7
第一階段放電：
若 𝑒 = 𝑢𝑣，𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉，𝑒 ∈ 𝑓 ∩ 𝑔，𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹，我們把所有點跟面的電荷平均 分給跟它們相鄰的邊，並把這個電荷稱 𝜑𝑏(𝑒)，也就是 𝜑𝑏(𝑒) =𝑑(𝑢)−6𝑑(𝑢) +
𝑑(𝑣)−6
𝑑(𝑣) +2𝑑(𝑓)−6𝑑(𝑓) +2𝑑(𝑔)−6𝑑(𝑔) ，若 𝑒 只屬於一個 𝑓 ∈ 𝐹，就令 𝑔 = 𝑓。舉例來
說，若一個面是三角形則它放出的電荷就是0，若是四邊形則它對每邊放
出的電荷就是 12。
第二階段放電：
對於每個由點 𝑢, 𝑣, 𝑤 構成的三角形面，滿足 3 ≤ 𝑑(𝑢) ≤ 5，且 𝑑(𝑣) ≥ 6，
𝑑(𝑤) ≥ 6，就從 𝑣𝑤 移動 𝑑(𝑣)−62𝑑(𝑣) 到 𝑢𝑤，從 𝑣𝑤 移動 𝑑(𝑤)−62𝑑(𝑤) 到 𝑢𝑣。這個方 法即是將第一階段放電完保證為正的邊的電荷，轉移給相鄰可能為負的 邊，但永遠不使自己轉移完電荷變成負的。
8
第三階段放電：
第三階段放電分成很多子案例，但原則跟第二階段放電一樣，把前兩階段 放電完後保證為正的邊的電荷，轉移給相鄰且可能為負的邊，但永遠不使自己 轉移完電荷變成負的。
(1)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 3，𝑡(𝑢) = 1，𝑑(𝑣′) ≥ 10，𝑡(𝑢𝑣) = 1，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 15 到 𝑢𝑣。
(2)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 2，𝑑(𝑣′) = 5，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 103 到 𝑢𝑣。
(3)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 2，𝑑(𝑣′) ≥ 6，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 12 到 𝑢𝑣。
(4)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 3，𝑑(𝑣′) = 7 或 8，
𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 141 到 𝑢𝑣。
9
(5)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 3，𝑑(𝑣′) ≥ 9，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 16 到 𝑢𝑣。
(6)對於 𝑢, 𝑢1, 𝑢2. 𝑢3, 𝑢4 五點，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 4，且 𝑑(𝑢1) = 6，
𝑑(𝑢2) , 𝑑(𝑢3) , 𝑑(𝑢4) ≥ 11，則從 𝑢𝑢𝑘 移動 112 到 𝑢𝑢1，其中 𝑘 = 2,3,4。
(7)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 2，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 4，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 103 到 𝑢𝑣。
(8)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3且如圖三個三角形不全相鄰，𝑑(𝑣)
＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 6，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1，
則從 𝑢𝑣′ 移動 103 到 𝑢𝑣。
(9)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) = 5，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 203 到 𝑢𝑣。
10
(10)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 6，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 25 到 𝑢𝑣。
(11)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3且如圖三個三角形相鄰，
𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) = 6，𝑡(𝑢𝑣) = 2，
𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 203 到 𝑢𝑣。
(12)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3且如圖三個三角形相鄰，
𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 7，𝑡(𝑢𝑣) = 2，
𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 15 到 𝑢𝑣。
(13)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 4，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) = 6，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 101 到 𝑢𝑣。
(14)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣′三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺(𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 4，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 7，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 17 到 𝑢𝑣。
11
(15)對於 𝑢, 𝑢1, 𝑢2. 𝑢3, 𝑢4, 𝑢5 六點，若滿 足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 5，且 𝑑(𝑢1) = 6，𝑑(𝑢2) , 𝑑(𝑢3) , 𝑑(𝑢4), 𝑑(𝑢5) ≥ 7，則從 𝑢𝑢𝑘 移動 701 到 𝑢𝑢1，其中 𝑘 = 2,3,4,5。
(16)對於 𝑢, 𝑢1, 𝑢2. 𝑢3, 𝑢4, 𝑢5 六點，若滿 足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 5，且 𝑑(𝑢1) = 𝑑(𝑢2) = 6， 𝑑(𝑢3) , 𝑑(𝑢4), 𝑑(𝑢5) ≥ 8，則從 𝑢𝑢𝑘 移動 401 到 𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2， 其中 𝑘 = 3,4,5。
(17)對於 𝑢, 𝑢1, 𝑢2. 𝑢3, 𝑢4, 𝑢5 六點，若滿 足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 5，且 𝑑(𝑢1) = 5，𝑑(𝑢2) = 6，
𝑑(𝑢3) , 𝑑(𝑢4), 𝑑(𝑢5) ≥ 9，則從 𝑢𝑢𝑘 移動 152 到 𝑢𝑢2，其中 𝑘 = 3,4,5。
在經過三階段的放電後，在邊 𝑒 上的電荷稱 𝜑(𝑒)，由上面三個放電法的原 則，我們可得到以下性質3.1。
12
13
對於 ∆≥ 6，接著將會有一段繁瑣的過程去證明，我們的作法是依序根據 𝑘 的不同值，使用反證法假設與 𝑣 相連的邊電荷總和為正，去求 𝑁(𝑣)中各點度數 的上界，進而求出 𝑑2(𝑣) ≤ 2∆ + 4 ，接著由前述的縮邊及拔點的方法，我們將 會得到一個新的圖 𝐻，並且使得 ∆(𝐻) ≤ ∆(𝐺)。
(1) 𝑘 = 1：
𝑑(𝑣1) 沒限制，即為 ∆，因此 𝑑2 = ∆ − 1，且
𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1 或 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 1 − 2，∆ − 1，∆} = ∆。
(2-1) 𝑘 = 2，𝑡(𝑣) = 0：
𝑑(𝑣1)、𝑑(𝑣2) 沒限制，都取為 ∆，則
𝑑2 = 2∆ − 2，因此 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1 或 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，
∆(𝐻) ≤ max{∆ + 2 − 2，∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
(2-2) 𝑘 = 2，𝑡(𝑣) = 1：
𝑑(𝑣1)、𝑑(𝑣2) 沒限制，都取為 ∆，因此 𝑑2 = 2∆ − 2 − 2＝2∆ − 4，且 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1 或
𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 2 − 2 − 1，∆ − 1，∆} = ∆。
14
由上述(1)到(2-2)討論中可得下列的性質 3.2。
性質3.2：當 k ≤ 2 時，不管在 𝑁𝐺(𝑣) 的點度數是多少，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且至少縮邊或拔點其中之一不會增加它的最大度數 ∆，
因此若有一度數小於等於2 的點 𝑤，那麼便可直接令 𝑣 = 𝑤。
(3-1) 𝑘 = 3，𝑡(𝑣) = 0：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (3 − 6) +6−66 × 3 + 3 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 5，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 − 3 = 2∆ + 2，且 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1時，∆(𝐻) ≤ max{3 + 5 − 2，∆} = max{6，∆}，因為縮邊或拔
點必須保證最大度數不變大，故 ∆≥ 6，這即是我們定 6 為界的原因。
(3-2) 𝑘 = 3，𝑡(𝑣) = 1：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (3 − 6) +8−68 × 3 +
8−6
2×8× 2 + 2 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 7 − 3 − 2 = 2∆ + 2，且 𝐻 = 𝐺 𝑒 ⁄ 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 3 − 2 − 1，∆} = ∆。
(3-3) 𝑘 = 3，𝑡(𝑣) = 2：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 10，則 𝜑(𝑣) ≥ (3 − 6) +10−610 ×
3 +10−62×10× 4 + 1 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 9，因此 𝑑2 = 2∆ + 9 − 3 − 4 = 2∆ + 2，且 𝐻 = 𝐺 𝑒⁄ 或 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 3 − 2 − 2，∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
15
(3-4) 𝑘 = 3，𝑡(𝑣) = 3：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 12，則 𝜑(𝑣) ≥ (3 − 6) +12−612 ×
3 +12−62×12× 6 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 11，因此 𝑑2 = 2∆ + 11 − 3 − 6 = 2∆ + 2，
且 𝐻 = 𝐺 𝑒⁄ 或 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 3 − 2 − 2，∆ − 1，∆} = ∆。
由上述(3-1)到(3-4)討論中可得下列的性質 3.3。
性質3.3：當 𝑘 = 3 時，有以下性質，
𝑡(𝑣) = 0 且 𝑁𝐺(𝑣)中有一點度數 ≤ 5 時，或 𝑡(𝑣) = 1 且 𝑁𝐺(𝑣)中有一點度數 ≤ 9 時，或 𝑡(𝑣) = 2 且 𝑁𝐺(𝑣)中有一點度數 ≤ 11 時，或 𝑡(𝑣) = 3 且 𝑁𝐺(𝑣)中有一點度數 ≤ 13 時，
距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且至少縮邊或拔點其中之一不會 增加它的最大度數 ∆。因此若有一度數等於 3 的點 𝑤，且滿足上述的 條件，那麼便可令 𝑣 = 𝑤。
(4-1) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 0：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 4，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +4−64 × 4 + 4 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 3，接著藉由性質 3.2 和 3.3，
k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
16
(4-2) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 1：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +5−65 × 4 + 3 =15≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 4，
①𝑑(𝑣1) = 4：
若𝑑(𝑣2) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +4−64 +6−66 ×
3 + 3 =12≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 5，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 5 − 4 − 2 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1 時，∆(𝐻) ≤ max{4 + 4 − 2，∆} = max{6，∆}。
②𝑑(𝑣1) ≤ 3：
由性質3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
(4-3) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 2：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +6−66 × 4 +6−62×6× 4 + 2 = 0 ≥ 0，矛盾，
故 𝑑(𝑣1) ≤ 5，
①𝑑(𝑣1) = 5：
若𝑑(𝑣2) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +5−65 +7−67 × 3 + 2 =358 ≥
0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 6，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 6 − 4 − 4 = 2∆ + 3，且若 兩三角形為相鄰時 𝐻 = 𝐺 e⁄ ，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 4 − 2 − 2，∆} = ∆；若兩 三角形為分離時 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
17
②𝑑(𝑣1) = 4：
若𝑑(𝑣2) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +4−64 +8−68 × 3 + 2 =
1
4≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 7，
因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 7 − 4 − 4 = 2∆ + 3，且若兩三角形為相鄰時 𝐻 = 𝐺 e⁄ ，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 4 − 2 − 2，∆} = ∆；若兩三角形為分離時 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
③𝑑(𝑣1) ≤ 3：
由性質3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
(4-4) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 3：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +7−67 × 4 +7−62×7× 6 + 1 = 0 ≥ 0，矛盾，
故 𝑑(𝑣1) ≤ 6，
①𝑑(𝑣1) = 6：
若𝑑(𝑣2) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +6−66 +8−68 × 3 +
8−6
2×8× 4 + 1 =14≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 6 + 7 − 4 − 6 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
②𝑑(𝑣1) = 5：
18
若𝑑(𝑣2) ≥ 9，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +5−65 +9−69 ×
3 +9−62×9× 2 + 1 =152 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 8，
因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 8 − 4 − 6 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
③𝑑(𝑣1) = 4：
若𝑑(𝑣2) ≥ 10，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +4−64 +10−610 ×
3 +10−62×10× 2 + 1 =101 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 9，
因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 9 − 4 − 6 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
④𝑑(𝑣1) ≤ 3：
由性質3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
(4-5) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 4：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +8−68 × 4 +8−62×8× 8 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 7，
①𝑑(𝑣1) = 7：
若𝑑(𝑣2) ≥ 9，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +7−67 +9−69 × 3 +
7−6
2×7× 2 +9−62×9× 6 =27 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 8，
因此 𝑑2 = 2∆ + 7 + 8 − 4 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 =
19
𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
②𝑑(𝑣1) = 6：
若𝑑(𝑣2) ≥ 9，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +6−66 +9−69 ×
3 +6−62×6× 2 +9−62×9× 6 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 8，因此 𝑑2 = 2∆ + 6 + 8 − 4 − 8 = 2∆ + 2，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
③𝑑(𝑣1) = 5：
若𝑑(𝑣2) ≥ 11，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +5−65 +11−611 ×
3 +11−62×11× 4 =554 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 10，因 此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 10 − 4 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
④𝑑(𝑣1) = 4：
若𝑑(𝑣2) ≥ 12，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +4−64 +12−612 ×
3 +12−62×12× 4 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 11，因 此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 11 − 4 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
⑤𝑑(𝑣1) ≤ 3：
由性質3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
20
由上述(4-1)到(4-5)討論中可得下列的性質 3.4。
性質3.4：當 𝑘 = 4 時，有以下性質，
𝑡(𝑣) = 2 且 𝑁𝐺(𝑣)中有兩點度數和 ≤ 12 時，或 𝑡(𝑣) = 3 且 𝑁𝐺(𝑣)中有兩點度數和 ≤ 14 時，或 𝑡(𝑣) = 4 且 𝑁𝐺(𝑣)中有兩點度數和 ≤ 16 時
距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且至少縮邊或拔點其中之一不會 增加它的最大度數 ∆。因此若有一度數等於 4 的點 𝑤，且滿足上述的 條件，那麼便可令 𝑣 = 𝑤。
(5-1) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 0：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 4，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +4−64 × 5 + 5 =
3
2≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 3，接著藉由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故 可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
(5-2) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 1：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 4，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +4−64 × 5 + 4 =
1
2≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 3，接著藉由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故 可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
21
(5-3) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 2：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +5−65 × 5 + 3 = 1 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 4，
① 𝑑(𝑣1) = 4：
若𝑑(𝑣2) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +4−64 +5−65 × 4 + 3 =107 ≥ 0，矛盾，
故 𝑑(𝑣2) ≤ 4，
(ⅰ) 𝑑(𝑣2) = 4：
若𝑑(𝑣3) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +
4−6
4 × 2 +5−65 × 3 + 3 =25 ≥ 0，矛 盾，故 𝑑(𝑣3) ≤ 4，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 4 + 4 − 5 − 4 = 2∆ + 3，因為 𝑣1、𝑣2、𝑣3三點度數皆小於等於4，
且 𝑡(𝑣) = 2，故𝑣1、𝑣2、𝑣3中一定有 𝑡(𝑣𝑣𝑖) ≥ 1 ，其中 𝑖 ∈ {1，2，3}，令 此 𝑣𝑣𝑖 為 𝑒， 𝐻 = 𝐺 𝑒⁄ ，∆(𝐻) ≤ max{5 + 4 − 2 − 1，∆} = max{6，
∆} = ∆。
② 𝑑(𝑣1) ≤ 3：
由性質3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
22
(5-4) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 3：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +5−65 × 5 + 2 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 4，
①𝑑(𝑣1) = 4：
若𝑑(𝑣2) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +4−64 +6−66 × 4 + 2 =12≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 5，
(ⅰ) 𝑑(𝑣2) = 5：
若𝑑(𝑣3) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +4−64 +5−65 +6−66 × 3 + 2 =103 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3) ≤ 5，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 5 + 5 − 5 − 6 = 2∆ + 3，且若 t(𝑣𝑣1) = 0 時， 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣，∆(𝐻) ≤ max{4 − 1 + 2，∆} = max{5，∆} = ∆；若 t(𝑣𝑣1) ≥ 1時， 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1，∆(𝐻) ≤
max{5 + 4 − 2 − 1，∆} = max{6，∆} = ∆。
23
(ⅱ) 𝑑(𝑣2) = 4：
若𝑑(𝑣3) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +4−64 ×
2 +6−66 × 3 + 2 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3) ≤ 5，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 4 + 5 − 5 − 6 = 2∆ + 2，因為 𝑣1、𝑣2 兩點度數 皆小於等於4，且 𝑡(𝑣) = 3，故𝑣1、𝑣2 中 一定有 𝑡(𝑣𝑣𝑖) ≥ 1 ，其中 𝑖 ∈ {1，2}，令 𝑣𝑣𝑖 為 𝑒， 𝐻 = 𝐺 𝑒⁄ ，∆(𝐻) ≤ max{5 + 4 − 2 − 1，∆} = max{6，∆} = ∆。
②𝑑(𝑣1) ≤ 3：
由性質3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
(5-5) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 4：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +6−66 × 5 + 1 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 5，
① 𝑑(𝑣1) = 5：
若𝑑(𝑣2) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +5−65 +7−67 × 4 + 1 =1320≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 6，
24
25
(ⅱ) 𝑑(𝑣2) = 5：
若𝑑(𝑣3) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +
4−6
4 +5−65 +8−68 × 3 + 1 =201 ≥ 0，矛 盾，故 𝑑(𝑣3) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 5 + 7 − 5 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
(ⅲ) 𝑑(𝑣2) = 4：
若𝑑(𝑣3) ≥ 9，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +
4−6
4 × 2 +9−69 × 3 + 1 = 0 ≥ 0，矛盾，
故 𝑑(𝑣3) ≤ 8，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 4 + 8 − 5 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，
∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。
③𝑑(𝑣1) ≤ 3：
由性質3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
(5-6) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 5：
若 𝑑(𝑣1) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +7−67 × 10 =37 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1) ≤ 6，
①𝑑(𝑣1) = 6：
若𝑑(𝑣2) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +6−66 × 2 +7−67 × 8 =17 ≥ 0，矛盾，故
26
𝑑(𝑣2) ≤ 6，
(ⅰ) 𝑑(𝑣2) = 6：
若𝑑(𝑣3) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +6−66 × 4 +8−68 × 6 =12≥ 0，
矛盾，故 𝑑(𝑣3) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 6 + 6 + 7 − 5 − 10 = 2∆ +
4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。
②𝑑(𝑣1) = 5：
若𝑑(𝑣2) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +5−65 +8−68 × 7 =1120≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 7，
(ⅰ) 𝑑(𝑣2) = 7：
若𝑑(𝑣3) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +5−65 +7−67 × 2 +8−68 × 5 =
47
140 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3) ≤ 7，
因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 7 + 7 − 5 −
10 = 2∆ + 4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。
(ⅱ) 𝑑(𝑣2) = 6：
若𝑑(𝑣3) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +5−65 +6−66 × 2 +8−68 × 5 = 201 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 6 + 7 −
27
5 − 10 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。
(ⅲ) 𝑑(𝑣2) = 5：
若𝑑(𝑣3) ≥ 10，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +5−65 × 2 +10−610 × 4 =
1
5 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3) ≤ 9，因 此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 5 + 9 − 5 −
10 = 2∆ + 4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。
② 𝑑(𝑣1) = 4：
若𝑑(𝑣2) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +4−64 +8−68 × 7 =14 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2) ≤ 7，
(ⅰ) 𝑑(𝑣2) = 7：
若𝑑(𝑣3) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +4−64 +7−67 × 2 +8−68 ×
5 = 281 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 7 + 7 −
5 − 10 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。
28
29
𝑣1 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 1。
由上述(5-1)到(5-6)討論中可得下列的性質 3.5。
性質3.5：當 𝑘 = 5 時，有以下性質，
𝑡(𝑣) = 2 且 𝑁𝐺(𝑣)中有三點度數和 ≤ 13 時，或 𝑡(𝑣) = 3 且 𝑁𝐺(𝑣)中有三點度數和 ≤ 15 時，或 𝑡(𝑣) = 4 且 𝑁𝐺(𝑣)中有三點度數和 ≤ 17 時，或 𝑡(𝑣) = 5 且 𝑁𝐺(𝑣)中有三點度數和 ≤ 19 時
距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且至少縮邊或拔點其中之一不會 增加它的最大度數 ∆。因此若有一度數等於 5 的點 𝑤，且滿足上述的 條件，那麼便可令 𝑣 = 𝑤。
前面我們討論了 𝑘 ≤ 5 的部分，接下來對於 𝑘 ≥ 6 我們將換另一種方式來 說明，因為點 𝑣 的選擇，是在放電完後周圍的邊電荷總和為負者，故一定有其 中一邊為負，我們稱這邊為 𝑣𝑣𝑎，邊的另一頭即稱點 𝑣𝑎。接著我們關心此邊的 電荷，因而得到下面的式子：
0 > 𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥𝑘 − 6
𝑘 +𝑑(𝑣𝑎) − 6
𝑑(𝑣𝑎) + (2 − 𝑡(𝑣𝑣𝑎)) ×8 − 6 4
= 3 −𝑘6−𝑑(𝑣6
𝑎)−12𝑡(𝑣𝑣𝑎)，
加上 𝑘 ≥ 6 以及 0 ≤ 𝑡(𝑣𝑣𝑎) ≤ 2，我們可以求出滿足上述式子k、d(𝑣𝑎)、𝑡(𝑣𝑣𝑎) 的正整數解，且我們以 d(𝑣𝑎) 的值來分類，即是：
30
d(𝑣𝑎) ≤ 2
d(𝑣𝑎) = 3，𝑡(𝑣𝑣𝑎) ≥ 1 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 11 d(𝑣𝑎) = 3，𝑡(𝑣𝑣𝑎) = 2 且 𝑘 ≥ 12 d(𝑣𝑎) = 4，𝑡(𝑣𝑣𝑎) = 2 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 11 d(𝑣𝑎) = 5，𝑡(𝑣𝑣𝑎) = 2 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 7 接下來對於 𝑘 ≥ 6 的討論，我們即以d(𝑣𝑎) 的值來做分類。
(6-1) d(𝑣𝑎) ≤ 2：
由性質3.2 知，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 𝑎。
(6-2) d(𝑣𝑎) = 3，𝑡(𝑣𝑣𝑎) ≥ 1 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 11：
由性質3.3 知，𝑡(𝑣𝑎) = 1 且 𝑁𝐺(𝑣𝑎)中有一 點度數 ≤ 9 時，或 𝑡(𝑣𝑎) = 2 且 𝑁𝐺(𝑣𝑎)中 有一點度數 ≤ 11 時，或 𝑡(𝑣𝑎) = 3 且 𝑁𝐺(𝑣𝑎)中有一點度數 ≤ 13 時，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣∗，則
𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 𝑎不會增加它的最大度數 ∆。因此只剩下 𝑡(𝑣𝑣𝑎) = 1 且 10 ≤ 𝑘 ≤ 11 的情況，且同理 𝑁𝐺(𝑣𝑎) 中其他點度數也需 ≥ 10， 𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥3−63 +
10−6
10 +8−64 +12×10−610 +15＝103 ≥ 0，矛盾。
31
32
33
因此剩下
𝑘 = 6 且 𝑁𝐺(𝑣𝑎) 中其他點度數 ≥ 11， 𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥4−64 +6−66 +12×11−611 × 2 +112 × 3＝12 ≥ 0，矛盾；
𝑘 = 7 且 𝑁𝐺(𝑣𝑎) 中其他點度數 ≥ 10， 𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥4−64 +7−67 +12×10−610 × 2＝703 ≥ 0，矛盾；
𝑘 = 8 且 𝑁𝐺(𝑣𝑎) 中其他點度數 ≥ 9， 𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥4−64 +8−68 +12×9−69 × 2＝
1
12≥ 0，矛盾；
𝑘 = 9 且 𝑁𝐺(𝑣𝑎) 中其他點度數 ≥ 8， 𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥4−64 +9−69 +12×8−68 × 2＝
1
12≥ 0，矛盾；
𝑘 = 10 且 𝑁𝐺(𝑣𝑎) 中其他點度數 ≥ 7， 𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥4−64 +10−610 +12×7−67 × 2＝703 ≥ 0，矛盾；
𝑘 = 11，如圖若 𝑣𝑎+、𝑣𝑎− 中有一點的度數 ≥ 7，則 𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥4−64 +11−611 +
1
2×7−67 ＝ 2
77≥ 0，矛盾；若 𝑣𝑎+、𝑣𝑎− 的度數皆 ≤ 6，根據性質 3.4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣∗，則 𝐻 = 𝐺 𝑣𝑣⁄ 𝑎不會增加它的最大度數 ∆。
(6-5) d(𝑣𝑎) = 5，𝑡(𝑣𝑣𝑎) = 2 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 7：
34
35
36
37
= 5，則剩下的三點度數皆 ≥ 8，𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥5−65 +7−67 +12×8−68 ＝28019 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺(𝑣𝑎)中除了 𝑣 外有一點的度數 = 4，則剩下的三點度數皆 ≥ 9，𝜑(𝑣𝑣𝑎) ≥5−65 +7−67 +12×9−69 ＝ 23
210≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺(𝑣𝑎)中除了 𝑣 外有一點的度數 ≤ 3，同上理由。
綜觀前述(1)~(6-5)的討論內容，我們可知，任何平面圖，用第一階段放電 賦予初始電荷，然後依第二、三階段放電法依序操作下來，因為總電荷都一直 維持−12，所以必存在一點 𝑣，使得在 𝐸(𝑣) 中所有邊的電荷總和是負值，則若 𝑑(𝑣) ≤ 5 時，𝑑2(𝑣) ≤ 2∆ + 4且縮邊或拔點不會增加它的最大度數 ∆；若 𝑑(𝑣) ≥ 6 時，我們轉而關心 𝐸(𝑣) 中一必為負的邊 𝑣𝑣𝑎，且𝑑(𝑣𝑎) ≤ 5，則若不 是矛盾，即是 𝑑2(𝑣𝑎) ≤ 2∆ + 4，且一樣縮邊或拔點不會增加它的最大度數 ∆，
故即證明了定理2.1：若G 是最大度為 Δ 的平面圖，則必存在一點 𝑣∗，𝑑(𝑣∗) ≤ 5，𝑑2(𝑣∗) ≤ 2Δ + 4。