平面圖的平方著色數

全文

(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：郭君逸. 博士. 平面圖的平方著色數 The Chromatic Number of the Square of a Planar Graph. 研究生：王博賢. 中華民國一〇二年八月.

(2) 目錄目錄................................................................................................................................ ii 摘要............................................................................................................................... iii Abstract ......................................................................................................................... iv 一、. 導論................................................................................................................ 1. 二、. 定理 1.2 的證明 ............................................................................................ 3. 三、. 放電法............................................................................................................ 6. 四、. 結論.............................................................................................................. 38. Refernece ..................................................................................................................... 40. ii.

(3) 摘要放電法(Discharging Method)最早在 1977 年，Appel 使用來證明對於任何平面圖𝐺，𝜒(𝐺) ≤ 4 (即四色定理)。而 Heuvel 等人在 1999 年，使用放電法證明了 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 2Δ + 25。在我們這篇論文中，將此上界降低至2Δ + 10，加上涵蓋了前人的一些結果，我們並將這個結果推廣到𝜆(𝐺; 𝑝, 𝑞) ≤ (4𝑞 − 2)Δ + 10𝑝 + 8𝑞 − 9。. 關鍵字：平面圖；著色數；圖的標號；放電法. iii.

(4) Abstract Discharging method was proposed in 1977 by Appel and Haken, he used it to prove that for any planar graph 𝐺, 𝜒(𝐺) ≤ 4, that is well-known 4-Color Theorem. Heuvel et al. used discharging method to prove 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 2Δ + 25 in 1999. In this paper, we reduce this upper bound to 2Δ + 10 and also generalize the result to 𝜆(𝐺; 𝑝, 𝑞) ≤ (4𝑞 − 2)Δ + 10𝑝 + 8𝑞 − 9. Keywords: planar graph; chromatic number; labeling of a graph; discharging. iv.

(5) 平面圖的平方著色數. 一、導論在這篇文章中，𝑉 = 𝑉(𝐺) 和 𝐸＝𝐸(𝐺) 分別表示圖形 𝐺 的所有點和邊所成的集合；𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑢, 𝑣) 表示 𝐺 中的兩點 𝑢 和 𝑣 的距離(distance)，即是連接它們的最短路徑(path)的長度(length)；𝑑(𝑣) 則表示點 𝑣 的度數(degree)；𝐺中最大的度數稱為 ∆(𝐺)或簡稱為 ∆；𝑁𝐺 (𝑣) 為跟點 𝑣 相連的點所成的集合；一個圖的標號(labeling)為一個映射 𝜓：𝑉(𝐺) → {0,1, … , 𝑛} ，若滿足：當 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑢, 𝑣) = 1 , |𝜓(𝑢) − 𝜓(𝑣)| ≥ 𝑝；當 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑢, 𝑣) = 2 , |𝜓(𝑢) − 𝜓(𝑣)| ≥ 𝑞，則稱做 𝐿(𝑝, 𝑞) 標號，其中 𝑛, 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑁，另外，滿足 𝐿(𝑝, 𝑞) 標號中最小的 𝑛，我們稱做 𝜆(𝐺; 𝑝, 𝑞)。舉例來說，求 𝜆(𝐺; 1,0) 就相當於求點著色數 𝜒(𝐺)，若在平面圖中，也就是有名的四色定理（Appel 和 Haken[2], Appel 等人[3], Robertson 等人[11]）。定理 1.1：若 𝐺 是個平面圖，則 𝜒(𝐺) ≤ 4。因為 𝜆(𝐺; 1,0) + 1 = 𝜒(𝐺)，故由上述定理可知 𝜆(𝐺; 1,0) ≤ 3。所以對於一般性的 𝑝，我們可輕易地得到下面這個上界。推論 1.1：若 𝐺 是個平面圖，則 𝜆(𝐺; 𝑝, 0) ≤ 3𝑝。其實上面所說的標號即是 0、𝑝、2𝑝、3𝑝。接著我們來看 𝑞 = 1，要求 𝜆(𝐺; 1,1) 相當於要求 𝐺 2 的著色數，𝐺 2 的定義如下：𝑉(𝐺 2 ) = 𝑉(𝐺)，而兩個點 𝑢 和 𝑣 在 𝐺 2 中是相連的，若且唯若 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑢, 𝑣) ∈ {1,2}。同上我們也可以得到關係式 𝜒(𝐺 2 ) = 𝜆(𝐺; 1,1) + 1。找出平面圖的平方著色數 𝜒(𝐺 2 )的最小上界， Wegner[12]已在 1977 年提出他的猜測。 1.

(6) 平面圖的平方著色數. 猜想 1.1：[Wegner, 1977] 若 𝐺 是最大度數為 Δ 的平面圖，則 ∆ + 5，若 4 ≤ ∆ ≤ 7 𝜒(𝐺 2 ) ≤ { 3 ⌊ ∆⌋ + 1，若 ∆ ≥ 8 2 Wegner 也給了例子去說明這些上界是最小的，且證明當 ∆= 3 時 𝜒(𝐺 2 ) = 8，但他猜測應該 7 色就足夠，更多有關平面圖著色問題的資訊可以在 Jensen 和 Toft 的論文[8]中找到。在看筆者這篇文章最主要的結果之前，我們先來看看其他人用別的方法得到的成果：Jonas[9]在他的博士論文證明了 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 8Δ − 22；這個上界後來被 Wong[13]改良成 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 3Δ + 5；而後 van den Heuvel 和 McGuinness[7]證明了 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 2Δ + 25；對於較大的 Δ，Agnarsson 和 Halldorsson[1]有一個更好 9. 的上界，當 Δ ≥ 749 時，𝜒(𝐺 2 ) ≤ ⌊5 Δ⌋ + 2；接著 Borodin 等人[4][5]將之擴展 9. 成進一步的結果，當 Δ ≥ 47 時，𝜒(𝐺 2 ) ≤ ⌈5 Δ⌉ + 1；幾年前 Molloy 和 5. Salavatipour[10]得到了兩個Δ的係數更小的結果，𝜒(𝐺 2 ) ≤ Δ + 78；以及當 Δ ≥ 3. 5. 241 時 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 3 Δ + 24。此篇論文，主要是改進了 Heuvel 等人的方法，得到下面的結果：定理 1.2：若 𝐺 是最大度數為 Δ 的平面圖，𝑝, 𝑞 ∈ 𝑁 且 𝑝 ≥ 𝑞 則 𝜆(𝐺; 𝑝, 𝑞) ≤ (4𝑞 − 2)Δ + 10𝑝 + 8𝑞 − 9。若我們令 𝑝 = 𝑞 = 1 則會得到：推論 1.2：若 𝐺 是最大度數為 Δ 的平面圖，則 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 2Δ + 10。. 2.

(7) 平面圖的平方著色數. 二、定理 1.2 的證明首先，我們必須先有下面的定理 2.1。定理 2.1：對於任何平面圖 𝐺，必存在一點𝑣 ∗ ，且 𝑑(𝑣 ∗ ) 則表示點 𝑣 ∗ 的度數 (degree)，使得 𝑑(𝑣 ∗ ) ≤ 5，且𝑑2 (𝑣 ∗ ) ≤ 2Δ(𝐺) + 4。而定理 2.1 的證明比較冗長，且需使用到放電法，我們留到下一章再詳細證明。若 𝐺是最大度數為 Δ 的平面圖，距離點 𝑣 為 1 的點最多 Δ 個，而距離為 2 的點最多Δ(Δ − 1)個，如果我們指定一個距離 𝑣 為 1 的點標號為 𝑝，那麼 𝑣 的可用標號則最多會減少 2𝑝 − 1，同理若是指定一個距離 𝑣 為 2 的點標號為 𝑞，那麼 𝑣 的可用標號則最多會減少 2𝑞 − 1。接著我們將藉由對點的個數做數學歸納法，證明定理 1.2。我們先定義兩個符號𝐺 ∗ 𝑣 與𝐺/𝑣𝑣 ′ 。 𝐺 ∗ 𝑣即是將 𝑣 這點從 𝐺 中拔除，此時，若𝑁(𝑣) 中相鄰的兩點，沒有邊相連，在𝐺 ∗ 𝑣就將它連起來。如下圖：. 𝐺/𝑣𝑣′則是將 𝑣𝑣 ′ 這條邊的兩點捏在一起成一點，其中 𝑣′ ∈ 𝑉(𝐺)，在定理 2.1 的證明中將會一直維持下面兩件事至少會有一個成立： (a) Δ(𝐺 ∗ 𝑣) ≤ Δ(𝐺) (b) Δ(𝐺/𝑣𝑣′) ≤ Δ(𝐺) 3.

(8) 平面圖的平方著色數. 而以下的性質則制定了點的度數和距離，在它經過了 𝐺 ∗ 𝑣 和 𝐺/𝑣𝑣 ′ 這兩樣操作後的值。性質 2.2：若 𝐺 是個平面圖，且𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑉 (a)令 𝐻 = 𝐺/𝑣𝑣′，且 𝑢 是 𝐻 中的點，是將 𝑣𝑣 ′ 這條邊的兩點捏在一起所成的那一點，那麼對於任何 𝑤 ∈ 𝑉(𝐻)\{𝑢}，我們會有 𝑑𝐻 (𝑤) ≤ 𝑑𝐺 (𝑤)，以及 𝑑𝐻 (𝑢) = 𝑑𝐺 (𝑣) + 𝑑𝐺 (𝑣′) − 2 − 𝑡𝐺 (𝑣𝑣′)，其中 𝑡𝐺 (𝑣𝑣 ′ )為與邊 𝑣𝑣 ′ 相鄰的三角形個數。 (b)令 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣，對於任何 𝑤 ∈ 𝑉(𝐻)，若 𝑤 ∉ 𝑁𝐺 (𝑣) 則 𝑑𝐻 (𝑤) = 𝑑𝐺 (𝑤)，若 𝑤 ∈ 𝑁𝐺 (𝑣) 則 𝑑𝐻 (𝑤) = 𝑑𝐺 (𝑤) + 1 − 𝑡𝐺 (𝑣𝑣′)。 (c)令 𝐻 = 𝐺/𝑣𝑣′，且 𝑢 是 𝐻 中的點，是將 𝑣𝑣 ′ 這條邊的兩點捏在一起所成的那一點，那麼對於任何 𝑤, 𝑤′ ∈ 𝑉(𝐻)\{𝑢}，我們會有 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐻 (𝑤, 𝑤′) ≤ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑤, 𝑤′)，以及 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐻 (𝑤, 𝑢) ≤ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑤, 𝑣′)。 (d)令 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 且假設 𝑑𝐺 (𝑣) ≤ 5，那麼對於任何 𝑤, 𝑤′ ∈ 𝑉(𝐻)，我們會有 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐻 (𝑤, 𝑤′) ≤ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑤, 𝑤′)。由上知任兩點間的距離，不會受縮邊或拔點而增加；而最大度數 Δ 在縮邊或拔點後亦不增加，即 Δ(𝐻) ≤ Δ(𝐺)（此將於第三章中說明，且這點 𝑣 即是定理 2.1 中的𝑣 ∗ ）。設 n = (4𝑞 − 2)Δ + 10𝑝 + 8𝑞 − 9 且令 𝜑𝐻 ：𝑉(𝐻) → {0,1, … , 𝑛} 為 𝐻 的 𝐿(𝑝, 𝑞) 標號，由性質 2.2 知對於任何 𝑤, 𝑤′ ∈ 𝑉(𝐻)，𝑑𝑖𝑠𝑡𝐻 (𝑤, 𝑤′) ≤ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑤, 𝑤′)，因此，若要找到 𝐺 的𝐿(𝑝, 𝑞) 標號，我們只需要給定 𝑣 一適當的標號，而對於任意 𝑤 ∈ 𝑉(𝐻)，𝜑𝐺 (𝑤) = 𝜑𝐻 (𝑤)，這樣即可把 𝜑𝐻 變成 𝜑G 。在第三章中會說明我們如何選擇 𝑣，使得 𝑑(𝑣) ≤ 5，且𝑑2 (𝑣) ≤ 2Δ(𝐺) + 4，因此既然 n = (4𝑞 − 2)Δ + 10𝑝 + 8𝑞 − 9 = 5(2𝑝 − 1) + (2Δ + 4)(2𝑞 − 1)， 4.

(9) 平面圖的平方著色數. 我們可以選擇一標號 𝜑𝐺 (𝑣) ∈ {0,1, … , 𝑛} 使得當 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑢, 𝑣) = 1 , |𝜑(𝑢) − 𝜑(𝑣)| ≥ 𝑝；當 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑢, 𝑣) = 2 , |𝜑(𝑢) − 𝜑(𝑣)| ≥ 𝑞，選完 𝑣 的標號， 𝜑𝐺 即 𝐺 的𝐿(𝑝, 𝑞) 標號，因此，𝜆(𝐺; 𝑝, 𝑞) ≤ 𝑛 = (4𝑞 − 2)Δ + 10𝑝 + 8𝑞 − 9。  我們可以對點做排序 𝑣1 , … , 𝑣n 藉由以下規則，令 𝐺0 = 𝐺 且 G𝑖 = 𝐺\{𝑣1 , … , 𝑣𝑖 }，對於每個 𝑖 ，我們可以選擇一的點 𝑣𝑖 使得 𝑑𝐺𝑖 (𝑣𝑖 ) ≤ 5，且下列兩者之一成立 (a) Δ(𝐺𝑖−1 ∗ 𝑣𝑖 ) ≤ Δ(𝐺) (b) Δ(𝐺𝑖−1 /𝑒) ≤ Δ(𝐺)，𝑒 為包含 𝑣𝑖 的邊接著從 𝑣𝑛 開始倒著對點賦予標號，在賦予每個點標號時都給予最小的值，因此對每個點來講，被禁止的標號數量最多為 5(2𝑝 − 1) + (2Δ + 4)(2𝑞 − 1) = (4𝑞 − 2)Δ + 10𝑝 + 8𝑞 − 9。. 下一章，主要就是定理 2.1 的證明了。我們證明的流程，分成 1.. Δ(𝐺) ≤ 4，. 2.. Δ(𝐺) = 5，與. 3.. Δ(𝐺) ≥ 6。. 其中Δ(𝐺) ≥ 6是最繁瑣的，因此又分成存在一個點𝑣，用其度數deg(𝑣)的不同來分別討論，而每個情況又依點 𝑣 旁邊有幾個三角形區域(region)個別論述。. 5.

(10) 平面圖的平方著色數. 三、放電法在這個章節，我們將使用放電法(discharging method)來證明定理 2.1，這個方式曾被 Heawood[6]用來證明五色定理，以及後來的 Appel 和 Haken[2]和 Appel 等人[3]及 Robertson 等人[12]用來證明四色定理。令 𝐺 是個簡單連通的平面圖，若 𝑑(𝑣) = 𝑘，則不失一般性假設 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑘 ∈ 𝑁(𝑣) 且𝑑(𝑣1 ) ≤ 𝑑(𝑣2 ) … ≤ 𝑑(𝑣𝑘 )。𝐹 為 𝐺 中的面(face)所成的集合，對於每個 𝑓 ∈ 𝐹 ，𝑑(𝑓) 為這個面的邊數，其中切邊 (cut-edges)會算兩次。𝑡(𝑒) = |{𝑓 ∈ 𝐹 | 𝑑(𝑓) = 3 , 𝑒 ∈ 𝐸(𝑓)}|，𝑡(𝑣) = |{𝑓 ∈ 𝐹 | 𝑑(𝑓) = 3 , 𝑣 ∈ 𝑉(𝑓)}|，如右圖 𝑡(𝑒1 ) = 2，𝑡(𝑒2 ) = 1， 𝑡(𝑒3 ) = 0，𝑡(𝑣) = 3，𝑑(𝑓) = 6。一開始，我們賦予圖中的每個點 𝑣 的電荷 𝜑(𝑣)為 𝜑(𝑣) = 𝑑(𝑣) − 6，每個邊 𝑒 的電荷 𝜑(𝑒) 為 𝜑(𝑒) =0，每個面 𝑓 的電荷 𝜑(𝑓) 為 𝜑(𝑓) = 2𝑑(𝑓) − 6，由尤拉定理知： ∑(𝑑(𝑣) − 6) + ∑(2𝑑(𝑓) − 6) = ∑ 𝑑(𝑣) − 6|𝑉| + 2 ∑ 𝑑(𝑓) − 6|𝐹| 𝑣∈𝑉. 𝑓∈𝐹. 𝑣∈𝑉. 𝑓∈𝐹. = 2|𝐸| − 6|𝑉| + 4|𝐸| − 6|𝐹| = −6(|𝑉| − |𝐸| + |𝐹|) = −12 為一定值，故不管是什麼形式的平面圖，整個圖的總電荷始終維持在定值 −12。接著，我們要分成三步驟，制訂一些電荷移動的方式，稱為「放電」 (discharging)，而且這些放電方式，會繼續維持整個圖的總電荷不變，即 −12： 6.

(11) 平面圖的平方著色數. 第一階段放電：若 𝑒 = 𝑢𝑣，𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉，𝑒 ∈ 𝑓 ∩ 𝑔，𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹，我們把所有點跟面的電荷平均分給跟它們相鄰的邊，並把這個電荷稱 𝜑𝑏 (𝑒)，也就是 𝜑𝑏 (𝑒) = 𝑑(𝑣)−6 𝑑(𝑣). +. 2𝑑(𝑓)−6 𝑑(𝑓). +. 𝑑(𝑢)−6 𝑑(𝑢). +. 2𝑑(𝑔)−6 𝑑(𝑔). ，若 𝑒 只屬於一個 𝑓 ∈ 𝐹，就令 𝑔 = 𝑓。舉例來. 說，若一個面是三角形則它放出的電荷就是 0，若是四邊形則它對每邊放 1. 出的電荷就是 2。. 第二階段放電：對於每個由點 𝑢, 𝑣, 𝑤 構成的三角形面，滿足 3 ≤ 𝑑(𝑢) ≤ 5，且 𝑑(𝑣) ≥ 6， 𝑑(𝑤) ≥ 6，就從 𝑣𝑤 移動. 𝑑(𝑣)−6 2𝑑(𝑣). 到 𝑢𝑤，從 𝑣𝑤 移動. 𝑑(𝑤)−6 2𝑑(𝑤). 到 𝑢𝑣。這個方. 法即是將第一階段放電完保證為正的邊的電荷，轉移給相鄰可能為負的邊，但永遠不使自己轉移完電荷變成負的。. 7.

(12) 平面圖的平方著色數. 第三階段放電：第三階段放電分成很多子案例，但原則跟第二階段放電一樣，把前兩階段放電完後保證為正的邊的電荷，轉移給相鄰且可能為負的邊，但永遠不使自己轉移完電荷變成負的。 (1)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 3，𝑡(𝑢) = 1，𝑑(𝑣′) ≥ 10，𝑡(𝑢𝑣) = 1. 1，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 5 到 𝑢𝑣。. (2)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 2，𝑑(𝑣′) = 5，𝑡(𝑢𝑣) = 3. 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 10 到 𝑢𝑣。. (3)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 2，𝑑(𝑣′) ≥ 6，𝑡(𝑢𝑣) = 1. 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 2 到 𝑢𝑣。. (4)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 3，𝑑(𝑣′) = 7 或 8， 1. 𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 14 到 𝑢𝑣。. 8.

(13) 平面圖的平方著色數. (5)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 3，𝑑(𝑣′) ≥ 9，𝑡(𝑢𝑣) = 1. 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 6 到 𝑢𝑣。. (6)對於 𝑢, 𝑢1 , 𝑢2 . 𝑢3 , 𝑢4 五點，若滿足 𝑑(𝑢) = 4，𝑡(𝑢) = 4，且 𝑑(𝑢1 ) = 6， 2. 𝑑(𝑢2 ) , 𝑑(𝑢3 ) , 𝑑(𝑢4 ) ≥ 11，則從 𝑢𝑢𝑘 移動 11 到 𝑢𝑢1 ，其中 𝑘 = 2,3,4。. (7)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 2，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 3. 4，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 10 到 𝑢𝑣。 (8)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3且如圖三個三角形不全相鄰，𝑑(𝑣) ＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 6，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1， 3. 則從 𝑢𝑣′ 移動 10 到 𝑢𝑣。 (9)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) = 3. 5，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 20 到 𝑢𝑣。. 9.

(14) 平面圖的平方著色數. (10)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 2. 6，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 0，則從 𝑢𝑣′ 移動 5 到 𝑢𝑣。 (11)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3且如圖三個三角形相鄰， 𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) = 6，𝑡(𝑢𝑣) = 2， 3. 𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 20 到 𝑢𝑣。 (12)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 3且如圖三個三角形相鄰， 𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 7，𝑡(𝑢𝑣) = 2， 1. 𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 5 到 𝑢𝑣。. (13)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 4，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) = 1. 6，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 10 到 𝑢𝑣。. (14)對於 𝑢, 𝑣, 𝑣 ′ 三點，𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑁𝐺 (𝑢)，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 4，𝑑(𝑣)＝6 或 7，𝑑(𝑣′) ≥ 1. 7，𝑡(𝑢𝑣) = 2，𝑡(𝑢𝑣′) = 1，則從 𝑢𝑣′ 移動 7 到 𝑢𝑣。. 10.

(15) 平面圖的平方著色數. (15)對於 𝑢, 𝑢1 , 𝑢2 . 𝑢3 , 𝑢4 , 𝑢5 六點，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 5，且 𝑑(𝑢1 ) = 6，𝑑(𝑢2 ) , 𝑑(𝑢3 ) , 𝑑(𝑢4 ), 𝑑(𝑢5 ) ≥ 1. 7，則從 𝑢𝑢𝑘 移動 70 到 𝑢𝑢1 ，其中 𝑘 = 2,3,4,5。. (16)對於 𝑢, 𝑢1 , 𝑢2 . 𝑢3 , 𝑢4 , 𝑢5 六點，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 5，且 𝑑(𝑢1 ) = 𝑑(𝑢2 ) = 6， 𝑑(𝑢3 ) , 𝑑(𝑢4 ), 𝑑(𝑢5 ) ≥ 1. 8，則從 𝑢𝑢𝑘 移動 40 到 𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 ，其中 𝑘 = 3,4,5。. (17)對於 𝑢, 𝑢1 , 𝑢2 . 𝑢3 , 𝑢4 , 𝑢5 六點，若滿足 𝑑(𝑢) = 5，𝑡(𝑢) = 5，且 𝑑(𝑢1 ) = 5，𝑑(𝑢2 ) = 6， 𝑑(𝑢3 ) , 𝑑(𝑢4 ), 𝑑(𝑢5 ) ≥ 9，則從 𝑢𝑢𝑘 2. 移動 15 到 𝑢𝑢2 ，其中 𝑘 = 3,4,5。. 在經過三階段的放電後，在邊 𝑒 上的電荷稱 𝜑(𝑒)，由上面三個放電法的原則，我們可得到以下性質 3.1。. 11.

(16) 平面圖的平方著色數. 性質 3.1：𝐺 是平面圖且 𝐺 中一邊 𝑒 = 𝑢𝑣 (ⅰ)若 𝜑𝑏 (𝑒) < 0，則 𝑑(𝑢) ≤ 5 或 𝑑(𝑣) ≤ 5，且 𝜑(𝑒) ≥ 𝜑𝑏 (𝑒)。 (ⅱ)若 𝜑𝑏 (𝑒) ≥ 0，則 𝜑(𝑒) ≥ 0。證明：若 𝑑(𝑢), 𝑑(𝑣) ≥ 6， 𝜑𝑏 (𝑒) ≥. 6−6 6. +. 6−6 6. = 0 矛盾，且第二三階段放電的原. 則就是把電荷是正的邊，將多餘的電荷轉移到周圍可能為負的邊上，故為負者只會接收電荷而不會移出電荷，電荷值只會變大不會變小，而為正者則是永遠不會為負。因為總電荷始終是定值且是負的，加上放電完電荷都集中在邊上，點和面已無電荷，所以我們一定可以找到一個點 𝑣，在 𝐸(𝑣)中的所有邊的電荷總和是負值，且更甚者 𝐸(𝑣)中至少有一邊的電荷為負，我們令 𝑑(𝑣) = 𝑘；𝑑2 (𝑣) = |{𝑣′ ∈ 𝑉|𝑑𝑖𝑠𝑡𝐺 (𝑣, 𝑣′) = 2}|。接著我們開始定理 2.1 的證明：對於所有的點 𝑣，因 𝑑2 (𝑣) ≤ ∆(∆ − 1)，因此若 ∆≤ 4，則 𝑑2 (𝑣) ≤ ∆(∆ − 1) ≤ 2∆ + 4。如下頁圖，若 ∆= 5，且存在一點 𝑣，滿足 𝑑(𝑣) ≤ 3，則 𝑑2 (𝑣) ≤ 3(5 − 1) ≤ 2 × 5 + 4。因此剩下度數皆為 4 或 5 所組成的圖，由上面的討論知道可以找到一個點 𝑣，在 𝐸(𝑣)中的所有邊的電荷總和是負值，且𝐸(𝑣)中必存在一邊 𝑒 電荷為負，若此邊的一端 𝑢 度數為 4，則 𝑡(𝑒) ≥ 1，因此 𝑑2 (𝑢) ≤ 5 × 4 − 4 − 2 ≤ 2 × 5 + 4。若此負邊兩端 𝑤𝑤′皆為 5，且𝐸(𝑤)中的所有邊的電荷總和是負值，那麼當𝑁(𝑤)中除了𝑤 ′ 外其餘度數皆為 4 時，𝑡(𝑤) ≥ 2， 𝑑2 (𝑤) ≤ 5 + 4 × 4 − 5 − 4 ≤ 2 × 5 + 4；當𝑁(𝑤)中除了𝑤 ′ 外其餘度數有 4 也有 5 時，𝑡(𝑤) ≥ 3， 𝑑2 (𝑤) ≤ 5 × 4 + 4 − 5 − 6 ≤ 2 × 5 + 4；當𝑁(𝑤)中除了𝑤 ′ 外其餘度數皆為 5 時，𝑡(𝑢) ≥ 4， 𝑑2 (𝑤) ≤ 5 × 5 − 5 − 8 ≤ 2 × 5 + 4。 12.

(17) 平面圖的平方著色數. 對於 ∆≥ 6，接著將會有一段繁瑣的過程去證明，我們的作法是依序根據 𝑘 的不同值，使用反證法假設與 𝑣 相連的邊電荷總和為正，去求 𝑁(𝑣)中各點度數的上界，進而求出 𝑑2 (𝑣) ≤ 2∆ + 4 ，接著由前述的縮邊及拔點的方法，我們將會得到一個新的圖 𝐻，並且使得 ∆(𝐻) ≤ ∆(𝐺)。 (1) 𝑘 = 1： 𝑑(𝑣1 ) 沒限制，即為 ∆，因此 𝑑2 = ∆ − 1，且 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 或 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 1 − 2，∆ − 1，∆} = ∆。 (2-1) 𝑘 = 2，𝑡(𝑣) = 0： 𝑑(𝑣1 )、𝑑(𝑣2 ) 沒限制，都取為 ∆，則 𝑑2 = 2∆ − 2，因此 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 或 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時， ∆(𝐻) ≤ max{∆ + 2 − 2，∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 (2-2) 𝑘 = 2，𝑡(𝑣) = 1： 𝑑(𝑣1 )、𝑑(𝑣2 ) 沒限制，都取為 ∆，因此 𝑑2 = 2∆ − 2 − 2＝2∆ − 4，且 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 或 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 2 − 2 − 1，∆ − 1，∆} = ∆。 13.

(18) 平面圖的平方著色數. 由上述(1)到(2-2)討論中可得下列的性質 3.2。性質 3.2：當 k ≤ 2 時，不管在 𝑁𝐺 (𝑣) 的點度數是多少，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且至少縮邊或拔點其中之一不會增加它的最大度數 ∆，因此若有一度數小於等於 2 的點 𝑤，那麼便可直接令 𝑣 = 𝑤。. (3-1) 𝑘 = 3，𝑡(𝑣) = 0：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (3 − 6) +. 6−6 6. ×3+3=. 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤ 5，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 − 3 = 2∆ + 2，且 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 時，∆(𝐻) ≤ max{3 + 5 − 2，∆} = max{6，∆}，因為縮邊或拔點必須保證最大度數不變大，故 ∆≥ 6，這即是我們定 6 為界的原因。 (3-2) 𝑘 = 3，𝑡(𝑣) = 1：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (3 − 6) + 8−6 2×8. 8−6 8. ×3+. × 2 + 2 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤ 7，因此. 𝑑2 = 2∆ + 7 − 3 − 2 = 2∆ + 2，且 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑒 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 3 − 2 − 1，∆} = ∆。 (3-3) 𝑘 = 3，𝑡(𝑣) = 2：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 10，則 𝜑(𝑣) ≥ (3 − 6) +. 10−6 10. ×. 10−6. 3 + 2×10 × 4 + 1 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤ 9，因此 𝑑2 = 2∆ + 9 − 3 − 4 = 2∆ + 2，且 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑒 或 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 3 − 2 − 2，∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 14.

(19) 平面圖的平方著色數. (3-4) 𝑘 = 3，𝑡(𝑣) = 3：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 12，則 𝜑(𝑣) ≥ (3 − 6) +. 12−6 12. ×. 12−6. 3 + 2×12 × 6 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤ 11，因此 𝑑2 = 2∆ + 11 − 3 − 6 = 2∆ + 2，且 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑒 或 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 3 − 2 − 2，∆ − 1，∆} = ∆。. 由上述(3-1)到(3-4)討論中可得下列的性質 3.3。性質 3.3：當 𝑘 = 3 時，有以下性質， 𝑡(𝑣) = 0 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有一點度數 ≤ 5 時，或 𝑡(𝑣) = 1 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有一點度數 ≤ 9 時，或 𝑡(𝑣) = 2 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有一點度數 ≤ 11 時，或 𝑡(𝑣) = 3 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有一點度數 ≤ 13 時，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且至少縮邊或拔點其中之一不會增加它的最大度數 ∆。因此若有一度數等於 3 的點 𝑤，且滿足上述的條件，那麼便可令 𝑣 = 𝑤。. (4-1) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 0：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 4，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +. 4−6 4. ×4+4=0 ≥. 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤ 3，接著藉由性質 3.2 和 3.3， k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。 15.

(20) 平面圖的平方著色數. (4-2) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 1：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +. 5−6 5. 1. × 4 + 3 = 5 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤. 4， ①𝑑(𝑣1 ) = 4：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +. 4−6 4. +. 6−6 6. ×. 1. 3 + 3 = 2 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 5，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 5 − 4 − 2 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 時，∆(𝐻) ≤ max{4 + 4 − 2，∆} = max{6，∆}。 ②𝑑(𝑣1 ) ≤ 3：由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. (4-3) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 2：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +. 6−6 6. 6−6. × 4 + 2×6 × 4 + 2 = 0 ≥ 0，矛盾，. 故 𝑑(𝑣1 ) ≤ 5， ①𝑑(𝑣1 ) = 5：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +. 5−6 5. +. 7−6 7. 8. × 3 + 2 = 35 ≥. 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 6，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 6 − 4 − 4 = 2∆ + 3，且若兩三角形為相鄰時 𝐻 = 𝐺 ⁄e，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 4 − 2 − 2，∆} = ∆；若兩三角形為分離時 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 16.

(21) 平面圖的平方著色數. ②𝑑(𝑣1 ) = 4：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) + 1 4. 4−6 4. +. 8−6 8. ×3+2=. ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 7，. 因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 7 − 4 − 4 = 2∆ + 3，且若兩三角形為相鄰時 𝐻 = 𝐺 ⁄e，∆(𝐻) ≤ max{∆ + 4 − 2 − 2，∆} = ∆；若兩三角形為分離時 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ③𝑑(𝑣1 ) ≤ 3：由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. (4-4) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 3：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +. 7−6 7. 7−6. × 4 + 2×7 × 6 + 1 = 0 ≥ 0，矛盾，. 故 𝑑(𝑣1 ) ≤ 6， ①𝑑(𝑣1 ) = 6：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) + 8−6 2×8. 6−6 6. +. 8−6 8. ×3+. 1. × 4 + 1 = 4 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 7，因此. 𝑑2 = 2∆ + 6 + 7 − 4 − 6 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ②𝑑(𝑣1 ) = 5：. 17.

(22) 平面圖的平方著色數. 若𝑑(𝑣2 ) ≥ 9，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) + 9−6. 5−6 5. +. 9−6 9. ×. 2. 3 + 2×9 × 2 + 1 = 15 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 8，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 8 − 4 − 6 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ③𝑑(𝑣1 ) = 4：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 10，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) + 10−6. 4−6 4. +. 10−6 10. ×. 1. 3 + 2×10 × 2 + 1 = 10 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 9，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 9 − 4 − 6 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ④𝑑(𝑣1 ) ≤ 3：由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. (4-5) 𝑘 = 4，𝑡(𝑣) = 4：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +. 8−6 8. 8−6. × 4 + 2×8 × 8 = 0 ≥ 0，矛盾，故. 𝑑(𝑣1 ) ≤ 7， ①𝑑(𝑣1 ) = 7：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 9，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) + 7−6. 9−6. 7−6 7. +. 9−6 9. ×3+. 2. × 2 + 2×9 × 6 = 7 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 8， 2×7 因此 𝑑2 = 2∆ + 7 + 8 − 4 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 18.

(23) 平面圖的平方著色數. 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ②𝑑(𝑣1 ) = 6：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 9，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) + 6−6. 6−6 6. +. 9−6 9. ×. 9−6. 3 + 2×6 × 2 + 2×9 × 6 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 8，因此 𝑑2 = 2∆ + 6 + 8 − 4 − 8 = 2∆ + 2，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ③𝑑(𝑣1 ) = 5：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 11，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) + 11−6. 5−6 5. +. 11−6 11. ×. 4. 3 + 2×11 × 4 = 55 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 10，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 10 − 4 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ④𝑑(𝑣1 ) = 4：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 12，則 𝜑(𝑣) ≥ (4 − 6) +. 4−6 4. +. 12−6 12. ×. 12−6. 3 + 2×12 × 4 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 11，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 11 − 4 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ⑤𝑑(𝑣1 ) ≤ 3：由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. 19.

(24) 平面圖的平方著色數. 由上述(4-1)到(4-5)討論中可得下列的性質 3.4。性質 3.4：當 𝑘 = 4 時，有以下性質， 𝑡(𝑣) = 2 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有兩點度數和 ≤ 12 時，或 𝑡(𝑣) = 3 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有兩點度數和 ≤ 14 時，或 𝑡(𝑣) = 4 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有兩點度數和 ≤ 16 時距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且至少縮邊或拔點其中之一不會增加它的最大度數 ∆。因此若有一度數等於 4 的點 𝑤，且滿足上述的條件，那麼便可令 𝑣 = 𝑤。. (5-1) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 0：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 4，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 3 2. 4−6 4. ×5+5 =. ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤ 3，接著藉由性質 3.2 和. 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. (5-2) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 1：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 4，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 1 2. 4−6 4. ×5+4 =. ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤ 3，接著藉由性質 3.2 和. 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. 20.

(25) 平面圖的平方著色數. (5-3) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 2：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 5−6 5. × 5 + 3 = 1 ≥ 0，矛盾，故. 𝑑(𝑣1 ) ≤ 4， ① 𝑑(𝑣1 ) = 4：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 4−6 4. +. 5−6 5. 7. × 4 + 3 = 10 ≥ 0，矛盾，. 故 𝑑(𝑣2 ) ≤ 4， (ⅰ) 𝑑(𝑣2 ) = 4：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 4−6 4. ×2+. 5−6 5. 2. × 3 + 3 = 5 ≥ 0，矛. 盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 4，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 4 + 4 − 5 − 4 = 2∆ + 3，因為 𝑣1 、𝑣2 、𝑣3 三點度數皆小於等於 4，且 𝑡(𝑣) = 2，故𝑣1 、𝑣2 、𝑣3 中一定有 𝑡(𝑣𝑣𝑖 ) ≥ 1 ，其中 𝑖 ∈ {1，2，3}，令此 𝑣𝑣𝑖 為 𝑒， 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑒 ，∆(𝐻) ≤ max{5 + 4 − 2 − 1，∆} = max{6， ∆} = ∆。 ② 𝑑(𝑣1 ) ≤ 3：由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. 21.

(26) 平面圖的平方著色數. (5-4) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 3：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 5，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 5−6 5. × 5 + 2 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤. 4， ①𝑑(𝑣1 ) = 4：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 4−6 4. +. 6−6 6. 1. × 4 + 2 = 2 ≥ 0，矛盾，故. 𝑑(𝑣2 ) ≤ 5， (ⅰ) 𝑑(𝑣2 ) = 5：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 4−6 4. +. 5−6 5. +. 6−6 6. 3. × 3 + 2 = 10 ≥. 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 5，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 5 + 5 − 5 − 6 = 2∆ + 3，且若 t(𝑣𝑣1 ) = 0 時， 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣，∆(𝐻) ≤ max{4 − 1 + 2，∆} = max{5，∆} = ∆；若 t(𝑣𝑣1 ) ≥ 1時， 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 ，∆(𝐻) ≤ max{5 + 4 − 2 − 1，∆} = max{6，∆} = ∆。. 22.

(27) 平面圖的平方著色數. (ⅱ) 𝑑(𝑣2 ) = 4：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 2+. 6−6 6. 4−6 4. ×. × 3 + 2 = 0 ≥ 0，矛盾，故. 𝑑(𝑣3 ) ≤ 5，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 4 + 5 − 5 − 6 = 2∆ + 2，因為 𝑣1 、𝑣2 兩點度數皆小於等於 4，且 𝑡(𝑣) = 3，故𝑣1 、𝑣2 中一定有 𝑡(𝑣𝑣𝑖 ) ≥ 1 ，其中 𝑖 ∈ {1，2}，令 𝑣𝑣𝑖 為 𝑒， 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑒 ，∆(𝐻) ≤ max{5 + 4 − 2 − 1，∆} = max{6，∆} = ∆。 ②𝑑(𝑣1 ) ≤ 3：由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. (5-5) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 4：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 6，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 6−6 6. × 5 + 1 = 0 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤. 5， ① 𝑑(𝑣1 ) = 5：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 𝑑(𝑣2 ) ≤ 6，. 23. 5−6 5. +. 7−6 7. 13. × 4 + 1 = 20 ≥ 0，矛盾，故.

(28) 平面圖的平方著色數. (ⅰ) 𝑑(𝑣2 ) = 6：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 5−6 5. +. 6−6 6. +. 7−6 7. 8. × 3 + 1 = 35 ≥ 0，矛. 盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 6，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 6 + 6 − 5 − 8 = 2∆ + 4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 (ⅱ) 𝑑(𝑣2 ) = 5：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 5−6 5. ×2+. 7−6 7. 1. × 3 + 1 = 35 ≥ 0，矛. 盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 6，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 5 + 6 − 5 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ②𝑑(𝑣1 ) = 4：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 4−6 4. +. 7−6 7. 𝑑(𝑣2 ) ≤ 6， (ⅰ) 𝑑(𝑣2 ) = 6：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 4−6 4. +. 6−6 6. +. 8−6 8. 1. × 3 + 1 = 4 ≥ 0，矛. 盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 6 + 7 − 5 − 8 = 2∆ + 4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。. 24. 1. × 4 + 1 = 14 ≥ 0，矛盾，故.

(29) 平面圖的平方著色數. (ⅱ) 𝑑(𝑣2 ) = 5：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 4−6 4. +. 5−6 5. +. 8−6 8. 1. × 3 + 1 = 20 ≥ 0，矛. 盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 5 + 7 − 5 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 (ⅲ) 𝑑(𝑣2 ) = 4：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 9，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 4−6 4. ×2+. 9−6 9. × 3 + 1 = 0 ≥ 0，矛盾，. 故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 8，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 4 + 8 − 5 − 8 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時， ∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1 + 1，∆} = ∆。 ③𝑑(𝑣1 ) ≤ 3：由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. (5-6) 𝑘 = 5，𝑡(𝑣) = 5：若 𝑑(𝑣1 ) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 7−6 7. 3. × 10 = 7 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣1 ) ≤. 6， ①𝑑(𝑣1 ) = 6：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 7，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 25. 6−6 6. ×2+. 7−6 7. 1. × 8 = 7 ≥ 0，矛盾，故.

(30) 平面圖的平方著色數. 𝑑(𝑣2 ) ≤ 6， (ⅰ) 𝑑(𝑣2 ) = 6：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 6−6 6. ×4+. 8−6 8. 1. × 6 = 2 ≥ 0，. 矛盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 6 + 6 + 7 − 5 − 10 = 2∆ + 4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。 ②𝑑(𝑣1 ) = 5：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 5−6 5. +. 8−6 8. 11. × 7 = 20 ≥ 0，矛盾，故. 𝑑(𝑣2 ) ≤ 7， (ⅰ) 𝑑(𝑣2 ) = 7：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 47 140. 5−6 5. +. 7−6 7. ×2+. 8−6 8. ×5=. ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 7，. 因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 7 + 7 − 5 − 10 = 2∆ + 4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。 (ⅱ) 𝑑(𝑣2 ) = 6：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 5−6 5. +. 6−6 6. ×2+. 8−6 8. ×. 1. 5 = 20 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 6 + 7 − 26.

(31) 平面圖的平方著色數. 5 − 10 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。 (ⅲ) 𝑑(𝑣2 ) = 5：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 10，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 1 5. 5−6 5. ×2+. 10−6 10. ×4=. ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 9，因. 此 𝑑2 = 2∆ + 5 + 5 + 9 − 5 − 10 = 2∆ + 4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。. ② 𝑑(𝑣1 ) = 4：若𝑑(𝑣2 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 4−6 4. +. 8−6 8. 1. × 7 = 4 ≥ 0，矛盾，故. 𝑑(𝑣2 ) ≤ 7， (ⅰ) 𝑑(𝑣2 ) = 7：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 8，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 4−6 4. +. 7−6 7. ×2+. 8−6 8. ×. 1. 5 = 28 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 7，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 7 + 7 − 5 − 10 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。. 27.

(32) 平面圖的平方著色數. (ⅱ) 𝑑(𝑣2 ) = 6：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 9，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) +. 4−6 4. +. 6−6 6. ×2+. 9−6 9. ×. 1. 5 = 6 ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 8，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 6 + 8 − 5 − 10 = 2∆ + 3，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。 (ⅲ) 𝑑(𝑣2 ) = 5：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 11，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 13 110. 4−6 4. +. 5−6 5. +. 11−6 11. ×4=. ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤. 10，因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 5 + 10 − 5 − 10 = 2∆ + 4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。 (ⅳ) 𝑑(𝑣2 ) = 4：若𝑑(𝑣3 ) ≥ 12，則 𝜑(𝑣) ≥ (5 − 6) + 1 2. 4−6 4. ×2+. 12−6 12. ×4=. ≥ 0，矛盾，故 𝑑(𝑣3 ) ≤ 11，. 因此 𝑑2 = 2∆ + 4 + 4 + 11 − 5 − 10 = 2∆ + 4，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣 時，∆(𝐻) ≤ max{∆ − 1，∆} = ∆。 ④𝑑(𝑣1 ) ≤ 3：由性質 3.2 和 3.3，k ≤ 5，距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，故可令 28.

(33) 平面圖的平方著色數. 𝑣1 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣1 。. 由上述(5-1)到(5-6)討論中可得下列的性質 3.5。性質 3.5：當 𝑘 = 5 時，有以下性質， 𝑡(𝑣) = 2 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有三點度數和 ≤ 13 時，或 𝑡(𝑣) = 3 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有三點度數和 ≤ 15 時，或 𝑡(𝑣) = 4 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有三點度數和 ≤ 17 時，或 𝑡(𝑣) = 5 且 𝑁𝐺 (𝑣)中有三點度數和 ≤ 19 時距離 𝑣 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且至少縮邊或拔點其中之一不會增加它的最大度數 ∆。因此若有一度數等於 5 的點 𝑤，且滿足上述的條件，那麼便可令 𝑣 = 𝑤。. 前面我們討論了 𝑘 ≤ 5 的部分，接下來對於 𝑘 ≥ 6 我們將換另一種方式來說明，因為點 𝑣 的選擇，是在放電完後周圍的邊電荷總和為負者，故一定有其中一邊為負，我們稱這邊為 𝑣𝑣𝑎 ，邊的另一頭即稱點 𝑣𝑎 。接著我們關心此邊的電荷，因而得到下面的式子： 0 > 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 𝑘 − 6 𝑑(𝑣𝑎 ) − 6 8−6 + + (2 − 𝑡(𝑣𝑣𝑎 )) × 𝑘 𝑑(𝑣𝑎 ) 4 6. 6. 1. = 3 − 𝑘 − 𝑑(𝑣 ) − 2 𝑡(𝑣𝑣𝑎 )， 𝑎. 加上 𝑘 ≥ 6 以及 0 ≤ 𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) ≤ 2，我們可以求出滿足上述式子k、d(𝑣𝑎 )、𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) 的正整數解，且我們以 d(𝑣𝑎 ) 的值來分類，即是：. 29.

(34) 平面圖的平方著色數. d(𝑣𝑎 ) ≤ 2 d(𝑣𝑎 ) = 3，𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 1 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 11 d(𝑣𝑎 ) = 3，𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) = 2 且 𝑘 ≥ 12 d(𝑣𝑎 ) = 4，𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) = 2 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 11 d(𝑣𝑎 ) = 5，𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) = 2 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 7 接下來對於 𝑘 ≥ 6 的討論，我們即以d(𝑣𝑎 ) 的值來做分類。. (6-1) d(𝑣𝑎 ) ≤ 2：由性質 3.2 知，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣𝑎 。. (6-2) d(𝑣𝑎 ) = 3，𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 1 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 11：由性質 3.3 知，𝑡(𝑣𝑎 ) = 1 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有一點度數 ≤ 9 時，或 𝑡(𝑣𝑎 ) = 2 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有一點度數 ≤ 11 時，或 𝑡(𝑣𝑎 ) = 3 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有一點度數 ≤ 13 時，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆。因此只剩下 𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) = 1 且 10 ≤ 𝑘 ≤ 11 的情況，且同理 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數也需 ≥ 10， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 10−6 10. +. 8−6 4. 1. +2×. 10−6 10. 1. 3. + 5 ＝ 10 ≥ 0，矛盾。. 30. 3−6 3. +.

(35) 平面圖的平方著色數. (6-3) d(𝑣𝑎 ) = 3，𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) = 2 且 𝑘 ≥ 12：跟上述相同的原因，由性質 3.3 知只剩下 𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) = 2 且 𝑘 ≥ 12 的情況，且同理 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數也需 ≥ 12， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 3−6 3. +. 12−6 12. 1. +2×. 12−6 12. × 2＝0 ≥. 0，矛盾。. (6-4) d(𝑣𝑎 ) = 4，𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) = 2 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 11： ①𝑡(𝑣𝑎 ) = 2：由性質 3.4 知，𝑡(𝑣𝑎 ) = 2 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有兩點度數和 ≤ 12 時，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆。因此剩下 𝑘 = 6 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 7， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 1 2. 2. 4. +. 6−6. +. 7−6. +. 8−6. 6. +2×. 1. 7−6. 1. 6−6. 7. ×2+. 1. ＝ 7 ≥ 0，矛盾；. 𝑘 = 7 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 6， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 1. 4−6. 4−6 4. 7. +2×. 6. ×2+. 1. ＝ 7 ≥ 0，矛盾；. 𝑘 = 8 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 5， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 4−6 4. 8. 3. 1. + 10 ＝ 20 ≥ 0，. 矛盾； 9 ≤ 𝑘 ≤ 11，我們先令 𝑢 為 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中使得 𝑡(u𝑣𝑎 ) = 0 的點，若 𝑑(𝑢) ≥ 5，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 4−6 4. +. 9−6 9. 3. 2. + 10 ＝ 15 ≥ 0，矛盾；若 𝑑(𝑢) ≤ 4，因性質 3.4，. 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數需 ≥ 9，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 31. 4−6 4. +. 9−6 9. 1. +2×. 9−6 9. 1. × 2＝ 6 ≥ 0，.

(36) 平面圖的平方著色數. 矛盾。 ②𝑡(𝑣𝑎 ) = 3：由性質 3.4 知，𝑡(𝑣𝑎 ) = 2 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有兩點度數和 ≤ 14 時，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆。因此剩下 𝑘 = 6 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 9， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 1. 4−6 4. +. 6−6. +. 7−6. +. 8−6. 6. +2×. 1. 9−6. +2×. 1. 8−6. 1. 7−6. 9. ×2+. 1. × 2＝ 6 ≥ 0，矛盾；. 6. 𝑘 = 7 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 8， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 1 14. 1. 4. 7. 8. ×2+. 1. × 2＝ 28 ≥ 0，矛盾；. 𝑘 = 8 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 7， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 14. 4−6. 4−6 4. 8. +2×. 7. ×2+. 1. × 2＝ 28 ≥ 0，矛盾；. 9 ≤ 𝑘 ≤ 11，若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 ≥ 9，則 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 4−6 4. +. 9−6 9. 1. + 6 ＝0 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外全部點的度數 ≤ 8，. 加上性質 3.4， 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外三點的度數數對只剩 (8,8,8) 和 (8,8,7) ，則 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 4−6 4. +. 9−6 9. 1. +2×. 8−6 8. 矛盾。 ③𝑡(𝑣𝑎 ) = 4：由性質 3.4 知，𝑡(𝑣𝑎 ) = 2 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有兩點度數和 ≤ 16 時，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆。 32. 1. +2×. 7−6 7. 1. 1. 29. + 14 + 14 ＝ 168 ≥ 0，.

(37) 平面圖的平方著色數. 因此剩下 𝑘 = 6 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 11， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 2. 4−6 4. +. 6−6. +. 7−6. 6. +2×. 1. 11−6. 1. 10−6. 11. ×. 1. 2 + 11 × 3＝ 2 ≥ 0，矛盾； 𝑘 = 7 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 10， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 4−6 4. 7. +2×. 10. ×. 3. 2＝ 70 ≥ 0，矛盾； 𝑘 = 8 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 9， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 1 12. 1. 4. +. 8−6. +. 9−6. 8. +2×. 1. 9−6. 1. 8−6. 9. × 2＝. ≥ 0，矛盾；. 𝑘 = 9 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 8， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 12. 4−6. 4−6 4. 9. +2×. 8. × 2＝. ≥ 0，矛盾；. 𝑘 = 10 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中其他點度數 ≥ 7， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 4−6 4. +. 10−6 10. 1. +2×. 7−6 7. ×. 3. 2＝ 70 ≥ 0，矛盾； 𝑘 = 11，如圖若 𝑣𝑎+ 、𝑣𝑎− 中有一點的度數 ≥ 7，則 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 1 2. ×. 7−6 7. 2. 4−6 4. +. 11−6 11. +. ＝ 77 ≥ 0，矛盾；若 𝑣𝑎+ 、𝑣𝑎− 的度數皆 ≤ 6，根據性質 3.4，可令. 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ⁄𝑣𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆。. (6-5) d(𝑣𝑎 ) = 5，𝑡(𝑣𝑣𝑎 ) = 2 且 6 ≤ 𝑘 ≤ 7：. 33.

(38) 平面圖的平方著色數. ①𝑡(𝑣𝑎 ) = 2：令 𝑢1 、𝑢2 為 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中使得 𝑡(u𝑣𝑎 ) = 0 的點，若 𝑑(𝑢1 ) 或 𝑑(𝑢2 ) ≥ 4，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 5−6 5. +. 6−6 6. 3. 1. + 10 ＝ 10 ≥ 0，矛盾；若. 𝑑(𝑢1 ) 和 𝑑(𝑢2 ) ≤ 3，因性質 3.5， 𝑡(𝑣𝑎 ) = 2 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有三點度數和 ≤ 13，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆。 ②𝑡(𝑣𝑎 ) = 3： (ⅰ)如圖，若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 ≥ 6，則 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 6−6 6. 3. 1. + 10 ＝ 10 ≥ 0，矛. 盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外所有點的度數 ≥ 5，因性質 3.5，𝑡(𝑣𝑎 ) = 3 且 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有三點度數和 ≤ 15，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，且 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆。 (ⅱ)如圖，若 𝑑(𝑢) ≥ 6，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 2. 5−6 5. +. 6−6 6. +. 1. ＝ 5 ≥ 0，矛盾；若 𝑑(𝑢1 ) 或 𝑑(𝑣𝑎+ ) ≥ 7， 5 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 6−6 6. 1. + 5 ＝0 ≥ 0，矛盾；由性. 質 3.2、3.3 知，𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ) 中若有點度數 ≤ 3，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且縮邊或拔點其中之一不會增加它的最大度數 ∆。因此只剩下 4 ≤ 𝑑(𝑢) ≤ 5 且 4 ≤ 𝑑(𝑢1 )、𝑑(𝑣𝑎+ ) ≤ 6，若 (𝑑(𝑢)、𝑑(𝑢1 )、𝑑(𝑣𝑎+ )) 所成的數對 ( 𝑑(𝑢1 )、𝑑(𝑣𝑎+ )視作不排序 )為 (5,6,6) 、 (5,6,5) 和 (4,6,6)，則 34.

(39) 平面圖的平方著色數. 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 6−6 6. +. 3 20. +. 3 20. ＝. 1 10. ≥ 0，矛盾；其餘的則因性質 3.5，. 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有三點度數和 ≤ 15 ，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且拔 𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆，𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣𝑎 。 ③𝑡(𝑣𝑎 ) = 4：由性質 3.5 知，𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有三點度數和 ≤ 17 時，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆。 (ⅰ) k = 6：若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外所有點的度數 ≥ 7，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 6−6 6. 1. +2×. 7−6 7. 1. 5−6 5. +. 8. × 2 + 7 × 2＝ 35 ≥ 0，矛盾，因此必存在一點度數 ≤ 6；若. 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 = 6，則剩下的三點度數皆 ≥ 6， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 6−6 6. 1. 1. + 10 + 10 ＝0 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一. 點的度數 = 5，則剩下的三點度數皆 ≥ 7，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 7−6 7. 1. 5−6 5. +. 6−6 6. 1. +2×. 1. + 7 ＝ 70 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 = 4，則剩. 下的三點度數皆 ≥ 8，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 6−6 6. 1. +2×. 8−6 8. 1. 19. + 7 ＝ 280 ≥ 0，矛. 盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 ≤ 3，由性質 3.2、3.3 知，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，且縮邊或拔點其中之一不會增加它的最大度數 ∆。 (ⅱ) k = 7：若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外所有點的度數 ≥ 6，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 7−6 7. 1. 7. 5. +. 1. + 10 × 2＝ 7 ≥ 0，矛盾，因此必存在一點度數 ≤ 5；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了. 𝑣 外有一點的度數 = 5，則剩下的三點度數皆 ≥ 6，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 7−6. 5−6. 1. 3. 5−6 5. +. + 10 ＝ 70 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 = 4，則剩 35.

(40) 平面圖的平方著色數. 下的三點度數皆 ≥ 7，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 7−6 7. 1. 7−6. 2. 7. + ×. +. 1 60. 1. 11. 7. 70. + ＝. ≥ 0，. 矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 ≤ 3，同上理由。 ④𝑡(𝑣𝑎 ) = 5：由性質 3.5 知，𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中有三點度數和 ≤ 19 時，距離 𝑣𝑎 是 2 的點個數恆 ≤ 2∆ + 4，可令 𝑣𝑎 = 𝑣 ∗ ，則 𝐻 = 𝐺 ∗ 𝑣𝑎 不會增加它的最大度數 ∆。 (ⅰ) k = 6：若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外所有點的度數 ≥ 8，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 6−6 6. 1. +2×. 8−6 8. 1. 5−6 5. +. 3. × 2 + 70 × 4＝ 28 ≥ 0，矛盾，因此必存在一點度數 ≤ 7；若. 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 = 7，則剩下的三點度數皆 ≥ 7， 𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 6−6 6. 1. +2×. 7−6 7. 1. × 2 + 70 × 4＝0 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除. 了 𝑣 外有一點的度數 = 6，則剩下的三點度數皆 ≥ 8，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 6−6 6. 1. +2×. 8−6 8. 30. 5. +. 1. + 40 × 3＝0 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數. = 5，則剩下的三點度數皆 ≥ 9，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 11. 5−6. 5−6 5. +. 6−6 6. 1. +2×. 9−6 9. 2. + 15 × 3＝. ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 = 4，則剩下的三點度. 數皆 ≥ 10，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 6−6 6. 1. +2×. 10−6 10. ＝0 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中. 除了 𝑣 外有一點的度數 ≤ 3，同上理由。 (ⅱ) k = 7：若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外所有點的度數 ≥ 7，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 7−6 7. 1. +2×. 7−6 7. 5−6 5. +. 67. × 2＝ 840 ≥ 0，矛盾，因此必存在一點度數 ≤ 6；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 ). 中除了 𝑣 外有一點的度數 = 6，則剩下的三點度數皆 ≥ 7，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥ 5−6 5. +. 7−6 7. 1. +2×. 7−6 7. 1. ＝ 120 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 36.

(41) 平面圖的平方著色數. = 5，則剩下的三點度數皆 ≥ 8，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 7−6 7. 1. 8−6. 2. 8. + ×. ＝. 19 280. ≥. 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣 外有一點的度數 = 4，則剩下的三點度數皆 ≥ 9，𝜑(𝑣𝑣𝑎 ) ≥. 5−6 5. +. 7−6 7. 1. +2×. 9−6 9. 23. ＝ 210 ≥ 0，矛盾；若 𝑁𝐺 (𝑣𝑎 )中除了 𝑣. 外有一點的度數 ≤ 3，同上理由。. 綜觀前述(1)~(6-5)的討論內容，我們可知，任何平面圖，用第一階段放電賦予初始電荷，然後依第二、三階段放電法依序操作下來，因為總電荷都一直維持−12，所以必存在一點 𝑣，使得在 𝐸(𝑣) 中所有邊的電荷總和是負值，則若 𝑑(𝑣) ≤ 5 時，𝑑2 (𝑣) ≤ 2∆ + 4且縮邊或拔點不會增加它的最大度數 ∆；若 𝑑(𝑣) ≥ 6 時，我們轉而關心 𝐸(𝑣) 中一必為負的邊 𝑣𝑣𝑎 ，且𝑑(𝑣𝑎 ) ≤ 5，則若不是矛盾，即是 𝑑2 (𝑣𝑎 ) ≤ 2∆ + 4，且一樣縮邊或拔點不會增加它的最大度數 ∆，故即證明了定理 2.1：若 G 是最大度為 Δ 的平面圖，則必存在一點 𝑣 ∗ ，𝑑(𝑣 ∗ ) ≤ 5，𝑑2 (𝑣 ∗ ) ≤ 2Δ + 4。. 37.

(42) 平面圖的平方著色數. 四、結論我們將目前文獻中有提到𝜒(𝐺 2 )的範圍，整理成下面的表格：. 與推論 1.2 比較. 人名. 結果. 限制條件. Jonas. 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 8Δ − 22. 無. Δ ≥ 6 時推論 1.2 較佳. Wong. 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 3Δ + 5. 無. Δ ≥ 5 時推論 1.2 較佳. 𝜒(𝐺 2 ) ≤ 2Δ + 25. 無. 推論 1.2 較佳. 9 𝜒(𝐺 2 ) ≤ ⌊ Δ⌋ + 2 5. Δ ≥ 749. 只適用於 Δ ≥ 749 時. 9 𝜒(𝐺 2 ) ≤ ⌈ Δ⌉ + 1 5. Δ ≥ 47. 只適用於 Δ ≥ 47 時. Molloy and Salavatipour. 5 𝜒(𝐺 2 ) ≤ ⌈ Δ⌉ + 78 3. 無. Molloy and Salavatipour. 5 𝜒(𝐺 2 ) ≤ ⌈ Δ⌉ + 25 3. Δ ≥ 241. van den Heuvel McGuinness Agnarsson Halldo´rsson Borodin 等人. Δ ≤ 204 時推論 1.2 較佳. 只適用於 Δ ≥ 241 時. 由上表格可知，與推論 1.2 做比較，在 Δ 較小時都是推論 1.2 的上界比較小，而一般會遇到的問題中，比較少會需要處理 Δ 很大的情況，故推論 1.2 對於一般求 𝐺 2 的著色數會有實際的功用。. 38.

(43) 平面圖的平方著色數. 以下為對於不同的 Δ 值，需用哪個結果較佳做一策略選擇： 𝚫. 𝝌(𝑮𝟐 ). 1. 2. 2. ≤5. 3. ≤8. 4,5. ≤ 8Δ − 22. Jonas(1993). [6,46]. ≤ 2Δ + 100. Wang(2013). [47,240]. 9 ≤ ⌈ Δ⌉ + 1 5. Borodin et al.(2003). ≥ 241. 5 ≤ ⌈ Δ⌉ + 25 3. Molloy et al.(2005). Wegner(1977). 因此，推論 1.2 改進了所有文獻在 5 ≤ ∆≤ 46 時的結果。但繼續利用同樣的方式，再加入一些新的放電規則，例如第三階段放電，甚至第四階段放電，都降低不了 Δ 的系數，因為在第三章所提到的 𝑘 = 2 的情況中，就會推得 Δ 系數下界至少是2，所以只能降低後面的常數，但若要比 Borodin 的結果佳，在Δ ≥ 47 時，我們的結果必需要降至 2Δ − 9 才行，若真的能達到此範圍，也必需花很大的力氣；故未來的工作，希望能用不同於放電法的方式來論述，才比較有希望在Δ ≥ 47時，改進 Borodin 或是 Molloy 的結果。. 39.

(44) 平面圖的平方著色數. Refernece [1] G. Agnarsson and M. M. Halldo´rsson, Coloring Powers of planar graphs. Preprint (2000). [2] K. Appel and W. Haken, Every planar map is four colourable. Part I:Discharging, Illinois J Math 21 (1977), 429–490. [3] K. Appel, W. Haken, and J. Koch, Every planar map is four colourable. Part II: Reducibility, Illinois J Math 21 (1977), 491–567. [4] O. V. Borodin, H. J. Broersma, A. Glebov, and J. van den Heuvel, Stars and bunches in planar graphs. Part I: Triangulations. CDAM Research Report Series 2002-04 (2002). Original Russian version. In: Diskretn Anal Issled Oper Ser 1 8, no. 2 (2001), 15–39. [5] O. V. Borodin, H. J. Broersma, A. Glebov, and J. van den Heuvel, Stars and bunches in planar graphs. Part II: General planar graphs and colourings. CDAM Research Report Series 2002-05 (2002). Original Russian version. In: Diskretn Anal Issled Oper Ser 1 8, no. 4 (2001), 9–33. [6] P. J. Heawood, Map colour theorem, Quart J Pure Appl Math 24 (1890), 332– 338. [7] J. van den Heuvel, and S. McGuinness, Colouring the square of a planar graph J. Graph Theory, 42 (2003), pp. 110–124. [8] T. R. Jensen and B. Toft, Graph coloring problems, John-Wiley & Sons, New York (1995). [9] T. K. Jonas, Graph coloring analogues with a condition at distance two: L(2,1)labellings and list λ-labellings. Ph.D. Thesis, University of South Carolina (1993). [10] M. Molloy and M. R. Salavatipour, A bound on the chromatic number of the 40.

(45) 平面圖的平方著色數. square of a planar graph. Preprint, University of Toronto (2002). [11] N. Robertson, D. Sanders, P. Seymour, and R. Thomas, The four-colour theorem, J Comb Th 70 (1997), 2–44. [12] G. Wegner, Graphs with given diameter and a colouring problem. Preprint, University of Dortmund (1977). [13] S.A. Wong, Colouring graphs with respect to distance, M.Sc. Thesis, Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo, 1996.. 41.

(46)