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第肆章 研究結果
本章共分成四節，分別為：
第一節、各節報導內容、分析流程、報導方式簡介；
第二節、學生對幾何性質和教師所作幾何推理證明之習得情形；
第三節、學生對於教師所作幾何推理證明中重要轉折之抓取情形；
第四節、教師教學對學生習得教師所作幾何推理證明之可能影響探討。
第一節 各節報導內容、分析流程、報導方式簡介
研究者將第二節到第四節的報導內容、分析流程、報導方式，簡介如下：
第二節
在第一節中，研究者要先探討的是三個觀察班級（A、B、C 班）分別 在兩個幾何性質、教師所作之推理證明的習得情形。
研究者從學生主動憶取教師證明之主要成分、局部推理、邏輯序列
1等 三個面向，描繪學生對於教師所作推理證明之習得情形。
所謂主動憶取教師證明，研究者界定為：在學生寫出的形式推理證明 中，有抓取到 1 個非求證之主要成分、或是抓取到超過 1 個主要成分，就算 是主動憶取教師證明。
例如，學生利用測量或視覺直觀等非形式推理證明；或者僅寫出求證，
而沒有任何推理過程，使得研究者無法找到其他的主要成分，這兩種情形，
依照界定，學生不算主動憶取教師的證明。
1
可參見第一章名詞界定
30
分析流程簡述：
1. 先分析全班學生在開放型問卷
2題目 open(1)的作答，是否為研究者欲探 的幾何性質，挑選出要進一步分析其在推理證明習得的學生問卷。
2. 分析學生在開放型問卷 open(2)所作的證明，找出學生主動憶取教師證 明的情形。
3. 接著分析主動憶取教師證明的學生，在主要成分、局部推理、邏輯序列 的抓取情形。
報導方式簡述：
研究者在本節共分成六小部份（壹～陸） ，其中部份壹和貳是 A 班學生 在切線和弦心距性質、教師所作推理證明之習得情形；部份參和肆是 B 班 學生的性質和證明習得情形；部份伍和陸則是 C 班學生的性質和證明習得 情形。
每個小部份報導方式大體分成：
（一） 學生對欲探之幾何性質之習得情形；
（二） 學生對於教師所作推理證明之習得情形 甲、 學生對於主要成分之抓取情形；
乙、 學生對於局部推理之抓取情形。
丙、 學生對於邏輯序列之抓取情形；
第三節
在第三節中，研究者要探討的是對於教師所作推理證明中的重要轉折，
學生的抓取情形。
分析流程簡述：
2
可參見第三章研究工具
31
1. 先分析學生在開放型問卷 open(2)所作的證明，觀察學生是否能主動作 出研究者欲探的幾個證明中的重要轉折。
2. 分析全班學生在填空型問卷的作答，觀察學生是否能順著問卷提供的教 師推理證明脈絡，作出研究者欲探的重要轉折。
3. 橫向分析同一學生在主動憶取和被動憶取重要轉折的現象差異。
報導方式簡述：
研究者在本節分成六小部份，其中部份壹和貳探討的是 A 班學生對教 師證明之重要轉折的抓取情形；部份參和肆是 B 班學生在重要轉折的抓取 情形；部份伍和陸則是 C 班學生在重要轉折的抓取情形。
每個小部份的報導方式大體分成：
甲、 學生主動憶取教師推理證明中重要轉折之情形
乙、 在教師的推理證明脈絡下，學生被動憶取重要轉折之情形 丙、 學生在主動憶取和被動憶取重要轉折之現象差異。
第四節
在第四節中，研究者要探討的是，在相同的幾何主題（切線、弦心距）
下，比較三班學生對教師所作推理證明的習得情形；並且研究者試著從教師 教學因素和其他面向來探討影響學生習得情形差異的可能原因。
分析流程簡述：
1. 由於三班學生的學習成就差異頗大，故研究者視分析的需要，對三班或 每次擇兩班分別作配對比較
3，盡量去除學生程度差異的變因。
2. 研究者挑選三位教師證明中在主要成分、局部推理、重要轉折等相近的 題材，先比較學生在這些分析面向的習得情形。研究者注重的是浮現的
3
參考第三章的研究方法及研究樣本
32
現象 pattern 上的差異。
3. 研究者以教師教學因素為主，或是從其他面向來探討影響學生習得情形 差異的可能原因。
報導方式簡述：
研究者在本節分成兩大部份，其中部份壹是三班學生在切線性質證明之 習得情形比較以及探討教師教學對學生習得之可能影響；部份貳則是三班學 生在弦心距性質證明之習得情形比較以及教師教學對學生習得之可能影響。
每個部份的報導方式大體分成：
甲、 背景概述：
（1） 環境背景
（2） 整節教學課堂的教學流程概述
（3） 教師教學特質及師生互動概述
（4） 教師所作推理證明之內容比較
（5） 三位教師在欲探性質及證明之教學概述
乙、 學生對教師所作推理證明習得情形比較與教師教學之可能影 響探討
此部份的報導會隨著不同的欲探性質及教師所作的證明有不同
的報導架構。
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報導架構
研究者統合上述各節的報導方式，整理成第肆章第二節至第四節的報導 架構，如下表 4-1-1：
表 4-1-1
節 報導面向 報導內容 探測工具
第 二 節
欲探性質之習得 情形
學生抓取課堂中研究者欲探幾何性質 之情形
開放型問卷 open(1)
教師所作推理證 明之習得情形
甲、 學生對於主要成分之抓取情形 乙、 學生對於局部推理之抓取情形 丙、 學生對於邏輯序列之抓取情形
開放型問卷 open(2)
第 三 節
教師所作推理證 明中重要轉折之 抓取情形
甲、 學生對於重要轉折之主動憶取情形 乙、 學生在對於重要轉折之被動憶取情形 丙、 學生對於重要轉折的主動憶取與被動
憶取情形差異。
開放型問卷 open(2)、
填空型問卷
第 四 節
教師教學對學生 推理證明習得之 可能影響探討
甲、 背景概述
乙、 學生對教師推理證明之習得情形比較 與教師教學之可能影響探討
教師教學
實錄
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第二節 學生對幾何性質和教師所作幾何推理證明之習得情形 壹、 A 班學生在切線性質和教師推理證明之習得情形
開放型問卷題目：
（一） 學生在欲探性質之習得情形（全班 41 人）
全班共有 28 人（約 68％）在 open(1)寫出預設答案「切線和圓心連接起來會 垂直切線，憶取到研究者欲探的教學性質。
（二）學生對於教師所作幾何推理證明之習得情形
【證明概述】
A 教師的論證是想藉由推出「切點是切線上所有點到圓心距離最短的點」證 出「切點和圓心連接起來會垂直切線」 。教師藉由在切線任取一點，將切線上其
上節課，老師說明切點和圓的關係。
（1）請在填空填入應有的敘述，讓下面那句話完整。
切點和圓心連接起來 【open(1)】 。
（2）接續你在（1）的答案，請說明理由。
你可以選擇用下列任何一種方法：（請勾選）
□○
1老師的說明 □○
2自己的說明 請在下面的填空中作答：
【open(2)】
切點 O
切線
35
他所有點的情形縮到一個點來討論。最後再應用性質「點到線的最短距離是垂直 線段」 ，推出求證。
【證明內容分析】
表 4-2-1
步驟 主要成分描述 成分類型
SP1 C1：切線 L 上除了 A 以外，其他的點都在圓外 （1）
SP2 C2：在切線 L 上任取一點 B 異於 A （2）
SP3 C3： OB OA > （1）
SP4 C4： OA 是圓心 O 到切線 L 的最短距離 （1）
SP5 C5： OA ⊥ L （圓心和切點的連線會垂直切線） （1）
註：成分類型中，（1）依據已知、性質或前面步驟已推得（子）結果所推得的
（子）結果且是該步驟中最強調的重點；（2）是過程中所需的一個運作
【現象報導】
甲、學生在主要成分的抓取情形（抓取到欲探性質的 28 人）
1. 抓取到欲探性質的 28 人中，將近半數的（12 人）不算是主動憶取教師 的證明。這些學生以完全空白未作答（7 人）最多，還有利用測量（2
切點 A O
切線 L
B C
r
最短
OB r >
OA r = OB OA >
∵切線和圓只有一個交點 A
∴A 在 L 上也在圓上
除了 A 以外，L 上其他的點都在圓外 在 L 上任取一點 B 異於 A
連接 OB
∵B 在圓外 ∴ OB r >
∵A 在 L 上也在圓上 ∴ OA r =
∴ OB OA >
∴ OA 是圓心 O 到切線的最短距離
∵點到直線的最短距離是作垂線
∴ OA ⊥ L
即切點和圓心的連線會垂直切線 SP1
SP2
SP3
SP5 SP4
C1
C3
C5 C2
C4
36
人） 、寫出證明中的一個性質「因為點到線的最短距離是垂直線段」 （2 人）等方式作證明。此外，出現寫出錯誤證明（2 人）、僅寫出最後求 證（2 人）和僅寫出教師證明中的一個小結論（1 人）的情形。
2. 主動憶取教師證明的 12 位學生，在各主要成分的抓取以及抓取成分的 分佈組型分別如下表 4-2-2 和表 4-2-3 所示：
表 4-2-2（共 12 人）
主要成分 C1 C2 C3 C4 C5 抓取人數 0 人 6 人 9 人 9 人 10 人
表 4-2-3（共 12 人）
成分個數 分佈情形 人數 4 個 C2、C3、C4、C5 3 人 3 個
C3、C4、C5 2 人 C2、C3、C4 1 人 C2、C3、C5 1 人 2 個 C2、C3 2 人 C4、C5 3 人
3. 從上表 4-2-2 中，最明顯的現象是 C1（除了 A 以外，切線上其他所有 的點都在圓外）沒有學生寫出。其實學生是整個 SP1 都沒有提及。
4. 從上表 4-2-3 可見，扣除掉 C1 不考慮，學生抓取的主要成分分佈平均，
沒有特別集中的組型，但是可以發現學生在抓取主要成分都是連續地抓 取。
5. 就憶取 C2（在切線 L 上任取一點 B）和 C3（ OB OA > ）的兩位學生來 說，其中一位在 open(1)填答欲探性質時，寫出兩個主要成分 C5（垂直 切線）和 C4（ OA 是圓心到切線的最短距離） 。進一步觀察該生在填空 問卷（填空 A-1-2）
4填入「 OB OA > ，但要找離圓 O 的最短距離（垂直）
→ OA 」 ，研究者認為，學生在 open(2)證明時，寫出 C3（ OB OA > ）是
4
可參見附錄 1-A-2
37
有意圖要解釋 C4（ OA 是圓心到切線的最短距離） 。也就是說，C4 是學 生有抓取到的成分之一，但因為已經寫在 open(1)了，所以就沒有在證 明時寫出來。至於，C5（ OA ⊥ L ）算不算是該生抓取的成分之一呢？
從該生在證明時寫出「用勾股定理」來看，C5（ OA ⊥ L ）應該是隱含 在該生的證明中，可算是抓取到的成分之一。
總結來說，該生算是抓取到 C2、C3、C4、C5，但是在紀錄格式上不夠 嚴謹。
6. 從學生僅以寫出 C4（ OA 是圓心到切線的最短距離）和 C5（ OA ⊥ L ） 作為證明的現象，研究者懷疑， 「 OA 是圓心到切線的最短距離」對這 些學生來說是一個概念，並且直接和垂直連結在一起，可能因此不需要 特別去證明；又或者學生可能沒有特別去感覺教師是怎麼證明的。
7. 抓取到 C3、C4、C5 的學生，其實是有寫出「在 L 上取一點 B」，但是 沒有「任取」的概念，可說是憶取到類似 C2、C3、C4、C5 的外型，
但沒有掌握內部的推理精神。
至於憶取到 C2、C3、C4 的學生，在 open(1)有寫出 C5（ OA ⊥ L ） ，研 究者觀察看該生在填空問卷（填空 A-1-2）填入「因為 OA 是 L 到圓心 的最短距離」來銜接下段的 OA ⊥ L 。研究者認為該生在 C4 和 C5 之 間 是有連結的，該生可算是憶取到 C2、C3、C4、C5，但是也在證明的紀 錄格式上不夠嚴謹，沒有寫出求證。
憶取到 C2、C3、C5 的學生，其在 open(1)填入的欲探性質為「 OA ⊥ 切 線， OA 是最短距離」 ，再觀察在填空問卷（填空 A-1-2）的作答為
「∵ OB OA > ，不管 B 在哪一點 OB OA > ∴ OA ⊥ L 且為最短距離」 。研 究者認為該生是有憶取 C4（ OA 是圓心到切線的最短距離）的，但仍是 證明記錄格式上的不嚴謹，沒有寫出證明的結論。也就是說，該生可算 是憶取到 C2、C3、C4、C5。
8. 經過上面第 2、5、7 點的討論，研究者發現：在本題證明，學生主動憶
38
取教師證明主要成分的組型可粗分成 3 種情形，分別是：幾乎完全憶取
（C2、C3、C4、C5）、部分憶取（C2、C3 和 C4、C5）。
而且，學生頗常出現在紀錄格式上不嚴謹的情形，沒有寫出證明的求證
（例如：C2、C3、C4、C5，沒有寫出證明的求證） 。還有出現僅憶取 到某種上述組型的”外型”，但沒有抓取到內部的推理精神情形（例如：
C2、C3、C4、C5，未抓取任取的概念，僅在直線上取一點，但仍能向
下寫出 3 個的主要成分）。
9. 從學生常出現紀錄格式的不嚴謹，未寫出最後求證的情形，研究者感覺 A 班學生在本題的作答呈現出來的是傾向於「解釋性的說理」，而不是 形式化的證明。
乙、學生在局部推理的憶取情形（主動憶取教師證明的 12 人）
下表 4-2-4 是各局部推理內容和抓取人數，而下表 4-2-5 則是學生總共抓取 的局部推理個數統計。
表 4-2-4（共 12 人）
步驟 局部推理內容 推理類型 人數
SP1 ∵切線與圓只有一個交點 A
∴除了 A 以外，切線上其他的點都不在圓上 2 個推理合成 0 人
（0％）
SP3 ∵ 在圓外，A 在圓上 B
∴ OB OA > 3 個推理合成 1 人
（8％）
SP4 ∵B 是任取、 OB OA >
∴ OA 是圓心到切線的最短距離 一次推理 3 人
（25％）
SP5 ∵ OA 是圓心 O 到切線 L 的最短距離
∴ OA ⊥ L 一次推理 7 人
（58％）
表 4-2-5（共 12 人）
局部推理
抓取個數 4 個 3 個 2 個 1 個 0 個
人數 0 人 1 人 2 人 4 人 5 人
39
【現象報導】
1. 主動憶取教師證明的 12 位學生中，局部推理的抓取情形集中在僅憶取 1 個 局部推理（ OA 是圓心 O 到切線 L 的最短距離→ OA ⊥ L ）和完全沒有抓取。
2. 學生在其他三個局部推理表現不佳的原因，除了因為完全未提及（例如 SP1 的局部推理）之外，還有下列情形：
（1） 僅寫出結論的斷言形式（6 人）：學生僅寫出 C3（ OB OA > ）或 C4
（ OA 是圓心到切線的最短距離） ，但沒有推理的過程。
（2） 倒果為因的邏輯錯誤（4 人） ：出現在推導 C3（ OB OA > ）局部推理，
將在第 3 點說明。
（3） 眼見為憑（2 人）：出現在推導 C3（ OB OA > ）的局部推理，將在第 3 點說明。
（4） 前提有缺（2 人）：出現在推導 C4（ OA 是圓心到切線的最短距離）
的局部推理，將在第 4 點說明。
3. 上面提及的「倒果為因的邏輯錯誤」和「眼見為憑」的現象，現在說明如下：
（1） 「倒果為因」：學生使用商高定理來推得 C3（ OB OA > ） 。研究者認 為學生使用商高定理是將求證 C5（ OA ⊥ L ）當成已知條件。
（2） 「眼見為憑」：學生將圖形中視覺直觀的條件當作推理的前提和證 據。如下圖 4-2-1 所示：
4. 所謂的前提有缺是指學生沒有「B 是任取」的概念，雖然有取一點 B，並且 接著寫出 OB OA > 和 OA 是圓心到切線的最短距離，但研究者認為學生沒有 若沒有任取的概念，就不是經由「從一點推回其他所有點」的思考切換，推
圖 4-2-1：學生 A0834 問卷作答
40
出最短距離，所以視為未抓取該局部推理。
丙、學生在邏輯序列的表現（主動憶取到教師證明的 12 人）
本題證明的主要成分排列順序只有兩種，就是 C1→C2→C3→C4→C5 和 C2→C1→C3→C4→C5，也就是可以改變「在切線上任取一點 B」和「除了 A 以 外，切線上其他所有點都在圓外」 ，這兩個成分的先後順序。
但是從前面學生抓取主要成分時，完全沒有憶取到 C1（除了 A 以外，L 上 其他的點都在圓外） ，所以可接受的邏輯序列只剩下 C2→C3→C4→C5。
【現象報導】
研究者探討學生在所抓取的主要成分間的排列情形，可粗分成下列幾種：
1. 大部分學生所抓取主要成分間的排列順序是與教師相同的，也就是直線型的 排列。而且，學生幾乎都是「從頭開始」論述，只有 1 位學生從求證「倒推」
的排列順序，如下圖 4-2-2。該生先從求證 C5 反推到 C3（ OB OA > ） ，再 從 C2（在 L 上任取一點 B）推到 C3，其排列順序為 C5→C4→C3→C2→C3。
不過，從該生寫出「商高定律」可知該生也出現倒果為因的邏輯錯誤。
2. 小部份學生（4 人）因為在局部推理出現倒果為因的情形，而出現或隱含有 C2（任取一點 B）→C5（ OA ⊥ L ）→C3（ OB OA > ）的邏輯序列錯誤。
圖 4-2-2：學生 A0820 問卷作答
41
貳、 A 班學生在弦心距性質和教師推理證明之習得情形
開放型問卷題目：
（一）學生在欲探性質之習得（全班 41 人）
全班共有 38 人（93％）在 open(1)寫出預設答案「大弦對小弦心距，小弦對 大弦心距」
5，抓取到研究者欲探的教學性質。
（二）學生對於教師所作推理證明之習得情形（抓取到欲探性質的 38 人）
【證明概述】
A 教師證明的精神是將「幾何問題化成代數問題，藉由代數運算來解決」。
5
學生只要能表達出相同的意義，就算是可接受的答案，不用與教師的用語完全相同。例如：弦 越大（小） ，弦心距越小（大） 。若是反方向的敘述，如「大弦心距對小弦」 ，也是可接受的答案。
昨天老師教過弦心距和弦的長度之間的關係。
請問：
（1）長短不同的弦與他們所對的弦心距，關係為何？
【open(1)】
（2）接續你在（1）的答案，請說明理由或證明。
你可以選擇用下列任何一種方法： （請勾選）
□○
1老師的證法 □○
2自己的證法 □○
3自己的說明 請在下面的填空中作答：
O
【open(2)】
42
本證明的難點在於所討論的是不等的物件關係，無法沿用證明三角形全等來解 決。教師製造出直角三角形，藉由商高定理將問題從幾何情境轉到代數情境，再 利用代數的運算推得求證。而且 A 教師證明的是一般例中靜態的弦心距和弦之 大小對應關係。
【證明內容分析】
表 4-2-6
步驟 主要成分描述 成分類型
SP1 C1：連接兩條半徑（連結兩弦端點的半徑各一條） （2）
SP2 C2： AM 1 AB
= 2 和 CN 1 CD
= 2 （1）
SP3 C3： AM CN > （1）
SP4 C4：
2 2 2
2 2 2
OM OA AM ON OC CN
⎧ = −
⎪ ⎨
⎪ = −
⎩
（兩個商高定理式子） （1）
SP5 C5： OM ON < （1）
註：成分類型中，（1）依據已知、性質或前面步驟已推得（子）結果所推得的
（子）結果且是該步驟中最強調的重點；（2）是過程中所需的一個運作 作 OA 、 OC
∵ OM ⊥ AB ， ON ⊥ CD
∴ AM 1 AB
= 2 ， CN 1 CD
= 2 又 AB CD >
AM CN
⇒ >
∴
2 2 2
2 2 2
OM OA AM ON OC CN
⎧ = −
⎪ ⎨
⎪ = −
⎩
∵ OA OC =
∴ OM ON <
SP1
SP2
SP3
SP4
SP5
C1
C3
C4
C5 C2
【已知】 AB CD >
OM ⊥ AB 、 ON ⊥ CD
【求證】 OM ON <
A B
C
D
M N
O
43
【現象報導】
甲. 學生在主要成分的抓取情形（抓取到欲探性質的 38 人）
1、 抓取到欲探性質的學生中，有 9 人分別是利用視覺直觀（5 人）、舉生 活實例（1 人）、數值實例計算（1 人）等方式作證明，還有空白未作答
（1 人）以及寫出錯誤證明（1 人）。依照界定，這些學生不算是主動憶 取教師證明。
2、 此外，少數學生寫出與教師的不同的演繹證明（3 人），或是已知和求 證與教師相反的證明（3 人），而且都是正確的證明並且也有抓取到 1 個以上的主要成分。依照界定，這 6 位學生算是主動憶取教師證明。但 是，由於這 6 人的證明與教師所做的證明在結構上差異較大，故不納入 分析對象。
3、 主動憶取教師證明的 23 位學生，在各主要成分的抓取人數以及抓取成 分的分佈組型分別如下表 4-2-7 和表 4-2-8 所示：
表 4-2-7（共 23 人）
主要成分 C1 C2 C3 C4 C5 抓取人數 23 人 16 人 19 人 23 人 20 人
表 4-2-8（共 23 人）
成分個數 分佈情形 人數 5 個 C1、C2、C3、C4、C5 14 人 4 個 C1、C3、C4、C5 5 人 3 個 C1、C2、C4 2 人 C1、C4、C5 1 人 2 個 C1、C4 1 人
4、 從表 4-2-7 可以看見的明顯特徵是成分 C2（ AM 1 AB
= 2 和 CN 1 CD
= 2 ）
最少人抓取；而且抓取到的學生多數是隱含在推出 C3（ AM CN > ）的
44
推理過程中，例如： AB CD 1 AB 1 CD AM CN
2 2
> = > ⇒ > 。
5、 此外，還可以看見一個明顯的現象就是，主動憶取教師證明的學生都同 時抓取到 C1（連接兩條半徑）和 C4（列出兩個商高定理式子）。研究 者進一步分析學生憶取成分的邏輯序列，發現有將近三分之一的學生在 寫出 C1 之後，僅接著寫出的成分就是 C4；或是僅在圖形中連接半徑
（C1） ，但在證明開始寫出的第一個成分就是 C4。由此，研究者認為學 生在成分 C1 和 C4 之間的連結頗強。
6、 本題共有 5 個主要成分，若要從其中抓取 4 個，應該有 5 種抓取類型，
但是學生卻集中在 C1、C3、C4、C5，也就是說學生僅漏掉 C2（ AM 1 AB
= 2 和 CN 1 CD
= 2 ） 。為什麼學生會一致地不寫出 C2 呢？
研究者猜測，C2（ AM 1 AB
= 2 和 CN 1 CD
= 2 ）描述的是等號關係，不像 證明中其他的成分，如 C3（ AM CN > ）描述的是不等的關係、C4 則 是龐大的商高定理式子，能刺激學生以引起注意。再者，從學生多是將 C2 隱含在 C3 的推理中（第 4 點）或是僅是在圖中的兩弦標上等線段
記號，研究者認為學生可能已經將「弦心距垂直平分弦」視為一個概念，
不覺得需要再多作說明，而能夠直接應用在其他成分的推理。
7、 從表 4-2-8 可以發現，主動憶取教師證明的學生，超過一半可以抓取到 全部成分的主要成分，只有少數的學生僅能抓取其中的 1、2 個主要成 分。本題證明相當形式化，以往的研究中總是提及學生對於形式證明寫 作的困難，雖然曾經過教師的教學，但是證明中使用到大量的符號，並 且討論的又是不等的關係，學生主動憶取證明的表現卻如此亮眼，研究 者認為這是個特別的現象。
乙. 學生在局部推理之抓取情形（主動憶取教師證明的 23 人）
45
下表 4-2-9 是各局部推理內容及抓取的人數，而下表 4-2-9 則是學生總共抓 取的局部推理總數統計。
表 4-2-9（共 23 人）
步驟 局部推理內容 推理類型 人數
SP2 ∵ OM ⊥ AB ， ON CD ⊥ ∴ AM 1 AB
= 2 ， CN 1 CD
= 2
（弦心距垂直平分弦）
一次推理 1 人
（4％）
SP3 ∵ AB CD > 、 AM 1 AB
= 2 、 CN 1 CD
= 2 ⇒ AM CN >
（大弦的一半大於小弦的一半）
代數運算 推理
17 人
（74％）
SP4
∵ + AOM 和 + CON 是直角三角形
∴
2 2 2
2 2 2
OM OA AM ON OC CN
⎧ = −
⎪ ⎨
⎪ = −
⎩
（商高定理） 一次推理 23 人 (100％)
SP5 ∵
2 2 2
2 2 2
OM OA AM ON OC CN
⎧ = −
⎪ ⎨
⎪ = −
⎩
、 AM CN > 、 OA OC = OM ON
⇒ <
一連串代 數運算推 理
20 人
（87％）
表 4-2-10（共 23 人）
局部推理
抓取個數 4 個 3 個 2 個 1 個 0 個 人數 2 人 16 人 2 人 3 人 0 人
【現象報導】
1、 主動憶取教師證明的 23 位學生，有七成左右（18 人）幾乎抓取到全部 的局部推理。而抓取到 3 個局部推理的學生都是因為少作利用性質「弦 心距垂直平分弦」的局部推理。
2、 學生在作局部推理時，除了完全未提及之外，常見的有下列幾種現象：
（1）僅寫出結論的斷言形式（7 人）：學生僅寫出結論 AM 1 AB
= 2 、 CN 1 CD
= 2 ，而沒有推理過程。
46
（2）僅寫出性質和結論，未寫前提（3 人）：常出現僅寫出「弦心距垂 直平分弦」 ，而沒有前提和結論。即學生抓取到推理的重點，但未 抓取紀錄推理的格式。
（3）使用不同於教師的作法（2 人）：出現在利用性質「弦心距垂直平 分弦」的局部推理。學生利用三角形全等或等腰三角形底邊的高 垂直平分底邊，雖不同於教師但是正確的推理。
3、 部份學生對於局部推理的紀錄格式不是很重視，有時會出現自創的紀錄 格式；或是在做 SP5 代數運算的局部推理時，僅把推出的求證紀錄在商 高定理式子。如下圖 4-2-3。
丙. 學生在邏輯序列的表現（主動憶取教師證明的 23 人）
本題證明主要成分間的排列順序的組合很多，除了 C5 求證一定要排在最 後、C2（ AM 1 AB
= 2 、 CN 1 CD
= 2 ）和 C3（ AM CN > ）的相對位置必須保持 C2 在前、C1（連接半徑）和 C4（商高定理式子）的相對位置必須保持 C1 在 C4 之 前，在前述的規則之下，共有 6 種可接受的排列順序。
【現象報導】
合併 SP2 和 SP3 推理的紀錄方式
圖 4-2-3：學生 A0739 問卷作答
47
1、 抓取到 4 個以上主要成分的學生，其成分間的排列順序都是可接受的邏 輯序列，但不全然與教師的順序相同。
2、 學生沒有變動 C1（連接兩條半徑）和 C5 求證（ OM ON < ）的位置，
仍其放在第一個和最後一個成分。學生變動的是 C2（ AM 1 AB
= 2 、 CN 1 CD
= 2 ） 、C3（ AM CN > ） 、C4（商高定理式子）的排列順序，但是 仍有顧慮到 C2、C3 以及 C1、C4 之間固定的相對順序。抓取到 4 個成 分以上的學生，出現的排列順序分別為：C1、C2、C3、C4、C5（教師 的順序，13 人）或 C1、C4、C4、C3、C5（1 人）或 C1、C4、C3、C5
（3 人）、C1、C3、C4、C5（教師的順序，2 人）。
3、 從上面第 3 點的學生表現，雖然大多數學生的排列順序還是與教師相
同，但是研究者感覺學生還是有察覺到並掌握到本題證明主要成分間排
序的可變化性。
48
參、 B 班學生在切線性質和教師推理證明之習得情形
開放型問卷題目：
（一）學生在幾何性質之習得情形（全班 39 人）
共有 30 位學生（77％）寫出預設的答案「圓心到切線的距離等於半徑」，有 抓到研究者欲探的教學性質。
（二）學生對於教師所作幾何推理證明之習得情形
【證明概述】
B 教師的證明手法是『合一法』。先證出「圓心到切點的距離是圓心到切線 的最短距離」 ，再藉由性質「點到線的垂直線段是最短距離」 ，推得「過圓心對切 線做的垂線段 OM 也是最短距離」 ，最後將兩段最短距離合一，推出「圓心到切
上節課，老師把「直線和圓的位置關係」做分類。
（1） 請在填空填入應有的敘述，使得下面那句話 完整。
圓心到切線的距離 【open(1)】 。
（2） 接續你在（1）的答案，請說明理由。
你可以選擇用下列任何一種方法：（請勾選）
□○
1老師的說明 □○
2自己的說明 請在下面的填空中作答：
割線 不相交
切點 L 切線
O
【open(2)】
49
線的距離等於圓心到切點的距離」 ，就等於半徑。
【證明內容分析】
表 4-2-11
步驟 主要成分描述 成分類型
SP1 C1：過圓心作切線的垂線 OM 交切線於 M （2）
SP2 C2：切線上其他的點都在圓外 （1）
SP3 C3：切線上其他的點到圓心的距離都大於半徑 （1）
SP4 C4：切點到圓心的距離最短 （1）
SP5 C5：垂線 OM 通過切點 （1）
SP6 C6： OM r = （圓心到切線的距離等於半徑） （1）
註：成分類型中，（1）依據已知、性質或前面步驟已推得（子）結果所推得的
（子）結果且是該步驟中最強調的重點；（2）是過程中所需的一個運作
【現象報導】
甲、學生在主要成分的抓取情形（抓取到欲探性質的 30 人）
1. 依照研究者的界定，抓取到欲探性質的 30 人都不算是主動憶取到教師 的證明。除了利用視覺直觀（3 人）作證明、空白未作答（3 人）、情意 回答（我不會，1 人）之外，剩下的 23 人都僅是抓取到 1 個主要成分，
L 切線
M O
作垂線 OM 垂直切線
∵切線與圓 O 只有一個交點，即切點 切點在圓上
而切線上其他的點在圓外
∴切點跟圓心的距離等於半徑 其他的點到圓心的距離大於半徑
∴切點到圓心的距離最短
∵通過圓心對切線做的垂線有垂直距 離，而垂直距離等於最短距離
最短的只有一點，就是切點
∴垂線剛好會通過切點
∴ OM r =
C2
C4 C1
C3
C5 C6 SP1
SP2
SP3 SP4
SP5
SP6
50
也就是最後的求證（圓心和切線的距離等於半徑） 。
2. 僅抓取到求證的 23 位學生中，大多數（17 人）僅推出證明過程中的一 個小結論「圓心到切點的距離等於半徑」後，接著就推出求證；而剩下 的 6 人則是沒有任何的推理過程，僅是寫出斷言形式的求證。
3. 從前述 17 位學生所作的證明來看，學生完全沒有習得 B 教師利用合一 法所作的推理，僅是從視覺上的條件（圓心到切點的距離等於半徑）推 論求證。
乙、學生在局部推理的抓取情形
下表 4-2-12 是各局推理的內容和抓取人數。
表 4-2-12
步驟 局部推理內容 推理類型 抓取人數
SP2 ∵切線和圓心只有一個交點
∴切點在圓上，切線上其他的點都在圓外
2 個推理
合成 0 人 SP3 ∵切點在圓上，其他的點在圓外
∴切點到圓心的距離最短
3 個推理
合成 0 人 SP4
∵ OM 是圓心到切線的垂直線段，而且 切點到圓心的距離最短
∴垂線通過切點
2 個推理
合成 0 人 SP5 ∵、垂線通過切點，切點到圓心等於半徑
∴圓心到切線的距離等於半徑 一次推理 0 人
【現象報導】
1. 學生僅抓取到求證這個主要成分，沒有抓取到其他的主要成分，當然也 沒有抓取到連結運作主要成分的局部推理。
2. 全班學生唯一有展現的推理是在「∵切點在圓上∴圓心到切點的距離等
於半徑」 ，但是依照本研究所界定的局部推理，學生不算是有抓取到局
部推理。
51
丙、學生在邏輯序列的表現
由於學生除了 C6 求證以外，未抓取到其他的主要成分，研究者無法討論其
所憶取成分間的排列順序。
52
肆、 B 班學生在弦心距性質和教師所作推理證明之習得情形
開放型問卷題目：
（一）學生在幾何性質之習得情形（全班 39 人）
共有 20 人（51％）寫出預期的答案「小弦心距對大弦，大弦心距對小弦
6」，
抓取到研究者欲探的教學性質。
（二）學生對於教師所作推理證明之習得情形
【證明概述】
B 教師在弦心距的證明與 A 教師的證明相近，差異在於兩者的已知和求證
6
學生只要能表達出相同的意義，就算是正確答案，不用與教師的用語完全相同。例如：弦心距 越小，弦越大；弦心距越大，弦越小。若是反方向的敘述，也是可接受的答案。
昨天老師教過弦心距和弦的長度之間的關係 請問：
（1）長短不同的弦心距與它們所對的弦，關係為何？
【open(1)】
（2）接續你在（1）的答案，請說明理由或證明。
你可以選擇用下列任何一種方法：（請勾選）
□○
1老師的證法 □○
2自己的證法 □○
3自己的說明 請在下面的填空中作答：
O
【open(2)】
53
是顛倒的。B 教師證明的已知為「兩弦心距一大一小」，求證的是「大弦心距對 的弦短，小弦心距對的弦長」 。
【證明內容分析】
表 4-2-13
步驟 主要成分描述 成分類型
SP1 C1：連接兩條半徑（連結兩弦端點的半徑各一條） （2）
SP2 C2： AB 2AM = 和 CD 2CN = （弦心距垂直平分弦） （1）
SP3 C3：
2 2 2
2 2 2
CO ON CN AO OM AM
⎧ = +
⎪ ⎨
⎪ = +
⎩
（兩個商高定理式子） （1）
SP4 C4： AM CN > （1）
SP5 C5： AB CD > （大弦的兩倍大於小弦的兩倍） （1）
註：成分類型中，（1）依據已知、性質或前面步驟已推得（子）結果所推得的
（子）結果且是該步驟中最強調的重點；（2）是過程中所需的一個運作
【現象報導】
甲、學生在主要成分的抓取情形（抓取到欲探性質的 20 人）
連 CO 、 AO
∵ OM 、 ON 為 AB 和 CD 的弦心距
∴ ∠ CNO = ∠ AMO 90 =
0…（1）
且 AB 2AM = …（2）
CD 2CN = …（3）
由（1）得
2 2 2
2 2 2
CO ON CN AO OM AM
⎧ = +
⎪ ⎨
⎪ = +
⎩ 又 CO AO =
OM ON <
∴ AM
2> CN
2⇒ AM CN > …（4）
由（2） （3） （4）得 AB CD >
SP1
SP2
SP5 SP4 SP3
C1
C2
C3
C4 C5
大
小 M
A C B
D
N O
OM ON <
54
1. 抓取到欲探性質的 20 人中，有 9 人主動憶取教師的證明，但其中有 1 人的證明方向與教師相反（已知 OM ON < ，求證 AB CD > ） ，雖然其所 作的證明是正確的，但研究者不將其列入討論的對象。
剩下 11 位未主動憶取教師證明的學生，最常見的證明是「以『直徑為 圓中的最大弦，但其弦心距＝0 最短』這個特例作推論」（5 人），其他 還有利用視覺直觀（2 人）、舉數值實例計算（1 人）等方法作證明，剩 下的人則是空白未作答（2 人）和寫出錯誤的證明（1 人）。
2. 主動憶取教師證明的 8 位學生，在各主要成分的抓取人數以及抓取成分 的分佈組型，分別如下表 4-2-14 和下表 4-2-15 所示：
表 4-2-14（共 8 人）
主要成分 C1 C2 C3 C4 C5 抓取人數 8 人 3 人 8 人 8 人 5 人
表 4-2-15（共 8 人）
成分個數 分佈情形 人數 5 個 C1、C2、C3、C4、C5 3 人 4 個 C1、C3、C4、C5 2 人 3 個 C1、C3、C4 3 人
3. 從上表 4-2-14 可見，學生在成分 C2（ AB 2AM = 和 CD 2CN = ）的憶取 最少，而沒有憶取 C2 的學生是因為沒有寫出該成分。
4. 從上表 4-2-15 可見，學生沒有只抓取到 1、2 個成分的現象，而且學生 一定會抓取到成分 C1（連接兩條半徑）、C3（商高定理式子）、C4
（ AM CN > ） 。與 A 班學生的表現相似的是，學生一定會同時抓取連接 半徑和商高定理式子。
5. 學生會選擇不寫出來的成分是 C2（ AB 2AM = 和 CD 2CN = ）和求證 C5
（ AB CD > ） 。研究者懷疑，對學生來說「弦心距垂直平分弦」或者 C2
已經形成一個概念，學生可能認為不需要特別再作證明或解釋，而直接
55
使用在從 C4（ AM CN > ）推出 C5（ AB CD > ）的推理歷程中。
至於沒有寫出求證 C5（ AB CD > ）的 3 位學生，其中 2 人在 open(2)
的作答摘要「∴ OM
2+ AM
2= ON
2+ CN
2⇒ AM CN > ⇒ 2AM 2CN > 」
「…,∴ AM CN > ∴長弦心距對短弦，短弦心距對長弦」 。前面學生的作 答中的「 2AM 2CN > 」就等同於是求證 C5（ AB CD > ） ：而後者的作 答，則讓研究者感覺對這些學生來說推出 C4（ AM CN > ）就等同於是 推出 C5（ AB CD > ） 。研究者認為這與學生將「弦心距垂直平分弦」概 念化有很大的關係。
乙、學生在局部推理之憶取情形（主動憶取教師證明的 8 人）
下表 4-2-16 是各局部推理內容及抓取的人數，而下表 4-2-17 是學生總共抓 取的局部推理個數統計。
表 4-2-16（共 8 人）
步驟 局部推理內容 推理類型 人數
SP2
∵ OM 和 ON 是 AB 和 CD 的弦心距
∴ AB 2AM = ， CD 2CN =
（弦心距垂直平分弦）
一次推理 0 人
SP3
∵ + AOM 和 + CON 是直角三角形
∴
2 2 2
2 2 2
OM OA AM ON OC CN
⎧ = −
⎪ ⎨
⎪ = −
⎩
（商高定理） 一次推理 8 人 (100％)
SP4 ∵
2 2 2
2 2 2
OA OM AM OC ON CN
⎧ = +
⎪ ⎨
⎪ = +
⎩
、 OM ON < 、 OA OC = AM CN
⇒ >
一連串代 數運算推 理
7 人
（88％）
SP5 ∵ AM CN > 、 AB 2AM = 、 CD 2CD = ⇒ AB CD >
（大弦的一半大於小弦的一半）
代數運算 推理
3 人
（38％）
56
表 4-2-17（8 人）
局部推理
抓取個數 4 個 3 個 2 個 1 個 0 個 人數 0 人 3 人 5 人 0 人 0 人
【現象報導】
1. 主動憶取教師證明的 8 位學生，幾乎都有作出教師很強調的代數運算推 理，而在利用性質「弦心距垂直平分弦」的抓取最差。
2. 學生被研究者判定為未作出局部推理的原因，除了完全未提及，有下列 幾種情形：
（1） 僅寫結論的斷言形式（3 人）：學生僅寫出結論 AB 2AM = 、 CD 2CD = ，而沒有寫出前提。
（2） 前提有缺（2 人） ：學生直接從 C4（ AM CN > ）推出求證（ AB CD > ） ， 沒有提到另一個前提 C2（ AB 2AM = 、 CD 2CD = ） 。
3. 雖然學生會列出在型態上不同於教師的商高定理式子（例如，教師列出
的是
2 2 2
2 2 2
OA OM AM OC ON CN
⎧ = +
⎪ ⎨
⎪ = +
⎩
，學生列出的是
2 2
2 2
AM OA OM CN OC ON
⎧ = −
⎪ ⎨
⎪ = −
⎩
） ，但學生仍
能作出正確代數運算推理，而不被式子的型態所限制。
丙、學生在邏輯序列的表現（主動憶取教師證明的 8 人）
1. 抓取到全部主要成分的學生，其主要成分的排列皆是可接受的順序，但 是不全然與教師的順序相同。在 5 個主要成分中，學生僅變動 C2
（ AB 2AM = 、 CD 2CN = ）的位置，例如 C1、C3、C2、C4、C5 和 C1、
C3、C4、C2、C5 等。可見學生是有察覺到本題證明主要成分間排序的 可變化性，而不是完全只依照教師的排列順序。
2. 抓取到部份主要成分的學生，其成分的先後排序與教師的順序相同。
57
伍、 C 班學生切線性質和教師推理證明之習得情形
開放型問卷題目：
（一）學生在欲探性質之習得情形（全班 39 人）
共有 29 位（74％）學生寫出預期答案「當圓心 O 到直線的距離剛好就是半 徑時，直線與圓 O 只有一個交點（或直線就是圓 O 的切線）」，抓取到研究者欲 探的教學性質。
（二）學生對教師所作推理證明之習得情形
【證明概述】
D 教師論證的主要精神要證明「切線上除了切點以外的其他點都不是交點
（在圓外）」 。教師藉由在切線取一點，賦予該點「任取」的意義，來討論切線上 昨天老師說明「圓和直線的交點情形」。
（1） 請在填空填入應有的敘述，使得下面那句話完整。
當圓心 O 到直線的距離剛好就是半徑時， 【open(1)】 。
（2）接續你在（1）的答案，請說明理由。
你可以選擇用下列任何一種方法：（請勾選）
□○
1老師的說明 □○
2自己的說明 請在下面的填空中作答：
【open(2)】
H L
O
d r58
切點以外所有點的情形。製造出直角三角形，使用新教的點與圓的位置關係推得 所取的一個點不是交點，再切換回切線上其他所有的點都不是交點，得證本題。
【證明內容分析】
表 4-2-18
步驟 主要成分描述 成分類型
SP1 C1：直線 L 與圓有一個交點 H （1）
SP2 C2：在直線 L 上任取一點 P 異於 H （2）
SP3 C3： OP OH > （或 OP d > ） （1）
SP4 C4： OP r > （或 P 在圓 O 外） （1）
SP5 C5：直線 L 與圓只有一個交點 H
（或直線 L 是圓 O 的切線） （1）
註：成分類型中，（1）依據已知、性質或前面步驟已推得（子）結果所推得的
（子）結果且是該步驟中最強調的重點；（2）是過程中所需的一個運作
【現象報導】
甲、學生主要成分的抓取情形（抓取到欲探性質的 29 人）
1. 抓取到欲探性質的 29 位學生，有 16 人未憶取教師的證明，這些學生最 常出現的是僅寫出求證（4 人），還有利用視覺直觀（3 人）、寫出三種
H L
O
d r
P
OP d r > = P 在圓 O 外 1 交點
SP1
SP2 SP3
SP4
SP5
∵ OH r =
∴H 在圓上
∴直線 L 有一點 H 與圓相交 在 L 上任取一點 P，異於 H 連 OP
∵ △ OPH 是直角三角形
∴ OP OH >
∵ OH 是半徑
∴ OP d r > =
∴P 在圓 O 外
∴除了 H 以外，L 上其他點都在圓外
∴L 與圓 O 只有一個交點
C2
C3
C4
C5
C1
59
直線與圓的交點情形（3 人）作證明。剩下的學生則是僅寫出證明的已 知條件「 OH r = 」 （3 人） 、空白未作答（2 人）和寫出錯誤證明（1 人）。
2. 主動憶取到教師證明的 13 位學生，在各主要成分的憶取人數及憶取成 分的分佈組型，分別如下表 4-2-19 和表 4-2-20 所示：
表 4-2-19（共 17 人）
主要成分 C1 C2 C3 C4 C5 抓取人數 3 人 8 人 11 人 7 人 9 人
表 4-2-20（共 13 人）
成分個數 分佈情形 人數 5 個 C1、C2、C3、C4、C5 1 人 4 個 C2、C3、C4、C5 3 人 3 個 C2、C3、C5 3 人 C3、C4、C5 2 人 2 個 C2、C3 1 人 C3、C4 1 人 1 個 C1 2 人
3. 從表 4-2-19 可見，學生幾乎未憶取 C1（直線 L 與圓有一個交點 H），
學生要不完全未提及 SP1，要不就是僅寫出已知條件 OH r = ；而學生幾 乎一定會抓取到 C3（ OP OH > 或 OP d > ） 。
4. 從表 4-2-20 可以發現，學生主要成分的抓取類型分佈的很零散。先不 管僅抓取到 1 個成分的情形，學生在抓取主要成分時大致上幾乎都是連 續地抓取。但是只有一個例外，就是憶取 C2（在 L 上任取一點 P）、C3
（ OP OH > ） 、C5（L 與圓只有一個交點）的情形，學生跳過成分 C4
（ OP r > 或 P 在圓外）沒有抓取。
5. 承上面第 5 點的情形，如果學生走的是利用點與圓的位置關係推得只有
一個交點的話，應該要經過 OP r > 的路徑，比較合理。因為點與圓的位
60
置關係討論的是點到圓心的距離與半徑的大小關係，而 OH 是圖形中的
一個股，所以 OP OH > 不是啟動點與圓的位置關係的關係式。研究者猜 想，學生在抓取 C2、C3、C5 時，中間的推理可能包含較多的視覺直觀。
當然也有另一種可能，由於圖形中的線段 OH 旁已經標示有 r，也有可
能是學生將 OP OH > 視為 OP r > 而推出只有一個交點。
6. 另一組抓取 3 個主要成分 C3、C4、C5 的學生，他們是有在 L 上取一點 P 的，但是沒有抓到「任取」的概念。不過，這些學生算是抓取到類似 於 C2、C3、C4、C5 的外型，但可能沒有掌握到內部的推理精神。
7. 憶取到 2 個成分的學生，都沒有寫出求證 C5（L 與圓只有一個交點），
僅是寫在 open(1)。研究者觀察這 2 位學生在填空問卷（填空 C-1-2）的 作答，憶取 C2、C3 的學生寫出「所以 L 上任取一點（除了 H）皆會大 於 OH 」來銜接下面的 L 與圓只有一個交點，某種程度可以呼應該生在 open(2)的表現，研究者覺得該生算是抓到與 C2、C3、C5 相同的骨幹，
只是在紀錄格式上不嚴謹，沒有將證明的求證寫出來。
至於憶取到 C3、C4 的學生，其有在 L 上取點但是未抓到「任取」的概 念。再觀察填空問卷（填空 C-1-2）的作答，該生空白未作答。一種可 能，學生認為 C4（ OP r > ）接著就是 C5（L 與圓只有一個交點）；另一 種可能，學生是不會作答。如果是第一種可能，那麼該生可算是憶取到 類似 C2、C3、C4、C5 的外型，但是沒有抓到內部的推理精神（任取），
並且在紀錄格式上也不夠嚴謹。
8. 從前面第 2、3、4、5、7、8 點的討論，研究者發現：在本題學生主動 憶取教師證明主要成分組型可粗分成 4 種程度，分別是：全部憶取（C1、
C2、C3、C4、C5）、幾乎完全憶取（C2、C3、C4、C5）、大部分憶取
（C2、C3、C5）、幾乎沒有憶取（C1）。而且，學生會出現僅抓取到某
61
種上述組型的”外型”，但沒有抓取到該組型內部的推理精神（例如：
C2、C3、C4、C5，即未抓取任取的概念，僅在直線上取一點，但仍能向下 寫出 3 個的主要成分。）；又或者是有憶取到上述的某種組型，但是在 紀錄上不是嚴謹的證明格式（例如： C2、C3
、C5，未寫出證明的求證）。
乙、學生在局部推理的憶取情形（主動憶取教師證明的 13 人）
下表 4-2-21 是各局部推理內容及抓取的人數，而下表 4-2-22 是學生總共抓 取的局部推理個數統計。
表 4-2-21（共 13 人）
步驟 局部推理內容 推理類型 人數
SP1 ∵ OH r = ∴ 在圓上 H H
∴ 是直線 L 與圓 O 的一個交點
2 個推理
合成 3 人（23％）
SP3 ∵△ OPH 是直角三角形∴ OP OH >
（直角三角形斜邊大於股） 一次推理 9 人（69％）
SP4
∵ OP OH > 、 OH 是半徑∴ OP r > 一次推理 7 人（54％）
∵ OP r > ∴ 在圓外 P
（利用點與圓的位置關係） 一次推理 3 人（23％）
SP5 ∵ 是任取、P 在圓外（或 P OP r > ） L
∴ 與圓 O 只有一個交點 H 一次推理 3 人（23％）
表 4-2-22（共 13 人）
局部推理
抓取個數 5 個 4 個 3 個 2 個 1 個 0 個 人數 1 人 2 人 0 人 4 人 4 人 2 人
【現象報導】
1. 從表 4-2-22 學生憶取的局部推理個數集中在 0～2 個。學生幾乎都會作 出來的是利用性質「直角三角形斜邊大於股」的局部推理。
2. 學生被研究者判定為未作出局部推理的原因，除了完全未提及之外，有
62
下列幾種情形：
（1） 僅寫出結論的斷言形式（4 人）：最常出現在僅寫出求證，而沒有 作任何推理。
（2） 只寫出性質，沒有前提和結論（2 人）：學生僅寫出「直角三角形 的斜邊大於股」 ，而沒有寫出前提和結論。雖然學生算是有抓到推 理的精神，但卻不是完整的紀錄格式。
丙、學生在邏輯序列的表現（主動憶取教師證明的 13 人）
本題證明的 5 個主要成分中，只有 C1（直線 L 與圓只有一個交點）能變動 位置，可以放在求證 C5（直線 L 與圓只有一個交點）之前的任何一個位置，但 是其他 4 個成分則必須一個接著一個依序排列。
【現象報導】
扣除掉僅抓取到 1 個主要成分（C1）的學生，剩下抓取到 2 個～5 個成分的
學生，其主要成分的排列與教師的順序完全相同，都是「從頭做起」 ，沒有出現
從求證倒推的情形、或是其他邏輯錯誤。
63
陸、 C 班學生在弦心距性質與教師推理證明之習得情形
開放型問卷題目：
（一）學生在欲探性質之習得情形（全班人數 39 人）
共有 24 人（62％）寫出預設答案「當弦心距越短（長）時，所對應的弦越 長（短）
7」 ，抓取到研究者欲探的教學性質。
（二）學生對於教師所作推理證明之習得情形
【證明概述】
與 A、B 兩位教師的證明相同，C 教師也是製造出直角三角形，並利用商高
7
