数理统计学

本课程的前四章介绍了概率论的基本内容, 为数理统计学建立了 重要的数学基础. 从本章起, 我们转入本课程的第二部分 —数理统计 学. 下面我们首先说明什么是数理统计学.

统计学的任务是研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性影 响的数据, 从而对所考虑的问题作出一定结论的方法和理论. 它是一 门实用性很强的学科, 在人类活动的各个领域有着广泛的应用. 研究 统计学方法的理论基础问题的那一部分构成 “数理统计学” 的内容.

一般地可以认为

数理统计是数学的一个分支, 它是研究如何有效地收集和有效地 使用带有随机性影响的数据的一门学科.

下面通过例子对此加以说明.

1. 有效地收集数据

收集数据的方法有: 全面观察 (或普查)、抽样调查和安排试验等 方式.

↑Example

人口普查和抽样调查. 我国在 2000 年进行了第五次人口普查.

如果普查的数据是准确无误的, 无随机性可言, 不需用数理统计方法.

由于人口普查, 调查项目很多, 我国有 13 亿人口, 普查工作量极大, 而训练有素的工作人员缺乏. 因此虽是全面调查, 但数据并不可靠, 农 村超计划生育瞒报、漏报人口的情况时有发生. 针对普查数据不可靠, 国家统计局在人口普查的同时还派出专业人员对全国人口进行抽样调 查, 根据抽样调查的结果, 对人口普查的数字进行适当的修正. 抽样调

查在普查不可靠时是一种补充办法. _↓Example

如何安排抽样调查, 这是有效收集数据的重要问题, 这构成数理 统计学的一个重要分支 —《抽样调查方法》.

↑Example

考察某地区 10000 农户的经济状况. 从中挑选 100 户做抽样调 查. 若该地区分成平原和山区两部分, 平原地区较富, 占该地区农户的 70%, 山区的 30% 农户较穷. 我们的抽样方案规定在抽取的 100 户 中, 从平原地区抽 70 户, 山区抽 30 户, 在各自范围内用随机化方法

抽取. ↓Example

在本例中有效收集数据是通过合理地设计抽样方案来实现的. 在 通过试验收集数据的情形如何做到有效收集数据, 请看下例:

↑Example

某化工产品的得率与温度、压力和原料配方有关. 为提高得率, 通过试验寻找最佳生产条件. 试验因素和水平如下

PPP^因素 PPPPPP

水平 1 2 3 4

温度 800 1000 1200 1400 压力 10 20 30 40

配方 A B C D

3 个因素, 每个因素 4 个水平共要做 4³= 64 次试验. 做这么多试验 人力、物力、财力都不可能. 因此, 如何通过尽可能少的试验获得尽

可能多的信息? 比如采用正交表安排试验就是一种有效的方法. _↓Example

如何安排试验方案和分析试验结果, 这构成数理统计的另一分支

—《试验的设计和分析》. 在本例中有效收集数据是通过科学安排试 验的方法来实现的.

在有效收集数据中一个重要问题是: 数据必须具有随机性.

2. 有效的使用数据

获取数据后, 需要用有效的方法, 去集中和提取数据中的有关信 息, 以对所研究的问题作出一定的结论, 在统计上称为 “推断”.

为了有效的使用数据进行统计推断, 需要对数据建立一个统计模 型, 并给定某些准则去评判不同统计推断方法的优劣.

↑Example

为 估 计 一 个 物 体 的 重 量 a, 把 它 在 天 平 上 称 5 次 获 得 数 据 x1, x2,· · · , x⁵, 它们都受到随机性因素的影响 (天平的精度反映了 影响的大小). 估计 a 的大小有下列三种不同方法: (1) 用 5 个数的算 术平均值 ¯x =¹₅(x1+· · · + x⁵) 去估计 a; (2) 将 x1, x2,· · · , x⁵ 按大 小排列为 x₍₁₎≤ x(2)≤ · · · ≤ x(5), 取中间一个值 x₍₃₎去估计 a; (3) 用 W =¹

2(x(1)+ x(5)) 去估计 a. 你可能认为 ¯x 优于 x(3), 而 x(3) 优 于 W. 这是不是对的? 为什么是这样? 在什么条件下才对? 事实上, 对这些问题的研究正是数理统计学的任务.

↓Example

要回答这些问题我们需要对数据建立一个统计模型和制定评判不 同统计推断方法的准则. 本例中在适当的假定下, 可认为数据服从正 态模型.

下面我们举一个例子说明采用合适的统计方法也是有效使用数据 的一个重要方面.

↑Example

某农村有 100 户农户, 要调查此村农民是否脱贫. 脱贫的标准是 每户年均收入超过 1 万元. 经调查此村 90 户农户年收入 5000 元, 10 户农户年收入 10 万元, 问此村农民是否脱贫?

↓Example

(1) 用算术平均值计算该村农户年均收入如下:

¯

x = (90× 0.5 + 10 × 10)/100 = 1.45(万)

按此方法得出结论: 该村农民已脱贫. 但 90% 的农户年均收入只有 5000 元, 事实上并未脱贫.

(2) 用样本中位数计算该村农户年均收入: 即将 100 户的年收 入记为 x1, x2, · · · , x¹⁰⁰, 将其按大小排列为 x(1)≤ x(2) ≤ · · · ≤

x(100). 样本中位数定义为排在最中间两户的平均值, 即

(x₍₅₀₎+ x₍₅₁₎)/2 = 0.5(万)

按此方法得出结论: 该村农民尚未脱贫. 这与实际情况相符.

3. 数理统计方法的归纳性质

数理统计是数学的一个分支, 但是它的推理方法是不一样的. 统 计方法的本质是归纳式的, 而数学则是演绎式的. 统计方法的归纳性 质, 源于它在作结论时, 是根据所观察到的大量的 “个别” 情况, “归 纳” 起来所得. 而不是从一些假设、命题或已知事实出发按一定的逻 辑推理得出来的 (这后者称为演绎推理) . 举一例子说明: 统计学家 通过大量的观察资料发现, 吸烟与某种呼吸系统的疾病有关. 他得出 这一结论的根据是: 从观察到的大量例子, 看到吸烟者中患此种疾病 的比例远高于不吸烟者. 他不可能用逻辑推理的方法证明这一点. 试 拿统计学与几何学进行比较就可以清楚地看出二者方法的差别所在.

在几何学中要证明 “等腰三角形两底角相等”, 只需从等腰这个前提出 发, 运用几何公理, 一步步地推出这个结论 (这一方法属于演绎推理) . 而一个习惯于统计方法的人, 就可能想出这样的方法: 作很多大小形 状不一的等腰三角形, 实际测量它的底角查看区别如何, 根据所得数 据, 看看可否作出底角相等的结论, 这属于归纳推理的方法.

众所周知,归纳推理是要冒风险的. 事实上归纳推理的不确定性

的出现, 是一种逻辑的必然. 人们不可能做出十分肯定的结论, 因为归 纳推理所依据的数据具有随机性. 然而, 不确定性的推理是可行的, 所 以推理的不确定性程度是可以计算的. 统计学的作用之一就是提供归 纳推理和计算不确定性程度的方法. 不确定性是用概率计算的. 以后 会见到我们求参数的区间估计, 不但给出区间估计的表达式, 而且给 出这一估计区间包含未知参数的可靠程度的大小.