的精確度。建 立差分方程的基本步驟是把變數按某種方式離散化，然後用差分近似 代替微分方程中的微分。差分法是一個將連續變化函數的微分值以左 右鄰近函數值的差作近似的方法，如果以 F 為 x 軸上連續變化的函數 其微分值的近似法分為如下三種

（1） 前差(Forward difference):

x x F x x F x

x F

Δ

− Δ

≈ +

∂

∂ ( ) ( ) ( )

（2） 後差(Backward difference):

x x x F x F x

x F

Δ Δ

−

≈ −

∂

∂ ( ) ( ) ( )

（3） 中差(Central difference):

x x x x F

x F x

x F

Δ

−Δ Δ −

≈ +

∂

∂ )

( 2 2 )

) (

(

其中Δx代表極短的長度。上列三式近似法的效果以中差法最好，因 為由泰勒展開式(Taylor expansion)可知前差與後差所產生的誤差，僅 與Δx的一階(first order)成比例，故 FDTD 法採用中差法作近似。圖

圖 2.1 中間差分的示意圖

2.3 Maxwell方程的差分推演

若空間是一個無源區域其介質的參數不隨時間變化且各向同性則 Maxwell旋度方程可寫成

Jm

t

E BK K

K −

∂

−∂

=

×

∇

t J H DK K

K +

∂

= ∂

×

∇ 式中

) / ( :

) / ( :

) / ( :

) / ( :

) / ( :

) / ( :

2 2 2

2

m V J

m A H

m A J

m C D

m Wb B

m V E

m 磁流密度。

磁場強度。

電流密度。

電通量密度。

磁通量密度。

電場強度。

K K

K K

K K

連結關係式為

H M

J E J

J

H B E D

source m

source

K K

K K K

K

K K K K

+ ∗

= +

=

=

=

σ σ

μ ε

，

，

，

其中

) / ( :

) / ( :

) / ( :

) / ( :

m m

S

m H m

F

∗ 導磁率。Ω

電導率。

導磁係數。

介電係數。

σ σ

μ ε

在一般的電磁運算中，我們是不考慮JK_m

項的，但是為了與之後的 PML 吸收邊界層呼應，我們同一在 Maxwell 方程中考慮此項。

假設沒有電流源或磁流源，且傳遞介質為線性(linear)、等向性 (isotropic)及非色散(non-dispersive)，則馬克斯威爾的旋度方程式可 寫為

E t H

HK K K

×

∇

−

−

∂ =

∂ ^∗

μ μ

σ 1

H t E

EK K K

×

∇ +

−

∂ =

∂

ε ε

σ 1

在直角座標情況下，上二個旋度方程式可以寫成下列形式

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

∂ +

= ∂

∂

−∂

∂

∂

∂ +

= ∂

∂

−∂

∂

∂

∂ +

= ∂

∂

−∂

∂

∂

z z y x

y z y

x

x y x

z

t E E y

H x H

t E E x

H z H

t E E z

H y H

σ ε

σ ε

σ ε

(2.1)

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

∂ −

− ∂

∂ =

−∂

∂

∂

∂ −

− ∂

∂ =

−∂

∂

∂

∂ −

− ∂

∂ =

−∂

∂

∂

∗

∗

∗

z z

y x

y z y

x

x y x

z

t H H y

E x E

t H H x

E z E

t H H z

E y E

σ μ

σ μ

σ μ

(2.2)

這六個偏微分方程式，是 FDTD 演算法的基礎。

由於 FDTD 法將時間座標分割成如圖 2.2 所示的許多小單胞 (cell) ， 時 間 座 標 變 成 離 散 而 非 連 續 ， 因 此 每 個 格 子 點 的 座 標 (x,y,z,t)可表示成

(

) (

)

其中Δx,Δy,Δz分別是指在x，y，z軸方向上空間增加的間距，Δt 是時間間距，i，j，k，n則表示變化的整數。

若令F(x,y,z,t)表示EK 或HK

在直角座標系中某一分量，在時間和空

間域中的離散表達式為 )

, , ( ) , , ( ) , , ,

(x y z t F i x j y k z F i j k

F = Δ Δ Δ = ⁿ (2.3) 則對F(x,y,z,t)關於空間和時間取一階偏微分的表示式為

x

k j i F k j i F x F

n n

Δ

−

−

≈ +

∂

∂ , , )

2 ( 1 ) , 2, ( 1

(2.4)

t

k j i F k j i F t

F ^{n n}

Δ

≈ −

∂

∂ ⁺ (, , ) ⁻²(, , )

1 2

1

(2.5)

2.4 Yee 網格

在 FDTD 離散中電場和碰場各節點的空間分佈如圖 2.2 所示。由 圖可見每一個磁場分量由四個電場分量環繞；同樣，每一個電場分量

由四個磁場分量環繞。這種電磁場分量的空間取樣方式不僅符合法拉 第感應定徑和安培環路定律的自然結構，而且這種電磁場各分量的空 間相對位置也適合於 Maxwell 方程的差分計算，能夠恰當的描述電磁 場的傳播特性。

圖 2.2 FDTD 離散的 Yee 單胞

電場和磁場所在的時間座標可以表示成如圖 2.3。電場所在的時 間 座 標 為 t =(n−1)Δt、nΔt、(n+1)Δt 等 ， 磁 場 所 在 的 時 間 座 標 為

t n

t n

t = − Δ + )Δ

2 ( 1 2)

( 1 、 等。實際計算時Eⁿ的電場可由t =(n−1)Δt的電場

−1

En 和t = n− )Δt 2

( 1 的磁場 ²

−1

Hn 來求得，並由 ²

−1

Hn 和Eⁿ來求得 ²

+1

Hn 。所

以利用此公式便可由格子點之前的電場和磁場來求得該格子點的磁 場值和電場值。

圖 2.3 FDTD 電磁場時間分布圖

此外，電場和磁場在時間順序上交替取樣，取樣時間間隔彼此相 差半個時間步，使 Maxwell 旋度方程式離散以後構成顯示差分方程，

從而可以在時間上疊代求解。因而由給定相應電磁問題的初始值，

FDTD 方法就逐步推進地求得以後各個時刻空間電磁場的分佈。

Yee 單胞中 E，H 各分量空間節點與時間步取值的設定如下表所 示

表 2.1 Yee 單胞中 E，H 各分量節點的位置

t n− )1Δ (

t n− )Δ

2 ( 1

nΔt

t n+ )Δ

2 ( 1

t n+ )1Δ (

−1

En Eⁿ Eⁿ⁺¹

2

−1 n

H ²

+1

Hn

2.5 三維FDTD方程

對於(2.2)中第三式，考慮觀察點為E_x的節點，即 , , ) 2 (i 1 j k

E_x + ，

以及時刻t = n− )Δt 2

( 1 。並將偏微分以差分近似取代，整理後可得

) , 2, ( 1 ) , 2, ( 1 )

, 2,

(i 1 j k C i j k E ¹ i j k

E_xⁿ + = _EX + _xⁿ⁻ +

⎭⎬

− ⎫ +

⎩ −

⎨⎧

+ + +

+ ^{− −} , )

2 , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2 ( 1 )

, 2,

( 1 ²

1 2

1

k j i H k j i H k j i

C_{EXLY z}ⁿ _zⁿ

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ + + − + −

− +

− ^{− −} )

2 , 1 2, ( 1 2)

, 1 2, ( 1 2)

, 1 2,

( 1 ²

1 2

1

k j i H k

j i H k

j i

C_{EXLZ y}ⁿ _yⁿ (2.6)

式中

) , 2, ( 1 2

) , 2, ( 1 1

) , 2, ( 1 2

) , 2, ( 1 1 ) , 2, ( 1

k j i

t k j i

k j i

t k j i

k j i C_EX

+

Δ + +

+

Δ

− +

= +

ε σ

ε σ

(2.7)

y k j i

t k j i

k j i t k

j i C_EXLY

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

) , 2, ( 1 2

) , 2, ( 1 1

) , 2, ( 1 )

, 2, ( 1

ε σ

ε (2.8)

z k j i

t k j i

k j i t k

j i C_EXLZ

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

) , 2, ( 1 2

) , 2, ( 1 1

) , 2, ( 1 )

, 2, ( 1

ε σ

ε (2.9)

) 2, , 1 ( ) 2, , 1 ( )

2, , 1

(i j k C i j k E ¹ i j k

Eⁿ_y + = _EY + _yⁿ⁻ +

⎭⎬

− ⎫ +

⎩ −

⎨⎧

+ + +

+ ^{− −} )

2 , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1 ( )

2, , 1

( ²

1 2

1

k j i H k

j i H k j i

C_{EYLZ x}ⁿ _xⁿ

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ + + − − +

+

− ^{− −} , )

2 , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2 ( 1 )

2, , 1

( ²

1 2

1

k j i H k j i H k j i

C_{EYLX z}ⁿ _zⁿ (2.10)

2) , 1 , ( 2) , 1 , ( 2)

, 1 ,

(i j k+ =C i j k+ E ⁻¹ i j k+

E_zⁿ _{EZ z}ⁿ

⎭⎬ + ⎫

−

⎩ −

⎨⎧

+ +

+

+ ^{− −} )

2 , 1 2, ( 1 2)

, 1 2, ( 1 2)

, 1 ,

( ²

1 2

1

k j i H k

j i H k

j i

C_{EZLX y}^{n n}_y

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ + + − − +

+

− ^{− −} )

2 , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1 ( 2)

, 1 ,

( ²

1 2

1

k j i H k

j i H k

j i

C_{EZLY x}ⁿ _xⁿ (2.11)

其中

) 2, , 1 ( 2

) 2, , 1 ( 1

) 2, , 1 ( 2

) 2, , 1 ( 1 ) 2, , 1 (

k j i

t k j i

k j i

t k j i

k j i C_EY

+ Δ + +

+ Δ

− +

= +

ε σ

ε σ

(2.12)

z k j i

t k j i

k j i t k

j i C_EYLZ

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

) 2, , 1 ( 2

) 2, , 1 ( 1

) 2, , 1 ( )

2, , 1 (

ε σ

ε (2.13)

x k j i

t k j i

k j i t k

j i C_EYLX

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

) 2, , 1 ( 2

) 2, , 1 ( 1

) 2, , 1 ( )

2, , 1 (

ε σ

ε (2.14)

2) , 1 , ( 2

2) , 1 , ( 1

2) , 1 , ( 2

2) , 1 , ( 1 2) , 1 , (

+ Δ + +

+ Δ

− +

= +

k j i

t k

j i

k j i

t k

j i

k j i C_EZ

ε σ

ε σ

(2.15)

x k

j i

t k

j i

k j i t k

j i C_EZLX

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

2) , 1 , ( 2

2) , 1 , ( 1

2) , 1 , ( 2)

, 1 , (

ε σ

ε (2.16)

y k

j i

t k

j i

k j i t k

j i C_EZLY

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

2) , 1 , ( 2

2) , 1 , ( 1

2) , 1 , ( 2)

, 1 , (

ε σ

ε (2.17)

同樣地，觀察點為H_x的節點，即 ) 2 , 1 2 , 1

(i j+ k+

H_x ，以及時刻

t n

t = Δ ，於是式(2.3-1)第一式的離散表達式可寫為

2) , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1

( ²

1 2

1

+ +

= +

+ ⁻

+

k j i H C k

j i

H_xⁿ _{HX x}ⁿ

⎭⎬ + ⎫

⎩ −

⎨⎧ + +

+ +

− )

2 , 1 , ( 2)

, 1 1 , ( 2) , 1 2 , 1

(i j k E i j k E i j k

C_{HXLY z}ⁿ _zⁿ

⎭⎬ + ⎫

⎩⎨

⎧ + + −

+ +

+ , )

2 , 1 ( ) 1 2, , 1 ( 2) , 1 2 , 1

(i j k E i j k E i j k

C_HXLZ ⁿ_{y y}ⁿ (2.18)

同樣地，其餘兩式可以表示為

2) , 1 2, ( 1 2)

, 1 2,

( 1 ²

1 2

1

+ +

= +

+ ⁻

+ i j k C H i j k

H_yⁿ _{HY y}ⁿ

⎭⎬ + ⎫

⎩ −

⎨⎧ + +

+ +

− , , )

2 ( 1 ) 1 , 2, ( 1 2)

, 1 2,

(i 1 j k E i j k E i j k

C_{HYLZ x}ⁿ _xⁿ

⎭⎬ + ⎫

⎩⎨

⎧ + + −

+ +

+ )

2 , 1 , ( 2)

, 1 , 1 ( 2) , 1 2,

(i 1 j k E i j k E i j k

C_{HYLZ z}ⁿ _zⁿ (2.19)

) 2, , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2

( 1 ²

1 2

1

k j

i H C k j

i

H_zⁿ⁺ + + = _{HZ z}ⁿ⁻ + +

⎭⎬ + ⎫

⎩ −

⎨⎧ + + +

+

− , )

2 , 1 ( ) 2, , 1 1 ( ) 2, , 1 2

(i 1 j k E i j k E i j k

C_{HZLX y}ⁿ _yⁿ

⎭⎬ + ⎫

⎩⎨

⎧ + + − +

+

+ , , )

2 ( 1 ) , 1 2, ( 1 ) 2, , 1 2

(i 1 j k E i j k E i j k

C_{HZLY x}ⁿ _xⁿ (2.20)

上列式子中的係數設定為

2) , 1 2 , 1 ( 2

2) , 1 2 , 1 ( 1

2) , 1 2 , 1 ( 2

2) , 1 2 , 1 ( 1 2) , 1 2 , 1 (

+ +

Δ + + +

+ +

Δ +

− +

= + +

∗

∗

k j i

t k

j i

k j i

t k

j i

k j i C_HX

μ σ

μ σ

(2.21)

z k

j i

t k

j i

k j i t k

j i C_HXLZ

Δ + +

Δ + + +

+ + Δ

= + +

∗

1

2) , 1 2 , 1 ( 2

2) , 1 2 , 1 ( 1

2) , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1 (

μ σ

μ (2.22)

y k

j i

t k

j i

k j i t k

j i C_HXLY

Δ + +

Δ + + +

+ + Δ

= + +

∗

1

2) , 1 2 , 1 ( 2

2) , 1 2 , 1 ( 1

2) , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1 (

μ σ

μ (2.23)

2) , 1 2, ( 1 2

2) , 1 2, ( 1 1

2) , 1 2, ( 1 2

2) , 1 2, ( 1 1 2) , 1 2, ( 1

+ +

Δ + + +

+ +

Δ +

− +

= + +

∗

∗

k j i

t k

j i

k j i

t k

j i

k j i C_HY

μ σ

μ σ

(2.24)

z k

j i

t k

j i

k j i t k

j i C_HYLZ

Δ + +

Δ + + +

+ +

Δ

= + +

∗

1

2) , 1 2, ( 1 2

2) , 1 2, ( 1 1

2) , 1 2, ( 1 2)

, 1 2, ( 1

μ σ

μ (2.25)

x k

j i

t k

j i

k j i t k

j i C_HYLX

Δ + +

Δ + + +

+ +

Δ

= + +

∗

1

2) , 1 2, ( 1 2

2) , 1 2, ( 1 1

2) , 1 2, ( 1 2)

, 1 2, ( 1

μ σ

μ (2.26)

) 2, , 1 2 ( 1 2

) 2, , 1 2 ( 1 1

) 2, , 1 2 ( 1 2

) 2, , 1 2 ( 1 1 ) 2, , 1 2 ( 1

k j i

t k j i

k j i

t k j i

k j i C_HZ

+ +

Δ +

+ +

+ +

Δ +

− +

= +

+

∗

∗

μ σ

μ σ

(2.27)

x k j i

t k j i

k j i t k

j i C_HZLX

Δ +

+

Δ +

+ +

+ + Δ

= +

+

∗

1

) 2, , 1 2 ( 1 2

) 2, , 1 2 ( 1 1

) 2, , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2 ( 1

μ σ

μ (2.28)

y k j i

t k j i

k j i t k

j i C_HZLY

Δ +

+

Δ + + +

+ + Δ

= +

+

∗

1

) 2, , 1 2 ( 1 2

) 2, , 1 2 ( 1 1

) 2, , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2 ( 1

μ σ

μ (2.29)

2.6 數值穩定性

由 Maxwell 旋度方程按 Yee 氏網格所導出的差分方程是一種顯示 差分格式，它的執行是通過按時間步推進計算電磁場在計算空間內的 變化規律：這種差分格式存在穩定性問題，即時間變量步長Δt 與空 間變量步長Δx，Δy 和Δz 之間必須滿足一定條件，否則將出現數值 不穩定性。這種不穩定性表現為，隨著計算步數的增加，被計算的場 量的數值也將無限制地增大。其原因不同於誤差的積累，而是由於電 磁波傳播的因果關系被破壞而造成的。因此，為了用所導出的差分方 程進行穩定的計算，就需要合理地選取時間步長與單胞間距之間的關 係。我們分別討論如下：

2.6.1 單胞間隔的穩定性要求 一維之波動方程式 ₂ 0

2 2 2

=

∂ +

∂ f

c x

f ω

(2.30)

考慮平面波的解 f⁽x^,t⁾= f0^exp

[

]

將(2.31)代入(2.30)得 ₂ 0

2

2 ⎟⎟⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− + f

k ωc 即

k₌ωc (2.32)

另外，從(2.31)可得知波的相速為 V ωk

φ = (2.33) 對於無損耗介質。ε和μ與頻率無關，由(2.32)和(2.33)式，平面波

的相速 ^φ με

= 1

V 與頻率無關，即無色散。

x f x k

x f

x jk x

jk x

x x f x f x x f x

f

2 2

2 2

2 2

2 ) (

2 ) ( sin

) (

) exp(

2 ) exp(

) (

) (

) ( 2 ) (

Δ Δ

−

=

Δ

Δ

− +

−

= Δ Δ

Δ

− +

− Δ

≈ +

∂

∂

(2.34)

0 2

sin 2

0 ₂

2 2

2

2 2 2

2 − =

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

⇒

=

∂ +

∂

x c x k c f

x

f ω ω (2.35)

) (數值色散 產生色散

相速與頻率有關 為非線性關係

與ω ⇒ ⇒

k

時，

當

2 2

2

sin 2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

≈⎛ Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δk x k x

k c k c

x c x k

ω ω

ω _{= ⇒ − = ⇒ =}

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

0 0

2 sin 2

2 2 2 2

2 2

2

(2.36)

根據三角函數，當 12

ξ ≤ π 時，sinξ ≈ξ，

於是要求

12 2

≤ π Δx k

即 12

≤ λ Δx

這是我們在設定 FDTD 單胞大小時，所必須滿足的條件。

2.6.2 時間間隔的穩定性要求：

上式為 j f t f = ω

∂

∂ 的解

利用差分近似，可將上式變為 ⁿ

n n

f t j

f

f = ω

Δ

− ⁻

+1/2 1/2

(2.38) 式中 fⁿ = f(x,y,z,nΔt)

定義數值增長因數 q 為 _1/2

2 / 1

−

+ =

= ⁿ _{n n} ⁿ

f f f

q f

代入(2.38)式得 q² − jωΔtq−1=0

可解得

2

1 2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛ Δ Δ ±

= t t

j

q ω ω (2.39)

而數值穩定性要求在時間步階 n→∞ 時， q ≤1 令 t =⎟ a

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ 2

ω ,則(2.39)式可化為q= ja± 1 a− ²

我們討論如下：

( )

1 1

1 1

1 2

) 1 ( 2 1 2

1 2

1 1

1 1

, 1

2 2

2 2

2 2

2 2

≤

>

+

−

±

−

=

−

±

−

=

⇒

−

±

=

−

±

=

−

±

=

>

>

q a

a a a

a a a

q

a a j a

j ja a

ja q a

a

不恒滿足 故

不一定小於 則

即 當

(

)

1 1

,

1 ^{2 2 2}

2 < a< q= ja± −a ⇒ q = a + −a = q ≤

a 即 則 滿足

當

1 1

1 1

,

2 =1 a= q= j ⇒ q = q ≤

a 即 則 滿足

當

由上述討論可知，滿足q ≤1的條件為：

2Δt ≤1

ω

Courant 穩定性條件：

電磁場任意直角分量均滿足波動方程式

₂ 0

2 2 2 2 2 2

2 + =

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂ f

V z

f y

f x

f ω

(2.40)

考慮平面波的解 f⁽x^,y^,z^,t⁾= f0^exp

[

]

採用差分近似得 _{2 2}

2

) (

) (

) ( 2 ) (

x

x x f x f x x f x

f

Δ

Δ

− +

− Δ

≈ +

∂

∂ (2.42)

將(2.40)代入上式得

x f x k x f

x jk x

jk x

f

x x

x

2 2

2 2

2

2 ) (

2 ) ( sin )

(

) exp(

2 ) exp(

Δ Δ

− Δ =

Δ

− +

−

≈ Δ

∂

∂ (2.43)

可化為 0

2 ) (

2 ) ( sin 2 )

( 2 ) ( sin 2 )

( 2 ) ( sin

2 2

2 2

2 2

2 2

= Δ −

Δ Δ +

Δ Δ +

Δ

z V z k y

y k x

x

kx y _z

ω (2.44)

1

) 2 ( 2

2 ) ( sin 2 )

( 2 ) ( sin 2 )

( 2 ) ( sin 2

2

2 2

2 2

2 2 2

⎟ ≤

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ Δ

⎥⎥

⎥

⎦

⎤ Δ

Δ Δ +

Δ +

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ Δ

Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⇒⎛ Δ t

z z k y

y k x

x k t

V

y z

x ω

(2.45)

上式對任何k_x,k_y,k_z均成立的條件是 ) 1 (

1 )

( 1 )

( ) 1

( ² _{2 2 2}⎥≤

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ Δ + Δ

Δ Δ

z y

t x

V (2.46) 亦即

2 2

2 ( )

1 )

( 1 )

( 1

1

z y

V x t

+ Δ + Δ

Δ

≤

Δ (2.47)

這是我們在設定時間間格時，所必須滿足的條件。其中V 是所模 擬的解析空間中，所存在的最大波速(一般是設定為光速)。

2.7 入射波源的選擇

假設在FDTD 空間單胞中的一個固定的波原，且可用電場跟磁場所組 成的時間函數來描述。而這樣的方程式即可獨立於模擬的模型之中。

定波源，可以在一為空間中is 位置上引起一個頻率為的振幅，假設 為：

) 2

0

sin( fn t E

E

s

Δ

= π

這樣的波源形式可以同時往+x、-x 的方向傳播。在FDTD 的特殊 計算結構下，為了提供遠離波源的Poynting 主要能量流，波動中的電 場Z 軸的分量E_z將被假設是偶宇稱，而磁場Y 軸的分量則設為奇宇稱。

第二個常用的波源是低通的高斯脈衝。這樣波源的時間形式是在

n0產生波，隨著時間的增加有著1/e 的衰減。如：

) ) /

) ((

exp(

0 decay

n

z i

E n n n

E

s

−

−

=

由上式當中我們可以發現，在n₀=0 時，振幅不等於零，為了從開始

傳輸到高斯脈衝之間能夠更平順點，我們習慣讓n₀有三倍於n的衰竭 因數。

第三種常用的波源是帶通（bandpass）的高斯脈衝，在傅立葉轉 換下的頻譜是屬於以 f₀成偶宇稱的，一樣開始在n₀，有著隨著時間1/e 的衰減。如式（2.50）所示：

)) (

2 sin(

) ) /

) ((

exp(

0

n n n f n n

E

E

z i

s

−

⋅

−

−

= π

第三章 吸收邊界

3.1 吸收邊界

用 FDTD 法求解電磁場問題時，如求解通常導波系統一樣，亦假 定問題空間是無限大的，即為“開放＂系統。由於 FDTD 計算時，每 個單元網格上的六個場分量均需在任一時間步作計算。因此所求解問 題的空間愈大，要求存儲量也愈大，對於開放或半開放問題，所需的 網格空間就成為無限大。然而，任何計算機的存儲空間都是有限的。

因此問題空間應是有限的，要求它能將被研究的模型“裝入＂，並實 施 FDTD 的運算過程。為了讓這種有限空間與無限空間等效，需對有 限空間的周圍邊介面做特殊處理，使得向邊介面行進的波在邊界處 保持“向外行進＂的特徵、無明顯的反射現象，並且不會使內部空間 的場產生幹擾。具有這種功能的邊界條件，稱為吸收邊界條件

Berenger的PML 吸收邊界條件是目前精度最佳且最有效的吸收 邊界條件。早期因為電腦的運算速度不夠快，對於計算量龐大的PML 法而言，是相當不方便的。所以之前最常使用的是1981 年Mur 所提 出 之 吸 收 邊 界 條 件 ， 他 推 導 了 第 一 階 近 似 （ First order approximation ）及第二階近似（Second orderapproximation）ABC。

但隨著時代進步，電腦的快速發展，以PML為吸收邊界的運算，也就 來越普及化了。而本論文則是選擇採用Berneger 的PML 當作我們在

計算上的吸收邊界。

3.2 完美匹配層的吸收邊界

Berenger及Holland使用匹配層(ML)吸收邊界條件，在計算空間 周圍設置匹配的吸收邊界層，使外行波被吸收，但這種方法只對垂直 入射到邊界的電磁場無反射。Berenge:在1994年首次提出了完全匹配 層(Perfect Match Layer, PML)吸收邊界條件的概念。

PML方法有其明顯的優越性：該方法對來波的吸收與波的頻率和 入射角度無關，吸收效果更好，因而很快被廣大研究者接受並得到迅 速推廣，現已成為FDTD演算法中使用最為廣泛的吸收邊界條件。

為簡單起見，以二維空間為例來說明PML的原理。對於直角坐標 系中的TE波，電磁場分量只包括E_x、E_y和H_z，相應的Maxwell為：

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

∂

−∂

∂

=∂

∂ +

∂

∂

−∂

=

∂ +

∂

∂

=∂

∂ +

∂

x E y H E t

H

x E H

t E

y E H t E

x y z z

z y

y

z x x

* 0

0 0

σ μ

σ ε

σ ε

(3.1)

在 PML 介質中，Berenger 假設將磁場分量H_z分裂為兩個子分量H_zx和

Hzy踢，且H_z =H_xz +H_zy。進而，將 Maxwell 方程改寫為以下形式: