本節探討的主題是三位合作教師的教學，如何影響學生習得教師所作的推理 證明。分成兩大部份報導：
壹、切線性質和證明之學生習得情形比較與可能影響原因探討；
貳、弦心距主題和證明之學生習得情形比較與可能影響原因探討。
雖然三位合作教師教學的主題皆是與圓的切線和圓的弦心距相關，但選擇的 性質內容卻不盡相同，所以相對應的性質證明亦不相同。
此外，本研究觀察的三個班級學生程度差異頗大，研究者無法直接使用三個 班級全班的原始數據資料，作為學生習得情形差異的依據。故研究者針對從三個 班級配對出學生程度相近之「三班配對組合」8，以及分別擇兩班配對出「兩班 配對組合」，在盡量去除學生程度差異的變因的情況下，將探討的重心放在質的 比較，分析這些學生浮現的習得現象pattern。
為了說明便利，本節內容提到的A、B、C 班學生指的是配對組合的學生群，
而不是泛指原始全部的班級學生。
為回答本研究之研究問題4，從三位教師的教學因素對學生習得教師所作推 理證明之影響。但由於教師教學因素所能探討的項目很多，研究者從中挑選「教 師的教材內容安排」、「教師使用的教學手法」兩個面向，作為探討教師教學對學 生習得影響的分析面向。
雖然如此，在課堂中，影響學生學習的因素很多。例如：學生本身是課堂中 的主角之一，所以學生學習的注意程度、學生是否曾在學校教學之前曾經學過相 關的內容…等，也是值得注意的分析項目。
此外，教學課堂的時段（例如：午休後的第一節、接近放學的課堂）、觀察 與施測的時間點…等等，都可能是影響學生學習或評鑑學生習得表現的因素，研
8 參見第三章研究方法之第三節「研究對象」
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究者也會適度地放入分析的考量。
下表4-4-1，為研究者用來探討三班學生對教師所作推理證明之習得情形差 異的分析面向，其中研究者以教師的教學內容安排和教學手法為分析的主軸。
表4-4-1
分析面向 面向說明 分析細項
教學內容 安排
課堂教學流程 教師在教學課堂中聚焦的主題數量 欲探性質及證明在教學流程的位置 題材選擇
教材安排
選擇的證明內容 教學內容布題
教學手法 教師在作推理證明教 學時使用的教學手法
問答（開放或封閉的問題、時機）
板書的使用
講解與圖形、肢體動作的搭配
強調方式（重複、以不同的方式講解）
學生背景 學生學習經驗 學生課堂學習狀態
學生的成就差異（PR 值）
是否曾在補習聽過類似的證明內容 學生的注意程度
環境背景 教師與學生無法控制 的環境因素
教學課堂時段
觀察與施測的時間點
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壹、切線性質證明之學生習得情形比較與教師教學之可能影響探討
甲、 背景描述
以下的背景描述包含四個部份，分別是（1）環境背景、（2）整節教學課堂 的教學流程概述、（3）教師教學特質與師生互動概述、（4）教師所作推理證明內 容之比較、（5）欲探性質與證明之教學概述。
（1） 環境背景
教學課堂時段（國中一節課的教學時間為45 分鐘）
A 教師當天有兩節 A 班的數學課，分別是接近中午的第四節、接 近放學的第八節；而切線性質與證明是在第四節課，該節教學時間約為 44 分鐘。
B 教師的教學課堂是上午第三節，課堂一開始先處理班務，教學時 間約為38 分鐘。而 C 教師的教學課堂為上午第四節，但因為該節課前 17 分鐘進行弦心距性質問卷施測，故教學的時間約為 28 分鐘。
觀察與施測的時間點
依照研究流程，施測時間為觀察課堂（教學課堂）的下一節數學課。
但是為不影響教師教學進度的安排，出現特別但沒有違背研究流程的情 形。
表4-4-2
班級 A 班 B 班 C 班 觀察課堂 10/22 第四節 10/19 第三節 10/16 第四節
施測課堂 10/23 第六節 10/22 第七節 10/17 第一節 隔天數學課 隔週末數學課 隔天數學課
首先，因為B 班的教學課堂適逢週五，施測課堂便延至下週一，
中間間隔的時間較其他兩個班級長。其次，由於A 教師當天在 A 班有
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兩節數學課，且A 教師預定在第八節課進行研究者欲探的另一個弦心 距性質的教學。由於研究者要依據教學課堂的教學內容編制問卷，加上 時間的急迫，研究者只好將選擇隔天（10 月 23 日）的數學課進行切線 性質問卷的施測。
（2） 整節教學課堂的教學流程概述
教學課堂中聚焦的主題數量（主題：幾何物件概念、幾何性質）
研究者將三位教師的教學課堂依照介紹的教學主題列出流程表9。 在此僅列出教師總共介紹的主題數量：A 教師介紹 10 個教學主題、B 教師共介紹5 個主題，C 教師共介紹 3 個主題。
欲探性質及證明在教學流程的位置
三位教師延續點與圓的位置關係後，接著討論直線與圓的交點情 形，再藉由圓心到直線的距離與半徑的大小關係，引入直線與圓的位置 關係。然而，在相同的教學範圍中，三位教師進行論證的性質（研究者 欲探的性質）完全不同，分別為：
A 教師：切點和圓心連接起來會垂直切線；
B 教師：圓心到切線的距離等於半徑；
C 教師：當圓心到直線的距離等於半徑時，直線與圓只有一個交點。
研究者欲探的性質及證明在三位教師教學課堂中出現的時間點，分 別如下表4-4-3：
表4-4-3
教師 被提及的時間點 被提及的序位
A 第8 到 15 分鐘 第5 個教學主題 B 第31 到 39 分鐘（教學時間的第 25 到 33 分鐘） 第 5 個教學主題 C 第24 到 37 分鐘（教學時間的第 9 到 19 分鐘） 第 1 個教學主題
9 可參見附件
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（3） 三位教師教學特質與師生互動概述
A 教師在本節課連續不斷地介紹不同的主題（共有 10 個），幾乎沒 有題目練習。教師介紹完性質後會馬上作證明，有時寫成形式證明，有 時則是搭配圖形作口頭上的說明。A 教師偶而會拋問，但次數不多且以 封閉性問題居多。
整堂課下來，A 教師和學生的互動不多，回應教師問題的學生人數 不多。有時學生反應較為熱烈或發出較大聲響，教師會立刻制止；但是 教師仍會觀察學生的反應（表情、沉默），重複教學內容。
B 教師在本節課的教學主題較少，且聚焦在研究者欲探的性質「直 線與圓的位置關係」上。教師介紹完概念或性質後，會馬上帶學生閱讀 課本中相關的內容，並要求學生劃重點，同時教師會對照黑板上的圖形 再重複說明一次。
此外，B 教師試圖建立學生的數學概念，例如舉生活實例分類動物 的想法引入「點與圓的位置關係」，並串連接著的「線與圓的交點情形」； 提出數學上慣用數學關係式的想法引入「線與圓的位置關係」等。
B 教師與學生的互動多，有時是生活上的閒聊，偶而會提出開放性 的問題，學生的回應頗為熱烈。
由於C 教師的課堂前 17 分鐘在做問卷施測，剩下不到 30 分鐘的 教學時間中，教師僅介紹了3 個主題。實際上研究者感覺 C 教師的教 學節奏應該是與A 教師較為接近。
C 教師要求學生在上課前先預習當天的課本內容，在課堂中點學生 回答相關於課本內容的問題。C 教師在教學時常作數學內部連結，利用 演繹方式推導性質，並且在介紹完性質後常會提供具思考性的題目（例 如作圖題、證明題），要求學生應用剛教的性質解題。
C 教師與學生的互動很多，常拋問並要求學生一定要回答，也常抽 點學生起來回答問題。此外，C 教師非常在意學生的注意程度，常常提 醒學生「看黑板」、「這很重要，要成為你身體的一部分」。
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（4） 教師所作之推理證明內容之比較
由於欲探的性質不同，三位教師所選擇的證明內容也大不相同，就 證明手法來看不是傳統的證明類型。
A、C 教師使用「先任取一點再回推所有點」的手法，將切線上其 他無限多個點的情形縮到任取的一個點來討論，而B 教師使用的是「合 一法」，藉由「點到線的垂直線段長是點到線的最短距離」作為橋樑，
將”切點”與”過圓心對切線所作垂線的垂足”合一。這兩種證明手法較三 角形全等證明的抽象度高，而且對學生來說是少見或是不曾接觸過的，
學生應該相當生疏。
就三個證明的結構來說，A、C 教師所作的證明結構較傾向於直線 型（如下圖A 和圖 C）、而B 教師的證明則是由兩個平行的分支組成（如 下圖B），相較之下較為複雜。
再從三個證明的局部推理來看，C 教師證明的局部推理幾乎都是一 次推理（例如，將前提應用性質可推出結論），而A、B 教師的證明則 較多由2～3 個推理合成的局部推理，尤其是 B 教師的證明。【可參考 本章第二節的表4-4-4、表 4-2-12、表 4-2-21】
經過前面簡單的比較之後，站在數學觀點，B 教師所作的證明應該 1
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1
2 3
5 4
1
2 3 4
5 6 圖A
圖B
圖C
圖中的1、2、3…，是指證明中的 主要成份。【可參考本章第二節表 4-2-1、表 4-2-11、表 4-2-18】
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性質介紹
（1：09）
心的連線等於半徑」、「這條半徑跟切線垂直」。
教師邊說名詞邊寫板書；介紹性質時是邊說邊指d=r 圖中 對應的物件和垂直符號，未寫出性質的文字敘述。
性質應用
（3：00）
8. 教師提供作圖題「過圓 O 上一點作圓的切線」，並再次重 複上面6 提到的兩個性質，要求學生應用該性質解題。
總結歸納
（00：20）
9. 搭配 d=r 的圖形，再次重複上面 6 提到的名詞與性質。
教師邊說邊指圖中相對應的物件和垂直符號。
性質推導 d<r 情形
（00：50）
10. 教師利用直觀說明當 d<r 時，直線與圓有兩個交點，並介 紹名詞「割線」。
教師介紹名詞「割線」，同時在圖中相對的物件旁寫「割 線」。
歸納總結
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